11

При	n=0	к	(2.18)	добавляется	дополнительный	вычет
res0 [X ( z ) / z]z= 0		=	limz→ 0 [X ( z )] в полюсе zp0 = 0,		который дает множитель
1/z=zn-1|n=0.

Существуют специальные таблицы обратных Z-преобразований для широкого класса дискретных функций [16].

Особенности вычисления обратного Z-преобразования при различных способах представления подынтегральной функции F(z) рассматриваются в п. 2.5.

Корни числителя Q(z) дробно-рациональной функции, описывающей сигнал X(z) (Q(z)=0), называются ее нулями. Отображение или представление нулей и полюсов на комплексной Z-плоскости используется в качестве геометрической интерпретации Z-образов дискретных сигналов.

2.4. ТЕСТОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Приводимые дискретные последовательности часто используются в системах ЦОС, в том числе в качестве их испытательных сигналов.

1. Единичный импульс: u0 ( n ) = {	1,	n= 0	. Имеет Z-образ U0(Z)=1 и
	0,	n≠ 0

равномерный частотный спектр U0(jω )=1. Для дискретных систем он имеет такое же значение, как и дельта-импульс для аналоговых. Откликом на него является импульсная характеристика дискретной системы.

2 Единичный импульс, задержанный на m отсчетов:

u0 ( n −	m ) = {	1, n= m
		0, n≠ m .

С учетом свойства задержки его Z и F (Фурье)-образы

Z{ u0 ( n − m )} = z− m ; F{ u0 ( n − m )} = e− jω mTд .

С помощью u0(n – m) любая дискретная последовательность может быть

представлена в виде дискретной свертки:				x( n ) = ∑∞	x( m )u0 ( n −	m ).
				m=	−∞
3. Единичный скачок: u1( n ) = {		1,	n≥ 0	(функция включения). Его Z-образ
		0,	n< 0
U1( z ) = ∑∞	z − n = 1/(1− z − 1 ) = z /(1−	z )	соответствует сумме			бесконечного
n= 0

числа членов геометрической прогрессии. Сигнал имеет один полюс zp=1 и нуль z0=1 в начале координат (рис. 2.4, а).

Выражение для спектра единичного скачка находится следующим образом:

12

= 1 /(1 − e − jω Tд

U1( jω ) = U1( z )

z= e

jω T

) =

д

= 1 /

e

−

jω

Tд / 2

jω

Tд / 2

− e

−

jω

Tд / 2

j(ω Tд− π

) / 2

e

=

e

/ [2 sin(ω Tд / 2)]

(при выводе использована формула Эйлера: e± jα = cosα	± j sinα ).
График модуля спектра U1( jω ) = 1 2 sin(ω Tд / 2 )	показан на рис. 2.5, а.

Откликом на сигнал u1(n) является переходная характеристика дискретной системы.

4. Прямоугольный импульс конечной длительности:

uN ( n ) = 1, 0 ≤

n ≤ N − 1,

uN ( n ) =

0

для других n.

N − 1

z − N ) /(1−

z− 1 )

Его Z-образ

U N ( z ) = ∑ z − n =

(1−

равен

сумме конечного

n= 0

числа

членов

геометрической

прогрессии,

определяемой

как

N − 1

a N ) /(1− a ) .

S = ∑

ai = (1−

К

этому

же

результату

можно

прийти,

i= 0

представив сигнал uN (n) в виде uN (n) = u1 (n) – u1 (n – N),

что в Z-области

означает:

U N ( z ) = U1( z ) − z− NU1( z ) = (1− z− N ) /(1− z− 1 ).

Сигнал имеет один полюс zp=1 и N нулей: ( 1 −

z− N ) = 0 ,

zoi

=

N 1 =

e j2π i / N ,

i = 0,

1,…N

–

1, равномерно

размещенных

на

единичной

окружности

(рис. 2.4, б).

Спектр импульса определяется выражением

U N (jù ) = (1− e− jω NTд )/ (1−

= e− jω ( N − 1 )Tд / 2

	− jω T	e− jω NTд / 2 (e jω NTд / 2 − e− jω NTд / 2 )
e	д )=	e− jω Tд / 2 (e jω Tд / 2 − e− jω Tд / 2 )	=

sin(ω NTд / 2 ) / sin(ω Tд / 2 ).

График модуля спектра U N ( jω ) = sin(ω NTд / 2 ) / sin(ω Tд / 2 ) показан на

рис. 2.5, б. Он соответствует дискретной функции sinc и имеет следующие значения в характерных точках:

13

U N ( jω

)

=

N ,

ω

=

0

0, ω = 2π i / NTд =

iω

/ N , i = 1,2,...N − 1.

