11

В качестве примера на рис. 6.6 показано применение сглаживающего однородного фильтра в устройстве обнаружения и оценки параметров гармонических сигналов [40].

x(n)

y(n)

1/N

1/0

S

ЦФ

( )2

∑

ПУ

X

z− 1

G

Рис. 6.6. Пример структурной схемы применения сглаживающего однородного фильтра

Отсчеты выделяемого избирательным цифровым фильтром сигнала y(n) возводятся в квадрат и в течение времени NTД накапливаются с помощью реализуемого в рекурсивной форме сглаживающего однородного фильтра. Выход-

N − 1

ной сигнал сглаживающего фильтра s = (1/ N ) ∑ y2 ( nTД ) на каждом N-м

n= 0

такте сравнивается в пороговом устройстве ПУ с некоторым пороговым значением G, при превышении которого принимается решение о присутствии на входе устройства полезного гармонического сигнала. При этом длина импульсной характеристики сглаживающего фильтра должна выбираться из условия NTД = k T0 , где T0 – период обнаруживаемого или выделяемого сигнала, k = 1, 2, …– целые числа. В этом случае значение сигнала на выходе сглаживающего фильтра после установления переходных процессов в ЦФ

равно квадрату действующего значения входного синусоидального сигнала: s = a2/2.

Полоса пропускания ЦФ соответствует частоте полезного сигнала, а полоса задерживания – частотам подавляемых помех.

Аналогичная структура устройства (без ПУ) используется при полосовом спектральном анализе случайных сигналов [36].

6.4.2. СГЛАЖИВАЮЩИЕ НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Сглаживание на основе параболической аппроксимации входной последовательности осуществляют с помощью НФ, коэффициенты которых находят из условия минимума среднего квадрата ошибки методом наименьших квадратов [53]. Аппроксимация осуществляется, как правило, параболой 2-го порядка для каждой текущей группы или набора данных с числом точек (отсчетов сигнала) N, определяющим порядок НФ. Используемые значения N = 5, 7, 9, 11 ограничены возрастанием погрешности аппроксимации и инерционности фильтра с увеличеним интервала аппроксимации NТД и ростом объема вычислений. Каждому N-точечному входному набору данных

12

x(n + k), k = 0, …± (N – 1)/2, нумеруемых относительно центрального элемента x(n), ставится в процессе обработки аппроксимирующий его выходной набор данных y(n + k), вычисляемый в соответствии с полиномом:

y(n + k) = y0(n) + ky1(n) + k2y2(n).

Искомые коэффициенты этого полинома y0(n), y1(n), y2(n) (зависящие от n) имеют следующий смысл: y0(n) – сглаженное значение или оценка входного набора x(n + k) при k = 0 ( x( n )), y1(n) – сглаженное значение или оценка

его первой производной (y1(n) = dy(n + k)/dk|k=0 = x' ( n )) и y2(n) ) – сглажен-

ное значение или оценка его второй производной (y2(n) = d2y(n + k)/dk2|k=0 = = x'' ( n )). Выражения, необходимые для вычисления этих оценок, получают-

ся следующим образом:

записывается выражение для суммы квадратов ошибок аппроксимации:

ε ( y 0 , y 1 , y2 ) =	( N ∑− 1 ) / 2	{x( n + k ) − [ y 0 ( n ) + k y1 ( n ) + k 2 y2 (n)]}2 ;
	k = − ( N − 1 ) / 2

находятся и приравниваются нулю частные производные ошибки по коэффициентам параболы ∂ε /∂ y0 = 0, ∂ε /∂ y1 = 0, ∂ε /∂ y2 = 0, приводящие к системе из трех нормальных уравнений с тремя неизвестными:

∑	[y 0 ( n ) + k y1 ( n ) + k 2 y2 (n)] = ∑		x( n + k );
k		k
∑	[k y 0 ( n ) +	k 2 y 1 ( n ) + k 3 y2 (n)] =	∑	k x( n + k );
k			k
∑	[k 2 y 0 ( n ) +	k 3k y1 ( n ) + k 4 y2 (n)] =		∑ k 2 x( n + k );
k				k

из решения системы линейных уравнений для конкретного значения N находятся выражения для оценок y0(n), y1(n), y2(n) в следующем виде:

y 0 ( n ) = ∑ bk( 0 ) x( n + k ); y1( n ) = ∑ bk(1 ) x( n + k ); y 2 ( n ) = ∑ bk( 2 ) x( n + k ) .

k k k

Данные выражения представляют разностные уравнения, коэффициентами которых bk(0), bk(1), bk(2) являются значения импульсных характеристик соответствующих нерекурсивных фильтров.

Например, для числа точек N = 5 (k = − 2, − 1, 0, 1, 2) коэффициенты bk(0) имеют значения (1/35)[ − 3, 12, 17, 12, − 3], а соответствующий им сглаживающий НФ описывается разностным уравнением [53]:

y0(n) = (1/35)[− 3x(n− 2) + 12x(n− 1) + 17x(n) + 12x(n + 1) −		3x(n + 2)].
Оценкам производных сигнала y1(n), y2(n) в этом	случае	соответствуют
коэффициенты сглаживающих НФ bk(1) =	(1/10)[− 2,	− 1, 0, 1, 3],
bk(2) = (1/14)[2, − 1, − 2, − 1, 2].