Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

n	1 j 1 j 1 ml			j1	ml		r	jr
Kn n!			1						,
	j1 ! jr !
r 0 j,l			l1 !			lr !

где внутреннее суммирование производится по всем неотрицатель-

ным целым числам		j и l, удовлетворяющим следующим услови-
r	r
ям: jili	n и ji	j.
i 1	i 1

Необходимо отметить, что, учитывая взаимосвязь характеристической и производящей функций (П3.7), можно переписать определение семиинварианта (3.12) с использованием производящей функции следующим образом:

Kn i

n d n ln f

t

i

n d n ln exp it

dt

n

dt

n

t 0

t 0

i

n d n ln u d nu

d n ln u

,

du

n

dt

n

du

n

t 0

u 1

где u t exp it .

В многомерном случае семиинвариант определяется аналогично

(3.12). Точнее, пусть 1, r – r -мерный случайный вектор,
то есть набор из r случайных величин,	f t1, tr – соответствую-
щая характеристическая функция. Если	i 1, r :		i		n для
n 1, то логарифм ln f t1, tr (ветвь, равная нулю в нуле) имеет в

некоторой окрестности точки				t1 tr 0 непрерывные частные
производные до порядка n включительно. Величины
K		i k1 kr		k1 kr		ln f t , t					,
					k1 t kr
	k1 kr	t				1	r
				1	r					t 0
		r
где i 1, r : ki		0, ki n		называются семиинвариантами по-

	i 1
r
рядка k ki	случайного вектора .
i 1

138

Определение 3.47. Факториальным моментом поряка k ( k 1 – целое) случайной величины называется числовая характеристика данной величины, равная математическому ожиданию (если оно существует) случайной величины k 1 k 1 :

Fk k

1 k 1 .

(3.13)

Факториальные моменты могут быть выражены через моменты случайной величины и наоборот.

Факториальные моменты используются, как правило, для целочисленных случайных величин и этом случае они достаточно просто выражаются через производные соответствующей производящей функции:

	d k z
	Fk								,	k 1.	(3.14)
			dz	k
								z 1
Необходимо отметить, что					для				любой случайной		величины
: ,A,P X ,B ; 0			и		для любой неотрицательной B -
измеримой функции	f справедливо следующее неравенство:
P A	f			, где A						x; f x .	(3.15)

Неравенство (3.15) называется неравенством Чебышева. Скалярное произведение на линейном пространстве случайных

величин вводится следующим образом: для двух любых случайных

величин : ,A,P X ,B

и : ,A, P X ,B скалярное

произведение равно , .

Таким образом, для действительных случайных величин получается евклидово пространство интегрируемых с квадратом случайных величин L2 ,A,P .

На языке вероятностей общее определение 3.39 можно переформулировать следующим, более простым и распространенным, образом.

Определение 3.48. Две случайные величины и называются независимыми, если для любых вещественных чисел x и y :

P x, y P x P y .

139

Подобное утверждение справедливо и для конечномерного набора 1, 2 , , n случайных величин.

Важным следствием независимости случайных величин является следующее соотношение для математического ожидания произведения независимых случайных величин:

n n

i i .

i 1 i 1

5.5. Счетные вероятности

В теории, посвященной счетным вероятностям и основанной на работе Э. Бореля, речь идет об изучении бесконечной последовательности экспериментов. Важно отметить, что “по Бернулли” всегда рассматривают только вероятности событий, зависящие от конечного числа n экспериментов, даже если в дальнейшем происходит неограниченное увеличение n. Данный случай принципиально отличается от случая, когда изучаются, следуя Э. Борелю, вероятности событий, зависящих от бесконечной последовательности экспериментов.

При таком подходе часто рассматриваются события, теоретически возможные, но имеющие нулевую вероятность. Например, таким событием является постоянное выпадение «орла» при подбрасывании монеты. Соответственно, событие, противоположное событию с нулевой вероятностью, будет иметь единичную вероятность. Такие события называют «почти достоверным» или проис-

ходящим «почти наверное».

Лемма 3.5. (Бореля) Если последовательность независимых экспериментов дает для наступления события E следующие вероятности: 1, 2 , , n , , то вероятность осуществления события E бесконечное число раз может быть только нулем или единицей.

Данная вероятность равна нулю, если ряд n сходится, и равна

n 1

единице, если указанный ряд расходится.

140

Лемма 3.6. (Кантелли) В случае сходимости ряда n , рас-

n 1

сматриваемого в лемме 3.5 (Бореля), утверждение Э. Бореля справедливо и тогда, когда эксперименты не являются независимыми.

Последнее утверждение часто называют также леммой Бореля – Кантелли1, подчеркивая тем самым, что оно является расширением леммы 3.5 (Бореля). Лемму 3.6 удобно использовать даже в тех

случаях, когда вероятности i n являются независимыми друг от

i 1

друга, так как в этом случае не надо доказывать специально эту независимость.

