Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

юкавской связи ha для фермиона сорта а (его масса, вследствие механизма Хиггса, ma = ha υ) параметризуется в виде

		ha		≡ λ			Δα		.		(12.43)
		h				a
								α
		a
Аналогично, вариация планковской массы M Pl ≈ GN−1/2
		M Pl			≡	ρ		Δα		.	(12.44)
		M Pl						α

Возможные вариации других наблюдаемых величин можно выразить в терминах этих параметров. Например, для величин Χ и Y

(12.33), (12.34)

	ΔΧ		~ (−32 + λ+ 0.8k)		Δα		~ (23 ± 6) 10−5,
	Χ				α
							(12.45)
	Y			Δα
			~ (34 − λ−0.8k)			~ (−24 ± 6) 10−5,
	Y
				α

где выбрано одинаковое значение λ для всех юкавских факторов λа , а численные оценки получены для λ = k = 0 и условия (12.32).

Таким образом, временные (пространственные) вариации фундаментальных констант в теориях с дополнительными измерениями или скалярными полями выглядят довольно естественными. Естественным масштабом вариаций оказывается величина

αα ~ M Pl ~ 1043 c−1 . Вариация величины α влечет за собой вариации других фундаментальных констант.

12.11.Фундаментальные константы в физике высоких энергий

Стандартная модель содержит большое число констант, в частности, массовых параметров, которые невозможно предсказать в теории и которые выбираются из экспериментальных данных. В этом отношении стандартная модель может рассматриваться как эффективная модель более общей теории. Стандартная модель основана на локальных законах и не учитывает граничных условий, в

541

частности, космологических граничных условий. Вполне возможно, что некоторые фундаментальные константы определяются граничными условиями. Некоторые из констант, содержащихся в стандартной модели, способны «сильно флуктуировать» во время рождения Вселенной и быть «замороженными» после этого. Другие же константы могли бы определяться динамическими законами, выходящими за рамки стандартной модели. Очевидно, что некоторые (или даже все) фундаментальные константы – вовсе не константы, а изменяются во времени. Эта идея, как уже говорилось, впервые высказана П.Дираком, который, предполагал временную зависимость гравитационной постоянной. Временная зависимость фундаментальных констант (в частности, величины α) многократно исследовалась экспериментально

Δα α ≈ –(0.72 ± 0.18) 10–5.

(12.46)

Величина α играет особую роль в атомной физике. Еще в 1917 году Зоммерфельд заметил, что тонкая структура атомных уровней определяется безразмерной величиной, чье значение на сегодняшний день

α–1 = 137.03599976(50).

(12.47)

Численно оказывается, что величина α–1 очень близка к целому числу. А. Эддингтон даже высказывал предположение о том, что величина α–1 связана с полным числом различных заряженных объектов. Вскоре после А. Эддингтона, В. Гейзенберг предложил описывать величину α с помощью алгебраической формулы (справедливой с точностью 10–4)

α = 2–4 3–3π.

(12.48)

В 1971 году Вейлер вывел из групповых соображений алгебраическую формулу (с точностью 10–6):

α =	9			π5				1/4
								.	(12.49)
	8π	4		2	4	5!

С сегодняшней точки зрения, такие попытки выражения величины α выглядят бесполезными. Действительно, в квантовой электродинамике значение константы связи меняется при изменении энергетической шкалы.

542

Квантовая электродинамика остается наиболее успешной теорией. Она объединяет электродинамику, квантовую механику и СТО. КЭД – перенормируемая теория, проверенная экспериментально на уровне 10–7. Физические величины, такие как аномальный магнитный момент электрона, вычисляются в терминах α. Из сравнения вычисленного в теории аномального магнитного момента электрона и его экспериментального значения определяется величина α. Величина α описывает интенсивность взаимодействия в электродинамике на расстояниях, больших комптоновской длины волны электрона. На меньших масштабах α слабо изменяется. Если в КЭД учитывать только фотонное поле и электрон, эффективная величина α в импульсном пространстве

αeff (q2 )=				α				,	(12.50)
		−	α		−	q2
1				ln
			2π			Ame2

где А = ехр (5/3) и – q2 > 0.

Бесконечно малое изменение α определяется уравнением ре- норм-группы

de(q; eτ)			= β(e), e(M ; e	)= e ,	(12.51)
	q		r	r
d ln
	M

М – точка нормировки.

При высоких энергиях имеются вклады в β-функцию не только от е+е– пар, но и от μ+μ–, а также qq -пар. Чем меньше расстояние,

тем больше величина α. Этот эффект непосредственно проявляется в эксперименте. На LEP эффективная величина α задается масштабом массы Z-бозона

α(MZ) ≈ (127.5)–1.

