Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

При этом мы опустили члены, подавленные степенями M Pl , по-

скольку их влияние на CP-нарушение пренебрежимо мало. CP-нарушение в MSSM возникает тогда, когда поле η приобре-

тает ненулевое вакуумное среднее за счет петлевых поправок, включающих поля H1,2 . В суперсимметричном пределе, вследст-

вие теоремы о перенормируемости суперсимметрии, η = 0 . При этом η M16SUSYπ2 , если параметр mη оказывается в ТэВ-ном мас-

штабе. Это приводит к CP-нарушению в MSSM только за счет μ- и Bμ -членов. Все другие CP-нарушающие фазы в этой модели чрез-

вычайно малы из-за подавления массой Планка. Например, чтобы получить CP-нарушение в скварковых массах, надо записать оператор типа

+
∫d 4θη	SS	Q+Q .	(11.92)
	3
	M Pl

После того, как поле η приобретает вакуумное среднее, фаза

оказывается порядка ~ 10−16 .

Путем переопределения одного из хиггсовских суперполей, можно сделать член Bμ вещественным. Таким образом, единствен-

ным комплексным параметром в теории остается μ-член. Более того, CP-фаза естественным образом оказывается порядка 10−2 из-за

фактора 16π2 . При этом в теории отсутствует обычного типа CM-фаза.

Кратко обсудим, способна ли эта модель объяснить наблюдаемое CP-нарушение в каонных системах. Единственная комплексная фаза появляется за счет слагаемого в лагранжиане

μ

e

iα

C

+

μ

u

C

,

(11.93)

h Q H

d

h Q H

d ,ij i

u

j

u,ij i

d

j

которое вызывает LR-смешивание скварка:

	((Ad +		μ		eiα tanβ)md )
δdLR,ij =					ij	,	(11.94)
			M SUSY2

511

где md – массовая матрица down-кварка, Ad – трилинейная мат-

рица связей, нарушающих суперсимметрию. В общем случае, эта матрица не является единичной матрицей на слабом масштабе, хотя она может быть единичной матрицей на масштабе нарушения

SUSY. Для m	~ m = 500 ГэВ ограничения на mK и ε дают
Q	G
	(ReδdLR,12 ) ≤ 4.4 10−3,
	(11.95)
	2(ReδdLR,12 )(ImδdLR,12 ) ≤ 3.5 10−4.

Если в рассматриваемой модели выбрать предельные значения в

соотношениях (11.95), то получим		ε′		1.4 10−3 , что находится в
		ε

хорошем согласии с экспериментом. Значение электрического дипольного момента нейтрона можно получить меньшим экспери-

ментального предела в 11 10−26 e см, если считать

ImδdLR,12 < 3.0 10−6 для mQ ~ mG = 500 ГэВ.

Завершая обсуждение CP-нарушения, стоит отметить, что мы еще далеки от разрешения проблем CP-нарушения. Возможно, это именно «то место», где проявит (или уже проявляет?) себя новая физика.

512

Глава 12 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ

И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ

12.1. Введение

Численные значения измеряемых величин, таких как длина и время, мы получаем путем сравнения с эталонами – единицами измерения. Другими словами, требуется система единиц. Поэтому, прежде чем обратиться к определению фундаментальных констант, полезно рассмотреть физическую систему единиц. В томе 3 «Лекций по теоретической физике» Зоммерфельда приводятся рассуждения, основной смысл которых состоит в том, надо ли вводить отдельные единицы для электрического и магнитного зарядов, наряду со стандартными механическими единицами массы, длины и времени ([M, L, T]). Если ввести отдельную единицу для электри-

ческого заряда [Q], то необходимо ввести в закон Кулона F ~ q1q2 r2

фактор, который бы переводил механические единицы [MLT −2 ] левой части, в другие единицы [Q−2L−2 ], появляющиеся в правой части. Как известно, этот перевод осуществляется фактором ε0 -

	диэлектрической проницаемостью вакуума: F =	1		q1q2	. С дру-
		4πε0		r2

гой стороны, закон Кулона можно использовать для определения заряда в терминах механических единиц. Сила взаимодействия между двумя единичными зарядами на расстоянии в один сантиметр, по определению, равна одной дине. В атомной физике есть экспериментально определяемая величина, служащая определением единицы заряда – заряд электрона. Все другие заряды можно выразить через заряд электрона. Тогда ε0 становится измеряемой «фун-

даментальной константой», параметризующей кулоновскую силу между электронами. В этой системе численное значение заряда электрона принимается за единицу: е = 1[Q]. Как отмечалось выше,

513

нетривиальное значение заряда электрона можно выразить в чисто механических единицах и считать это значение единицей измерения заряда. На этом пути получаем определенную комбинацию

размерностей [M, L, T]: [Q2 ] =[ML3T −2 ] .

