1

4.МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТОЧНОСТИ ЦОС

4.1.ЗАДАЧИ ЦОС, СВЯЗАННЫЕ С КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТЬЮ ЧИСЕЛ

Реальные процессоры ЦОС работают с двоичными числами конечной разрядности, а следовательно, и точности. Конечные разрядности имеют цифровые сигналы, коэффициенты, их произведения и суммы произведений, определяемые, соответственно, разрядностями АЦП, регистров, умножителей и сумматоров процессора.

Уменьшение разрядности повышает быстродействие и упрощает обработку, однако при этом возрастает ее погрешность, ухудшаются характеристики системы, а в РФ возможна и потеря устойчивости.

В связи с этим при синтезе и реализации ЦФ возникают задачи оценки влияния и обоснованного выбора разрядности чисел.

Влияние конечной разрядности чисел связано с конкретными арифме-

тическими операциями, реализуемыми в процессе обработки сигнала и зависит от способа представления чисел. В быстродействующих ЦФ использу-

ют двоичные числа с фиксированной запятой, над которыми выполняют операции суммирования и умножения. Результаты этих операций могут превышать по разрядности исходные данные, что приводит в общем случае к переполнению разрядной сетки. Характер переполнения может быть различен в зависимости от вида чисел. Наиболее удобны в случае ЦФ числа в виде правильных дробей для отсчетов сигнала и смешанных дробей, содержащих целую часть − для коэффициентов. При этом переполнения разрядной сетки слева возможны только в результате операции накопления сумм произведений, представляемых обычно в смешанном формате. Пере-

полнения вызывают грубые погрешности и являются недопустимыми. Их можно предотвратить путем маштабирования сигналов в соответствующих точках фильтра.

В результате умножения отсчетов сигнала на коэффициенты фильтра возрастание разрядности происходит справа относительно разрядной сетки, т. е. в дробной части произведения. Это позволяет легко ограничить разрядность произведения или суммы произведений путем отбрасывания (с усечением или ограничением) необходимого числа младших разрядов. Очевидно, что ограничение разрядности произведений соответствует умножению с конечной точностью и приводит к погрешности обработки. Эту погрешность аналогично погрешности квантования АЦП называют шумом квантования или собственным шумом ЦФ. Ее случайный характер обусловлен априорной непредсказуемостью значений цифровых сигналов, циркулирующих в фильтре.

Погрешность квантования, вызываемую ограничением разрядности чисел, определяют разностью их квантованного и точного значений:

2

e(n) = vкв(n) − v(n). Полагается, что значения погрешности или отсчеты шума

квантования e(n) равновероятны в пределах −								2− qд	≤ e(n) ≤ 0 при усечении и
− ( 2− qд / 2 ) ≤ e(n) ≤				( 2− qд / 2 )		при округлении и характеризуются максималь-
ным значением		e		max	= Em =	ç2− qд ,	дисперсией σ		e2 =	2− 2qд / 12 и средне-
							2− qд /
квадратичным значением (СКЗ) σ e =								12 ,	где η	= 1 при усечении и

½ при округлении; qд − число сохраняемых разрядов дробной части числа;

2− qд – вес единицы младшего разряда числа (ЕМР).

Для цифрового сигнала АЦП qд = qx − определяется числом разрядов АЦП без учета знакового разряда.

Для внутренних сигналов фильтра, получаемых в результате умноже-

ния и накопления сумм произведений и приведения их к формату правильной дроби, qд равно числу разрядов qR сигнальных регистров фильтра (также без учета знакового разряда).

К основным задачам, связанным с конечной разрядностью чисел в ЦФ, относят:

оценку погрешности обработки сигнала или шума квантования на выходе фильтра и необходимой разрядности АЦП и регистров фильтра;

определение масштабных множителей, исключающих переполнение сумматоров в заданном диапазоне изменения входного сигнала;

проверку условий устойчивости РФ при малых уровнях сигналов; определение допустимой разрядности коэффициентов фильтра qк. Решение поставленных задач предполагает также и сравнительную оцен-

ку степени чувствительности различных структур ЦФ к конечной разрядности чисел.

4.2. ВЛИЯНИЕ КВАНТОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФИЛЬТРА

Коэффициенты ЦФ определяют на первом этапе синтеза – решении задачи аппроксимации [21, 22]. Их точные значения ограничивают с помощью округления некоторым конечным числом двоичных разрядов qк. Это приво-

дит к изменению нулей и полюсов фильтра и отклонению его АЧХ и ФЧХ от заданной.

