Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

также с вещественным скаляром η. Определим C-сопряженное к f поле f C = C+γT0 f +T . Тогда

	( f2T Cf1 )+ = f1CT Cf2C = f2CT Cf1C ,						(11.65)
	( f2T Cσμν f1 )+ = f1CT Cσμν f2C = − f2CT Cσμν f1C .
	Пусть лагранжиан модели имеет вид
	Lf = λη( f1T Cf2 − f3CT Cf4C )+ λ η( f1CT Cf2C − f3T Cf4 ) +
	+μ( f1T Cf2 − f3CT Cf4C )+ μ ( f1CT Cf2C + f3T Cf4 )+						(11.66)
	+Δ( f1T Cf4 + f3CT Cf2C ) +					( f1CT Cf4C + f3T Cf2 ).
	Относительно преобразований CP:
	f	→ f C ,	f	2	→ f	C , η → −η ,	(11.67)
	1	3				4
	т.е. η – CP-нечетно. Параметры μ и					можно считать вещественны-

ми, изменяя фазы фермионных полей. В этом базисе, очевидно, комплексная фаза λ является физическим параметром. Однако она не имеет отношения к CP-симметрии. Интересно отметить существование однопетлевой поправки к оператору дипольного момента

af2T Cσμν f1 (рис. 11.2) с комплексным коэффициентом, пропорциональным λ2μ e .

Рис. 11.2

Существует и подобная диаграмма, в которую входит -вставка вместо μ, определяемая оператором bf2T Cσμν f1 с вещественным

однопетлевым коэффициентом b и пропорциональная λλ e .

501

Аналогично, имеются вклады диаграмм с f1 , f2 , замененными

на f3 , f4 . Их вклады пропорциональны a f4T Cσμν f3 и bf2T Cσμν f3 . Таким образом, однопетлевой вклад в магнитный дипольный момент

Re(a)( f2T Cσμν f1 + f1CT Cσμν f2C )+
+b( f4T Cσμν f1 + f1CT Cσμν f4C )+ (1,2) ↔ (3,4) ,	(11.68)

вклад же в электрический дипольный момент

i Im (a) ( f T Cσμν f − f CT Cσμν f C )−2 1 1 2

(11.69)

−( f4T Cσμν f3 − f3CT Cσμν f4C ) .

Заметим, что в пределе → 0 лагранжиан имеет U (1)×U (1) -симметрию ароматов. В этом пределе ( f1, f2 ) образуют

дираковскую пару, как и ( f3, f4 ) , причем две пары вырождены по

массе. В этом отношении EDM операторы полностью идентичны операторам обычных фермионов (напр. электрона). Отличие состоит в том, что вследствие вырождения, эти EDM не являются сигнатурой CP-нарушения, поскольку можно определить сохраняющуюся CP-симметрию, преобразуя EDM дираковской пары ( f1, f2 ) в

EDM пары ( f3, f4 ) . Ситуация напоминает молекулу аммония, ко-

торая имеет двойное вырождение основного состояния с противоположными четностями. Вырождение точное, если пренебречь туннелированием между двумя вырожденными состояниями. В отсутствие туннелирования, оба состояния имеют ненулевые EDM противоположного знака и ненарушенную CP-симметрию. В присутствии туннелирования вырождение снимается, и первоначальный EDM становится переходным моментом между двумя невы-

	рожденными состояниями. Когда					отлична от нуля, собственные
	массовые состояния		( f1 ± f3 )				( f2 ± f4 )
	F	=		,	G	=		.	(11.70)
	±	2			±	2

Они обладают невырожденными массовыми членами

502

(μ+ ) FT CG +(μ −	)FT CG + э.с.	(11.71)
+ +	− −

Поэтому (F+,G+ ) и (F−,G− ) образуют две дираковские пары H и K с массами μ + и μ − :

		H = F +GC , K = F + GC							,
+					+		−	−
−				GС −G			СF = GT CF + э.с.,			(11.72)
	HH = −F
+					+	+ +		+ +

−KK = −F−G−С −G−СF− = G−T CF− + э.с.

Первоначальные EDM-операторы, пропорциональные Im(a) в соотношении (11.68), можно переписать в виде:

i Im(a) (GT Cσ F − FCT Cσ GC )+

− μν + + μν −

(11.73)

+(G+T CσμνF− − F−CT CσμνG+C ) .

Воспользовавшись свойством γ5H = −F+ + G+C ; γ5K = −F− + G−C , запишем (11.73) как переходный электрический дипольный момент между двумя невырожденными дираковскими полями:

		σ		γ					γ	K .	(11.74)
i Im(a) K			μν		H + Hσ			μν
				5					5

Полезно также переписать в новом базисе слагаемое в лагранжиане с юкавской связью λ:

		T		T			+
LY = Re(λ)η (F+			CG− + F−		CG+ )+ э.с.
	T		T			=	(11.75)
+i Im(λ)η (F+		CG+ + F−		CG− )− э.с.

