Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

где пренебрежено кинетическим слагаемым и отождествлен импульс р с Е, поскольку массовые собственные состояния и нарушающие лоренц-инвариантность члены гораздо меньше импульса нейтрино. Для простоты рассмотрения планковская масса включена в определение η. С гамильтонианом (10.142) вероятность осцилляции нейтрино

P

ν

→ ν

= sin2

2θsin2

m2L

+

ηEnL

,

(10.143)

α

β

4E

4

где n = α+1, Δη – разность между двумя значениями η. Если эффекты нарушения лоренц-инвариантности отсутствуют, то получается стандартная формула (10.136) для вероятности осцилляций. Мы предполагали, что параметр η имеет зависимость от массы собственного состояния. Если это не так, то вероятность осцилляции остается неизменной, даже если лоренц-инвариантность нарушена. Предполагая, что эффекты нарушения присутствуют в атмосферных осцилляциях нейтрино, получаем, что эти эффекты становятся существенными, если

1.27	m2L	~ 1.27 1027	ηE2L ,	(10.144)
	E

где мы для простоты положили α = 1. Таким образом

	η ~	m2	~ 10−30	эВ−1	(10.145)
		E21027

для характерных значений m2 и Е = 1 ГэВ, соответствующего пику потока атмосферных нейтрино.

10.10.4.Нейтринные осцилляции и расширения стандартной модели (СМР)

Расширения стандартной модели хотелось бы рассматривать как низкоэнергетическую феноменологическую модель теории струн. Эффективный СМР-гамильтониан, описывающий распространение нейтринного аромата, записывается в виде

H эф =

p

δ

+

1

m2

+ 2(aμ p

− (C

)μν p p

, (10.146)

αβ

αβ

2

p

L μ

L

μ

ν

αβ

451

где m относится к стандартной массе нейтрино; α, β – индексы ароматов, aL и CL – коэффициенты, характеризующие нарушение

лоренцевской и СРТ-инвариантности. Основное отличие между этой моделью и рассмотренной выше состоит в том, что гамильтониан не является диагональным. В случае двух нейтрино будем предполагать, что гамильтониан в массовом базисе имеет вид

m2

1

a1 −ia2

H

2E

,

(10.147)

эф

=

m2

a

+ia

2

2

2E

1

где a1 и a2 – вещественные недиагональные лоренц-нарушающие

параметры (они не зависят от параметров а в соотношении

(10.146)).

Для расчета вероятности будем использовать формализм матрицы плотности. Перепишем гамильтониан в терминах матриц Паули

		0		−	m2	−a2
					4E
		m2
h = −2					0	a		,	(10.148)
ij		4E				1
		a	2		−a	0
					1

где для простоты опущены нулевые компоненты, поскольку они тождественно равны нулю. Эта матрица имеет собственные значе-

	ния	λ	i	, задаваемые набором								{±iΩ,0} ,			где	Ω =	ω2 + a2			+ a2	и
																			1	2
	ω =	m2			. Матрица (10.148) диагонализируется с помощью уни-
		4E
	тарной матрицы
								ωa		−ia	Ω	ωa	+ ia	Ω −a 2a2			+ a2
						1		1		2		1	2		1	1	2
	U =							ωa		+ ia Ω		ωa	−ia Ω		−a	2a2	+ a2		. (10.149)
			2a2
						+ 2a2Ω			2	1		2	1		2	1	2
					1	2		a2		+ a2		a2	+ a2		ω 2a2 + a2
								1		2		1	2			1	2

452

Тогда компоненты матрицы плотности
ρi (L) = ∑Uijeλ jLU −jk1ρk (0) ,	(10.150)
j,k
где Uij – компоненты матрицы (10.149), ρ(0)	– начальная матрица

плотности.

Предполагая, что имеется мюонное нейтрино, осциллирующее в τ-нейтрино, находим вероятность осцилляции

P = tr ρ

μ

(L)ρ

τ

(0) ,

причем

cos2 θ

sin θ cosθ

,

ρμ(0) =

sin2 θ

sin θ cosθ

sin2 θ

−sin θ cosθ

ρτ(0) =

cos2 θ

.

