Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

z							dz
Δα = 2∫(ξ0	(z) −		ξ(z)		cosθ)			.	(10.99)
						(1	+ z)H (z)
0

Интересно, что это вращение не зависит от длины волны излучения.

Данные по 160 радиогалактикам с красным смещением 0.3 < z < < 2/12 позволили оценить

ξ0 = (0.8 ±1.0) 10−41h0 ГэВ,

(10.100)

ξ = (1.5 ±1.9) 10−41h0 ГэВ.

Другие данные ограничивают значения
ξ ≤ 2 10−14 ГэВ.	(10.101)

Этот предел означает, что член, «ответственный» за выделенное направление подавлен даже по отношению к размерным оценкам

( ω)2M p ~ 4 10−37 ГэВ.

10.9.3.Проверка СРТ-нечетных нарушений в данных по поляризации космического микроволнового излучения (CMBR)

Если пренебречь эффектами «выделенного направления» (которые, как мы видели, малы), то дисперсионное соотношение для фотона в лидирующем порядке запишется в виде

ω = k 2 + δ		k3	≈ k	1+ δ		k		,	(10.102)
	γ				γ
		M Pl
						2M Pl

где δγ – обезразмеренная величина CPT-нечетных лоренцевских

нарушений. Из дисперсионного соотношения получаем фазовую скорость света

	Cγ (ω,ηγ ) =	ω	+ ηγ	δγ ω		,	(10.103)
		k		M Pl 2

причем при ω << M Pl Cγ =1, как и должно быть. Тогда две цирку-

лярные поляризации фотона будут распространяться с разной фазовой скоростью

441

Δυ(ω) = Cγ (ω,+1) −Cγ (ω,−1) =	δγ	ω .	(10.104)
	M Pl

Как и в случае с рассмотренным выше «ориентированным» слагаемым, плоскость поляризации линейно поляризованной волны от источника с красным смещением z поворачивается на некоторый угол Δα, который можно получить, подставив в (10.99)

ω(z) = 2πλCγ (1+ z) ,

где λ – длина волны детектируемого фотона

		2π		z	δγ (z)
	Δα(z) =			λ−1∫		dz .
		M	Pl		H (z)
				0

По размерным соображениям, коэффициент δγ ~

(10.105)

(10.106)

ωΛ, т.е. угол

вращения зависит от длины волны по закону ~ λ−2 . Экспериментальные данные WMAP позволяют оценить

Δα = −6.2°±3.8 .

(10.107)

Вращение плоскости поляризации (10.106), усредненные по спек-

тру CMBR в предположении об эволюции δλ (z) = (δ1λ+(0z)) , дает

Δα	CPT	≈11.7°h−1δ	γ	.	(10.108)
		0

10.9.4.Проверка СРТ–нечетных нарушений по гамма–всплескам (GRB)

Неполяризованное излучение можно представить суперпозицией двух волн одинаковой амплитуды с противоположными циркулярными поляризациями. Групповая скорость фотона в вакууме в лидирующем порядке

V (ω,η		) =	∂ω	≈1+ η		δγ	ω.	(10.109)
			∂k
γ	γ				γ M p

Эта величина несколько отличается от выражения (10.103). Это создает задержку распространения t ~ Vγ (ω,+1) −Vγ (ω,−1) для ис-

точника с красным смещением z

442

		4π		z	δγ (z)
	t(z) ≈			λ−1∫		dz ,	(10.110)
		M	p		H (z)
				0

где опять предполагается, что δγ(z) = δγ(0) /(1+ z) . GRB можно ис-

пользовать для получения ограничений на вакуумное дисперсионное соотношение излучения. Но современные пределы, полученные этим методом, не чувствительны к планковскому масштабу. Действительно, из соотношения (10.110) следует, что продолжительность всплеска

	t(z =1) ≈ 22.7		ω		δ		h−1	мкс.	(10.111)
			200 кэВ			γ
							0

Наиболее короткое время всплеска из когда-либо детектируемых – GRB 920229 составляет τ = (220 ± 30) μс. С помощью (10.111) получаем ограничение δγ < (5 −6)h0 , а это означает, что

Λ> 0.2h0−1M Pl .