= −Re(λ)η(KH + HK ) + Im(λ)η(Hiγ5H + Kiγ5K ).

Из (11.75) следует, что η – CP-нечетный скаляр.

11.6.3. Связь P- и CP-нарушений

Рассмотрим лево-право симметричное расширение стандартной модели, в котором CP- и P-нарушения связаны между собой. Начнем с теории, которая до спонтанного нарушения симметрии P- и CP-инвариантна. Покажем, что в этой модели нарушение P-четности влечет за собой нарушение CP.

503

Рассмотрим лево-право симметричную модель, основанную на калибровочной группе SU (2)L ×SU (2)R ×U (1)B−L с фермионными

дублетами Q ≡ (u,d ) и ψ ≡ (ν,e) . Для нарушения симметрии выберем дублеты χL (2,1,1) и χR (1,2,1) и антидублет (2,2,0) . Доба-

вим в модель вещественное псевдоскалярное C-четное поле η. Как уже отмечалось, будем предполагать, что лагранжиан инвариантен относительно P- и CP-преобразований.

Относительно P-преобразований

η ↔ −η ,

φ ↔ φ+ , χ

L

↔ χ

R

,

Q ↔ Q .

(11.76)

При зарядовом сопряжении C:

L

R

↔ χ

η ↔ η,

φ ↔ φT ,

χ

,

T .

(11.77)

L

Q ↔ CQ

L

L

R

Юкавские взаимодействия имеют вид

f

φQ

+ g

+ э.с.

(11.78)

Q

ij

Q

φQ

ij

L

R

j

L R

j

i

i

P-симметрия подразумевает для матриц констант связи

f = f +

и g = g+ . Зарядовое же сопряжение означает

f = f T , g = gT . Та-

ким образом, обе матрицы констант связи вещественные и симметричные.

P-симметрия нарушена, когда параметры хиггсовского потенциала подобраны так, что χ0R = vR и χL = 0 . Покажем, что при

этом происходит CP-нарушение. Чтобы это увидеть, запишем соответствующую часть CP-сохраняющего хиггсовского потенциала:

V Хиггс = −μ+2 (χ+LχL + χ+RχR )+ λ+ (χ+LχL + χ+RχR )2 +
+λ− (χ+LχL −χ+RχR )2 + λη(χ+LχL −χ+RχR )+		(11.79)
+ m2 det φ+ iλ′ηdet φ+ э.с. .
φ

Заметим, что при сохранении P-четности χL,R имеют одинаковые массы, а петлевые поправки к η сокращаются, приводя к значению η = 0 и сохранению CP. Однако при нарушении P-симметрии, χR исчезает из спектра, а поле η приобретает нену-

504

левое вакуумное среднее, происходит нарушение CP. Это нарушение «передается» в кварковой и лептонный сектора за счет ηdet φ

связи и приводит к комплексному вакуумному среднему поля φ.

Таким образом, CP- и P-нарушения оказываются связанными между собой.

11.6.4.«Удвоенная» стандартная модель и CP-нарушение

Приведем еще один пример, свидетельствующий о том, что наличие комплексных фаз не обязательно означает CP-нарушение в теории. Рассмотрим теорию, основанную на калибровочной группе SU (2)A ×SU (2)B ×U (1)Y и содержащую копии полей стандартной

модели:

qL (2,1)13 , uR (1,1)43 , dR (1,1)−23 , ψL (2,1)−1 , eR (1,1)−2 , (11.80)

где (a,b) обозначают SU (2)A ×SU (2)B -представления. Копиями

фермионов являются:

QL (1,2)13 , UR (1,1)43 , DR (1,1)−23 , ΨL (1,2)−1 , ER (1,1)−2 . (11.81)

В теории содержатся также два хиггсовских дублета H A и HB .

Пусть относительно CP «нижние» поля преобразуются в «верхние»:

q

T

,

d

↔ γ

T

,

L

↔ γ CQ

R

CD

0

L

0

R

(11.82)

RT ,

H A ↔ HB

,

uR ↔ γ0CU

аналогично для других полей.

CP-инвариантные юкавские связи кварков можно записать в ви-

де:

LY′ = qLH A (hd dR + hd′ DR ) + qLH A (huuR + hu′UR ) +	(11.83)
+QLHB (hd DR + hd′ dR )+ QLHB (huUR + hu′ uR )+ э.с.