Очевидно, что определение фундаментальных констант включает элемент условности. Это определение зависит от того, сколько единиц измерения выбрано. Если вводится дополнительная единица измерения (например, [Q]) , то в соответствующих уравнениях нужны дополнительные фундаментальные константы (такие, как ε0 ). Если мы допускаем существование электронов, имеющих

строго одинаковый заряд во всех пространственных точках в любой момент времени, то тогда возможно использовать универсальную величину заряда электрона в качестве единицы измерения заряда. Если мы принимаем справедливость закона Кулона, то этот закон выражает заряд в механических единицах. Вообще говоря, чем больше априорных факторов мы принимаем, тем меньше единиц и фундаментальных констант следует ввести. Приведем пример, иллюстрирующий это утверждение. Предположим, что мы не предполагаем вращательной инвариантности законов физики, т.е. допускаем существование выделенного направления. Тогда мы могли бы сформулировать две независимых версии закона Кулона: одна из них соответствовала бы случаю, когда линия, соединяющая заряды лежит в предпочтительном направлении. Другая версия закона возникает в случае, если эта линия перпендикулярна выделенному направлению. Каждому случаю соответствует своя собственная ε: εlong и εtrans . В принципе, измерения могли бы устано-

вить близость этих двух фундаментальных констант. Конечно, допуская различные теоретические предположения, мы могли бы исключить фундаментальную константу εlong / εtrans , однако на этом

пути мы рискуем потерять физическое содержание теории. За последние примерно 35 лет все «неприводимые» законы физики (которые нельзя вывести из других) содержатся в так называемой стандартной модели. Таким образом, стандартная модель – это теоретическая схема, в которой следует определять фундаментальные константы. В последующем обсуждении будем использовать

514

несколько «нестандартное» определение стандартной модели. Вопервых, будем включать в стандартную модель гравитацию с помощью эйнштейновской общей теорией относительности, имея в виду процедуру минимальной связи. Кроме того, включим в стандартную модель массы нейтрино и смешивания.

Стандартная модель, как обычно, определяется своим лагранжианом. Зная лагражиан, можно извлечь с помощью методов релятивистской квантовой теории все уравнения и феноменологические следствия. В этой схеме можно дать естественное определение фундаментальной константы – это параметр, который необходимо ввести, чтобы определить лагранжиан стандартной модели. Поскольку принципы специальной теории относительности и квантовой механики составляют основу стандартной модели, то кажется естественным определить с и = в качестве единицы скорости и действия. Если положить = = c =1 , то эти величины уже не войдут в теорию в качестве параметров. Действительно, скорость света с полностью аналогична параметру εlong / εtrans , обсуждавшемуся

выше. Это параметр, учитывающий возможные отличия в величинах, чьи относительные значения фиксируются симметрией. = тоже появляется в алгебре симметрии – алгебре канонически сопряженных величин в фазовом пространстве. Можно также сказать, что = проявляется вследствие периодичности температуры Т при

трансляциях в мнимом времени: τ = T= . После того, как определена

единица действия, действие ∫d 4 xLст.мод. описывает всю динамику системы. Кинетические члены

L

=

1

g gαβ∂

α

φ∂

β

φ∂

α

φ∂

β

φ,

2

φкин

1

I

(12.1)

L

=

geαψγ

ψ

2

ψкин

a

α

α

соответствуют скалярным и спинорным полям. Очевидно, что поля

φ и ψ имеют размерности [L−1] и [L−	3
	2	] , где L – единица dx. Заме-

тим, что соотношения (12.1) включают объемный фактор g , мет-

515

рику gαβ , вербейн eaα и ковариантную производную, содержащую

член со спиновой связностью. Таким образом, действительно в этом подходе учитывается гравитация. В отсутствие гравитации следует рассматривать предельный случай плоского пространства:

g = 1, gαβ = ηαβ = (1, –1, –1, –1); eaα становится δ – символом

Кронекера, а ковариантная производная D →∂ .