10.9.5.Проверка СРТ-нарушения по излучению крабовидной туманности

Дисперсионное соотношение заряженных частиц (электронов и протонов) в пространстве-времени изотропной вселенной можно записать в виде

E( p,θ

) =

m2 + 1

+ ε

p2 + η′

+ θ

η

p3

,

(10.112)

p M p

p

p

p

p

где εp , ηp и η′p

– обезразмеренные

коэффициенты,

которые

~ MΛPl . В этой формуле введено различие между с-четной частью

коэффициента при p3 ηp и его с-нечетной частью ηp . Из выра-

жения (10.112) очевидно, что максимально допустимая фазовая скорость частицы для E << M Pl

Cp ≈ 1+ εp ≠1.	(10.113)
443

В промежуточном ультрарелятивистском									режиме	m << E <<
<< M Pl предполагаем, что с – четный параметр η′p = 0 , т.е.
		m2					θpηp
E ≈ pCp 1	+					+			p .	(10.114)
			2		2		2
		2 p		c
							2M Plcp

Тогда групповая скорость де-бройлевской волны, ассоциированной с частицей

V (E,θp ) =

∂E

≈1

−

m2

+ θp

η

E .

(10.115)

∂p

2E2

M pc2p

Лоренц-фактор частицы

1

m2

ηp

−1/2

γ(E,θp ) =

≈

− 2θp

E .

(10.116)

E2

M pc2p

V 2

1−

c2p

Особенность этой формулы состоит в том, что для θp = +1 (правых

частиц) лоренц-фактор содержит расходимость, которая по– видимому, сокращается членами более высокого порядка. Для θp = −1 (левых частиц) лоренц-фактор имеет максимум при

E ≈14.7 / η1/3p ТэВ и γmax =1.7 107 /η1/3p .

Из приведенных выше формул следует несколько наблюдаемых модификаций процессов электромагнитного излучения.

Начнем с комптоновского рассеяния

e± + γ → e± + γ .

(10.117)

Рассмотрим это рассеяние в томпсоновском пределе ω′ ≈ ω и в системе покоя электрона (ω и ω′ – энергии фотона до и после рас-

сеяния). Чтобы найти эти энергии, заметим, что из (10.102) при наличии CPT (лоренц)-нарушений следует

ω2 − k2Cγ2 (ω,ηγ ) = 0

(10.118)

в любой инерциальной системе отсчета.

444

Cγ2 (ω′,ηγ ) −V 2

Тогда

	C	γ	−V cosθ		′		C2	−V 2 sin θ
ω′ = ω				; k′ =	ω	; tgθ′ =	γ		. (10.119)
			Cγ2 −V 2		Cγ′		Cγ cosθ−V

Поэтому энергии фотона до и после рассеяния в системе покоя электрона

ω = ωCγ (ω,ηγ ) −V cosθ, ω′ = ω′Cγ (ω,ηγ ) −V cosθ′. (10.120)

Cγ2 (ω,ηγ ) −V 2

Максимальная энергия рассеянного фотона в лабораторной системе

	ωmaxIC	≈ ω	Cγ (ω′) +V	(10.121)
			Cγ (ω) −V

стремится в лоренц-инвариантном пределе к хорошо известному стандартному выражению ωmaxIC = ωγ2 (1+β2 ) .

Практически обычно считается, что Ce =1 и используется приближение

	max	m2			θγ		θe	−1
	ωIC	≈ 4ω		+ ηγ		ω− 2ηe		E .	(10.122)
			E2		M		M Pl

Рассматривая магнитное поле как набор виртуальных фотонов со средней энергией ωB = eBm , на котором рассеиваются быстрые

электроны, можно эту технику применить к обратному комптоновскому рассеянию в присутствии лоренцовских нарушений. Тогда максимальная энергия синхротронного излучения из (10.122)

ωmax

≈ 4ω

m2

+ η

θγ

ω

− 2η

θe

E

−1

. (10.123)

B

2

γ

B

синх

E

M Pl

e

M Pl

В общем случае ωB << E , и можно пренебречь CPT-нечетными

нарушениями в распространении фотона. Кроме того, учтем ограничение (10.108) θγ < 0.14 (для h0 = 0.7) и пренебрежем величиной

≤ 2 10−33 в скобках выражения (10.123). Тогда (10.123) в точности совпадает с лоренц-фактором электрона в соотношении (10.116).

