Емелянов Фундаменталные симметрии 2008
.pdfдели, поскольку в стандартной модели вакуумное среднее от хиггсовского поля не является комплексным. Кроме того, спонтанное нарушение CP связано с ограничениями на реалистические модели, и это приводит к таким нежелательным эффектам, как FCNC. Таким образом, построение реалистических моделей спонтанного CP-нарушения должно включать:
а) действительное CP-нарушение, приводящее к нетривиальной комплексной CKM-матрице. Этого достичь не так просто, поскольку CP-инвариантность лагранжиана приводит к вещественным юкавским связям;
б) естественный механизм подавления FCNC в хиггсовском секторе. Это опять-таки нетривиальная задача, поскольку появление FCNC коррелированно с генерацией комплексной CKM-матрицы посредством CP-нарушающих вакуумных фаз.
Обсудим условия, при которых можно избежать отмеченные трудности. Будут рассмотрены два класса моделей: 1) содержащие расширение только хиггсовского сектора стандартной модели; 2) расширения фермионного сектора. Во втором случае, как мы увидим, возникают отклонения от унитарности CKM-матрицы.
11.5.1.Модель с двумя хиггсовскими дублетами для спонтанного CP-нарушения и FCNC
Простейшим расширением стандартной модели, содержащим спонтанное СР-нарушение (СCPН), является модели с двумя хиггсовскими дублетами. Если обозначить два хиггсовских дублета че-
рез φ |
и определить |
величину V |
(x, y) = −μ2 x −μ2 y + λ x2 + |
|||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
+λ2 y2 + λ3xy , то потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
V (φ1,φ2 ) =V0 (φ1+φ1,φ2+φ2 )+V12 , |
|
(11.41) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
+ λ4 (φ1+φ2 )2 + λ5φ1+φ2φ1+φ1 |
|
|
||||
|
V12 (φ1,φ2 ) = μ122 φ1+φ2 |
+ |
(11.42) |
|||||||||
|
+λφ+φ |
|
φ+φ |
|
+ э.с. + λ′ |
φ+ |
φ |
φ+ |
φ . |
|
||
|
2 |
2 |
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
||
Запишем теперь потенциал в терминах электрически нейтральных компонент дублетов. Он выглядит точно так же, как (11.42),
491
11.5.2.Исключение FCNC с помощью дополнительных симметрий
Хорошо известно, что можно избежать FCNC путем введения, например, Z2 -симметрии, ограничивающей юкавские связи таким
образом, что только один хиггсовский дублет формирует массы кварков d-типа, а другой дублет приводит к массам u-кварков. Однако именно эта симметрия препятствует спонтанному нарушению CP. Возможный путь избежать эту трудность – введение третьего хиггсовского дублета. Однако в этом случае CKM-матрица оказывается вещественной, что противоречит экспериментальным данным. Причина вещественности CKM-матрицы состоит в том, что вакуумная фаза, возникающая в кварковой массовой матрице, может быть исключена путем переопределения кварковых полей.
11.5.3.Подавление FCNC большими хиггсовскими массами
Если диагонализовать юкавские связи hu,d,1 , то можно обнаружить, что нейтральный хиггс (h) дублета φ1 имеет сохраняющую
аромат связь, а хиггс (H) дублета φ2 имеет нарушающую аромат связь. В общем случае два нейтральных хиггсовских поля смеши-
ваются, т. е. hu,2 -связь, которая в симметричном пределе содержит только хиггсовское поле H, будет смешивать H с легким хиггсом h,
но это смешивание пропорционально mh2 
M H2 .
Таким образом, FCNC процессы будут возникать на древесном уровне за счет обмена H-бозоном, и их вклад ~ M H−2 . Вклад же эф-
фектов смешивания тоже пропорционален M H−2 . Поэтому для подавления FCNC-взаимодействий следует считать M H очень боль-
шой. Этого можно добиться, если −μ22 > 0 и μ22 vслаб. . Обратимся к уравнению (11.46): это уравнение определяет масштаб вакуумного среднего v2 , который зависит от «смешанного» слагаемого
493
μ |
. Возможны два случая: 1) μ2 |
~ v2 |
; 2) μ2 |
~ M 2 |
~ |
|
μ2 |
|
|
|
|
||||||||
12 |
12 |
слаб. |
12 |
H |
|
|
2 |
|
|
vслаб2 . .
В первом случае из (11.46) получаем
v3
v2 ~ λ5 1 v1 , (11.48)
μ22
т.е. вакуумное среднее поля φ2 при отсутствии FCNC сильно по-
давлено. Заметим, что масса второго нейтрального хиггсовского бозона ~ v2 . Подставляя это значение v2 в (11.46), получаем, что
для «естественных» значений (λi ) единственное решение для CP-нарушающей фазы δ = 0,π,...
