9

4.5.ОЦЕНКА ШУМОВ КВАНТОВАНИЯ

ИТРЕБУЕМОЙ РАЗРЯДНОСТИ АЦП И РЕГИСТРОВ ФИЛЬТРА

4.5.1.МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ШУМОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

Погрешность обработки сигналов в ЦФ характеризуется шумом квантования на выходе фильтра, обусловленном шумами квантования входного сигнала и результатов умножения отсчетов сигнала на коэффициенты фильт-

ра. Оценка шума находится по шумовой эквивалентной схеме фильтра,

содержащей эквивалентные источники шума квантования, включаемые в точках структурной схемы фильтра, где происходит квантование чисел. В соответствии с шумовыми эквивалентными схемами источника входного цифрового сигнала (АЦП) (рис. 4.7, а) и умножителя (рис. 4.7, б) шумы экви-

= − [ ]

валентных источников ex(n) = xкв(n) - x(n) и eR ( n ) Cv( n ) Cv( n ) кв сум-

мируются с неквантованными, т. е. точными значениями входного сигнала x(n) и произведения Cv(n). Шумы эквивалентных источников, представляемых на схемах фиктивными сумматорами, характеризуются предельным и среднеквадратичным значениями и дисперсией, зависящими от числа сохраняемых при квантовании разрядов дробной части q входного сигнала и произведения:

max|e(n)|=η 2− q; σ в=2− q/(12)1/2 ; σ e2 = 2− 2q / 12 .

Значения q определяются соответственно разрядностями АЦП qx и умножителей (регистров) фильтра qR без учета их знаковых разрядов (для умножителей при определенных условиях и без учета разрядов целой части произведения, если таковые имеются); η = 1 при квантовании с усечением и ½ − при округлении.

x( t)

Идеальный

x( n)

∑

xкв( n)

АЦП

а)

еx ( n)

]

[

υ(n)

υ ( n)

Х

c (υ n)

∑

c

kв

б)

C

еR ( n)

Рис. 4.7. Шумовые эквивалентные схемы АЦП (а) и умножителя (б)

10

Возможны два метода оценки точности ЦФ: детерминированный и вероятностный.

Детерминированный метод дает предельную оценку шума квантова-

ния на выходе фильтра, гарантирующую правильный выбор разрядности чисел для произвольных сигналов. В соответствии с ним шум на выходе фильтра от i-го источника шума ei(n) можно найти для линейной системы путем свертки мгновенного значения шума ei(n) с импульсной характеристикой gi(n), определяемой от точки приложения шума до выхода фильтра:

eвыхi ( n ) = ∑∞	gi ( m )ei ( n −	m ).
m= 0		∑∞
Перейдя к предельному соотношению | eвыхi ( n )|≤			| gi ( m )|| ei ( n − m )|,
		m= 0

при максимальном значении шума i-го источника |ei(n− m)| = |ei(n)|max = η 2− qi получим максимальное значение вызываемого им шума квантования на вы-

ходе фильтра:

| eвыхi ( n )|max= Emi ≤ η 2qi ∑∞	| gi ( n )| .	(4.8)
n= 0

Суммарное предельное значение шума квантования на выходе линейной системы находится суммированием шумов (4.8) от всех источников:

Emвых = ∑ | eвыхi ( n )|max . i

Метод, основанный на вероятностных характеристиках шума квантования, позволяет оценить дисперсию или среднеквадратичное значение шума квантования на выходе фильтра известными методами теории слу-

чайных сигналов. При этом полагается, что отсчеты шума квантования независимы (шум является белым) и их источники не коррелированы между собой и входным сигналом. С учетом этих условий дисперсия шума на выходе фильтра от i-го источника шума для линейной дискретной системы определяется выражением [15]

2

2

∞

2

2

1

π

2

2

σ

выхi

= σ

i

∑

g

i

( n ) = σ

i

∫| Gi ( jλ

)| dλ = σ

i

Li

,

π

n= 0

o

где σ i2 = 2− 2qi / 12

– дисперсия шума i-го источника; Gi(jλ ) – частотная ха-

рактеристика от точки приложения i-го источника шума до выхода фильтра. Дисперсия или мощность шума на выходе фильтра от действия всех ис-

точников равна сумме дисперсий шумов отдельных источников:

σ вых2 = ∑ σ вых2

i = Pшвых .