−sin θ cosθ

Таким образом, вероятность осцилляции:

P ν

μ

→ ν

τ

=

1

[cos2 2θ

1−

ω2

−

a

2

cos(2ΩL) +

2

Ω2

Ω2

a2

(ω2 + a22 )

+sin2 2θ 1−

1

−

2

cos(2ΩL)

−

Ω

2

Ω

1

4ωq1

2

−

sin 4θ

−

sin

(ΩL) ],

2

Ω

2

(10.151)

(10.152)

(10.153)

причем a = a1 + ia2 . По аналогии с диагональным случаем, лоренцнарушающий параметр а может зависеть от энергии нейтрино. Для

исследования этой энергетической зависимости заменим a → aEn , где n – дополнительный параметр теории. Интересно отметить, что если в соотношении (10.147) заметить

m2	→ m2	+ Acos2 θ,			m2	→ m2		+ Asin2	θ,
1	1				2		2		(10.154)
	a →		A	sin θcosθ,		a	2	= 0,
	1		2E
					453

то возникают лоренц-инвариантные эффекты вещества, уже описанные выше.

Если бы мы хотели включить недиагональные лоренцнарушающие эффекты для случая трех нейтрино, то ситуация оказалась бы очень трудной, так как возникло бы три угла смешивания, три разности масс и три лоренц-нарушающих параметра. Для исследования проявлений эффектов нарушения лоренцинвариантности рассмотрим только лидирующее приближение по параметрам нарушения. В стандартном случае временная эволюция матрицы плотности задается уравнением

	dρ	= Bρ,	(10.155)
	dt

где В – гамильтониан в базисе Паули. Рассмотрим поправки к матрице плотности и матрице В

ρ → ρ0 + δρ1, B → B + δC ,

(10.156)

где величина δ учитывает эффекты нарушения лоренцинвариантности. Подставив (10.156) в (10.155) и приравняв соответствующие коэффициенты, получим

δρ1 = Bδρ1 + δCρ0 .

(10.157)

Определяя векторы x и y

ρ0 = Ux, δρ1 = Uy ,

(10.158)

где компоненты ρ векторов являются компонентами матрицы плотности и унитарной матрицы, диагонализирующей В. Тогда соотношение (10.157) переписывается в виде

y −U −1BUy =U −1δCUx .

(10.159)

Так как U, B, δ C – известны, то можно найти x и решить уравнение (10.159) относительно возмущений матрицы плотности. После этого находятся и вероятности осцилляций. Выражения для вероятностей осцилляций очень сильно упрощаются, если предполагать очень большую пролетную базу. Считая параметр нарушения лоренцинвариантности а вещественным, получаем для вероятностей осцилляций

454

P(νe → νe ) = 0.564 − 4.39 109n+12 aEn+1, P(νe → νμ) = 0.264 +1.54 109n+12 aEn+1,

P(νe → ντ) = 0.180 + 2 : 93 109n+12 aEn+1, (10.160) P(νμ → νμ ) = 0.365 −1.30 109n+12 aEn+1,

P(νμ → ντ) = 0.367 −1.16 109n+12 aEn+1, P(ντ → ντ) = 0.449 −1.56 109n+12 aEn+1.

С помощью этих выражений можно найти соотношения, описывающие поток нейтрино от астрофизических источников. Если предположить, что рождаются только электронные и мюонные нейтрино, то начальный поток параметризуют в виде

ε [0,1] , а

φe

= εφtof

,

φμ = (1− ε)φtot ,

(10.161)

где

φtot

– полный

поток. В терминах вероятностей

(10.160) состав нейтринных ароматов в детекторе

Rν

=(P(νe → νe )φν

+ P(νμ → νe )φν

+ P(ντ → νe )φν

τ

) / φtot ,

e

e

μ

Rν

=(P(νe → νμ)φν

+ P(νμ → νμ)φν

+ P(ντ → νμ)φν

) / φtot ,

(10.162)

μ

e

μ

τ

Rν

τ

=(P(νe → ντ)φν

+ P(νμ → ντ)φν

+ P(ντ → ντ)φν

τ

) / φtot .

e

μ

Численные значения

R = 0.264 + 0.300ε− aEn+1

[0.593ε−0.154] 109n+13,

νe

R

= 0.365 −0.101ε+ aEn+1

[0.167ε−0.013] 109n+13,

(10.163)

νμ

R = 0.367 −0.187ε+ aEn+1

[0.409ε−0.116] 109n+13.

ν

τ

а

Rνe : Rνμ : Rντ ≈

В

пределе

больших

эти

отношения

≈ 0.42 : 0.57 : 0.013 для ε =1/ 3

и

Rνe : Rνμ : Rντ ≈ 0.70 : 0.27 : 0.027

для ε =1.

Численные

оценки

показывают, что

переход меж

ду стандартной феноменологией осцилляций и феноменологией с достаточно большими значениями а довольно резкий. Если вы-

455

брать a = M Pl−1 (n = 1) или a = M Pl−2 (n = 2), то пороги для этих эффектов составляют ~ 1 ТэВ и 103 ТэВ.

