Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Это условие может быть удовлетворено только для значений

c −c		< δ(ω) ≡	2ω2	5 10−24	ω	2 .	(10.66)
			mπ2
π	p			ω0

Реакция (10.64), а также множественное рождение пионов, подавлена для всех энергий протонов, если cπ −cp > δ(ω) . В настоя-

щее время, в отсутствие детальных данных по космическим лучам и прецизионных проверок специальной теории относительности, вопрос об GZK-обрезании остается открытым: способны ли космические лучи с энергиями, выше обрезания, преодолевать космологические расстояния?

10.8.Барионная асимметрия Вселенной как результат нарушения лоренц-инвариантности?

Как известно, Вселенная содержит различное количество митерии и антиматерии. В космологии Большого Взрыва разность в плотностях барионов антибарионов составляет ~ 10–10 по отношению к плотности фотонов. Однако физика ранней Вселенной в термодинамическом равновесии предполагает барионную симметрию. Чтобы допустить динамическую генерацию барионной асимметрии (ВА) в симметричном сценарии, Сахаров сформулировал три необходимых условия: 1) существование взаимодействий, не сохраняющих барионное число; 2) нарушение С- и СР-симметрий (если считать сохраняющейся CPT, то это означает нарушение С- и Т-симметрий); 3) отклонение от термодинамического равновесия. Очевидно, что первое условие означает возможность рождения разного числа барионов и антибарионов в симметричных условиях,

в то время как эволюция от начального условия (В = 0) в состояние

сВ ≠ 0 связано с С- и СР-нарушениями. Третье же условие необходимо для того, чтобы формируемая асимметрия не была «размыта» химическим равновесием. В состоянии химического равновесия химические потенциалы частиц и античастиц обращаются в ноль (CPT-инвариантность), а средние значения плотности барионов и антибарионов равны их значениям в состоянии термодинамического равновесия. Стандартный вариант бариогенезиса согласуется с

431

фазой Большого объединения в космологии Большого взрыва, в течение которой процессы с нарушением барионного числа осуществляются путем обмена калибровочными бозонами с очень большой массой. Существуют, однако, и другие возможности генерации ВА в равновесной фазе Вселенной за счет CPT-нарушения во взаимодействиях, описывающих состояние ранней Вселенной.

Рассмотрим модель, описывающую равновесный бариогенезис и основанную на модификации закона дисперсии в лоренцнеинвариантных теориях. Действительно, если потребовать CPT- инвариантность, то в таких теориях связь между энергией и импульсом для частицы и античастицы будет отличаться. В результате даже в термодинамическом равновесии распределения барионов и антибарионов будут различными, стимулируя тем самым эффективный химический потенциал для них.

Как известно, лоренц-нарушение возникает в теориях Большого объединения, в струнных (бранных) теориях, в пространствах с нетривиальной топологией или с дискретной структурой на планковской длине, в теориях с некоммутативной геометрией и т.д. На возможное нарушение лоренц-инвариантности указывает наблюдение космических лучей с энергиями, выше GZK предела (≈ 4 1019 В). Наиболее важное следствие лоренц-нарушения (LV)

– модификация обычного закона дисперсии между энергией и импульсом E2 = p2 + m2 за счет добавления дополнительных слагае-

мых, которые исчезают в пределе малых импульсов. Естественное обобщение стандартного дисперсионного соотношения

p ≡ p ,

(10.67)

E2 = p2 + m2 + p2 f (P/M ),

где M >> m характеризует масштаб масс лоренц-нарушения. Рассматривая разложение функции f, ограничимся низшим порядком

	2		2	2		2		p n
E		= p		+ m	+ αp		f			,	(10.68)
							M

где α – безразмерная константа порядка единицы. При n = 1

432

E2 = p2 + m2 + α	p3	.	(10.69)
	M

К такому закону дисперсии приводит целый ряд теорий, основанных на LV. В этих теориях для пространственно-временных переменных предполагается алгебра Ли

[xi , t] = iλxi ; [xi , xk ] = 0 ,

(10.70)

т.е. только подгруппа лоренцевских сдвигов деформирована, а подгруппа пространственных вращений SO(3) остается неизменной.

Если λ – очень малая длина и рассматривать только члены O(λ2) , то

E2 = p2 + m2 −λEp2 .

(10.71)

Эта формула для ультрарелятивистского случая (p >> m) сводится к выражению

E2 = p2 + m2 −λp3 .

