Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

диагональных элемента Λ как сумму и разность двух комплексных чисел, а два недиагональных элемента – как произведение и отношение комплексных чисел

Λ =	1	U + ζ		VW −1	(10.173)
	2	λ	VW	.
				U −ζ
В этом определении U, V,			W, ζ	– безразмерные комплексные

числа. Условия равенства следа trΛ = λ и det Λ = λaλb фиксируют комплексные параметры U и V

U = λ λ, V = 1−ζ2 .	(10.174)
Таким образом, CPT и T-свойства эффективного гамильтониана
(10.173) определяются комплексными числами	W = ωexp(iω) и

ζ = Reζ+iImζ. Из четырех вещественных компонент фазы ω и W – физически не наблюдаемы. Три оставшиеся компоненты – физические, причем Reζ и Imζ описывают CPT-нарушение, а ω = W –

T-нарушение. При этом они связаны с компонентами Λ следующим образом:

ζ = Λ λ, ω =		Λ21 Λ12		.	(10.175)
CPT-сохранение подразумевает
	Reζ = Imζ = 0 ,				а T-сохранение
требует ω =1. Заметим, что ωζ –	формализм, рассмотренный вы-

ше, можно связать с другими используемыми в литературе подходами, если принять определенные фазовые условия и учесть малость CP-нарушения. Например, в K-системах широко используется формализм, включающий εk и δk и применимый при малости

CPT и T-нарушения. При этих предположениях εk 2δk .

До сих пор мы обсуждали феноменологическое описание осцилляций нейтральных мезонов с точки зрения CPT нарушения. Обсудим теперь, как феноменологические параметры CPT- нарушения связаны с коэффициентами СМР. Поскольку минимальное СМР является релятивистской унитарной квантовой теорией поля, то это расширение удовлетворяет «анти-CPT теореме» Гринберга: CPT нарушение должно сопровождаться нарушением лоренц-инвариантности. Таким образом, даже не проводя никаких

461

вычислений, мы можем заключить, что δk , например, не может

быть константой.

Лидирующие CPT-нарушающие вклады в Λ можно вычислить по теории возмущений, используя коэффициенты CPT и лоренцнарушения, появляющиеся в СМР. Чтобы определить соотношение

для параметра εk 2δk , нужно найти разность	Λ = Λ11 − Λ22 диа-
гональных элементов Λ. В SME
Λ βμ a ,	(10.176)
μ

где βμ = γ(1, β) – 4-скорость мезонного состояния в системе покоя

наблюдателя. В (10.176) введено определение	a	= r	aq1	− r		aq2	,
	μ	q	μ	q	2	μ
		1

где aμq1 и aμq2 – коэффициенты CPT и лоренц-нарушения для двух

валентных кварков в p0 -мезоне. Эти коэффициенты имеют размерность массы в первой степени и они возникают за счет членов в лагранжиане – aμq qγμq , где q – обозначает кварковый аромат. Ве-

личины же rq1 , rq2 характеризуют нормировку волновой функции,

описывающей связанное состояние кварка и антикварка. Следствием нарушения CPT и лоренц-инвариантности является

зависимость наблюдаемых от 4-скорости и, следовательно, от 4-импульса. Стандартное предположение о постоянстве параметра ζ для CPT-нарушения при весьма общих условиях унитарной

квантовой теории поля оказывается несправедливым. В частности, присутствие 4-скорости в (10.176) подразумевает, что CPT наблюдаемые будут изменяться с величиной и ориентацией импульса мезона. Это имеет очень важное значение для экспериментальных исследований.

Отметим, что зависимость от 4-импульса способна вызывать временные вариации некоторых CPT наблюдаемых: вектор a постоянен, Земля же вращается в экваториальной плоскости. Поскольку при выводе (10.176) использована лабораторная система координат, которая испытывает вращение, то наблюдаемые могут

462

испытывать временные вариации. Это явление можно проиллюстрировать с помощью рис. 10.1.

Рис. 10.1

Наблюдаемые, пропорциональные (a p) , будут иметь временные вариации (рис. 10.2).

