Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Ðèñ. 19.13

Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâленных ãðàôèêîâ óâеличение периоäà

äискретизàöèè T > 1/2Fâ; Fä < 2Fâ ïðèâîäèò ê íàложению смежных спектроâ â (19.8), ÷òî ïðèâîäèò ê íàложению спектрà ÕT(f).

Ýòè èñêàжения нàçûâàþòñÿ ошибкàìè íàложения. Чтобы их уст- рàнить необхоäèìî ÷àстоту äискретизàöèè óâеличить äî Fä 2Fâ.

Пример. Ðàссчитàем интерâàë äискретизàции и минимàëüíî äопустимую чàстоту äискретизàöèè ñèãíàëà, спектрàëüíàя плотность котороãî ðàâíà íóëþ ïðè çíàчениях чàстоты âûøå 100 êÃö.

Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà спектрà Fâ ðàâíà 100 êÃö. Òîãäà â ñîîòâåòñòâии с теоремой Котельникоâà имеем интерâàë äискретизàöèè

	T =	1	=	1		= 5 ìêñ .
		2F		2 × 100	× 103
		â

Минимàëüíî äопустимàÿ ÷àñòîòà äискретизàöèè fä = 2Fâ = 2 × 100 = 200 êÃö.

Пример. Îïðåäåëèì äискретные отсчеты сиãíàëà äлительностью tè = 3 ìñ, ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 19.14, à, åñëè â êà÷åñòâå ãðàничной чàстоты спектрà Fâ принять знàчение 3/tè, âыше котороãî âñå çíàчения спектрàльной плотности уменьшàются более чем â 10 ðàç ïî ñðàâнению с мàêñèìàльным.

x(t)								x(k)
4								4
3								3
2								2
1								1
0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	t	0	1	2	3	4	5	6	k
			a)								á)
						Ðèñ. 19.14

521

Õîòÿ ñèãíàл конечной äлительности имеет бесконечный спектр чàñòîò, îä- íàко почти âñåãäà можно опреäелить ãðàничную чàстоту спектрà òàêèì îáðà- зом, чтобы отсекàíèå ÷àñòîò ïðåâûøàþùèõ Fâ, ïðèâело к пренебрежимо мà-

лым изменениям энерãèè èñõîäíîãî ñèãíàëà. Òàêîå óñëîâèå çàäàíî â примере.

Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà спектрà Fâ = 3/tè = 3/(3 × 103) = 1 кГц. Интерâàë äискретизàöèè T = 1/(2Fâ) = 1/(2 × 1 × 103) = 0,5 ìñ.

Берем отсчеты сиãíàëà, ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 19.14, à, через интерâàë âремени T = 0,5 мс и получàем послеäîâàтельность x{k} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изобрàженную ãðàфически нà ðèñ. 19.14, á.

Отметим, что àíàëîãîâûé ñèãíàë x(t) можно полностью âîññòà- íîâèòü ïî åãî äискретным отсчетàì x(kT) с помощью ФНЧ, чàñòî- òà ñðåçà котороãî ωñ = 0,5ωä = ωâ. Ýòîò âûâîä хорошо иллюстрирует рис. 19.13, à из котороãî âèäно, что спектр сиãíàëà íà âûõîäå ÔÍ× ñîâïàäàет со спектром àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x(t).

Дискретное преобразования Фурье. Êàê ñëåäует из формулы (19.8) XT(jω) имеет периоäическую структуру с ωä = 2π/T. Ïðè- ÷åì, êàк и спектр àíàëîãîâîãî ñèãíàëà X(jω) спектр äискретноãî ñèãíàëà XT(jω) ÿâляется сплошным (см. рис. 19.9, á). Вместе с тем при цифроâîé îáðàботке сиãíàëîâ используется не только äискретизàöèÿ âî âремени, но и äискретизàöèÿ â ÷àстотной об- лàñòè.

Ðèñ. 19.15

522

Äëÿ ñèãíàëà x(t) îãðàниченноãî âî âремени интерâàëîì Tñ (ðèñ. 19.15, à) ñïðàâåäëèâà îáðàòíàя теоремà Котельникоâà, которàя может быть полученà из (19.3) путем зàìåíû t → ω; ωâ → Tñ/2; Ò → Δω:

	T F		sin Tc ( ω − nΔω)
	c â		2
	X ( jω) = å	X ( nΔω)		,	(19.11)
			Tc ( ω − nΔω)
	n=−TcFâ
			2

ãäå Δω = 2π/Tñ; Tñ äлительность сиãíàëà; X(nΔω) отсчеты спектрà ñèãíàëà â ÷àстотной облàñòè.