Взаимодействия в стандартной модели содержат различные произведения скалярных и векторных полей с коэффициентами, частично фиксированными симметрией. Поскольку единицы изме-

рения полей фиксированы и фиксированы единицы ∫d M Lст.мод , то

единицы этих коэффициентов тоже будут фиксированы как различные степени [L]. Таким образом, все параметры стандартной модели можно выразить в одних единицах. В физике высоких энергий в качестве фундаментальных единиц выбираются масса, энер-

гия или импульс. Все они эквивалентны [L−1] , поскольку [M ] = =c [L−1],[E] = =c[L−1],[P] = =[L−1] . Для последующего обсуж-

дения удобно определить размерность массы как степень [M]. Тогда скалярные и векторные поля имеют размерность 1, а спинорные поля имеют размерность массы 3/2.

Члены с локальным взаимодействием содержат произведения полей и их производных, вычисленные в определенной точке. Коэффициент при таком члене называется константой связи, то есть должен иметь соответствующую размерность массы, поскольку каждый член в плотности лагранжиана имеет размерность 4. Калибровочные связи стандартной модели вводятся путем процедуры «минимальной связи», состоящей в замене обычной производной на ковариантную

∂α → ∂α +i∑g j τaj Aαa ,	(12.2)
j

где τa генераторы группы симметрии (для абелевой группы это вещественное число).

516

Так как ∂α и Aαa имеют размерность массы, равную 1, самосо-

гласованность требует, чтобы калибровочные константы имели нулевую размерность, то есть калибровочные константы – просто числа.

Массы кварков и заряженных лептонов возникают за счет юкавских связей в лагранжиане

Lюкава = yψφψ,

(12.3)

где ψ – спинорное фермионное поле, φ – скалярное поле (хиггсовское поле). Так как полная массовая размерность должна быть равна 4, а массовые размерности ψ, φ – 3/2 и 1, то юкавские константы связи (y) оказываются безразмерными. Хиггсовский потенциал

V = μ2		φ		2 − λ		φ		4	(12.4)
φ

вносит еще один безразмерный параметр λ и параметр μ с размерностью массы, равной 1. Это все типы связей, которые существуют в рассматриваемой нами стандартной модели (за исключением гравитации и масс нейтрино). Таким образом, все фундаментальные

константы безразмерны, за исключением μ2 , имеющего размер-

ность, равную 2.

Тот факт, что сильные и электрослабые взаимодействия, совместно с массами кварков и заряженных лептонов, можно описать фундаментальными параметрами, чьими единицами измерения являются неотрицательные степени масс, весьма показателен. Действительно, проблематично иметь фундаментальные константы, чьими единицами измерения являются отрицательные степени масс. В самом деле, зачастую член с взаимодействием можно рассматривать как возмущение. Если связь k, ассоциированная этим взаимодействием, имеет отрицательную (–р) размерность массы, то соответствующие степени этой константы связи будут содержать сте-

пени kΛp , где Λ – некоторый параметр размерности массы. Как будет видно ниже, взаимодействия в локальной теории поля являются жесткими, то есть содержат связи с произвольно высокочастотными модами. Можно считать, что Λ характеризует наибольшую массовую шкалу (обрезание), приводящую к расходимости.

517

Обратимся к концепции «жесткости» в теории поля. Чтобы построить локальное поле Ψ(x) в пространственно-временной точке

х, выберем суперпозицию

Ψ(x) = ∫	d 4k			ikx
			e	Ψ(k) ,	(12.5)
	(2π)	4

которая включает компоненты Ψ(k) , содержащие сколь угодно

большие импульсы. Более того, в случае наиболее общего взаимодействия

∫Ldx ∫Ψ(x)			3	dx∫	d 4k				d	4k	2				d 4k	3		×
						1
					(2π)		4		(2π)			4			(2π)		4
																		(12.6)
						4	δ	(4)		(k1			+ k2 + k3 )
×Ψ(k1)Ψ(k2 )Ψ(k3)(2π)

моды с малыми импульсами k1 ≈ 0 связаны без всякого подавления с высокоимпульсными модами k2 и k3 ≈ −k2 . Локальные связи яв-

ляются в этом смысле жесткими.

Вне зависимости от симметрий стандартной модели и соображений локальности, можно рассматривать внутренний магнитный момент частицы, к которому приводит взаимодействие типа

L = k	0	eσμνeF .	(12.7)
		μν

Такое взаимодействие нарушит согласие теории и эксперимента, если не считать коэффициент k0 достаточно малым. Размерность

массы у коэффициента k0 равна [M −1] , и он должен быть

< (10 ТэВ)–1. Аналогично, согласие между измеряемыми процессами слабых взаимодействий и предсказаниями электрослабой теории исключает присутствие сколько-нибудь значимого присутствия неперенормируемых 4-фермионных взаимодействий типа:

L	= ηij	ψ	ψk ψ	ψl ,	(12.8)
4 ferm	kl	i	j

причем размерность массы у коэффициента η равна (–2).