10.10.5.Квантовая декогерентность в нейтринных осцилляциях

Вернемся к нарушению CPT в отсутствии лоренц-нарушений и рассмотрим влияние квантовой декогерентности на нейтринные осцилляции. Как уже обсуждалось, квантовая декогерентность приводит к изменению характера эволюции матрицы плотности

	dρ	= −i[H ,ρ]+ δHρ,	(10.164)
	dt

где δH возникает за счет потери когерентности. Рассматривая два сорта нейтрино и записывая уравнение (10.164) в базисе матриц Паули, находим уравнение временной эволюции матрицы плотности

	dρμ	= (hμν + hμν′)ρν ,	(10.165)
	dt

где h характеризует стандартные осцилляции, а h′ – эффекты декогерентности. Удобно h′ параметризовать в виде

0		0	0	0
	0	a	b	d		(10.166)
h′ = −2	0	b	α	β	,
	0	d	β	δ

причем первая строка и первый столбец содержат только нули в силу сохранения вероятности и второго закона термодинамики. Можно ввести ограничение на теорию, если предположить сохранение энергии в нейтринной системе. Для этого следует положить параметры d, β, δ равными нулю. Однако не ясно, нужно ли для этих целей привлекать гравитацию, поэтому необходимо рассматривать возможность ненулевых значений этих параметров. С помощью (10.165) и (10.166) получаем уравнения

456

					ρ0 = 0,
ρ1 = −2aρ1			− 2			−	m2		ρ2	− 2dρ3,
					b		4E
										(10.167)
				m2
ρ2	= −2						ρ1 − 2αρ2 − 2βρ3,
		b +		4E

ρ3 = −2dρ1 − 2βρ2 − 2δρ3.

Чтобы найти вероятности осцилляций, надо решить эти уравнения при определенных начальных условиях. Рассмотрим эти решения в двух предельных случаях. Первый случай – параметры d и β равны нулю. Второй – все параметры декогерентности, за исключением d, равны нулю. В первом случае вероятность осцилляции

		(		α		β)		1					(				)
	P		ν		→ ν		=		cos2 2θ 1−e−2δL									+sin2 2θ×
								2
																						(10.168)
											m	2			1				2		1 2
	−e−(a+α)L cos															(α− a)
× 1								2L			4E			−						−b2		.
															4

Если учесть условие положительности, то найдем простейшее расширение стандартных нейтринных осцилляций, вызванное декогерентностью. В этом случае a = α, а все другие параметры равны нулю.

Если же все коэффициенты, кроме d, равны нулю, то вероятность осцилляции

1

2

P(να

→ νβ) =

{cos2 2θ 1−

ω

cos(2Ωd L)

+

Ωd2

2

(10.169)

+sin2 2θ 1

− d 2 −ω2 cos(2Ω

L)

d

d

+sin 4θ

sin (2Ω

d

L)},

Ωd2

Ωd

m2 .

где Ωd = ω2 + d 2 и ω =

4E

Завершая обсуждение CPT и лоренцевких нарушений в нейтринной физике, сделаем следующие выводы.

457

1. Отношения нейтрино различных ароматов.

Чтобы попытаться обнаружить проявления CPT и лоренцнарушений в нейтринном секторе, сначала надо понять, что предсказывает «обычная» физика в отсутствие CPT и лоренцнарушений. Для начального отношения нейтрино различных ароматов, возникающих в распаде π – имеем νe : νμ : ντ =13: 23: 0 .

После осцилляций на очень большой пролетной базе (характерной для нейтринной астрономии) отношения становятся следующими νe : νμ : ντ = 0.36 : 0.33: 0.30 . Антинейтрино же, возникающие от

распада нейтрона дают νe : νμ : ντ =1: 0 : 0 . Вследствие осцилляций, эти отношения трансформируются в νe : νμ : ντ = 0.56 : 0.26 : 0.18 .

Эти отношения могут измениться очень значительно, если присутствуют эффекты CPT и лоренц-нарушений. В случае лоренцнарушений, отношения нейтринных ароматов от распада π-мезона модифицируются следующим образом: νe : νμ : ντ =13: 23: 0 →

→ 0.42 : 0.57 : 0.013. Отношение же нейтринных ароматов от распада нейтрона νe : νμ : ντ =1: 0 : 0 трансформируется в отношение

νe : νμ : ντ = 0.70 : 0.27 : 0.027 . В случае квантовой декогерентности

все отношения, независимо от источника нейтрино, сдвигаются к отношению νe : νμ : ντ =13:13:13 .