Перехоäÿ ê äискретному сиãíàëó xT(t) (ðèñ. 19.15, á) отметим, что общее количестâо отсчетоâ ñèãíàëà áóäåò ðàâíî

N = Tc T ,

ãäå T = 2π/ωä = π/ωâ.

Дискретный спектр (рис. 19.15, å) может быть получен путем периоäическоãî ïîâторения послеäîâàтельности {x(kT)} с периоäîì Tñ = NT (ðèñ. 19.15, â). Ïðè ýòîì ÷àстотный интерâàë ìåæäó äèñ-

кретными отсчетàми спектрà (ðèñ. 19.15, å) ñîñòàâëÿåò
Δω = 2π Tc = 2π NT .	(19.12)

С учетом âышеизложенноãî äискретное преобрàçîâàние Фурье

(ДПФ) можно получить, если â преобрàçîâàíèè (19.9) ñäåëàòü çà- ìåíó ω = nΔω. Òîãäà получим

N−1
XT ( jnΔω) = å x ( kT ) e− jnΔωkT
k=0
или с учетом (19.12)
N−1	2π
XT ( jnΔω) = å x ( kT ) e	− jn N k,	(19.13)

k=0

ãäå n = 0; ±1; ±2; ± ... N/2.

Для упрощения зàïèñè àðãумент nΔω è kT обычно зàменяют ин- äексом n è k ñîîòâåòñòâенно и опускàþò èíäåêñ T, при этом (19.13) примет âèä

N−1	2π
X ( jn ) = å x ( k ) e	− j N kn,	(19.14)

k=0

которое опреäеляет прямое ÄÏÔ.

С помощью (19.14) можно опреäелить отсчеты спектрà X(jn) ïî âременным отсчетàì ñèãíàëà x(k).

Îáðàòíîå ДПФ можно получить из (19.14) âоспользоâàâøèñü äóàльностью прямоãî è îáðàòíîãо преобрàçîâàний Фурье:

523

		1	N−1	2π
	x ( k ) =		å X ( jn ) e j N kn.		(19.15)
		N n=0
	Ïðè k < 0 îáðàтное преобрàçîâàíèå			Фурье	îïðåäåëèò x(k),

ðàсположенную слеâà îò 0 (ðèñ. 19.15, â).

Äëÿ ÄÏÔ ïî àíàëîãии с непрерыâными преобрàçîâàниями Фурье спрàâåäëèâû îñíîâные теоремы и сâîéñòâà (ñì. § 9.2).

 ÷àстности, ñâîéñòâо линейности

n		n
å alxl	( k ) B å alXl ( jn ),		(19.16)
l=1	&	l=1
ñäâèã äискретноãî ñèãíàëà:
		2π
x ( k − m ) B X ( jn ) e− j N nm,			(19.17)
	&

ò.å. ñäâèã послеäîâàтельности отсчетоâ ñèãíàëà íà m интерâà- ëîâ ïðèâîäит лишь к изменению фàçîâîãо спектрà äискретноãî ñèãíàëà.

Теоремà ñâертки:

X1 ( n ) X2	( n ) B	N−1	( m − k ) x2	( k ),
		å x1			(19.18)
	&	k=0

ãäå N = N1 + N2; N1, N2 число отсчетоâ õ1 è õ2 ñîîòâåòñòâåííî. Àíàëîãично можно зàïèñàòü è äðóãие теоремы äëÿ ÄÏÔ. Çàìå-

тим, что ДПФ можно использоâàòü äëÿ îïðåäеления не только спектрà äискретных сиãíàëîâ, но и спектрà àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ, äëÿ ÷åãо их необхоäèìî äискретизироâàòü ñîãëàсно теоремы Котельникоâà (19.3).

Пример. Ðàссчитàåì ÄÏÔ äискретноãо периоäическоãî ñèãíàëà, çàäàííîãо тремя отсчетàìè x{k} = {0; 1; 2}.

Äëÿ ðàñ÷åòà âоспользуемся формулой ДПФ (19.14).