Рис. 10.2

Чтобы обнаружить временную вариацию, преобразуем выражение (10.176) для ΔΛ из лабораторной системы координат в невращающуюся систему. Для этого обозначим пространственный базис лабораторной системы через (xˆ, yˆ, zˆ) , а невращающейся системы –

ˆ ˆ	ˆ	ˆ
через (X , Y	, Z ). Далее, пусть в невращающейся системе ось	Z

выстроена вдоль оси вращения Земли. Для наблюдателя временных

вариаций необходимо, чтобы	ˆ	≠ 0 . Но ось zˆ прецессиру-
	cos χ = zZˆ

ˆ

ет вокруг Z с частотой Ω. При этом любой коэффициент a лоренцевского нарушения с компонентами в лабораторной системе ко-

ординат (a1, a2 , a3 ) имеет в невращающейся системе компоненты

463

(aX , aY , aZ ) . Преобразование между этими компонентами опреде-

ляет временную зависимость a , следовательно, и временные вариации ΔΛ .Таким способом можно получить зависимость от импульса и времени CPT-нарушающего параметра ζ . Для этого опре-

делим углы θ и φ – полярные координаты относительно оси zˆ в лабораторной системе. В общем случае, лабораторную 3-скорость

мезона p можно записать в следующей форме					β = β(sin θcosφ,
sin θsin φ, cosθ) . Тогда модуль импульса
p =		p		= βmp γ( p) ,	(10.177)

где γ( p) = 1+ p2 . m2p

Втерминах этих величин

ζ≡ ζ(tˆ, p) ≡ ζ(tˆ, p, θ, φ) =

	=	γ( p)	(	a +β	a	z	(cosθcos χ −sin θcosφsin χ) +
		λ		0				(10.178)
+β(	aY (cosθsin χ +sin θcosφcos χ) −							ax sin θsin φ)sin Ωt +
+β(	aX (cosθsin χ +sin θcosφcos χ) +							aY sin θsin φ)cosΩt).

Экспериментальная задача заключается в измерении четырех независимых коэффициентов aμ CPT-нарушения в квантовой

теории поля. Заметим, что для каждой системы нейтральных мезонов эти коэффициенты могут отличаться. Для полного изучения CPT-нарушения требуется четыре независимых измерения для каждой системы мезонов.

Как было показано выше, ключевым моментом при изучении CPT нарушения является величина импульса мезона и его ориента-

ция относительно CPT и лоренц-нарушающего коэффициента aμ. Ориентация же зависит от условий эксперимента, поэтому разные

эксперименты чувствительны к различным комбинациям aμ компонент. Важным параметром оказывается направление пучка, который обычно фиксирован. Поскольку Земля, т.е. лабораторная

464

система, вращается по отношению к aμ , то направление пучка

относительно aμ зависит от даты наблюдения и времени суток. В экспериментах при высоких энергиях с фиксированной мише-

нью импульсы рожденных мезонов выстроены в направлении пучка. В этих экспериментах рождаются некоррелированные мезоны, и

это	упрощает	их дальнейший	анализ. В этом	случае
βμ	aμ = (β0 a0 −	a11β11 )−( a β ),	где параллельные ( )	и пер-

пендикулярные ( ) направления отсчитываются относительно оси вращения Земли. Согласно соотношению (10.178), в принципе,

можно определить все четыре компоненты aμ : перпендикулярные компоненты – посредством измерения временных вариаций; другие же компоненты – путем измерения их зависимости от вели-

чины импульса. Однако при высоких энергиях изменение β с энергией очень слабое, и это приводит к трудностям разделении компонент a0 и a .

Эти идеи были использованы при проведении экспериментов с K и D-мезонами. Для K-мезонов было проведено два независимых эксперимента по поиску различных комбинаций коэффициентов

aμ . Один из этих экспериментов ограничил линейную комбина-

цию a и	a	Z	на уровне 10-20	ГэВ, а линейную комбинацию	a	X
0

иaY – на уровне 10-21 ГэВ. Эти эксперименты проведены на ме-

зонах, сколлимированных в лабораторной системе. В этом случае величина ζ упрощается, поскольку 3-скорость имеет вид

β = (0, 0, β) .

Для D-мезонов в эксперименте FOCUS получены два независимых ограничения. Линейная комбинация a0 и aZ ограничена на уровне 10–16 ГэВ, а для aY получено ограничение 10–16 ГэВ.

CPT-измерения возможны и для коррелированных мезонных пар на симметричных коллайдерах. Эти эксперименты (KLOE и KLOE-II) проведены в лаборатории Фраскати (Италия), и они по своей сути заметно отличаются от экспериментов с фиксированной

465

мишенью. В частности, в этих экспериментах не важна энергетическая зависимость. Действительно, каонные пары рождаются при распаде φ-мезона. На пороге рождения образуются моноэнергетические каоны. При этом широкое угловое распределение каонов в лабораторной системе требует точного определения угловых характеристик каонов для реконструкции направления βμ по отно-

шению к aμ . Кроме того, дают дополнительную информацию корреляции мезонных пар.