(4.9)

i

11

Корень из (4.9) определяет среднеквадратичное значение выходного шума. Выполнимость условий, накладываемых на вероятностный метод, и сле-

довательно, достоверность получаемых с его помощью оценок зависят от уровня и характера обрабатываемых сигналов. В частности, условиям о некоррелированности отсчетов шума между собой и входным сигналом плохо удовлетворяют такие сигналы, как единичный, прямоугольный импульс или синусоидальное колебание. Наиболее они обоснованны для сложных быстроизменяющихся сигналов, таких как речевой, музыкальный и др., а также при большом уровне внешних шумов, когда от выборки к выборке мгновенное значение сигнала изменяется на несколько уровней квантования. Поэтому надежность оценок, получаемых вероятностным методом, в общем случае ниже, чем детерминированным. Их можно рассматривать в качестве нижней границы оценок шумов квантования и требуемых разрядностей АЦП и ре-

гистров фильтра. Одновременное использование обоих методов позволяет определить границы возможных значений параметров ЦФ, которые уточняются затем путем моделирования на ЭВМ или макетирования.

Оценка шумов квантования детерминированным и вероятностным методами для конкретных структур ЦФ сводится к построению их шумовой эквивалентной схемы и определению импульсных и частотных характеристик от каждого i-го источника шума квантования до выхода фильтра.

4.5.2.РАСЧЕТ ШУМА КВАНТОВАНИЯ АЦП НА ВЫХОДЕ ЦФ

Всоответствии с расчетной шумовой эквивалентной схемой (рис. 4.8)

x(n)		∑			ЦФ	y(n)+eвых(n)

ex(n) h(n)

Рис. 4.8. Схема для расчета шумов квантования АЦП на выходе ЦФ

поступающий на вход фильтра квантованный сигнал АЦП представляется суммой его неквантованных (точных) значений и шума квантования АЦП: xкв(n) = x(n)+ eх(n). Сигнал на выходе фильтра без учета квантования чисел в самом фильтре также в соответствии с принципом суперпозиции может быть определен в виде суммы его точного значения и шума квантования, обуслов-

ленного АЦП: yкв(n) = y(n) + eвых(n) .

Необходимые для оценки выходного шума импульсная и частотная характеристики от точки приложения шума до выхода фильтра в данном случае совпадают с результирующими импульсной и частотной характеристиками фильтра: gi(n) = h(n); Gi(jλ ) = H(jλ ). В соответствии с (4.8), (4.9′) это

12

дает следующие оценки предельного значения и дисперсии шума на выходе ЦФ:

= η 2− qx

∞

h(m)

σ 2

2

− 2qx

∞

h2

(m) =

E

m вых

∑

;

евых

=

∑

P

.

(4.10)

12

евых

m= 0

m= 0

Задаваясь допустимыми значениями максимума шума квантования или его среднеквадратичного значения, можно из (4.10) получить верхнюю и ниж-

нюю оценки требуемой разрядности АЦП:

η		∑∞	| h( m )|			∑∞	h2( m )
q'ацп = int log2		m= 0			; q''ацп = int log2	m= 0		,	(4.10')
		Emвыхдоп				12σ	eвыхдоп

где символ int означает целую часть числа плюс единица.

Значение qацп выбирается из условия q′ацп′ ≤ qацп ≤ q′ацп в зависимости от вида сигнала.

При выборе разрядности АЦП необходимо иметь в виду также условия, рассмотренные в параграфе 1.4.

4.5.3. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ КВАНТОВАНИЯ ДЛЯ ПРЯМОЙ ФОРМЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЗВЕНА РФ 2-ГО ПОРЯДКА

Собственные шумы ЦФ обусловлены ограничением разрядности произведений отсчетов сигнала на коэффициенты фильтра (взвешенных отсчетов сигнала). Необходимые для их оценки шумовые эквивалентные схемы ЦФ получаются заменой реальных умножителей их шумовыми эквивалентами в соответствии с рис. 4.7, б.

При прямой форме реализации звена РФ все источники шума квантования умножителей в соответствии с шумовой эквивалентной схемой рис. 4.3 включены ко входам сумматора и могут быть заменены одним эквивалент-

ным источником шума eэкв( n ) = ∑p eRi ( n ), где p – число умножителей с не-

i= 1

тривиальными коэффициентами умножения bi, ai, отличными от 0 или ±1. В общем случае p = 5. На схеме отражен также шум квантования масштабного умножителя em(n) = eR(n), включенного во входе фильтра. Этот шум имеет место только при условии qацп + qm > qR . Необходимые для оценки шума на выходе фильтра импульсная и частотная характеристики относительно точек приложения источников шума совпадают для масштабного умножителя с общими импульсной и частотной характеристиками фильтра g1(n) = h(n), G1(jλ ) = H(jλ ), а для эквивалентного источника шума умножителей eэкв(n) – с характеристиками его рекурсивной части g2(n) = hр(n), G2(jλ ) = Hр(jλ ). Пре-