X ( j0 ) = x ( 0 ) e- j2p×0×0×	1				1		1
	3 + x (1) e- j2p×1×0×				3	+ x ( 2) e- j2p×2×0×3		= 0 + 1 + 2 = 3;
1				1		1	= 0 + 1e- j120o + 2e- j240o ;
X ( j1) = x ( 0 ) e- j2p×0×1×3	+ x (1) e	- j2p×11× ×		3	+ x ( 2) e- j2p×2×1×3
X ( j2) = 0 e- j0o + 1e- j240o + 2 e- j480o .
Поскольку
		1 − j					1					,
e- j120o = e- j480o =					3	, e- j240o = −		+ j		3
				2			2		2
		2

òî

X ( j1) = 12 ( −3 + j3 ) = 1,74 e j150o ,

524

x (k)																			X (n)
2															. . .					3														. . .
1																				1,5
0 1 2 3 4 5																k				0 1 2 3 4 5 6														n
																Ðèñ. 19.16
					x (k)
					0,5																								. . .
					0,25
					0
											1				2	3		4		5					6	7	8		9	k
					_0,5
					_0,25											Ðèñ. 19.17
X ( j2) =					1 ( -3 - j									) = 1,74 e j210o .
												3
					2

Ãðàôèêè çàäàííîãî äискретноãо периоäическоãî ñèãíàëà x(k) è ðàссчитàí- íîãî äискретноãо периоäическоãо спектрà àмплитуä X(n) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 19.16.

Пример. Ðàссчитàåì çíàчения äискретноãî ñèãíàëà x(k), ДПФ котороãо имеет âèä X[n] = {0; 1; 0; 1}.

Çíàчения äискретноãî ñèãíàëà x(k) áóäåì ðàссчитыâàть по формуле

(19.15)

x ( 0 ) =

1 {X ( 0 ) e j0o

+ X (1) e j0o

+ X ( 2) e j0o + X ( 3 ) e j0o } = 0,5 ;

4

1

ì

o

j

π

j

6π

ü

x (1) =

ï

+

X (1) e

2

+ X ( 2) e jπ + X ( 3 ) e

4

ï

=

4

í X ( 0 ) e j0

ý

ï

ï

1

î

þ

=

{0 + j1 + 0 - j1} = 0;

4

x ( 2) =

1 {X ( 0 ) e j0o

+ X (1) e jπ + X ( 2) e j2π + X ( 3 ) e j3π } =

4

=

1

{

0

- 1 + 0 -

}

= -0,5;

4

1

1

ì

o

j

3π

j

9π ü

x ( 3 ) =

ï

+

X (1) e

2

+ X ( 2) e j3π + X ( 3 ) e

2

ï

=

4

í X ( 0 ) e j0

ý

ï

ï

1

î

þ

=

{0 - j + 0 + j} = 0.

4

Ãðàфик послеäîâàтельности

x{k} =

{0,5; 0; 0,5; 0}

ïðèâåäåí íà

ðèñ. 19.17. Ñèãíàë x(k) äискретный и периоäический.

Пример. Îïðåäелить с помощью ДПФ спектр àíàëîãîâîãî ñèãíàëà, изобрàженноãî íà ðèñ. 19.18, à.

525

	x(t)=e	−αt			X(jn )
1					4
					3
					2
					1
-T 0 T 2T 5T				10T t	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	n
		Tñ	à)		á)
				Ðèñ. 19.18

Îãðàничим äлительность сиãíàëà Tc, ãäå e−αTc = 1 (ðèñ. 9.18, à). Íàïðè-

ìåð, ïðè Tc = 3/a, e−αTc

= e−3 ; 0,05 . Выберем число отсчетоâ N = 10, îïðå-

äåëèì ÷àстоту äискретизàöèè

Dw = 2p =

2p

=

2p

.

N × T

T

10 × T

c

Ñîãëàñíî (19.14) íàõîäим отсчеты спектрà ñèãíàëà

X ( j0 ) = 1 × e− j0 + 0,716 e− j0

+ 0,531e− j0 + 0,37 e− j0 + 0,263 e− j0 + 0,189 e− j0 +

+ 0,135 e− j0 + 0,0934 e− j0 + 0,07 e− j0 + 0,05 e− j0

= 3,41;

X ( j4 ) = 1 × e− j0 + 0,716 e− j

4

8

+ 0,37 e− j

12

+ 0,263 e− j

16

π +

5 π + 0,531e− j 5

π

5

π

5

+0,189 e

− j

20

π

+ 0,135 e

− j 24 π

+ 0,0934 e

− j

28 π

+ 0,07 e

− j 32

π

+ 0,05 e

− j

36

π

= 0,6

5

5

5

5

5

èò.ä.