Как хорошо известно, 4-фермионное взаимодействия составляли основу ферми-теории β-распада, обобщенную на (V–A)-вариант. С сегодняшней точки зрения, это была эффективная низкоэнергетическая теория, пригодная для описания экспериментальных данных

518

при энергиях, меньших масс W и Z бозонов. Действительно, «стандартная» теория, расширенная включениями нейтральных токов, возникает как приближение электрослабой теории, в которой «проинтегрировано» по вкладам W и Z бозонов. В терминах диаграмм Фейнмана, происходит замена пропагатора на его низкоэнергетический предел

	1	→ −	1	.	(12.9)
	p2 − M 2		M 2

Таким образом, неперенормируемые взаимодействия могут возникать в эффективных теориях, причем коэффициенты при них отражают масштаб более фундаментальной теории.

С этой точки зрения, малость вкладов неперенормируемых взаимодействий можно интерпретировать следующим образом:

а) стандартная модель неполна, но она включена в более общую теорию, имеющую «хорошее» поведение при высоких энергиях

б) существуют значительно разделенные масштабы, т.е. факто-

ры 1/ M P , возникающие при интегрировании по «тяжелым» модам в более общей теории, очень малы (т.е. М – очень велико).

Дальнейшие указания в пользу такой точки зрения возникают при рассмотрении нейтрино и объединения калибровочных констант.

Предположение о том, что неперенормируемыми взаимодействиями можно пренебречь, весьма продуктивно, поскольку число остающихся возможностей для связей с неотрицательной размерностью массы, весьма ограничено. Все перенормируемые взаимодействия, совместимые с калибровочной симметрией и мультиплетной структурой стандартной модели, оказываются допустимыми. Существует замечательное согласие между симметриями стандартной модели, допускающим произвольные перенормируемые взаимодействия и симметриями окружающего нас мира. На этой основе оказывается возможным понять, например, почему странность нарушается, а барионное число – нет. Единственным исключением является θ-член КХД, который допускается симметриями стандартной модели, но в измерениях практически равен нулю.

519

Чтобы получить ненулевые значения масс нейтрино в стандартной модели, нужно допустить неперенормируемые взаимодействия. Обычный массовый член ~ νν невозможен, поскольку нейтринное поле ν – левое. Так называемый майорановский член

L	~ ε	ij	νi νj ,	(12.10)
майоран

где левое нейтринное поле записано в двухкомпонентном виде, кинематически допустим. Так как нейтринное поле имеет SU(2)L×U(1)Y квантовые числа (1/2, –1/2), то лагранжиан (12.10) с необходимостью нарушает SU(2)L×U(1)Y симметрию. Поскольку поле φ тоже имеет относительно SU(2)L×U(1)Y квантовые числа (1/2, –1/2), то допустим следующий член в лагранжиане

L	= ηabε	LiαLjβφ+φ+ .	(12.11)
майоран. симм		ij a b α β

В этом выражении a и b – индексы ароматов; α и β – индексы SU(2). Нейтрино входит в дублет с заряженным лептоном, т.е. для α = 1 La – нейтринное поле, при α = 2La – заряженное лептонное поле. Когда φ1 приобретает ненулевое вакуумное среднее, лагран-

жиан (12.11) индуцирует матрицу Lмайоран. масса. Эта матрица, наряду с кинетическим членом, описывает распространение нейтрино.

Её недиагональные элементы характеризуют нейтринные осцилляции. Измеряемые значения масс нейтрино < 10–2 эВ. Это означает, что масштаб ηab ~ (1016 ГэВ)–1. Таким образом, из того факта, что массы нейтрино малы, следует, что неперенормируемые взаимодействия подавлены. Следуя аналогии со «старой» теорией слабых взаимодействий, можно сказать, что малость нейтринных масс есть следствие очень большого скрытого масштаба.

Эффективной нейтринный массовый член, типа только что обсужденного, является единственным согласованным с постулатами локальности и калибровочной инвариантности членом в стандартной модели, коэффициент при котором имеет размерность мас-

сы –1.

Четырехфермионные взаимодействия с коэффициентами

~ M −2 , M ~ 1016 ГэВ оказываются слишком малыми, чтобы быть наблюдаемыми. Таким образом, они могут присутствовать в теории без каких-либо последствий. Пожалуй, единственное исключе-

520