445

Как уже отмечалось выше, эта формула имеет особенность для левых частиц, но в обычных условиях электрон является смесью левых и правых компонент. Однако для безмассовой частицы спиральность – «хорошее» квантовое число, поэтому при E m электроны (позитроны), подобно нейтрино (антинейтрино) оказываются левыми (правыми) состояниями. Найдем максимум выражения

ωсинхmax =	eB m2					θ	−		−3/2
					+ 2	e		E	,	(10.124)
				2
			E			M Pl
	E

считая Е независимой переменной. Максимум достигается при

энергии электрона E =10 / θ1/3				ТэВ при		лоренц-факторе
γ(E) =1.58 107 / θ1/3 . Отсюда следует ограничение
θe− ≤	M Pl	0.35eB 3/2
					.	(10.125)
	m		mωmax
				синх

Крабовидная туманность – замечательная астрофизическая лаборатория для проверки такого типа СРТ-нечетных нарушений. Предполагая, что синхротронное излучение дает основной вклад в γ-спектр Крабовидной туманности вплоть до максимальной энергии ≈ 100 МэВ, получаем ограничение на СРТ-нечетный параметр нарушения

θe− ≤ 7 10	−8		ωсинхmax −3/2			B 3/2
							.	(10.126)
			100 МэВ			0.6mG

При получении соотношения (10.122) мы пренебрегли величиной εe . Заметим, что излучение Крабовидной туманности позволяет

получить строгое ограничение на СРТ-четные лоренцевские нарушения. Рассмотрим процесс рождения пары в вакууме

γ → e+ + e− .

(10.127)

Этот процесс подавлен лоренц-инвариантностью, поскольку сохранение 4-импульса подразумевает

ω2 − k2 = (E+2 − p+2 )+ 2(E+E− − p+ p− cosθ) +(E−2 − p−2 ), (10.128)

446

где левая часть должна быть равна нулю, а правая часть – больше

2m2. Если использовать дисперсионное соотношение (10.112), оставив только CPT-четный член, то соотношение (10.128) перепишется в виде

ω2 − k2 = 2m2 + εe (p+2 + p−2 )+ 2(E+E− − p+ p− cosθ) . (10.129)

Это соотношение справедливо, если ω = k и εe < 0. Таким обра-

зом, порог реакции (10.127) в присутствии CPT-четных лоренцовских нарушений

ω =	2me	.	(10.130)
	−εe

То, что из Крабовидной туманности наблюдается излучение с

Eγ >20 ТэВ, дает ограничение
	C −1		< 2.5 10−15 .	(10.131)
	e

Это значение сопоставимо с данными, полученными при регистрации γ-лучей от внегалактических источников.

10.10.Нарушение СРТ и лоренц-инвариантности в высокоэнергетических нейтрино

СРТ-инвариантность взаимосвязана с лоренц-инвариантностью, и неизвестно, являются ли эти симметрии ненарушенными при всех условиях, создаваемых Природой. Проверка сохранения этих симметрий требует как экстремально высоких энергий, так и очень больших пролетных расстояний. Обоим этим условиям удовлетворяет нейтринная астрономия. Действительно, большинство частиц не способно распространяться без каких-либо изменений на космологических масштабах. Частицы, которые рассеиваются на микроволновом излучении или других мишенях, не могут быть использованы в экспериментах с очень большой пролетной базой. Высокоэнергетические нейтрино могут распространяться на тысячи мегапарсек без потери энергии.

На больших расстояниях эффекты нарушения СРТ и лоренцевской симметрии могут вызывать модификацию стандартных ней-

447

тринных осцилляций. С использованием нейтринных телескопов становится возможным измерение отношений нейтринных ароматов от удаленных источников и получить ограничения на возможные эффекты нарушения CPT и лоренцевской инвариантности с гораздо лучшей точностью, чем в других экспериментах.

10.10.1. Стандартные нейтринные осцилляции

Обычно нейтрино идентифицируются по их аромату (е, μ, τ), а не по их массе. Нейтрино определенного аромата, однако, не является состоянием с определенной массой. Таким образом, состояние с определенным ароматом να оказывается линейной комбинаци-

ей массовых состояний

να = ∑Uαi		νi ,	(10.132)
i

где Uαi – компоненты унитарной лептонной матрицы смешивания.