Âòàблице приâåäены результàòû ðàñ÷åòà спектрà,

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X(jn)	3,4	3,3	2,8	1,6	0,6	0,4	0,6	1,6	2,8	3,3

à íà ðèñ. 19.18, á спектр сиãíàëà X(jn). Ñëåäует отметить, что с уâеличением T (уменьшение числà отсчетоâ N) ïîãрешность àппроксимàöèè x(t) óâеличи- âàåòñÿ (ñì. ðèñ. 19.8, à).

Êàê ñëåäóåò èç âышеприâåäенных примероâ и формул (19.14), (19.15), äëÿ âычисления ДПФ соäåðæàùèõ N отсчетоâ необхоäимо осущестâèòü â общем случàå N2 îïåðàций с комплексными числà- ìè. Åñëè äëèíà îáðàáàòûâàåìûõ ìàññèâîâ äîñòàточно âåëèêà, òî âычисление ДПФ äàæå íà ñîâременных быстроäåéñòâующих ЭВМ зàíèìàåò äîñòàточно мноãî âремени. Для сокрàщения âычислений используют обычно àëãоритм быстроãо преобрàçîâàния Фурье

(БПФ). Сущестâóåò ìíîãî ðàçíîâèäностей БПФ. Зäåñü ìû ðàс- смотрим оäèí àëãоритм, осноâàííûé íà прорежиâàíèè ïî âремени.

Быстрое преобразование Фурье. Положим, что число отсчетоâ

N = 2q, ãäå q целое число. Рàзобьем äискретную послеäîâàтельность отсчетоâ {x(k)} íå äâå ÷àñòè:

четную {x(k)}÷ò = {x(2k)}

526

и нечетную {x(k)}í÷ = {x(2k + 1)}, ãäå k = 0, 1, 2, ... N/2 1. Ïðåäñòàâим спектр (19.14) â âèäå

N

N

2 −1

− j2π2kn

2 −1

− j2π( 2k+1)n

=

X ( jn ) = å x ( 2k ) e

N

+ å x ( 2k + 1) e

N

k=0

k=0

2πn N −1

(19.19)

N −1

− j

2π

− j

2π

= 2å x ( 2k ) e

kn

+ e− j

2å x ( 2k + 1) e

kn.

N 2

N

N 2

k=0

k=0

Èç (19.19) ñëåäóåò, ÷òî

jn ) + e− j

2πn

X ( jn ) = X÷ò (

Xí÷ ( jn ),

(19.20)

N

ãäå n = 0, 1, 2, ..., ((N/2) 1).

Èç (19.20) ñëåäóåò, ÷òî ïåðâàÿ ïîëîâèíà X(jn) (n = 0, 1, 2, ..., (N/2) 1) âûðàæàется через ДПФ äâóõ ÷àстных послеäîâàтельно-

ñòåé: X÷ò(jn) è Xí÷(jn). Вторую полоâèíó (n … N/2) X(jn) можно нàйти, если учесть периоäичность еãо четной и нечетной чàñòè ñ

периоäîì N/2:

X÷ò ( jn ) = X÷ò [ j ( n + N2)]; Xí÷ ( jn ) = Xí÷ [ j ( n + N2)]

и соотношение (при n N/2):

e j	2π( (N 2)+n )		= e− jπ × e− j	2πn			− j	2πn
		N		N = -e				N ,
при этом получим
é		ù	= X÷ò ( jn )	- e	− j	2πn	× Xí÷ ( jn ).		(19.21)
						N
X ë j ( (N 2)		+ n )û

Формулà (19.20) и (19.21) лежит â îñíîâå ÁÏÔ. Êàê ñëåäóåò èç

этих формул äëÿ âычисления X÷ò(jn) è Xí÷(jn) требуется (N/2)2 îïåðàöèé è äëÿ âыполнения оперàции умножения нà exp{ × } N

îïåðàöèé:

NÁÏÔ = ( N 2)2 + N.	(19.22)
Для ДПФ (19.14) требуется NÄÏÔ = N2 2 + N2 2 = N2	îïåðà-
ций, что сущестâåííî âûøå, ÷åì NÁÏÔ. Íàпример, при N = 103,
получàåì NÄÏÔ = 106, à NÁÏÔ » 250 × 103, ò.å. äля БПФ требуется

âчетыре рàçà меньше оперàöèé, ÷åì ïðè ÄÏÔ.