С другой стороны, для случая (11.42) v2 ~ vслаб. , однако уравнение (11.47) не приводит к ненулевым значениям δ, поскольку μ122 v1v2 2λ4v12v22 . При этом член в скобках не обращается в ноль,
т. е. sin δ = 0 , и спонтанное нарушение CP-отсутствует. Таким образом, в рассматриваемой простой модели требование отсутствия эффекта нейтральных токов означает отсутствие спонтанного нарушения CP. Чтобы получить достаточно большую фазу спонтанного нарушения CP, надо в соотношении (11.47) иметь величину v2 , сравнимую с v1 . Чтобы это обеспечить, нужно иметь
μ22 ~ vслаб2 . , а это означает большие эффекты FCNC при малых
энергиях. Этот результат можно пояснить и следующим образом. В модели с двумя хиггсовскими дублетами можно изменить базис хиггсовских бозонов, переходя к новым дублетам
Φ1 = (v2eiδφ1 −v1φ2 )
v12 + v22 , а Φ2 выбирается как ортогональная комбинация к Φ1 . Тогда очевидно, что 
Φ1
= 0 , а 
Φ2
≠ 0 , при
этом кварковые массовые матрицы остаются неизменными. Далее, выберем параметры хиггсовского потенциала таким образом, чтобы масса Φ1 оказалась очень большой, и чтобы FCNC-эффекты
были подавленными. В этом случае эффективная теория на мас-
494
штабе масс, ниже массы MΦ1 , оказывается стандартной моделью (в нулевом порядке по MW 
MΦ1 ). В этом порядке вакуумное
среднее поля Φ2 (эквивалентное стандартной модели Хиггса) бу-
дет вещественным, и спонтанное нарушение CP в теории будет отсутствовать (с точностью до MW 
MΦ1 ). Таким образом, в пределе
нулевых FCNC снова нет спонтанного нарушения CP. Этот результат можно обобщить на произвольное число хиггсовских дублетов.
11.5.4. Спонтанное нарушение CP на большом масштабе
Покажем, что проблему FCNC можно избежать, если спонтанное нарушение CP-симметрии возникает на большом масштабе. Сначала обсудим модель с двумя SU (2)L ×U (1)Y хиггсовскими
дублетами φ1,2 и комплексным дублетом σ. В этой модели потен-
циал |
|
|
,σ =V (φ1,2 )+V (σ) +V (φ,σ) , |
|
|
Vφ ,φ |
2 |
(11.49) |
|
где V (φ1,2 ) |
1 |
|
|
|
определяется соотношениями (11.1), (11.3), а два дру- |
||||
гих слагаемых задаются выражениями:
V(σ) = −M02σ σ + M12σ2 + λ6 (σ σ)2 + λ′σσ4 + λ′′σσ3σ + э.с. (11.50)
иV (φ,σ) = M2,abφ+aφbσ + k1,abφ+aφbσ2 + k2,abφ+aφbσ σ + э.с. (11.51)
Очевидно, что минимуму потенциала V (σ) соответствуют
σ
= Λeiα , где Λ ~ M0,1,2 v , а величина α может быть большой. Подставляя это вакуумное среднее в потенциал, запишем эффективный потенциал для φ1,2 при низких энергиях:
Vэф (φ1,φ2 ) =V (φ1,2 )+Vнов , |
(11.52) |
где
Vнов. = (M2,abΛeiα + k1,abΛ2e2iα + k2,abΛ2 )φ+aφb + э.с. ≡
(11.53)
≡ Λ2 (λ11φ1+φ1 + λ22φ2+φ2 + λ12eiβφ1+φ2 )+ э.с.
