20

cosω 0t

Ac(t)

Ac(nTД)

A(nTД )

a(t)

X

ФНЧ

АЦП

СФс

( )²

∑

√

θ(nTД )

Arctg (s/c)

X

ФНЧ

АЦП

СФs

( )²

− sinω 0t

As(t)

As(nTД)

Рис. 6.11. Структурная схема оптимальной обработки узкополосного радиосигнала

В качестве примера рассмотрим цифровую согласованную фильтрацию

широко	используемого				в	радиотехнике				ЛЧМ-радиоимпульса
a(t) = a cos(ω		o	t + β	t2/2), где β	= 2∆ω	/T	c	−	скорость	модуляции, 2∆ω − де-

виация частоты, Tc − длительность радиоимпульса. Сигнал характеризуется также индексом модуляции m = ∆ω Tc /π . Огибающая сигнала в цифровой

форме определяется как A k( nTД ) = a e jβ ( nTД )2 / 2 , а импульсная характеристика согласованного с ней НФ, соответственно, как

h k ( n ) = e jβ ( N − 1− n )2 TД 2 / 2 = e jπ m( N − 1− n )2 / N 2 ,

где N = Tc /TД – число обрабатываемых отсчетов огибающей сигнала. Согласованная цифровая фильтрация приводит к сжатию ЛЧМ-импульса в m раз при одновременном увеличении его пикового значения в √ m раз. Увеличивая длительность и уменьшая амплитуду сигнала, можно получить то же соотношение сигнал/шум на выходе СФ и улучшить таким образом энергетику канала [1, 2].

Нерекурсивный фильтр, согласованный с комплексной огибающей ЛЧМсигнала, может быть реализован различными способами, рассмотренными в данном учебном пособии и в [15, 57, 60].

6.7. ПРОСТЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ

С помощью нерекурсивных фильтров реализуются простые алгоритмы приближенного цифрового дифференцирования сигналов, используемые, например, в радиолокации (селекция движущихся целей) [27], электрокардиографии (выделение R-зубцов) [53,61] и других областях.

Двухточечный алгоритм дифференцирования описывается уравнением вида y(n) = (1/TД)[x(n) – x(n – 1)] и реализуется в соответствии со структурной схемой НФ рис. 6.12, а.

						21
x(n)						|H(λ		)|
			z -1	X -1			π
							π /2
					1/TД

∑	X	y(n)			λ
		0	π /2	π
а)			б)

Рис. 6.12. Структурная схема (а) и АЧХ (б) двухточечного дифференцирущего нерекурсивного фильтра

Ему отвечают передаточная функция H(z)= (1/TД)(1−	z− 1) с нулем в точке
z0 = 1, АЧХ |H(jλ )| = (2/TД)sinλ /2 (рис. 6.12, б) и ФЧХ ϕ	(λ ) = (π /2) – (λ /2).

АЧХ фильтра практически линейна, т. е. близка к АЧХ идеального дифференциатора до значений λ ≈ π /4 или fД /8.

Данный алгоритм наряду с сигналом усиливает также высокочастотные шумы и помехи, которые могут присутствовать на входе фильтра.

Трехточечный алгоритм дифференцирования описывается уравнением вида y(n) = (1/2TД)[x(n) – x(n – 2)] и реализуется в соответствии со структур-

ной схемой НФ рис. 6.13, а.
	x(n)						|H(λ	)|
			z -1		z -1		π

X	-1	1/2TД	π /2
∑		X	y(n)			λ
			0	π /2	π
а)				б)

Рис. 6.13. Структурная схема (а) и АЧХ (б) трехточечного дифференцирущего нерекурсивного фильтра

Ему отвечают передаточная функция H(z)= (1/2TД)(1− z− 2) с нулями в точках

z0 1,2 = ± 1, АЧХ |H(jλ )| = (1/TД)sinλ (рис. 6.13, б) и ФЧХ ϕ (λ ) = (π /2) – λ .

АЧХ фильтра практически линейна, т. е. близка к АЧХ идеального дифференциатора до значений λ ≈ π /6 или fД /12.

В отличие от предыдущего, данный алгоритм подавляет возможные высокочастотные шумы и помехи на входе фильтра.

Алгоритм дифференцирования на основе полиномиальной аппроксимации по конечному набору данных, как показано в п. 6.5.4, позволяет получить сглаженные оценки первой и высших производных сигнала.