Эти две особенности позволяют извлечь независимые ограничения на четыре компоненты aμ . Рассмотрим φ-состояние J PC =1−− , распадающееся в момент времени t на коррелированную

K K пару. При этом один из каонов распадается в момент времени t + t1 на состояние f1, а другой в момент времени t + t2 – на состояние f2. Тогда для скорости двойного распада имеем

ˆ

2

η

2 e− γ t 2 +

η

2 e γ t 2

−

R12 ( p, t, t , t) =

−γt

2

1

2

N

e

(

)

.

(10.179)

−2

η η

cos

m

t + φ

2

1

В

этом

соотношении

ηα

обозначает

отношение

амплитуд

A(KL → fα)

ˆ

A(KS → fα)

, N

–

нормировочный фактор,

содержащий отноше-

ние

A(KL → f1 )

A(KS → f2 ) . В выражении (10.179), также введе-

ны определения

= t1 + t2 ,

t = t2 −t1 ,

γ = γS + γL ,

γ = γL − γS и

t

φ = φ1 −φ2 . Амплитуды A(KL S → fα)

могут зависеть от импуль-

са

p1 = −p2 ≡ p

и

времени

t. Очевидно,

что эффекты CPT-

ˆ

нарушения R12 ( p, t, t ,

t) содержатся в величинах ηα ,

N .

Детальное изучение CPT-сигналов в экспериментах на симметричных коллайдерах с коррелированными каонами требует анализа соотношения (10.179) для различных конечных состояний.

Рассмотрим пример двойных полулептонных распадов коррелированных каонных пар на симметричном коллайдере. Предполагая

466

правило S = Q ,		можно показать,			что скорость распада R + −
пропорциональна выражению, зависящему от отношения
	η +		1−	4Re(isin ϕˆ eiϕˆ )		γ	( p)		a .		(10.180)
	η −			m					0
В этом выражении величину φ = tg						−1	2		m		называют супер-
									γ

слабым углом. Отметим отсутствие угловых и временных зависимостей в выражении (10.180). Это следствие симметричности кол-

лайдера, для которого β1 a = −β2 a . В форме (10.180) для любого R + − угловая зависимость и зависимость от импульса входит лишь

через общий фактор		ˆ		2	. Очень важно измерить этот нормиро-
		Nη −

вочный фактор экспериментально.

Кроме двойного полулептонного канала, существуют и другие возможности для двух каонов. Среди них – смешанные двойные распады, для которых только один из двух каонов имеет ζk – чув-

ствительную моду. Для таких асимметричных распадных продуктов уже не происходит сокращение пространственных вкладов

aμ , поэтому возможны независимые ограничения на три компоненты. В качестве примера рассмотрим детектор, аксептанс которого не зависит от азимутального угла φ. Распределение мезонов от распада кваркония симметрично по φ, поэтому зависимость ζk от

φ-усредненных данных определяется выражением

δkav (		p		, θ, t) ≡		1	2πdφζk ( p, t) =		i sin ϕˆ eiϕˆ	γ[ a0 +
					2π				m
							∫
							0
+β aZ cosχcosθ+β								aY sin χcosθsin Ωt +			(10.181)
				+β		aX sin χcosθcosΩt].

Измеряя θ и t – зависимость (10.181), в эксперименте с асимметричными двойными модами распада, можно, в принципе, извлечь отдельные ограничения на каждую из трех компонент параметра

467

CPT-нарушения a . Заметим, что этот результат не будет зависеть от параметров CP-нарушения, поскольку эти параметры не обладают ни угловой, ни энергетической зависимостью. Таким образом, комбинируя данные по асимметричным двойным распадным модам и двойным полулептонным модам, можно получить независимые ограничения на каждую из четырех компонент aμ .

Отметим, наконец, еще одну экспериментальную возможность. Предположим, что кварконий рождается не в покое, а с некоторым импульсом, как на асимметричном коллайдере. Тогда сумма ζ1 + ζ2

не сокращается, и может быть чувствительна ко всем четырем коэффициентам aμ . Существующие асимметричные Bd-фабрики

BaBar и Belle способны осуществить подобного типа эксперименты. Предварительные результаты эксперимента BaBar ограничива-

ют различные комбинации компонент aμ для Bd -мезонов на

уровне 10−13 ГэВ.