(12.52)

Уравнение ренорм-группы требует, чтобы величина электромагнитной константы росла с ростом энергии, т.е. она может достичь значения, где теория возмущений становится не применимой. В КЭД с одним фотонным полем, взаимодействующим с одним заряженным фермионом, критическая энергия (полюс Ландау) исключительно велика, она гораздо больше масштаба гравитации.

543

Конечно, теория с фотонным полем и одним фермионом не реалистична, поскольку в реальном мире имеется три заряженных лептона и шесть заряженных кварков, поэтому возрастание константы связи будет проходить с большей скоростью. Уже при энергиях LEP величина постоянной тонкой структуры возрастает более чем на 10% по сравнению с низкой энергиями.

Тот факт что в физике частиц все явления описываются в терминах фундаментальных констант, напрямую связан со свойствами стандартной модели. Стандартная модель, как известно, является калибровочной теорией, основанной на группе SU (3)C SU (2)L U (1)Y , блестяще подтвержденной на ускорите-

лях LEP и ТэВатрон. В стандартной модели массы слабых бозонов генерируются за счет их связи с гипотетическим (пока!) хиггсовским полем. Модель требует существования хиггсовской частицы, чья масса окажется одним из основных параметров стандартной модели.

В стандартной модели число параметров достигает 18, включая три калибровочные константы. Тринадцать из них – фермионные массы. Перечислим эти 18 параметров:

me , mu , md ; mm , mc , ms ; mt , mt , mb; (12.53) qu , qd , q, d; MW , Mh; a, as , aW .

Природа большинства фундаментальных констант связана с генерацией масс. Одна из особенностей стандартной модели состоит в том, что существуют два типа генерации масс. С одной стороны, массы слабых бозонов и фермионов задаются связью этих полей со скалярными бозонами. С другой стороны, массы нуклонов и, в конечном счете, ядер имеют динамическую природу. В низшем порядке теории возмущений КХД сильная константа связи:

	αs (q2 )=		2π			,	b0	=11−	2	n f ,	(12.54)
		b		q					3
			ln
	0
				ΛКХД
	nf – число ароматов, q =		q2 .

Формально, константа связи становится бесконечной, если энергетический масштаб достигает критического значения ΛКХД. Вслед-

544

ствие «размерной трансмутации», фундаментальная зависимость констант связи от энергии ведет к появлению массового масштаба. В пределе, в котором все массы кварков равны нулю, массы связанных состояний (нуклонов и т.д.) пропорциональны ΛКХД. Используя экспериментальные значения LEP αs(MZ) = 0.1184 ± 0.0031, получаем,

Λ	КХД	= 213+38	МэВ.	(12.55)
		−35

В принципе, масса нуклона – один из фундаментальных параметров ядерной физики – может быть выражен через ΛКХД, если пренебречь массами кварков. Хотя точных вычислений массы нуклона до сих пор нет, более простые величины, например, пионная константа распада, уже вычислены с довольно хорошей точностью. Пионная константа задается матричным элементом аксиальновекторного тока:

0		Aμ		π =ipμFπ .	(12.56)
Она имеет размерность массы. Теоретические расчеты дают
Fπ / ΛКХД = 0.56 ± 0.05 ,					(12.57)
экспериментальное же значение
Fπ / ΛКХД = 0.62 ± 0.10 .					(12.58)

Хорошее согласие между теорией и экспериментом дает основание надеяться, что КХД способна описывать не только пертурбативные свойства сильных взаимодействий, но и другие, явно непертубативные величины.

Очевидно, что кварковые массы отличаются от нуля и влияют на вычисление массы нуклона. К сожалению, неопределенности во вкладе кварковых масс достаточно велики. Так, матричный элемент между массовыми членами нестранных кварков известен с точностью

p		muuu + md	dd		p ≈ 45 МэВ ± 25 %.	(12.59)

Важен для формирования массы нуклона массовый член странных кварков

p		mS ss		p ~ 40МэВ	(12.60)

с ошибкой порядка 50 %. Заметим, что u, d и s – вклады в массу нуклона одного порядка.

545

Можно сказать, что масса нуклона – дуальная величина. Доминирующий вклад в массу нуклона (~ 90 %) вносят полевые конфигурации кварков и глюонов, находящихся в фазе конфаймента. Около 10 % вносят ненулевые значения масс u, d и s кварков. Дает вклад и электромагнитное воздействие (1 – 2 %).