Матрицы связей hu,d , hu′,d – комплексны, однако CP сохраняет-

ся. CP-нарушение возникает тогда, когда H A0 ≠ HB0 . Если два вакуумных средних оказываются одинаковыми, оба набора калиб-

505

ровочных бозонов имеют одинаковые массы, и в результате любая линейная комбинация этих калибровочных бозонов тоже является собственным состоянием и оказывается способной избавить нас от CP-нарушающих эффектов. Ниже мы увидим, как эта схема может быть включена в многомерную теорию и как CP-нарушение возникает в эффективной стандартной модели на бране.

11.6.5. Орбифолдные граничные условия и CP-нарушение

Покажем, как эта идея может быть связана с CP-нарушением и геометрией пространства-времени дополнительных измерений. Рассмотрим для простоты модель раздела 11.6.1, предполагая, что электрон и поле η принадлежат бране, а поля φ1,2 распространяют-

ся во всем пространстве. Очевидно, что η−φ-связь в соотношении (11.63) включает связь браны со всем пространством. Предполо-

жим, что рассматривается S		Z 2	орбифолд, причем относительно
	1
Z2	-симметрии y → −y .
Z2	Тогда можно ожидать,	что	относительно преобразований
	-симметрии φi → ±φi . Для четных φ-полей фурье-разложение

содержит только косинусы, тогда как для нечетных полей появляются только синусы. Если считать, что брана локализована при y = 0 , тогда на этой бране нечетные φ-поля будут отсутствовать, а

спектр четных и нечетных состояний будет асимметричным. При этом, очевидно, η−φ-связь будет нарушать CP. Возвращаясь к мо-

дели раздела 11.6.1, получаем, что двухпетлевые вклады в этом случае не сокращаются, и электрон получает ненулевой EDM.

В этом примере произвольно выбранные для нарушения CP граничные условия, можно сказать, введены «руками», однако они очевидным образом связаны с геометрией пятого измерения. Возможно построить модели, в которых асимметричные граничные условия диктуются кинематикой пятого измерения. В качестве примера рассмотрим модель, в которой фермионное поле распространяется во всем пространстве, причем его 5-мерная кинетическая энергия может быть записана в терминах 4-мерных полей:

506

iψγμ∂μψ +(	ψ	L∂yψR −ψR∂yψL ) .	(11.84)
Из-за присутствия второго слагаемого, Z2 -инвариантность под-
разумевает, что ψL и ψR имеют противоположные			Z2 -четности.

В результате, если одно из полей имеет четные Фурье-компоненты (косинусы), то другое с необходимостью имеет нечетные (синусы) компоненты, т. е. исчезает на бране y = 0 . Асимметрия в спектре,

необходимая для CP-нарушения, возникает достаточно естественно. Аналогично, если имеет место суперсимметрия, то объемная суперсимметрия N = 2 -типа, а N = 2 -супермультиплет имеет два

N =1 киральных суперполя (H , H C ) . В эффективном лагранжиане имеется слагаемое вида ∫dyH∂y H C . Таким образом, два поля H и

H C имеют противоположные Z2 -четности, это приводит к асим-

метричному спектру полей и к CP-нарушению.

Приведем примеры моделей, в которых эффективное CP-нарушение возникает за счет асимметричных граничных условий.

11.6.6.CKM-модель из асимметричных орбифолдных граничных условий

Чтобы увидеть, как известная CKM-модель возникает при компактификации на орбифолд, снова обратимся к модели раздела 11.6.1 в 5-ти измерениях с пятым измерением, компактифицируе-

мом на S1(Z2 ×Z2′ ) . В этом случае возникают четыре различных типа состояний, которые мы обозначим следующим образом:

(+,+) , (+,−) , (−,+) , (−,−) .

(11.85)

За исключением (+,+) , все другие состояния не имеют нулевых

мод,	т. е.	они не обнаруживают себя при	низких энергиях
(E R−1)		. Отметим число фермионных дублетов в 5-мерной мо-
дели	по	сравнению с 4-мерной моделью:	это (qL ,qR ) –
		507

SU (2)A -дублеты; (uR ,uL ),

(dL ,dR )

– синглеты. Кваркам и лепто-

нам приписываются следующие Z2 ×Z2′ квантовые числа.

поля

Z

2

× Z′

квантовые числа

2

qL , uR , dR , ψL , eR , H A

(+, +)

qR , uL , dL , ψR , eL , HB

(−, −)

QL , UL , DL , ψL , EL

(+, −)

QR , UR , DR , ψR , ER

(−, +)

CP-инвариантная юкавская связь в 5-ти измерениях имеет сле-

дующий вид:

L′

= h qH

QH

D

(11.86)

A

d + h qH

A

u + h

B

+ h QH U + э.с.

Y

d

u

d

u

B

Заметим, что hd′

и hu′ в выражении (11.83) не совместимы с

Z2 ×Z2′ -симметрий.