(10.72)

Заметим, что коммутатор неканонических некоммутативных теорий [xi ,t] = iλxi является нарушающим Т-инвариантность

T : [xi ,t] = iλxi →[xi ,−t] = iλxi ,	(10.73)
т.е. нарушающим одно из условий Сахарова.
При преобразованиях пространственной четности
P : [xi ,t] = iλxi →[−xi ,t] = iλ(−xi ) .	(10.74)

Если потребовать CPT-инвариантности, то Т-нарушение подразумевает С-неинвариантность, т.е. другое сахаровское условие. В результате можно ожидать изменения знака параметра λ при зарядовом сопряжении

C : [xi ,t] = iλxi →[xi ,−t] = i(−λ)xi .	(10.75)
Наконец, для преобразования CPT имеем
CPT : [xi ,t] = iλxi →[xi ,−t] = iλxi .	(10.76)

Отметим, что нарушение Т-симметрии связано с тем, что группа симметрии пространственных вращений сохраняется при лоренцевских нарушениях или деформациях.

Закон дисперсии (10.71) CPT-инвариантен из-за инверсии λ и энергии при С и Т преобразованиях. Далее будем основываться на законе дисперсии (10.71). На первом шаге рассмотрим кварк-

433

антикварковое море в ранней Вселенной при температуре T >> 1 ГэВ, когда нуклоны еще не сформировались. В этом случае средняя энергия и импульс кварка (антикварка) гораздо больше массы частицы, т.е. применимо ультрарелятивистское приближение. Поскольку λq ожидается очень малым, то в первом порядке по

этому параметру

E ≈ p −		1		λq p2 .				(10.77)
		2
Равновесная плотность для фермионов
n = g∫	d3 p				1		,	(10.78)
		3		e	E/T
	(2π)					+1

где g – число внутренних степеней свободы рассматриваемых частиц.

Таким образом, из (10.78) получаем оценку для плотности кварков

n = N

T3

∞ x2dx

≈ N

T3

∞

x2

1

+

λqT x2ex

dx =

q π2

∫ eε +1

q π2

2

ex

+1

q

∫ ex +1

0

0

(

)

(10.79)

3ζ(3)N T3

7π2 N

q

=

q

+

λ

T 4 ,

2π2

60

q

p

E

где Nq

– число кварковых ароматов,

x ≡

и ε =

, ζ – риманов-

T

T

ская дзета-функция.

Аналогично вычисляется плотность антикварков. Предполагается, что для античастиц закон дисперсии имеет вид (10.72), но с противоположным знаком для λq , находим

	nq − nq	≈	7π4	λ	T ≈12.6λ T .	(10.80)
	n		45ζ(3)
				q	q
	q

Барионная асимметрия обычно характеризуется в терминах отношения барион / энтропия nB / S . Если расширение изоэнтропийное

и в отсутствии В-несохраняющих взаимодействий, то это отношение остается постоянным при эволюции Вселенной. При очень большой температуре кварки и антикварки находятся в термодина-

434

мическом равновесии с фотонами, т.е. их плотности примерно одинаковы. Если записать энтропию плазмы как S = g*nγ , т.е. в терми-

нах эффективного числа степеней свободы

ратуре, то

nq

− nq

≈

nB

= g

nB

,

n

* 3s

q

3n

γ

поэтому окончательно имеем

7π4

n

B

≈

λ T .

15g ζ

(3)

s

q

*

g* при данной темпе-

(10.81)

(10.82)

Таким образом, кварк-антикварковая асимметрия уменьшается с уменьшением температуры, т.е. в процессе эволюции Вселенной. Результирующая асимметрия, однако, не «вымывается» другими эффектами, если предположить, что нет В или CPT-нарушающих взаимодействий. Ситуация изменяется, когда температура достигает значений ~ 200 МэВ, и имеет место кварк-адронный фазовый переход. Итак, при таком сценарии нуклоны начинают формироваться при начальной барионной асимметрии, «переносимой» кварками, но в течении короткого периода формирующиеся нейтроны и протоны достигают термодинамического равновесия с окружающей плазмой, т.е. величина ВА контролируется температурой плазмы. Этот период заканчивается при температуре Т ~ 1 МэВ, когда начинается нуклеосинтез легких элементов. С этого момента никакие равновесные условия, включая барионы, не меняются, поэтому значение ВА определяется нуклонантинуклонным соотношением. Чтобы определить это значение, заметим, что формирующиеся нуклоны имеют при Т ~ 1 МэВ нерелятивистские скорости, т.е. при p << m для нуклонов соотношение (10.71) дает

E ≈ Mn +

p2

,

(10.83)

Mn

2m

где m =

,

Mn – масса нуклона. Для антинуклонов следует

1

− λnMn

Mn

заменить m на m =

1− λnMn

.