495
Оставляя только нейтральные компоненты хиггсовских дубле-
тов, получаем |
(λ11φ1+φ1 + λ22φ2+φ2 + λ12eiβφ1+φ2 |
+ э.с.)+ |
Vэфф = Λ2 |
||
|
+∑λabcd φa+φbφcφd + э.с., |
(11.54) |
|
|
где Λ v Очевидно, что CP спонтанно нарушена на большом масштабе Λ. При малых энергиях CP нарушена за счет билинейных членов по λ12 . Заметим, что оба поля φ1,2 имеют юкавские связи, и
мы можем переопределить фазу одного дублетного поля (скажем, φ2 ): φ2 → e−iβφ2 так, чтобы все билинейные и O(Λ2 ) -члены в по-
тенциале стали независящими от фазы, а юкавские связи стали комплексными. Эта эффективная теория при низких энергиях выглядит как CP-нарушающая теория. При этом юкавские связи в лагранжиане
|
|
|
|
L (habu,1φ1 + habu,2e−iβφ2 )uR,b + |
|
LY = Q |
|||||
|
|
|
|
a |
(11.55) |
|
|
L (habd ,1φ1 + habd,2eiβφ |
2 )dR,b + э.с. |
||
+Q |
|||||
|
|
a |
|
||
До сих пор не использовалась комплексность CKM матрицы. Чтобы обнаружить эту комплексность, нужно показать, что вакуумное среднее φ2 , содержащее фазу, не оказывается слишком ма-
лым при требовании подавления FCNC. Чтобы это показать, снова запишем условия экстремума потенциала. Для простоты оставим только λ1111 , λ2222 и λ1122 члены потенциала:
(−μ12 + Λ2λ11 |
+ λ1111v12 + λ1122v22 )v1 + v2 (Λ2λ12 ) = 0 , |
(11.56) |
(−μ22 + Λ2λ22 |
+ λ2222v22 + λ1122v12 )v2 + v1 (Λ2λ12 ) = 0 . |
(11.57) |
Из этих уравнений следует, что v1 и v2 – одного порядка по от-
ношению к массам нейтральных хиггсов, и это приводит к CKM-механизму CP-нарушения. Если массы нейтральных хиггсов возрастают, нужно подобрать параметры так, чтобы один из них был легким с массой Λ, а другой (для подавления FCNC) оставался тяжелым. Очевидно, что в этом случае нет необходимости
изменения фазы φ2 → e−iβφ2 и исключения фазы в билинейных
496
членах. Если не изменять фазу, то условие экстремума хиггсовского потенциала будет выглядеть следующим образом:
|
|
−Λ2λ |
v v |
2 |
sin (β+ δ) − |
|
||||
|
|
12 |
1 |
|
( |
|
|
(11.58) |
||
−sin δ |
2λ |
v2v2 cosδ + v v |
λ2v2 |
+ λ2v2 |
||||||
= 0. |
||||||||||
|
|
4 1 2 |
|
|
1 2 |
5 1 |
6 2 ) |
|
||
Поскольку Λ2 |
v2 , то очень хорошим приближением является |
|||||||||
|
|
|
β = −δ . |
|
|
|
(11.59) |
|||
Фазы δ при этом появляются в кварковых массовых матрицах, которые становятся комплексными.
11.5.5.Спонтанное нарушение CP без FCNC
вфермионных расширениях стандартной модели
Расширим стандартную модель, введя синглетный векторопо-
добный фермион D-типа: |
( |
L,R ) |
|
( )Y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
с U |
1 |
квантовым числом |
|
− |
3 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а также синглетное комплексное хиггсовское поле σ. При этом потенциал поля σ выберем в виде (11.51). Поле σ будет иметь комплексное вакуумное среднее, приводящее к спонтанному нарушению CP: 
σ
= Λ v . CP-нарушение трансформируется на слабый
масштаб посредством связей, задаваемых лагранжианом:
Lσ = ∑DLda,R (gaσ + ga′σ ) + ( f σ + f ′σ )DL DR + э.с. , (11.60)
a
где ga , ga′ , f и f ′ – вещественные числа в силу CP-сохранения.
Однако после нарушения CP-симметрии массовые матрицы содержат члены, смешивающие D-кварки с легкими d-кварками. Это можно обнаружить, записывая полную кварковую массовую мат-
рицу (в обозначении ΨLMdDΨR ):
|
|
Md |
|
|
|
md |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
, |
(11.61) |
||
|
|
|
= |
Λ(ge |
iδ |
+ g′e |
−iδ |
) |
Λ( fe |
iδ |
+ f ′e |
−iδ |
|
|||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
||||||
где g и g |
′ |
обозначают строки векторов (g1, g2 , g3 ) |
и |
′ ′ |
′ |
|||||||||||||
|
(g1, g2 |
, g3 ) . |
||||||||||||||||
Диагонализируя |
M |
M + |
, можно |
получить |
обобщенную |
4 ×4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
dD dD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
497 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CKM-матрицу, которая действительно имеет комплексную фазу в 3×3 -секторе, содержащем кварки стандартной модели в пределе больших масс D-кварков. Очевидно, если имеется только один нейтральный хиггсовский бозон, связанный с массовой матрицей down кварка, то эффекты FCNC отсутствуют в стандартной модели на древесном уровне. Если бы массы вектороподобных кварков оказались порядка электрослабого масштаба, то смешивание легких d-кварков и D-кварков было бы значительным, и это приводило бы к заметным FCNC-эффектам при низких энергиях. Этот подход обеспечивает спонтанное нарушение CP и подавление эффектов
FCNC.