22

Например, в случае параболической 5-точечной аппроксимации дифференцирование осуществляется в соответствии с разностным уравнением:

y1(n) = (1/10){2[x(n + 2) – x(n – 2)] + [x(n + 1)] – x(n – 1)]},

которому отвечают передаточная функция, АЧХ и ФЧХ НФ:

H(z) = (1/10)[2+ z− 1 − z− 3 − 2 z− 4], |H(jλ )| = (2/10)(sinλ +2sin2λ ), ϕ (λ )=(π /2) –2 λ .

Предлагается самостоятельно проанализировать АЧХ данного фильтра.

С увеличением порядка фильтра (при N = 7, 9, 11) улучшаются точность аппроксимации производной и подавление высокочастотных шумов и помех.

6. 8.ПРОСТЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ

С помощью цифровых фильтров реализуются простые алгоритмы приближенного цифрового интегрирования сигналов, такие как алгоритм прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Алгоритм прямоугольников определяется разностным уравнением y( n=) TД x( n− 1)+ y( n − 1),

реализуемым рекурсивным ЦФ первого порядка (рис. 6.14, а).

TД

|H(λπ )|

x(n)

∑

y(n)

X

z -1

π /2

z -1

0	π /2	π	λ
а)	б)

Рис. 6.14. Структурная схема (а) и АЧХ (б) рекурсивного фильтра, интегрирующего по алгоритму прямоугольников

Он описывается передаточной функцией, АЧХ и ФЧХ вида:

H(z)= TД z− 1 /(1- z− 1), |H(jλ )| = TД /2sinλ /2 (рис. 6.14, б), ϕ (λ ) = – (π /2) – (λ /2).

Фильтр имеет один нуль zo = 0 в начале координат и полюс zp = 1на единичной окружности. Фильтр потенциально неустойчив, что проявляется в нарастании со временем погрешности интегрирования.

Более точное интегрирование обеспечивает алгоритм трапеций, определямый разностным уравнением

y=( n ) TД x−( n +1) y(−n 1+) (TД / 2 )[x( n )− x( n − 1)] ,

реализуемым рекурсивным ЦФ первого порядка (рис. 6.15, а).

23

TД /2

|H(λπ )|

y(n)

x(n)

∑

∑

X

z -1

π /2

0	π /2	π	λ
а)	б)

Рис. 6.15. Структурная схема (а) и АЧХ (б) рекурсивного фильтра, интегрирующего по правилу трапеций

Он описывается передаточной функцией, АЧХ и ФЧХ вида:

H(z)= (TД /2)(1+ z− 1)/(1- z− 1), |H(jλ )| = (TД /2)ctgλ /2 (рис. 6.15, б), ϕ (λ ) = – (π /2).

Фильтр имеет один нуль в точке zo= − 1 и полюс zp = 1 на единичной окружности. АЧХ фильтра достаточно близка к АЧХ идеального интегратора (1/λ ) на частотах менее λ ≈ π /2 или fД /4. Вследствие потенциальной неустойчивости фильтра также со временем происходит нарастание погрешности интегрирования.

Цифровое интегрирование по правилу Симпсона выполняется в соответствии с разностным уравнением

	y( n ) = y( n − 2 ) + (TД / 3 )[x( n ) + 4x( n − 1) + x( n − 2 )],
реализуемым РФ второго порядка (рис. 6. 16, а).
			4		|H(λπ )|
TД /3			X	y(n)	π /2
x(n)	∑	z -1	z -1
X				∑
					0	π /2	π	λ
		а)				б)

Рис. 6.16. Структурная схема (а) и АЧХ (б) рекурсивного фильтра, интегрирующего по правилу Симпсона

Он описывается передаточной функцией, АЧХ и ФЧХ вида:

H(z)= (TД /3)(1+4z− 1+ z− 2)/(1- z− 2), |H(jλ )| = (TД /3)(2+cosλ )/sinλ	(рис. 6.16, б),
ϕ (λ ) = – (π /2). Фильтр имеет пару нулей zo1 = − 0,27, zo2 = −	3,73 и полюсов

zp1,2 = ± 1 на единичной окружности. Следствием потенциальной неустойчивости данного фильтра, как и выше рассмотренных, является ограниченное время непрерывного интегрирования и необходимость периодического при-