2. Лоренцевские нарушения.

Эти нарушения имеют два проявления в отношениях различных ароматов. Если нейтрино генерируется за счет распада π-мезонов, то усиливается доля мюонных нейтрино. Кроме того, независимо от механизма генерации нейтрино, очень мала доля τ-нейтрино. Если эффекты нарушения лоренц-инвариантности рассматриваются в нейтрино от распада π-мезонов, то нейтринный поток примерно на 60% состоит из мюонных нейтрино.

3. Квантовая декогерентность Квантовая декогерентность в космических нейтрино приводит к

равной доле нейтрино каждого аромата. Так как для нейтрино от распада π-мезонов это соотношение генерируется после осцилля-

458

ций и в отсутствие квантовой декогерентности, то эти нейтрино оказываются в это отношении не слишком информативными. Потенциально этот эффект декогерентности мог бы наблюдаться для нейтрино, возникающих от распада нейтрона.

10.11.CPT и лоренц-инвариантность в системах мезонов

Выше уже говорилось о том, что сравнение свойств материи и антиматерии очень информативно, поскольку CPT связывает частицы и античастицы. Эта идея допускает проверку в системе мезонов.

Как известно, осцилляции нейтральных мезонов определяются разностью энергий между мезоном и антимезоном. Хотя расширения СМР содержат одинаковый массовый параметр для кварков и антикварков, на эти частицы по-разному влияет нарушающий CP и лоренц-инвариантность фон. Поэтому дисперсионные соотношения для мезонов и антимезонов оказываются различными, т.е. мезоны и антимезоны имеют отличающиеся энергии. Это явление, в принципе, наблюдаемо с помощью интерферометрических методов.

Любое состояние нейтральных мезонов является линейной комбинацией шредингеровских волновых функций мезона p0 и анти-

мезона p0 . Если это состояние рассматривать как двухкомпонентный объект ψ(t) , то его временная эволюция определяется 2×2 эффективным гамильтонианом Λ: i∂tψ = Λψ. Хотя эффективный га-

мильтониан Λ различен для каждой системы нейтральных мезонов, для простоты мы ограничимся одним символом. Собственные состояния pa и pb гамильтониана Λ соответствуют распростра-

няющимся физическим состояниям системы нейтральных мезонов. Они проявляют обычную временную эволюцию

pa (t)	= exp(−iλat)				pa	,
pb (t)	= exp(−iλbt)				pb	(10.170)
						,
	459

где комплексные параметры λa и λb являются собственными зна-

чениями гамильтониана Λ. Эти параметры можно записать в терминах физических масс ma , mb и скоростей распада γa , γb рас-

пространяющихся частиц

λ

= m

−

1 iγ

,

λ

= m

−

1 iγ

.

(10.171)

a

a

2

a

b

b

2

b

В целях удобства обычно работают в терминах суммы и разности собственных значений

	λ ≡ λa + λb = m −		1	iγ,
		2			(10.172)
	λ ≡ λa − λb = − m − 1 i γ,
		2
	где использованы обозначения	m = ma + mb ,			m = mb − ma ,

γ = γa + γb и γ = γa − γb . Эффективный гамильтониан Λ является

комплексной 2×2-матрицей, и поэтому для рассматриваемой системы нейтральных мезонов содержит восемь вещественных параметров. Четыре из них соответствуют двум массам и двум скоростям распада. Среди оставшихся четырех параметров можно выделить три параметра, определяющие масштаб косвенного нарушения CP в системе нейтральных мезонов, и одну ненаблюдаемую фазу. Косвенное нарушение CPT в этой системе происходит только в том случае, если разность Λ = Λ11 − Λ22 двух диагональных эле-

ментов отлична от нуля. Таким образом, гамильтониан Λ содержит два вещественных параметра CPT нарушения. С другой стороны, косвенное нарушение T-инвариантности происходит только тогда, когда отношение Λ21 Λ12 недиагональных элементов отлично от

единицы. Эффективный гамильтониан содержит один вещественный параметр T-нарушения. Для гамильтониана Λ возможны различные параметризации. Очевидно, что для тяжелых мезонных систем D, Bd, Bs гораздо меньше известно о CPT и T-нарушениях, чем для K-систем. Поэтому желательно выбрать параметризацию эффективного гамильтониана, которая была бы модельнонезависимой и пригодной для любой величины нарушений CPT и T-симметрий. Такая параметризация возможна, если записать два

460