11.6.Модель геометрического CP-нарушения в дополнительных измерениях
11.6.1. Комплексные фазы и CP-нарушение
Обычно считается, что наличие комплексных фаз в теории означает CP-нарушение в этой теории. Проиллюстрируем это утверждение на примере вещественного скалярного поля η и комплексного скалярного поля φ. Лагранжиан теории имеет вид:
L(φ ) = ληφ φ + m2φ φ +(hηe e |
R |
+ m e |
L |
e |
R |
+ э.с.) . (11.62) |
|||
1 |
1 1 |
1 1 |
L |
e |
|
|
|||
Заметим, что даже в отсутствие λ комплексные фазы в h нельзя исключить, сохранив при этом вещественной массу me . Это свой-
ство связано с электрическим дипольным моментом (EDM) электрона, генерируемым на однопетлевом уровне (с η в петле), про-
порциональным Im(h2me ) . Однако есть одно исключение, когда
h – чисто мнимая величина. В этом случае в отсутствие λ лагранжиан обладает CP-инвариантностью, а η поле оказывается CP-нечетным. Если же λ отлична от нуля, то теория становится CP-нарушающей, поскольку λ вследствие эрмитовости должна быть вещественной, и λ-взаимодействие требует CP-четного η, в то время как юкавский член требует CP-нечетного η. Это CP-нарушение сказывается в двухпетлевом вкладе в EDM, пропорциональном λIm(h) (рис. 11.1).
498
Рис. 11.1
Обобщим эту модель, введя другое комплексное скалярное
поле φ2 : |
|
L(φ1,φ2 ) = λη(φ1φ1 −φ2φ2 )+ m2 (φ1φ1 |
+ φ2φ2 )+ |
+(hηeLeR + meeLeR + э.с.). |
(11.63) |
|
Сначала предположим, что h – чисто мнимая величина. Тогда, если определить CP-преобразование обычным образом: φi → φi , то
окажется, что в рассматриваемой модели (11.63) нарушается CP. Однако, если определить CP-преобразование более общим спосо-
бом: φ1 → φ2 , то лагранжиан (11.63) окажется CP-инвариантным.
Юкавское взаимодействие требует, чтобы η было CP-нечетным. Однако, как и в случае одного скалярного поля, это CP-свойство несовместимо с хиггсовским самовзаимодействием. Но с двумя вырожденными φi в (11.63) оказывается возможным подобрать
CP-свойства φi таким образом, что η останется CP-нечетным. При
этом двухпетлевая диаграмма для EDM (рис. 11.1) будет содержать два вклада от φ1,2 с противоположными знаками, приводя к нуле-
вому EDM электрона.
Как очевидно из этого примера, если два скалярных поля имеют разные массы, то теория будет нарушать CP-симметрию. Это обстоятельство следует рассматривать как новый способ введения CP-нарушения в калибровочные теории. Эта идея будет использована ниже при построении CP-нарушающих теорий в пространствах с дополнительными измерениями. Другое проявление CP-нару-
499
шения, связанное с вырожденностью полей φi , можно обнаружить
следующим образом. Предположим, мы выбрали потенциал CP-нечетного поля η в виде:
|
V (η) = m2η2 |
+ λ η4 |
, |
(11.64) |
|
|
η |
|
η |
|
|
причем m2 |
> 0 и η = 0 . Как |
видно, |
вакуум обладает |
||
η |
|
|
|
|
|
CP-симметрией. Если вычислить петлевые поправки при наличии вырождения по массе, то снова вклады от φ1,2 будут сокращаться, а
вакуумное среднее 
η
= 0 окажется стабильным по отношению к радиационным поправкам.
Если же исключить вырождение по массе между φ1,2 , то петле-
вые вклады сокращаться не будут и возникнет нарушение CP-симметрии. Заметим, что несмотря на то, что вакуумное среднее η нарушает CP-симметрию, CP, строго говоря, не нарушена спонтанно. CP-симметрия нарушается из-за отсутствия вырождения по массе скалярных полей. Это обстоятельство дает возможность связать CP-нарушение с другими явлениями в физике. Например, если расщепление по массам между φ1 и φ2 возникает
вследствие нарушения четности, то нарушение четности оказывается связанным с CP-нарушением. Аналогично, можно связать расщепление по массе с геометрическими эффектами в дополнительных измерениях, т. е. обнаружить геометрическую основу нарушения CP.
Подчеркнем, что в рассмотренных выше примерах константы связи можно считать вещественными независимо от CP-свойств лагранжианов. Однако вещественность констант связи является достаточным условием CP-симметрии, но не необходимым. Ниже будут приведены примеры, в которых CP сохраняется даже в теориях, в которых некоторые константы связи содержат комплексные фазы.
11.6.2. Фермионный пример
Сначала рассмотрим модель с четырьмя левыми киральными фермионами f1 , f2 , f3 , f4 с зарядами +, –, +, – соответственно, а
500