В шредингеровском представлении временная эволюция собственных массовых состояний имеет вид

i	d		ν		(τ)	= m		ν		(τ) ,	(10.133)
	dτ			i		i			i
где τ – время в системе покоя,						mi – массовые собственные значе-

ния. С помощью соотношения (10.133) можно найти вероятность осцилляции из состояния να в состояние νβ

	P(να → νβ) = δαβ −
−∑R(Uα*jUβjUαiUβ*i )sin		m2ji	L		+		(10.134)
j>i		4E
+2∑F (Uα*jUβjUαiUβ*i )sin		m2ji		L		,
j>i			2E

где m2ji ≡ m2j − mi2 , Е – энергия нейтрино и L – пролетная база и

нейтрино предполагаются релятивистскими. Для трех ароматов майорановских нейтрино 3×3 матрица смешивания U =V M , где

448

				c12c13							s12c13			s13e−iδCP
				−c s s e−iδCP				c c		−s s s e−iδCP				s c
V = −s c															,
	12	23		12	23 13	−iδ		12 23			12	23 13	−iδ	23 13
	s s		−c c s e			CP		−c s	23		−s c s e		CP	c c
	12	23		12	23 13			12			12	23 13		23 13		(10.135)
							eiφ1		0		0
						M =
								0 eiφ2 0 .
								0	0		1

В этих матрицах cij и sij – косинусы и синусы углов смешивания θij , δCP – СР-нарушающая фаза и фазы в матрице М – майора-

новские фазы. Для дираковских нейтрино ситуация похожая, однако майорановские фазы могут быть «поглощены» фазами массовых состояний. Практически, в силу того, что угол смешивания θ23 мал, система включает только два сорта нейтрино. Тогда вероятность вакуумных осцилляций

P(να → νβ)

2

2

2

L

= sin

2θsin

1.27 m

,

(10.136)

E

где m2

измеряется в эВ2, L – в км, Е – в ГэВ. Обычно считается,

что θ12 и

m2 – «солнечные» осцилляционные параметры, описы-

21

вающие переходы ν

e

→ ν

μ,τ

, а θ23 и

m2

– атмосферные осцилля-

32

ционные параметры, описывающие переход νμ → ντ .

10.10.2. Осцилляции в веществе

Ситуация усложняется, если нейтрино проходят через плотную материю, например, через Солнце. В этом случае гамильтониан в массовом базисе уже не будет диагональным, в результате возникает энергетическая зависимость в углах смешивания. Рассмотрим для простоты систему из двух нейтрино. Тогда гамильтониан в массовом базисе

449

Hmi		1	m2		+ Acos2 θ	Asin θcosθ
	=			1		2		2		,	(10.137)
				Asin θcosθ			+ Asin
		2E				m2			θ

где	величина	А	учитывает			эффекты,		вносимые			веществом:
A = 2 2EGF Ne ,		GF	– фермиевская константа,							Ne – электронная
плотность. Тогда вероятность осцилляции
		P(να → νβ) = sin2 2θm sin2 [ΩM L] ,									(10.138)
где			sin 2θm =			m2 sin 2θ					(10.139)
						4E ΩM
			m2		A		2		2
и	ΩM =					−cos2θ		+ sin		2θ .	(10.140)
			4E		m2

10.10.3.Феноменология нейтринных осцилляций в присутствии СРТ и лоренцевских нарушений

1. Нейтринные осцилляции и эффекты нарушения лоренцевской инвариантности.

Как уже отмечалось, нарушение лоренцевской инвариантности приводит к модификации дисперсионных соотношений (MDR). В лидирующем порядке по планковской массе MPl закон дисперсии

можно записать в виде

E	2	= p	2	+ m	2	+ ηp	2		E	α
											,	(10.141)
									M Pl

где Е – энергия нейтрино, р – импульс, m – массовое собственное значение, η, α – параметры нарушения лоренц-инвариантности. Предполагая, что параметр η не является универсальной величиной и зависит от массового собственного состояния, запишем гамильтониан для двух нейтрино в массовом базисе

m2				η Eα+1
	1	+		1				0
	2E		2								,	(10.142)
H =						m2		η	Eα+1
			0			2	+	2
						2E			2
			450