23

Приведенная выше передаточная функция записана для нечетного N. При четном N она преобразуется к виду

( N − 1 ) / 2

2 | H( jω k )|

| H( 0 )|

| H( jω N / 2 )|

H p ( z ) = ∑

H ′pk( 2 )

( z ) +

+

.

N

N(1

−

z− 1 )

N(1+

z− 1 )

k= 1

Последнее слагаемое в этом выражении у фильтров с линейной ФЧХ отсутствует, т. к. на частоте ω N / 2 = ω д / 2 модуль и аргумент их ЧХ равны нулю:

| H( jω N / 2 )| = 0; θ N / 2 = 0.

5.6.6. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ СО СМЕЩЕНИЕМ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ВНУТРЬ КРУГА ЕДИНИЧНОГО РАДИУСА

Ограничение разрядности коэффициентов рекурсивных звеньев при реализации НФ на основе частотной выборки изменяет положение его полюсов и порождает проблему устойчивости таких фильтров. Она разрешается путем незначительного смещения всех нулей и полюсов фильтра на окружность ра-

диуса r < 1 (см. рис. 5.14): zоk = z рk = re jω kTд . В результате передаточные

функции нерекурсивной части рекурсивных звеньев фильтра преобразуются к виду

H н( z ) = 1−	r	N	z	− N	; H ′pk ( z ) = 1/(1− r e	jω	k	Tд	z	− 1	).

Передаточная функция рекурсивной части фильтра с вещественными коэффициентами в данном случае сохраняет свое первоначальное выражение, но с отличающимися значениями коэффициентов рекурсивных звеньев:

b0k = cosθ k ; b1k = − cos(θ k − 2π k / N ) ; a1k			= − 2cos( 2π k / N ) ; a2k		=	1.
Для звена первого порядка при k = 0 b00 =			1; b10 = 0; a10 = −	r; a20		=	0 .
В случае линейной ФЧХ фильтра b	0k	= (	− 1)k cos(π k / N );	b	=	−	rb	0k	.
				1k

Алгоритм обработки для ЦФ со смещенными внутрь круга единичного радиуса нулями и полюсами определяется разностными уравнениями:

v( n ) = x( n ) − bН x( n − N ) ( bН = r N );

y′ ( n ) =

b0k v( n ) + b1k v( n − 1) − a1k y′

( n − 1) − a2k y′

( n −

2 )

k

k

k

(при прямой форме реализации звеньев);

KВ 2

| H( jω k )|

H( 0 )

y( n ) = ∑

y

′

( n ) +

′

;

N

k

N

yо ( n )

k= 1

KВ = (N − 1)/2 – при нечетном N и KВ = (N/2) −

1 – при четном; для звена пер-

вого порядка

′

( n ) = v( n )

′

− 1) = v( n ) −

′

yo

− a10 yo ( n

r yo ( n − 1).

24

Смещение нулей и полюсов и ограничение разрядности коэффициентов фильтра при его реализации приводит к искажениям частотной характеристики. Их можно учесть, рассчитывая частотную характеристику фильтра по приведенной выше общей (реализационной) передаточной функции:

H( jω ) = H н( z )H р ( z )|	jω T	д	.
z = e

К коэффициентам фильтра с ограниченной разрядностью (точностью) при этом относятся коэффициент bN нерекурсивной части и коэффициенты b0K ,

b1K , a1k , a2k , | H( jω k )| рекурсивной части фильтра.

Масштабирование фильтра на основе частотной выборки осуществляют включением масштабного множителя на входе фильтра, который рассчитывается либо спектральным методом по его общей частотной характеристике, либо временным или статистическим методами по импульсной характеристике фильтра. Импульсная характеристика фильтра при этом находится по его отклику на единичный импульс в режиме моделирования.

Расчет шума квантования ЦФ на основе частотной выборки осуществляется с помощью шумовой эквивалентной схемы, получаемой путем замены всех источников шума квантования (входного сигнала и произведений) их шумовыми эквивалентами. Решение задач, связанных с оценкой и обеспечением точности ЦФ на основе частотной выборки, предлагается рассмотреть самостоятельно.

5.6.7. ГРАФ-СХЕМА АЛГОРИТМА ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ НФ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

НФ на основе ЧВ может быть реализован программно в соответствии с граф-схемой алгоритма рис. 5.19.

Входными данными для нее являются длина ИХ N, число рекурсивных звеньев L, значения масштабного множителя m, коэффициента нерекурсивной части BN, коэффициентов рекурсивных звеньев B0(J), B1(J), A1(J), A2(J), J = 1, 2 .. L, весовых коэффициентов фильтра H(J) | H (jω k ) | и отсчетов ве-

щественной входной последовательности x(n). Текущий x(n) и (N − 1) предыдущих значений входного сигнала сохраняются в памяти в виде очереди X(I) постоянной длины N.

Выходными данными программы являются отсчеты выходного сигнала y(n) , которым соответствует программная переменная Y.

Обработке сигнала предшествует обнуление сигнальной памяти фильтра,

т. е. переменных	X(I), W1(J), W2(J); последние означают переменные
wJ ( n − 1), wJ ( n −	2 ) в разностных уравнениях звеньев фильтра. Сигналы

w(n) и v(n) обозначены на ГСА через W и V. Базовая операция фильтра включает также сдвиг сигнальной памяти рекурсивных звеньев: w(n− 2) = w(n− 1); w(n− 1) = w(n).

25
Начало
Описание переменных и констант: X(I),
W1(J), w2(J), W, V, B0(J), B1(J), A1(J),
A2(J), BN, H(J), m, N, L, Y, Y1, S
Ввод: N, L, B0(J), B1(J),
A1(J), A2(J), H(J), m, BN
Обнуление сигнальной памяти
X(I) = 0; W1(J) = 0; W2(J) = 0.
I = 0
Ввод x(n) = S
X(I) = m·S
I = I - 1
I < 0	0
1
I = N
V = S - BN·X(I)
J = 1; Y = 0
Базовая операция
W = V - A1(J)·W1(J) - A2(J)·W2(J)
Y1 = B0(J)·W + B1(J)·W1(J)
Y1 = Y1·H(J) / N; Y = Y + Y1
J = J + 1
J > L	0
1
Вывод
y(n) = Y
продолжить		1
0
Конец

Рис. 5.19. Граф-схема алгоритма программной реализации НФ на основе ЧВ