д

а)

jb

б)

Z02

jb

Z01

Z0

Zp a

2π /N

Zp a

-1

0

1

-1

0

1 Z00

Z0(N-1)

в)	jb		г)		jb
	Zp				Zp1
					ω c
	ω	c
					ω cTд
Z0	ω cTд		a	Z01	a
-1	0	1	-1	0	Z02 1
					Zp2

Рис. 2.4. Картины нулей и полюсов для дискретных сигналов типа единичный скачок (а), импульс конечной длительности (б), комплексный (в) и вещественный (г) радиоскачок

Сигнал 4 применяется для анализа переходных процессов в апериодических дискретных системах.

14

а)

|U1(jω )|

б)

|UN(jω )|

1/2

ω

ω

-ω д/2

0

ω д/2

ω д

-ω д/2

-2ω д/N -ω д/N 0 ω д/N 2ω д/N

ω д/2

г)

|X(jω )|

в)

|X(jω )|

1/2

ω

1/2

ω

-ω д/2 -ω c

0

ω c ω д/2

ω д

-ω д/2 -ω c

0

ω c ω д/2 ω д-ω c ω д

Рис. 2.5. Графики модулей спектров дискретных сигналов типа единичный

скачок (а), импульс конечной длительности (б), комплексный (в) и

вещественный (г) радиоскачок

5.

Комплексный радиоскачок с частотой заполнения ω c

:

x( n ) =

e jω cnTд =

cos(ω

c

nT ) +

j sin(ω

c

nT ),

n ≥

0;

д

д

Z-образ его, как и вещественного скачка, определяется суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии:

X ( z ) = ∑∞		e jω cnTд z − n = 1/(1− e jω cTд z − 1 ).
	n=	0
СИГНАЛ ИМЕЕТ ОДИН НУЛЬ Z0 = 0 И ОДИН КОМПЛЕКСНЫЙ ПОЛЮС
z p = e jω cTд НА ЧАСТОТЕ					ω C (РИС. 2.4, В). СПЕКТР СИГНАЛА
ОПИСЫВАЕТСЯ ВЫРАЖЕНИЕМ
X ( jω ) = X ( z )|			jω T = 1/(1−		e jω сTд e− jùTд ) =
		z= e	д
= e	j[( ω − ω	с )Tд− π ] / 2	/( 2 sin	ω − ω c		Tд ).
				2

15

Модуль его | X ( jω )| = 1/ 2 | sin(ω

− ω c )Tд

/ 2 | для ω

c=ω

д/4 показан

на рис. 2.5, в.

6. Вещественный радиоскачок с частотой заполнения ω

c:

x( n ) = cos(ω c nTд ) =

( e jω сnTд +

e− jω

сnTд ) / 2,

n ≥ 0.

Его Z- преобразование

cos(ω cTд )z−

1

1/ 2

1/ 2

1−

X ( z ) =

+

=

1− e− jω cTд z− 1

1−

e jω

сTд z− 1

1−

2cos(ω

cTд )z − 1 +

z−

2

имеет пару комплексно-сопряженных полюсов z p1,2 =

e

± jω сTд

и

пару

нулей z01 =

0 и z02 = cos(ω cTд ) (рис. 2.4, г).

СПЕКТР СИГНАЛА X ( jω

) = X ( z )|z= e jω Tд =

1−

cos(ω cTд )e− jω

Tд

,

1−

2cos(ω

cTд )e

−

jω

T

e

− j2ω T

д +

д

взятый по модулю, показан на рис. 2.5, г для ω

c=ω д/4.

Сигналы 5,6 используются для анализа переходных процессов и

избирательности селективных дискретных систем.

7. Комплексный радиоимпульс конечной длительности NTД:

x( n ) =

e jω onTд = cos(ω

0 nTд ) +

j sin(ω 0 nTд ),

0 ≤

n ≤

N −

1.

Ему соответствует Z-образ

N

− 1 jω

nT

N /(1− e

jω

T

− 1 )

X ( z ) = ∑

e

o д z− n = (1− e jω oNTд z−

o

д z

n= 0

и Фурье-преобразование

ω

−

ω

e− j( ω − ω o )NTд )

ω

− ω

sin

o

NTд

(1−

− j

o

( N − 1)Tд

2

2

X ( jω ) =

= e

.

(1−

e− j( ω − ω o )Tд )

sin

ω

−

ω

o

Tд

2

Спектр комплексного радиоимпульса и его график соответствуют спектру видеоимпульса 4, смещенному на частоту ω О (влево или вправо в зависимости от знака частоты ω О).

8. Вещественный радиоимпульс конечной длительности NTД: x( n ) = cos(ω o nTд ), 0 ≤ n ≤ N − 1.