435

Подставляя (10.83) в выражение (10.78), в лидирующем порядке получаем наблюдаемую асимметрию

nn − nn			m	3/2
nn	≈1	−			,	(10.84)
		m

которая не зависит от температуры нуклонной закалки (Т ~ 1 МэВ). Тогда отношение плотности барионов к энтропии

n

≈ (g )

−1

1

−λ

n

M

n

3/2

B

1

−

.

(10.85)

s

*

1

+ λnMn

Поскольку nB s ~ 10−10 , а g* (T ≈1 МэВ) ≈10 , то получаем ограничение на параметр лоренцевского нарушения

(λn )−1 ≈1019 эВ.

(10.86)

Таким образом, в рассматриваемом сценарии, малость ВА Вселенной связана с малостью нарушения лоренцевской симметрии. Ограничение (10.86) указывает на то, что явления нарушения лоренцевской инвариантности возникают при энергиях Е ≥ 1019 эВ (в районе GZK обрезания).

10.9. СРТ-нарушение в астрофизике и космологии

В 1905 году Эйнштейн ввел постулат о постоянстве скорости света в вакууме, основанный на отрицательном результате опытов Майкельсона и Морли. С тех пор ковариантность физических законов относительно лоренцевских преобразований в опытах на Земле и окружающем пространстве проверена с большой точностью. Современная версия опытов Майкельсона и Морли основана на сравнении частот резонансных полостей в двух ортогональных модах, вращающихся по отношению к системе отсчета космического микроволнового излучения (СМВ). Достигнутая точность (~10–7), однако, не означает, что специальная теория относительности не могла бы быть приближением физической реальности. Еще в середине ХХ века развитие релятивистской квантовой теории поля указало на логическую связь между лоренц-инвариантностью и дуальностью между материей и антиматерией. Это и не удивительно, по-

436

скольку существование антиматерии есть следствие релятивистской ковариантности уравнения Дирака. Паули ввел идею о том, что для каждого процесса в природе существует процесс, протекающий с той же вероятностью, в котором каждая частица заменена античастицей с противоположным спином и чья траектория получается отражением в пространстве и времени. Это выражение CPT-теоремы, которая включает в себя предположения о лоренцинвариантности, локальности, унитарности и правильном соотношении между спином и статистикой. Greenberg в 2002 году доказал и «обратную» CPT-теорему. Если при некоторых условиях CPT- инвариантность нарушена, то лоренц-инвариантность тоже будет нарушенной. В определенном смысле CPT-инвариантность более фундаментальна, чем лоренцевская инвариантность. Как будет видно ниже, можно модифицировать гамильтониан фундаментальных взаимодействий так, что будет нарушаться специальная теория относительности, но сохраняться инвариантность относительно CPT-преобразований. CPT-теорема указывает на возможную причину нарушения лоренц-инвариантности. В частности, условие локальности требует, чтобы пространственноподобные разделенные события не влияли друг на друга.

Существует, по крайней мере, три теоретические причины предполагать, что условие локальности не выполняется на произвольно малых расстояниях:

1) неизбежные сингулярности общей теории относительности (ОТО), создающие чрезвычайно сложную пространственновременную структуру на расстояниях порядка планковской длины

L	=	G	≈1 66 10−35 м. На этих масштабах пространство – время
Pl		c3

имеет «пенную» структуру, включающую рождение черных дыр и их испарения за время t ~ LPl c .

2) струнная М-теория является нелокальной теорией, в которой обычная концепция точечных компонент материи заменяется представлением о двумерных объектах с очень малыми (планковскими) размерами. Пространственно-временная структура струнной тео-

рии оказывается прерывистой на масштабе t x ≥ cl2	, где	l –
s		s
масштаб струны.

437

3) как известно, гравитон – одно из многих возбуждений струны, «живущее» в некотором фоновом метрическом пространстве. Существование такого фонового метрического пространства является необходимым элементом формулировки и интерпретации теории. В петлевой теории гравитации сделана попытка исключения этого фонового пространства-времени. В этой теории пространст- во-время имеет «полимерную» структуру с минимальной про-

странственной ячейкой, имеющей объем V ≈ L3Pl .

В любом случае, принцип неопределенности утверждает, что

для «разрешения» масштабов длины l необходимы энергии порядка
	l		(	l	)		G
Λ =	c	=		LPl		MPl , где MPl =	c	=1.22	1019 – планковская масса.

Наивные ожидания порядка величины для CPT нарушения из размерных соображений дают

H ≈	E2	(10.87)
	.