В физике частиц остается нерешенной проблема спектра лептонных и кварковых масс. Массивные собственные состояния проявляют замечательную иерархию масс. Так, массы кварков с зарядом 2/3: u: c: t = 5: 1550: 174000 (массы в МэВ). Большинство кварковых масс и все лептонные массы гораздо меньше электрослабого масштаба υ ≈ 246. Только масса t – кварка того же порядка величины, что и υ. Замечательно, что масса t – кварка находится в

интервале υ÷ υ2

υ

≈175 ≈ m .

(12.61)

2	t

Это массовое соотношение соблазнительно рассматривать как соотношение Клебша-Гордона, связанное с внутренней симметрией. Однако до сих пор такой симметрии не найдено, и остается открытым вопрос о том, что случайно ли соотношение (12.61)?

Другая интересная особенность спектра кварковых масс – для каждого зарядового канала массовые отношения оказываются универсальными

md : mS = mS : mb , mu : mc = mc : mt .

(12.62)

Глубокое понимание этого скейлинга отсутствует.

В стандартной модели переходы между различными семействами кварков (и, возможно, лептонов) возникают из-за того, что слабые собственные состояния не совпадают с собственными массовыми состояниями. Интенсивность переходов задается комплексными амплитудами. Известно, что множество переходов ароматов задаются тремя углами смешивания ( θ, θu , θd ) и комплексной фа-

зой δ. Все интенсивности переходов выражаются в терминах этих четырех параметров. Например, кабиббо-переход между u и s кварками, обычно обозначаемый через V12 , задается в комплексной

546

плоскости с помощью θu и θd и фазой δ, являясь относительной

фазой между двумя углами
V	≈ θ	u	−θ	d	e−iδ .	(12.63)
12

В комплексной плоскости V12 , θu и θd образуют треугольник,

конгруэнтный, так называемому, «унитарному треугольнику». Поскольку абсолютное значение V12 задается с очень высокой точно-

стью, определение углов θu и θd позволило бы определить форму

треугольника. До сих пор только один из углов треугольника, обозначаемый обычно через β, определяется из экспериментальных данных по СР-нарушению в В-мезонах.

Можно показать, что угол θu , описывающий смешивание между u и с-кварками, в пределе mu → 0 равен нулю. В модели гене-

рации масс, основанной на симметриях вне стандартной модели, массовые состояния и углы смешивания связаны между собой соотношениями

tgθu ≈	mu	,	tgθd ≈	md	;	(12.64)
	mc			mS

Если эти соотношения выполняются, то параметры унитарного треугольника определяются с высокой точностью. В частности,

угол α, равный фазовому параметру δ, равен π2 . Это означает, что

СР-нарушение в природе должно быть максимальным. Соотношения между массовыми собственными состояниями и углами смешивания представляют большой интерес, поскольку они уменьшают число фундаментальных параметров. Другие соотношения, в частности, массовые соотношения между лептонами и кварками, а также между константами связи, получаются в предположении, что стандартная модель – низкоэнергетический предел общей теории, основанной на более общей группе симметрии (например, SO(10)).

Константы связи калибровочных групп SU(3) и SU(2) изменяются с ростом энергии, тогда как константа U(1) – растет. При очень больших энергиях они становятся сравнимыми по величине. Если использовать наблюдаемые значения констант, то можно обнару-

547

жить, что они сходятся, но не пересекаются в одной точке. Энерге-

тический масштаб области сходимости составляет 1015 ÷1016 ГэВ. Если калибровочные группы стандартной модели действительно являются подгруппами большой группы симметрии и Большое объединение происходит при определенной энергии, то логично считать, что все три константы должны совпасть при некотором значении энергии. Одна, но не единственная возможность достичь сходимости констант – введение суперсимметрии. Суперсимметричные партнеры фермионов и бозонов вносят вклад в перенормировку констант связи. Если нарушение SUSY происходит на ТэВном масштабе, то две константы сходятся на масштабе энергий ~1.5 1016 ГэВ. В такой теории три различные константы сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий фиксируются единой константой.

В единых теориях прослеживается параллель между кварками с зарядом (–1/3) и заряженными лептонами, предполагающая, что на масштабе Большого объединения массы заряженного лептона и соответствующего кварка равны (например, mb = mτ ). Действи-

тельно, такое соотношение довольно хорошо «работает» для (b – τ) систем. Тот факт, что масса b-кварка примерно в 3 раза больше массы τ-лептона, следует из-за эффектов ренормировки, главным образом, из-за КХД взаимодействия. Аналогичные соотношения между массами μ-мезона и s-кварка, а также между массами электрона и d-кварка, не выполняются.