На бране при

y = 0

выживают только поля с

квантовыми числами (+,+) , именно это обстоятельство приводит к

известной CKM-модели. CP-симметрия исчезает из-за асимметрии в спектре, возникающей при построении орбифолда. CP-нарушающий эффект, создаваемый комплексными фазами в hu

и hd , сокращается подобными же эффектами, создаваемыми

CP-сопряженными состояниями. Однако асимметрия башен Калу- цы-Клейна CP-сопряженных фермионов нарушает это сокращение.

11.6.7.Общий геометрический источник P- и CP-нарушения

Используя модель раздела 11.6.3, покажем, что P- и CP-нарушения имеют общий геометрический источник. Будем предполагать, что поля модели принадлежат бране, а синглетное

нейтрино νB распространяется во всем пространстве. Полевое содержание браны определяется SU (2)L ×SU (2)R ×U (1)B−L калиб-

ровочной теорией и фермионными дублетами Q ≡ (u,d ) и

508

Ψ ≡ (ν,e) , хиггсовскими полями χL (2,1,1) и χR (1,2,1) , а также бидублетом φ(2,2,0) и P-, CP-нечетным полем η. Эти поля относи-

тельно P- и C-преобразований ведут себя согласно соотношений

(11.76) и (11.77).

Чисто объемная, как и брана-объемная, связь определяется сла-

гаемыми
iνBγμ∂μνB +(νLB∂yνRB − νRB∂yνLB )+
					(11.87)
	B	+ ψRχRν		B
+∫dyδ( y) ψLχLν					+ э.с. .
Как обсуждалось в разделе 11.6.6,			Z2 -инвариантность объемно-

го лагранжиана подразумевает, что относительно преобразований Z2 νBL и νBR имеют противоположные четности. Поэтому предположим, что νBL (x,−y) = νBL (x, y) и νBR (x,−y) = −νBR (x, y) . Это означает, что для браны, локализованной при y = 0 , поле νBR исчезает,

а поле νBL остается. Таким образом, эффективная теория на бране

оказывается лево-право асимметричной, т. е. P-четность нарушается.

При этом массы χL и χR оказываются асимметричными, поле η

приобретает ненулевое вакуумное среднее и происходит CP-нарушение. CP-нарушающая фаза трансформируется в фермионы посредством фаз φ . Чтобы CP-фаза проявила себя при

низких энергиях, надо иметь в бидублете φ два хиггсовских дублета, которые бы «выживали» при энергиях ниже WR -масштаба. Если WR -масштаб находится в ТэВ-ной области, то «тонкой настройки» не требуется.

11.6.8. Профиль геометрического CP-нарушения в MSSM

Рассмотрим, как проявляет себя новый механизм CP-нарушения в MSSM. Для этого начнем с обычного MSSM полевого содержания на бране ( SU (2)L ×U (1)Y калибровочной группы и суперполей Q,

509

L, uC , dC , eC , Hu , Hd ), дополненного единственным суперпо-

лем – переносчиком CP-нарушения. Во всем пространстве имеем N = 2 суперсимметрию. На бране имеем два N = 2 супермульти-

плета, обозначаемые их N =1 компонентами (H1, H1C , H2 , H2C ). Относительно CP поля MSSM преобразуются обычным образом: Q → QC и т. д. Оставшиеся поля преобразуются так:

η → −η , H → H C ,		H	2	→ H C .	(11.88)
1	2			1

Считаем, что до компактификации теория CP-симметрична, т. е. единственная фаза в теории содержится в связи поля η с объемными полями H1,2 :

Wη = η(λH1H2 −λ H1C H2C )+ M1η2 +

(11.89)

+M2 (H1H2 + H1C H2C ),

где массы M1,2 следует ожидать на уровне фундаментального

масштаба теории. Можно построить теорию, в которой массовые параметры M1,2 и μ-член возникают из Kahler-потенциала

4

S+

C

C

S

K

=

∫

d

θ

H

H

2

+ H

1

H

2 )

+βH

H

.

(11.90)

M Pl

(

1

u

d

Отметим, что объемная кинетическая энергия содержит член H∂y H C . При этом необходимое условие для CP-нарушения (H и

H C имеют противоположные Z2 -четности) автоматически выпол-

няется, и CP-нарушение на бране весьма естественно из-за асимметричного спектра объемных полей.

Чтобы пояснить профиль CP-нарушения, запишем суперпотенциал на бране, включающий η-поля (обычный MSSM-супер- потенциал для простоты опускаем). Чтобы учесть нарушение суперсимметрии, имеем в виду наличие скрытого сектора. Для «включения» нарушения SUSY введем синглетное поле S, тогда

W	= (iη+ M	) a +b	S	H		H	d	.	(11.91)
брана		слаб.			u
			M Pl
		510