При низких энергиях гамильтониан по порядку величины равен массе частицы, поэтому CPT симметрия в лабораторных экспериментах может быть проверена путем измерения разности масс и других характеристик частиц и античастиц.

Астрофизические и космологические проверки CPT (лоренц)- инвариантности, рассматриваемые ниже, относятся к проверкам

физических законов на пространственных масштабах вплоть до

~1026 м.

10.9.1. Параметризация СРТ нарушений

Предположим, что CPT (лоренц)-нарушающий гамильтониан свободной частицы или поля может быть записан в виде: H = H free + H , где Н – малое возмущение стандартного гамиль-

тониана H free = p2 + m2 . Пусть
E2 − p2 − m2 = F(E, p) ,	(10.88)
где правая часть может быть разложена в ряд Тейлора
438

F(E, p) = F (1) pμ + F (2) pν pρ + F (3)			pδ pκ pλ +...	(10.89)
μ	νρ	δκλ

где pμ ={E, p} – 4-х импульс.

С феноменологической точки зрения нет причин ожидать, что коэффициенты в разложении (10.89) универсальны. Очевидно, что коэффициенты зависят от энергии, а при малых импульсах – зависят от масс. В общем случае, коэффициенты способны зависеть от всех квантовых чисел частицы (спина, аромата и т.д.). Только нечетные слагаемые в разложении (10.89) нарушают CPT (CPT – нечетные). Четные же члены сохраняют CPT (CPT – четные), поэтому получаем

		(n)			= (−1)n F (n)		,	(10.90)
F			...μ			...μ
	μ μ			n	μ μ		n
1 2					1 2

где F (n) – соответствующий коэффициент для свободной частицы. Нечетные слагаемые нарушают также Р и Т-четность. Это означает, что различаются правые и левые компоненты спиновой частицы, так как при Р и Т-преобразованиях 4-х импульс изменяет на-

правление, а спин – нет. Практически это означает, что

F (n)	...μ		= ηn		F (n)	...μ			,	(10.91)
μ μ		n			μ μ		n
1 2					1 2

где η = ± 1 – поляризационный индекс частицы, причем η = +1, если спин s ↑↑ p и η = −1, если s ↑↓ p . Этот эффект проявляется в

прецессии спина при распространении частицы в вакууме. Из размерных соображений:

Fk(1) pk

Fji(2) pi p j

Fqrs(3) pq pr ps

p

3

≈

≈

~ O

.

(10.92)

λ

Для n > 3

n

Fμ(nμ)

pμ1 pμ2 ...pμn

p

...μ

~ O

.

(10.93)

n

Λ

n−2

1 2

Таким образом, в лидирующем порядке нужно рассматривать первые три члена в разложении дисперсионного соотношения, поскольку они одного порядка.

439

10.9.2.Проверки, основанные на возможном существовании выделенного направления пространства – времени

Коэффициент при правом члене в правой части соотношения (10.89) представляет собой 4-х вектор с размерностью массы, определяющий выделенное направление в пространстве – времени. Он иногда называется членом Черна – Саймона. Дисперсионное соотношение для фотона можно записать, сохранив только член с выделенным направлением

ω = k 2 + 2ηγ ξ0ω−ξk ,

(10.94)

где учтено, что Fμ(1) ≡{ξ0/2 ,−ξ} .

Решая уравнение (10.94), получаем точную форму модифицированного дисперсионного отношения

ω = ηγξ0 ± k2 + η2γξ02 − 2ηγξk ≈ ±k + ηγ (ξ0 ± ξ cosθ) , (10.95)

где θ – угол между k и ξ . Двузначность ответа только кажущаяся, поскольку нижний знак имеет смысл только в случае k > 0, но тогда cos θ < 0. Поэтому физическое решение

ω ≈ k + ηγ (ξ0 ±	ξ	cosθ) .	(10.96)
Как отмечалось выше, поляризационный индекс			ηγ = +1 для

правой циркулярной поляризации и (–1) для противоположной поляризации, т.е. этот эффект может быть детектирован при распространении поляризованного излучения.

Линейно поляризованная волна представляет собой суперпозицию двух циркулярно-поляризованных волн

Ψ = Ψ0 {e−iα−iω+tε+ + eiα−iω−tε−} ,

(10.97)

где α – угол первоначальной поляризации. Очевидно, что угол поляризации как функция времени ведет себя следующим образом:

α(t) = α0 + (ω+ −ω−)t .

(10.98)

Тогда плоскость поляризации источника излучения с космологическим красным смещением z будет изменяться за счет вращения Земли на угол:

440