23

средства ЦОС [5]. Принцип стробоскопического преобразования или когерентной выборки заключается в жесткой связи между частотой дискретизации и частотой сигнала или их гармониками и субгармониками. Он легко иллюстрируется во временной и частотной области на примере простого гармонического колебания, частота fс которого в результате преобразования на гармониках частоты дискретизации переносится на низкую частоту Fпр = |kfд − fc|, заключенную в пределах 0− fд/2. Стробоскопическое преобразование применяется в цифровой осциллографии, при цифровом измерении параметров сигналов и характеристик объектов [10]. Такие измерители, реализуемые на базе персональных компьютеров со встроенными или внешними средствами аналогового ввода - вывода, называются модульными виртуальными приборами или инструментами [41]. Вопросы дискретизации и цифровой оценки параметров сигналов для них рассмотрены в [42, 43].

1.8.КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ ПО УРОВНЮ

1.8.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СПОСОБЫ

При квантовании по уровню бесконечное множество возможных значений дискретного сигнала x(n) в заданном максимальном диапазоне его изменения Dxmax= (xmax − xmin) замещается конечным числом уровней квантования m дискретного квантованного сигнала xкв(n). С одним из них в соответствии с определенным правилом или алгоритмом и отождествляется точное мгновенное значение дисретного сигнала x(n) (рис. 1.13). Интервал между уровнями квантования называется шагом квантования по уровню Q = Dxmax /m.

i	xmax	Xкв(n)
m /2
		e(n)
3
2		Q	nTд
1
0	Tд 2Tд 3Tд
-1
-2
-3

-m /2	xmin

Рис.1.13. Иллюстрация квантования сигнала по уровню

24

Квантование возможно с усечением и с округлением. Квантованный дискретный сигнал хкв(n) определяется при этом как

хкв(n) = [x(n)/Q]ц.ч.Q = iQ	(1.9)
при усечении и
хкв(n) = [(x(n)/Q)+0,5]ц.ч.Q = iQ	(1.9′)

при округлении, где i = [ ]ц.ч. − это целая часть отношения, заключенного в прямые скобки и соответствующая номеру уровня квантования, с которым отождествляется точное значение квантуемого дискретного сигнала с ближайшим меньшим − при усечении и ближайшим – при округлении. Для однополярного сигнала 0 ≤ i ≤ (m − 1), двухполярного (− m/2) ≤ i ≤ (m/2) − 1.

1.8.2. ПОГРЕШНОСТЬ КВАНТОВАНИЯ

Разность между квантованным и точным значениями дискретного сигнала: e(n) = хкв(n) − x(n) определяет погрешность, возникающую при квантовании сигнала по уровню. В соответствии с амплитудной характеристикой квантователя она принимает значения − Q < e(n) ≤ 0 -

при усечении (рис.1.14, а, б) и − Q/2 < e(n) ≤ Q/2 − при округлении (рис.1.15, а, б). Предельные значения погрешности квантования Em= e(n) max = ηQ, где η = 1 при усечении и ½ при округлении.

iQ

хкв(n)

.

.

2Q

х(n)

a)

Q

-3Q2Q

Q 2Q 3Q…

-2Q

-3Q

0

e(n)

х(n)

б)

-Q

Рис. 1.14. Амплитудная характеристика квантования с усечением (а) и соответствующая ему погрешность квантования (б)

25

x кв(n )

iQ

..

..

2 Q

Q

x (n )

…

-(5 /2 )Q -(3 /2 )Q – Q /2

a)

Q /2 (3/2 )Q (5 /2)Q …

-Q

-2 Q

e(n )

Q /2

x (n )

б)

-Q /2

Рис. 1.15. Амплитудная характеристика квантования с округлением (а) и соответствующая ему погрешность квантования (б)

Вследствие априорной неизвестности значений сигнала и погрешности квантования ее рассматривают как случайный дискретный процесс или шум квантования, накладывающийся на квантуемый дискретный сигнал: хкв(n) = x(n) + e(n) и с равной вероятностью принимающий любые значения в

вышеуказанных пределах.	На графиках законов распределения шума
квантования рис.1.16, а, б	обоим способам квантования соответствует

одинаковая плотность вероятностей p(e)=1/Q, отвечающая условию нормировки.

Р(е)

Р(е)

1/Q

1/Q

е

е

-Q

0

-Q/2

0

Q/2

Рис. 1.16. Плотности вероятностей шума квантования при усечении (а) и округлении (б)

Шум квантования характеризуется следующими параметрами:

26

математическим ожиданием M[e] =				0∫ e p( e )de =	− Q / 2 − при усечении и
			− Q
Q / 2	=	0 −	при округлении;
M[e] = ∫ e p( e )de
− Q / 2
		D[e]	Q / 2	Q2 / 12 −
дисперсией			= ∫ e2 p( e )de =		для обоих способов

− Q / 2

квантования;

среднеквадратическим значением σe = Q/ 12 . Спектрально-корреляционные свойства шума квантования существенно

зависят от вида и параметров преобразуемого сигнала. В общем случае значения отсчетов шума квантования коррелированы со значениями входного сигнала и между собой. Наиболее высокая степень корреляции наблюдается при детерминированных сигналах и наименьшая − случайных. К последним относятся реальные речевые, музыкальные сигналы, выходные сигналы измерительных датчиков, а также любые сигналы на входе системы ЦОС с наложенными на них шумами или случайными помехами. Наложение внешнего шума или помехи с приведенным ко входу АЦП уровнем, превышающим значение единицы младшего разряда Q, существенно декоррелирует или рандомизирует шум квантования [44]. Это позволяет рассматривать шум квантования, возникающий при преобразовании случайного сигнала, как дискретный случайный процесс типа белый шум с равномерной спектральной плотностью: Pкв = σ2кв/fд. Повышение частоты

дискретизации fд уменьшает спектральную плотность шума квантования в основной полосе, позволяя при определенных условиях уменьшить необходимое значение разрядности АЦП, т. е. обменять разрядность сигнала на скорость его обработки [44].

Модель шума квантования с вышеприведенными характеристиками широко используется в теории ЦОС.