Минимально необходимую разрядность коэффициентов находят многократным расчетом АЧХ и ФЧХ для квантованных значений коэффициентов, исходя из допустимой степени отклонения указанных характеристик.

Такой подход к оценке разрядности коэффициентов является наиболее простым, хотя и сопряженным с большим объемом вычислений на ЭВМ. Существуют и более сложные вероятностные аналитические методы оценки [15]. Разработаны также оптимальные процедуры квантования коэффициен-

3

тов, позволяющие по сравнению с обычным округлением уменьшить их разрядность при том же уровне искажений частотной характеристики [15].

При квантовании коэффициентов возможно смещение полюсов РФ за пределы единичной окружности, что ведет к потере устойчивости. Во из-

бежание этого необходимо контролировать значения полюсов фильтра в процессе квантования коэффициентов.

4.3. МАСШТАБИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ

Масштабирование сигналов в ЦФ осуществляют путем введения масштабных умножителей на входе фильтра или его отдельных звеньев для исключения возможного переполнения сумматоров (рис. 4.1). Масштабные множители (ММ) mi выбирают так, чтобы амплитуды сигналов на выходах сумматоров или звеньев vi(n) (рис. 4.2) при максимальном значении сигнала на входе фильтра x(n), равном единице (|x(n)|max=1), не превышали по модулю некоторого максимального значения, принимаемого также обычно за единицу (|vi(n)|max=1).

x(n)

Звено 1

Звено 2

Звено L

y(n)

Х

h1(z)

Х

h2(z)

Х

hL(z)

m1

m2

mL

Рис. 4.1. Схема включения масштабных умножителей для каскадной формы реализации РФ

x(n)	Х		ЦФ	υ i( n)
			(звено)
			fi (m ), Fi ( jω )
	m	i

Рис. 4.2. Схема для расчета масштабных множителей

При этом числа на входах сумматоров по модулю могут быть больше единицы и превышать значения суммы [11, 12]. Однако при суммировании в дополнительном коде это не приводит к переполнениям, если сумма чисел по модулю меньше единицы. В то же время при реализации фильтра необходимо предусмотреть дополнительные разряды для целой части чисел на входах или выходах умножителей. Их количество находят в соответствии с максимальными значениями коэффициентов фильтра [11, 12].

4

Масштабирование уменьшает уровни сигналов фильтра и ухудшает от-

ношение сигнала к уровню шума квантования, не зависящему от уровня сигнала. Поэтому при выборе ММ и способов их введения необходимо учитывать и условие сохранения максимально возможного соотношения сигналшум. Наиболее полно оно выполняется включением масштабных умножи-

телей между звеньями фильтра.

Расчет ММ выполняют на основе линейной модели ЦФ без учета эффектов квантования сигналов. Возможны три метода расчета ММ: временной,

спектральный и статистический.

В соответствии с временным методом сигнал в любой точке фильтра vi(n) (в том числе и на выходах сумматоров) определяется сверткой входного сигнала и импульсной характеристики фильтра fi(m) от входа до данной точ-

ки, т. е. vi ( n ) = mi′ ∑∞	fi ( m ) x( n − m ).
m= 0

Записывая предельное соотношение для vi(n):

vi ( n )

max

≤ mi′ ∑∞

fi ( m )

x( n − m )

max

≤ 1,

m= 0

и подставляя в него

максимальное значение

входного сигнала

|x(n− m)| = 1 (входной сигнал типа скачок) получаем расчетное значение временного ММ:

mi′ ≤ 1 ∑∞	fi ( m ) .	(4.1)
m= 0

Данный метод расчета дает предельную (нижнюю) оценку для ММ,

исключающую переполнения при любых сигналах. Однако отношение сигнала к шуму квантования при этом является минимальным.

Спектральный метод основан на соотношении

Vi ( jω ) = mi′′Fi ( jω )X ( jω ) ,

определяющем спектр сигнала на выходе i-го сумматора через спектр входного сигнала X(jω ) и частотной характеристики от входа фильтра до выхода i-го сумматора Fi (jω ). Ему соответствует предельное соотношение

	Vi ( jω )		≤ m′′		Fi ( jω	)		X ( jω	)		≤ 1,
		max	i				max			max

из которого при | X(jω )|max = 1, соответствующем входному гармоническому сигналу единичной амплитуды, находится оценка спектрального ММ:

mi′′ ≤ 1 Fi ( jω ) max .

(4.2)