Имея в виду соотношения между фундаментальными параметрами стандартной модели, обсуждавшиеся выше, можно спросить: сколько независимых параметров остается? Оптимистический ответ – остается 7 параметров: одна константа Большого объединения, 3 массы заряженных лептонов и 3 массы кварков с зарядом (2/3). Заметим, что при этом масса t-кварка считается фиксированной электрослабым масштабом, который, в свою очередь, определяет массы W, Z и хиггсовского бозона. Величину объединенной константы связи можно соотнести с параметром ΛKXД .

Гравитация не входит в стандартную модель. Гравитационное взаимодействие характеризуется критическим энергетическим

548

масштабом – массой Планка MPl . Соотношение между гравитаци-

онным и калибровочным взаимодействиями стандартной модели характеризуется безразмерным отношением

ΛKXД	≈ 0.17 10−19 .	(12.65)
M Pl

Таким образом, проблема фундаментальных констант стандартной модели остается в фокусе исследований по физике частиц.

Как известно, специальная теория относительности основана на группе Пуанкаре. КХД характеризуется локальной SU(3) цветовой симметрией с глюонами в качестве калибровочных полей. Наконец, электрослабая теория описывается SU (2) U (1) калибровочной

симметрией, которая спонтанно нарушена до U(1)em вакуумным средним хиггсовского поля. Как ожидается, объединение трех типов взаимодействия может описываться унитарной группой SU(5), ортогональной группой SO(10) или исключительной группой Е6, которые содержат SU (3) SU (2) U (1) как подгруппу. Эта идея

Большого объединения находит, свою поддержку при рассмотрении поведения трех калибровочных констант: αs , αW и α (с коэффициентом 8/3) способны объединиться на масштабе ~1016 ГэВ. При этом все три константы оказывают ≈1/30.

Фермионные мультиплеты высших групп содержат как лептоны, так и кварки. Например, для SO(10) каждое поколение фермионов (с учетом античастиц и трех цветов кварков) образует 16-плет. Среди 45 векторных бозонов SO(10) имеются бозоны с такими связями, что их обмен приводит к распаду протона на позитрон (или антинейтрино) и сопровождающий его легкий адрон (мезон). Другое нарушающее барионное число взаимодействие вызывает распад ядра, в котором два нейтрона преобразуются в мезоны. Это же взаимодействие приводит к переходу в вакууме нейтрона в антинейтрон. По отношению к этому распаду ядро имеет время жизни, большее 1032 лет, поскольку соответствующие обменные бозоны очень тяжелые, их массы порядка 1016 ГэВ.

Энергия Большого объединения лишь на три порядка ниже планковской массы

549

	=c 1/2		19		−5
M Pl =			=1.2 10	ГэВ≈ 2.2 10		г.
	G

Планковская длина LPl и планковское время вводятся аналогич-

но

L =	=	≈ 10−33cм,	T =	=	≈ 310−44c.
Pl	M Plc		Pl	M Plc2

При энергиях порядка MPl или расстояниях ~ LPl энергия гравитационного взаимодействия становится порядка полной энергии, и квантовые эффекты становятся известными. Гравитация становится квантовой. Квант возбуждения гравитационного поля – гравитон. Он безмассовый, нейтральный и имеет спин 2. Его источником является тензор энергии-импульса, деленный на массу MPl. При низких энергиях (Е << MPl) его связи с материей оказываются чрезвычайно слабыми. Поэтому гравитон не наблюдался экспериментально, и вряд ли будет наблюдаться в обозримом будущем. Даже гравитационные волны – классические ансамбли гравитонов – еще не наблюдались в специально построенных антеннах. Согласованная теория квантовой гравитации пока не создана. Весьма многообещающей выглядит теория суперструн. Суперструны – одномерные объекты планковской длины с фермионнымии бозонными возбуждениями на них (скорее, степенями свободы). Большинство из возбуждений на струне очень тяжелые, порядка планковской массы. Но есть и безмассовые возбуждения. Они выглядят как точечноподобные частицы на расстояниях, гораздо больших, чем планковские. Суперструны, как можно надеяться являются, не только самосоглосованной теорией квантовой гравитации, но и составляют основу теории, объединяющей все взаимодействия (ТОЕ). Все известные (а также те, которые будут открыты) фундаментальные калибровочные и юкавские связи должны возникать при решении уравнений ТОЕ как безразмерные элементы.

Если идея суперструн верна, то Природа оказывается основанной на трех фундаментальных размерных константах: максимальной скорости с, кванте действия ħ и планковской длине LPl (или планковской массе, ньютоновской константе). Размерности других

550