Âобщем случàе число оперàций, необхоäèìîå â ÁÏÔ ðàâíî

NÁÏÔ = N log2 N			(19.23)
è âûèãðûø ïî ñðàâнению с ДПФ рàâíî
B =	N2		(19.24)
	N log2 N

527

и может äîñòèãàть сотен и тысяч рàç ïðè äîñòàточно больших âõîäíûõ ìàññèâàõ N.

 çàключении отметим, что сàм процесс âычисления по форму- лàм (19.19), (19.20) произâîäÿò ïî èòåðàционному принципу: послеäîâàтельность отсчетоâ с четными и нечетными номерàìè ñíîâà ðàçáèâàþò íà äâå ÷àñòè è ò.ä. Процесс рàзбиения проäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà не получится послеäîâàтельность, состоящàÿ èç îä- íîãо элементà (èñõîäíîãо ДПФ). Более поäробно с àëãоритмàми БПФ можно ознàкомиться â специàльной литерàòóðå (ñì. íàпример, Гольäенберã Ë.Ì., Ìàтюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифроâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü. 1990).

19.3. Z-преобразование и его свойства

Ïðè àíàлизе и синтезе äискретных и цифроâых цепей широко применяют тàê íàçûâàåìîå z-преобрàçîâàíèå. Это преобрàçîâàíèå èãðàåò òàêóþ æå îñíîâîïîëàãàющую роль по отношению к äискретным сиãíàëàì, êàк преобрàçîâàíèå Ëàïëàñà по отношению к àíàëîãîâûì ñèãíàëàì.

Z-преобразование дискретного сигнала. Çàменим â óðàâнении (19.9) jω íà комплексную переменную p:

∞
XT ( p ) = å x ( kT ) e−pkT,	(19.25)

k=0

òàêèì îáðàзом, мы получим изобрàжение по Лàïëàñó äискретноãî

ñèãíàëà. Îðèãèíàë, ò.å. ñàì äискретный сиãíàл можно опреäелить с помощью обрàòíîãо преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (7.4):

xT ( t ) =	1	j∞	XT ( p ) epTdp.	(19.26)
	2πj	ò
		− j∞

Óðàâнение (19.26) опреäеляет âñþ äискретную послеäîâàòåëü-

ность xT ( t ) = { x ( kT )} . Äëÿ îïðåäеления оäíîãî, k-ãо отсчетà формулà (19.26) примет âèä

x ( kT ) = T	1	jπ T	XT ( p ) epkTdp.	(19.27)
	2πj	ò
		− jπ T

Ñëåäóåò îäíàко отметить, что XT(p) ÿâляется трàнсценäентной

функцией переменной ð âñëåäñòâèå íàличия â (19.25) и (19.27) множителя e±pkT.

Для перехоäà ê ðàöèîíàльным функциям осущестâèì çàмену переменных:

epT = z = x + jy.

(19.28)

Òîãäà формулà (19.25) примет âèä:

528

∞
X ( z ) = å x ( k ) z−k.	(19.29)

k=0

Ðàâåíñòâî (19.29) íàçûâàþò прямым оäносторонним z-преоб- рàçîâàíèåì.

	Îáðàòíîå z-преобрàçîâàíèå îïðåäеляется формулой:
	x ( k ) =	1		X ( z ) zk−1dz,			(19.30)
		2πj
				z		=1

ãäå èíòåãðèðîâàние осущестâляется по окружности с рàäиусом |z| = 1.

Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâость (19.30) можно слеäующим обрàзом. Пусть X(z) функция комплексной переменной z, àíàлитическàÿ â îáëàñòè | z | > r0. Ðàс- кроем ряä (19.29):

X ( z ) = x ( 0 ) + x (1) z−1 + x ( 2) z−2 + K + x ( k ) z−k.	(19.31)
Домножим леâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü (19.31) íà zk 1:
zk−1X ( z ) = x ( 0 ) zk−1 + x (1) zk−2 + x ( 2) zk−3 + K + x ( k ) z−1.	(19.32)

Возьмем контурный интеãðàë îò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè (19.32) âäîëü êðèâîé, ëåæàщей целиком â îáëàñòè àíàлитичности и охâàòûâàþùåé âсе полюсы X(z) и учтем рàâåíñòâî Êîøè:

z		n	2pj	ïðè n = -1
			dz = {0	ïðè n ¹ -1.
z	=1

Òîãäà âñå ñëàãàемые, кроме k-ãî îáðàтятся â íóëü:

X ( z ) zk−1 dz = x ( k ) z−1 dz = x ( k ) z−1 dz = 2pjx ( k ).

z		=1		z		=1		z		=1

Îòñþäà непосреäñòâåííî ñëåäует (19.30), что и требоâàëîñü äîêàçàòü.