Хотя CPT и лоренц-инвариантность являются необходимыми элементами общепризнанных законов физики, существует множество кандидатов на более «фундаментальную» теорию, в которых эти симметрии нарушаются. При этом исследование лоренцсимметрии открывает новые возможности для CPT-измерений, поскольку CPT-нарушение подразумевает нарушение лоренцинвариантности. Потенциальный источник нарушения CPT и ло- ренц-инвариантности – спонтанное нарушение симметрии в струнных теориях. Поскольку этот механизм наиболее теоретически притягательный, а струны – кандидат на «фундаментальную» теорию, этот источник нарушения лоренц-инвариантности выглядит многообещающим. CPT и лоренц-нарушение возникает в схеме со скалярами с зависящими от пространственно-временных координат: градиент скаляров «выбирает» преимущественное направление в эффективном вакууме.

Интерферометрия нейтральных мезонов – блестящий метод исследования физики на планковских масштабах. В рамках унитарной квантовой теории поля CPT-нарушение связано с нарушением лоренц-инвариантности и характеризуется зависимостью от направления и энергии CPT-нарушающих наблюдаемых.

468

В схемах расширения стандартной модели для каждой мезонной системы имеется четыре независимых коэффициента CPT-

нарушения. Экспериментальные ограничения на эти коэффициенты изменяются от 10–13 до 10–21 ГэВ.

10.12.Электрические дипольные моменты как «пробы» CPT-инвариантности

Нерелятивистский гамильтониан нейтральной частицы со спином S в электромагнитном поле можно записать в виде комбинации двух слагаемых:

H = −μB	S	− dE	S	.	(10.182)
	S
			S		P(B S ) = B S .
При отражении пространственных			координат

Однако P(E S ) = −E S . При отражении времени T (B S ) = B S и T (E S ) = −E S . Таким образом, присутствие ненулевого d означа-

ет существование как нарушения P, так и T. Если CPT сохраняется, то поиск d означает проверку CP-симметрии. Как мы уже отмечали, сохранение CPT в теории поля подразумевает унитарность, локальность и лоренц-инвариантность.

Покажем, что электрические дипольные моменты частиц (EDM) являются чувствительными пробниками CPT-нарушения. Точнее говоря, мы откажемся от лоренц-инвариантности, допуская тем самым возможность нарушения CPT и исследуем EDM, вызванные CPT-нечетными и CPT-четными взаимодействиями.

Предположим, что нарушение CPT-симметрии вызвано неизвестной физикой на очень малых масштабах, и оно проявляется во взаимодействии полей стандартной модели с внешними фоновыми полями, которые преобразуются как векторы и тензоры относительно лоренцевской группы. Простейшая возможность – ввести времениподобный конденсат вектора nμ = (1,0,0,0) , определяющий

выделенную систему отсчета. Предположим, что nμ совпадает с лабораторной системой отсчета, хотя результат легко обобщается

469

на произвольную систему отсчета. В присутствии такого вектора EDM-часть гамильтониана (10.182) для частицы со спином 12 записывается в виде

L	= −	i	d		ψσμνF ψ + d		ψγ		γ	ψF nν , (10.183)
EDM	2			CP	μν	CPT		μ	5	μν

причем dCP + dCPT = d .

Таким образом, отрицательный результат по поиску EDM нейтрона позволяет получить ограничение на величину dCP + dCPT .

Вводя аксиальный 4-вектор спина aμ и 4-скорость uμ , обобщим (10.183) на частицу с произвольным спином:

LEDM = Fμνaν (dCPuμ + dCPT nμ ).

(10.184)

Что касается более сложных фоновых полей, то следует заметить, что CPT-нечетные EDM-типа корреляции могут возникать из-

за взаимодействия с неприводимым тензором Dμνρ , симметричным по индексам νρ: FμνaρDμνρ . Проанализируем структуру

CPT-нечетных и CPT-четных эффективных лагранжианов, исходя из данных по EDM нейтронов и тяжелых атомов.

10.12.1. CP-нечетные, CP-четные операторы

Если CPT-нарушение связано с нарушением лоренц-инвариант-

ности, то CPT-нечетные члены во взаимодействиях появляются в операторах нечетных размерностей. Трехмерные CPT-нечетные операторы

L3 = −∑ψ(aμγμ +bμγμγ5 )ψ ,

(10.185)

где aμ и bμ – лоренц (CPT)-нарушающие связи с возможной зави-

симостью от ароматов. Что касается операторов размерности 5, то известны лишь некоторые типы CPT-нарушающих членов:

L5 = −∑ cμψγλFλμψ + dμψγμγ5Fλμψ +
+ f μψγλγ5F	ψ + gμψγλF	ψ	(10.186)
			,
λμ	λμ
	470