§6. Случайные процессы

Определение 3.49. Случайной функцией называется семейство случайных величин , зависящих от некоторого параметра t, значения которого пробегают произвольное множество T.

Ниже случайная функция обозначается общепринятым способом, а именно, либо t , t T (параметр t записывается в виде ин-

декса), либо t , t T.

Поскольку случайная величина является измеримым отобра-

жением основного вероятностного пространства ,A,P в изме-

римое пространство X ,B , то случайная функция t , t T – это,

если записать определение 3.42 более подробно, функция t от двух параметров t T, , которая при каждом значении t явля-

ется измеримой по .

Ниже, если специально не оговорено, в случае, когда рассматриваются числовые случайные функции, в качестве измеримого

пространства X ,B подразумевается числовая прямая R1 с соот-

1 В данном случае лемма Бореля – Кантелли сформулирована на языке вероятности, более удобном с точки зрения эксперимента. Формулировка данной леммы на языке меры представлена выше в §4 и обозначена как лемма 3.2.

141

ветствующей -алгеброй борелевских множеств B1 (или ком-

плексная плоскость C2 с соответствующей -алгеброй борелев-

ских множеств C2 ).

Когда T – подмножество действительной прямой, а параметр t интерпретируется как время, вместо термина «случайная функция» употребляется термин «случайный процесс» (когда подмножество T состоит из целых чисел, говорят также о случайной последова-

тельности). Иногда вместо термина «случайный процесс» используют термины «вероятностный процесс» или «стохастический процесс». В случае когда t описывает некоторую совокупность параметров, то есть является многомерным параметром вводится термин «случайное поле».

Качественно случайный процесс можно определить как процесс (то есть изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого зависит от случая и для которого определена веро-

ятность того или иного его течения.
Если случайная функция t интегрируема в квадрате,			то опре-
делено скалярное произведение t,s T : t , s t s ,			являю-

щееся функцией двух переменных t,s . Данная функция двух пе-

ременных, в свою очередь, позволяет однозначно задать случайную функцию t , t T с точностью до изометрического линейного пре-

образования пространства L2 ,A,P .

По-видимому, не имеет смысла рассматривать только моменты второго порядка t s , не рассматривая моменты первого порядка. Поэтому в качестве характеристик интегрируемой в квадрате случайной функции вводится математическое ожидание t и

корреляционная функция t,s 1, которая определяется как кова-

риация случайных величин t и s , t,s T согласно следующему равенству: t,s T : t,s cov t , s . В соответствии с данным определением при s t можно получить не что иное как диспер-

1 В литературе для корреляционной функции также встречаются следующие обозначения: t, s или t, s .

142

сию случайной функции t , то есть t,t D t . Важно отметить,

что корреляционная функция довольно простым образом связана с моментами низших порядков:

t,s t s t s

или, переписывая данную формулу через скалярное произведение,

t,s t , s t ,1 1, s .

Важно отметить, что математическое ожидание и корреляционная функция задают случайную функцию t однозначно с точностью до изометрического линейного преобразования пространства L2 ,A,P , оставляющего неподвижным вектор 1.

§7. Распределения случайной функции

В данном параграфе рассматриваются распределения случайной функции, то есть параметр t имеет общий смысл и не отождествляется со временем, если другое не оговорено специально. Таким образом, рассмотрение, представленное ниже, носит общий характер. При выполнении отождествления параметра t со временем изложенные ниже результаты оказываются справделивыми для случайных процессов.

7.1. Конечномерные распределения случайной функции

Пусть t является случайной функцией для t T, то есть для

каждого t T : t	– случайная величина. Тогда t1,t2 , ,tn T век-
тор t1 , t2 , , tn	является случайным вектором, принимающим

значения в измеримом пространстве X n ,Bn .

Определение 3.50. Распределением произвольного случайного конечномерного вектора t1 , t2 , , tn называется вероятностная мера, определяемая по следующей формуле:

def

t1 t2 tn A t1 t2 tn A P t1 , t2 , , tn A , (3.16)

143

где A – произвольное,	A Bn .			A t1 t2 tn A ,
Определение 3.51.	Распределение t	t	t
	1	2	n

определенное при указанных выше условиях, называется конечномерным распределением случайной функции t ,t T.

Замечание 1. Конечномерные распределения имеет смысл рассматривать как для всех различных t1,t2 , ,tn , так и в случае, когда некоторые из них совпадают друг с другом. Однако распределенияt1 t2 tn , для которых какие-то из t1,t2 , ,tn совпадают, можно вы-

разить через конечномерные распределения, соответствующие попарно различным элементам T. Так, например,

t1 t1 t2 A t1 t2 B ,

где B x, y : x, x, y A B2; t1,t2 T , t1 t2 , A B3.