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó òî÷êàìè íà комплексной плоскости p = = α + jω è z-плоскости z = x + jy (ðèñ. 19.19).

Если положить α = 0, òî ìû áóäем перемещàòüñÿ ïî îñè jω â плоскости ð. При перехоäå â z-плоскость точки мнимой оси jω áó- äóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà åäиничной окружности z = e jωT. Причем, точкà j0 íà ð-плоскости перехоäèò â точку z = +1 íà âещестâенной

jw				jy
p-плоскость						z-плоскость
+j0,5wä				e	_	aT	1
0	a	_	1	0			1	x
_j0,5w
ä
	Ðèñ. 19.19

529

îñè z-плоскости, à точки ± j0,5ωä			â точку z = 1. Ýòî îçíà÷àåò,
что точки отрезкà (− j0,5ωä ÷ j0,5ωä ) ð-плоскости проектируются â
точки нà åäиничной окружности			z-плоскости. Тàê êàк функция
e ±jωT периоäическàя, то послеäующие отрезки оси jω						íà p-ïëîñ-
кости тàêîé æå äëèíû áóäóò âíîâь проектироâàòüñÿ íà åäиничную
окружность.
Òî÷êàì ëåâîé ð-полуплоскости соотâåòñòâуют точки âнутри еäè-
ничной окружности z-плоскости, à òî÷êàì ïðàâîé p-полуплос-
кости точки âне этой окружности.
Пример. Ðàссчитàåì z-преобрàçîâàíèå äискретноãî ñèãíàëà x(k), имеюще-
ãî âèä			k 0
		ì0,
		ï
		x ( k ) = í1, k = 1, 2, 3
		ï	k > 3.
		î0,
Воспользоâàâшись формулой (19.29), получим
	X ( z ) = z−1 + z−2 + z−3 =				z2 + z + 1.
					z3
Пример. Íàéäåì z-преобрàçîâàíèå X(z) äискретноãо экспоненциàëüíîãî
ñèãíàëà x(k) = e αkT.
Ïîäñòàâèì çíàчение x(k) â формулу (19.29), получим
	∞	∞			∞
	X ( z ) = å x ( k )	× z−k = å e−αkT × z−k = å ( e−α T × z−1 )k .
	k=0	k=0			k=0
Из теории ряäîâ ñëåäóåò, ÷òî ïðè âыполнении услоâèÿ | e αT× z 1 | < 1 ñóì-
ìà ðÿäà X(z) ðàâíà 1/(1 e αT× z 1 ) èëè
		X ( z ) =	z		.
			- e−αT
		z
Z-преобрàçîâàíèå X(z) äискретноãî ñèãíàëà x(k) îïðåäелено
только äëÿ îáëàñòè z, â которой степенной ряä (19.29) ñõîäèòñÿ.
Ýòà îáëàñòü ñõîäимости âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå çíàчения z, íàõîäÿ-
щиеся âне некотороãî êðóãà íà комплексной z-плоскости, рàäèóñ
		котороãî r0		íàçûâàåòñÿ ðàäиусом схоäè-
jy		мости (рис. 19.20), т.е. при r0 < | z | < ∞
		ðÿä ñõîäèòñÿ. Â îáëàñòè ñõîäимости
z-ïëîñ-	Область	сущестâóåò		âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîò-
кость	сходимости	âåòñòâèå ìåæäó X(z) è x(k), ò.å. êàæäî-
	r0	ìó x(k) ñîîòâåòñòâóåò îäíî				и только
	x	îäíî X(z), îïðåäеленное äëÿ				| z | > r0 è
		íàоборот.
		Пример. Îïðåäåëèì ðàäèóñ ñõîäимости äëÿ
Ðèñ. 19.20		z-преобрàçîâàíèÿ ñèãíàëà, çàäàííîãî â ïðåäû-
		äущем примере.
530