Замечание 2. Если две случайные функции стохастически эквивалентны, то их конечномерные распределения совпадают. Исключительно важно отметить, что обратное утверждение не верно.

Замечание 3. Важно отметить, что реализации стохастически эквивалентных случайных функций могут быть совершенно различны.

Пример 3.1.

Пусть T 0,1 и пусть дана случайная величина , 0 1 с

непрерывным распределением. Рассмотрим две случайные функции t и t , t T. Положим t 0,1 : t 0 и

0, t ;

t

1, t .

Случайные функции t и t являются стохастически эквивалент-

ными, так как P t t P t 0. С другой стороны, траекто-

рия t имеет разрыв в точке t , в то время как траектория слу-

чайной функции t – тождественный нуль.

144

7.2. Основные типы случайных процессов

Определение 3.52. Говорят, что числовой (или векторный) слу-

чайный процесс t , t T R1 является процессом с независимыми приращениями, если его приращения на непересекающихся отрез-

ках не зависят друг от друга, то есть если t0 ,t1, ,tn T		таких, что
t0 t1 tn , случайные величины t1 t0 , , tn	tn 1	являются
независимыми.
Определение 3.53. Случайный процесс t , t T	называется ста-
ционарным (однородным во времени), если h R1	конечномерное

распределение данного случайного процесса не меняется при сдвиге на h :

t1 tn t1 h tn h ,

для t1, tn ,t1 h, tn h T.

В той мере, в какой теория случайных процессов отражает ка- кие-либо явления реального мира, понятие стационарности случайного процесса отражает идею неизменности совокупности условий, в которых протекает данный случайный процесс.

Стационарность процесса, то есть, согласно определению 3.53, неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий. Для большей части как самой теории случайных процессов, так и ее приложений достаточно предположения о стационарности в широком смысле, то есть требования независимости от t математических ожиданий t и

t t h. Из данного предположения вытекает возможность так называемого спектрального разложения стационарного случайного процесса

t exp it dZ ,

где Z – случайная функция с некоррелированными прираще-

ниями [113].

145

Определение 3.54. Гауссовским называется действительный случайный процесс t , t T, любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, то есть характеристические функции совместных распределений вероятностей случайных ве-

	личин t1	, , tn при любых t1, ,tn T	имеют вид:
		n		1	n
	t1 , ,tn u1, ,un exp i uk tk				tk ,tj ukuj ,
		k 1		2 k, j 1
	где t	– математическое ожидание и t,s ,t,s T				– корреляци-
	онная функция1.

Распределение вероятностей гауссовского процесса t полностью задается его математическим ожиданием и корреляционной функцией. Для любой функции f t и любой положительно - оп-

ределенной функции f t,s существует гауссовский процесс t ,

у которого среднее значение и корреляционная функция суть именно f t и f t,s .

Многомерный случайный процесс с векторными значениями

t 1 t , , m t

называется гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин i1 t1 , , in tn .

Комплексным гауссовским процессом t , t T называется случайный процесс вида

t 1 t i 2 t ,

где действительные 1 t , 2 t в совокупности образуют двумер-

ный гауссовский процесс. Иногда, говоря о комплексном гауссовском процессе t 1 t i 2 t , считают, что выполняется одно дополнительное условие:

s t s t .

1 Вследствие важности более подробно основные свойства гауссовского распределения описаны в приложении 4.

146

Данное условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно которому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом:

i 1,2 : i t it i s is Re t,s 2,

1 t 1t 2 s 2s Im t,s 2,

где для краткости введено обозначение it i t , i 1,2, корре-

ляционная функция комплексного гауссовского процесса t оп-

ределяется по формуле (3.9).

Определение 3.55. Винеровским процессом называется однородный действительный гауссовский процесс wt , t 0 с независимыми приращениями, для которого справедливо:

1)wt 0 0;

2)wt ws 0;

3)D wt ws 2 t s .

Важно отметить, что винеровский процесс имеет несколько эквивалентных определений, отражающих его свойства. Именно, гауссовский случайный процесс wt , t 0 с нулевым средним и кор-

реляционной функцией wt ws w t,s min t,s является ви-

неровским процессом.

В частном случае 2 1 винеровский процесс называют стандартным винеровским процессом.

Винеровский процесс w , 0 t допускает следующее каноническое представление:

w k uk ,

k 0

где коэффициенты разложения k – независимые гауссовские случайные величины такие, что k : k 0, wk wl k kl . Здесь k

– собственные числа, uk – собственные функции интегрального оператора с ядром w t,s min t,s , определяемые в соответст-

вии с уравнением

147