15

Вопросы, связанные с конечной точностью вычислений (масштабирования, квантования произведений и коэффициентов) при реализации ДПФ и ЦФ с обработкой в частотной области, решаются как расчетным путем, в том числе с помощью шумовых эквивалентных схем для шумов квантования, так и путем моделирования на ЭВМ [14]. Например, дисперсия шума квантования выходной последовательности ДПФ X(jk) E(jk) = Xкв(jk) – X(jk) определяется как

D[E(jk)]=M[|E(jk)|2]=(N/3)2-2qR,

где qR – число сохраняемых разрядов произведений. Среднеквадратичное значение этой погрешности σ E = ( N / 3 )2− qR .

При делении X(jk) на N дисперсию погрешности DE также нужно поделить на N.

Более подробное рассмотрение вопросов оценки и обеспечения точности ДПФ и ЦФ на его основе выходит за рамки данного учебного пособия.

5.6. АЛГОРИТМ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

5.6.1. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ОБЩАЯ СТРУКТУРА НЕРЕКУРСИВНОГО ФИЛЬТРА НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

НФ на основе частотной выборки – это еще один возможный способ или алгоритм вычисления дискретной временной свертки (ДВС)

N − 1

y( n ) = ∑

h( m )x( n − m ) . Импульсная характеристика здесь в соответствии с

m= 0

ОДПФ выражается через дискретизированную с шагом ∆ω

=ω д /N ЧХ фильт-

ра H(jω

k) (ДЧХ):

2π

N − 1

N

− 1

kn ,

h( n ) =

ОДПФN [H( jω k

)] =

1

∑ H( jω k )e jω k nTд =

1

∑

H( jω k )e j

N

ω д

N k= 0

N k= 0

где ω k =

k

. Это соотношение подставляется в выражение для передаточ-

N

N∑− 1h( n )z− n . В результате математических преоб-

ной функции НФ H( z ) =

m= 0

разований получается основополагающее для данного алгоритма выражение

передаточной функции НФ через его ДЧХ:

N

− 1

N

− 1

2π

N − 1

− N

1

e j

kn z − n =

1∑

1−

z

H( z ) =

∑

H( jω k ) ∑

N

H( jω k )

.

2π

N k = 0

n= 0

N k = 0

j

k

− 1

N

1−

e

z

16

С учетом обозначений Hн( z ) =	1− z− N , H ′pk ( z ) =		1	,
			kTд z− 1
H pk ( z ) = H ′pk ( z )H( jω k ) / N	1− e jω
	оно принимает вид
N − 1
H( z ) = Hн( z ) ∑ H pk ( z ) = Hн( z )H р ( z ) .			(5.7)

k = 0

Выражению (5.7) соответствует структура НФ на основе частотной выборки в виде последовательного соединения нерекурсивной части с передаточной

функцией Hн(z) и N параллельно включенных рекурсивных звеньев первого порядка с передаточными функциями H ′pk ( z ) и весовыми коэффициентами H( jω k ) / N , которые определяются выборками ДЧХ (рис. 5.12).

				H(j0)/N
			H po(z)	x
x(n)				H(j1)/N
	HH(z)		H p1(z)	x
						y(n)
			.	ypk(n)	Σ
		v(n)
			.
			.	H(jω k)/N
			H pN-1(z)	x

Рис. 5.12. Структурная схема НФ на основе частотной выборки

5.6.2. ОПИСАНИЕ НЕРЕКУРСИВНОЙ ЧАСТИ ФИЛЬТРА

Передаточной функции нерекурсивной части фильтра Hн( z ) = 1− z− N отвечает разностное уравнение v( n ) = x( n ) − x( n − N ) и структура, приведенная на рис. 5.13, а.

		x(n-m)
x(n)	-N		-					hн(n)
	Z			Σ	v(n)	1		N		n
		+
						-1
а)								б)

Рис. 5.13. Структура (а) и импульсная характеристика (б) нерекурсивной части фильтра

17

По отклику на единичный импульс uo(n) находится импульсная характеристика нерекурсивной части фильтра hн(n)=1 при n = 0 и hн(n) = − 1 при n = N

(рис.5.13, б), а решением уравнения N-го порядка 1− z− N = 0 определяются

	ее нули zok = N 1 = e j 2Nπ k , k = 0, 1,.. N −	1, которые равномерно расположе-
	ны на окружности единичного радиуса (рис. 5.14).
		N=8
	zpk
	r	ω 1Tд
		zok
	0
	-1	1

Рис. 5.14. Расположение нулей и полюсов на Z-плоскости

Частотная характеристика этой части фильтра следует из ее передаточной функции:

H

н

( jω

) =

H

н

( z )|

e jω Tд

= 1−

e− jω NTд

= e− jω

NTд /2 [2 j sin(ω NT

/2)] =

z =

д

=

e− j(ω

− ω

k )NTд /2 [2 j sin(ω

− ω

k )NTд /2] .

Модуль ЧХ

|Hн(jω

)| =

2|sin(ω NTд/2)

при ω

= ω k равен нулю, при

ω= 1,5ω k равен 2 и соответствует ЧХ гребенчатого фильтра (рис. 5.15, а).

5.6.3.ОПИСАНИЕ РЕКУРСИВНОЙ ЧАСТИ ФИЛЬТРА

Структурная схема рекурсивных звеньев представлена на рис. 5.16. Полюса звеньев (корни знаменателя передаточной функции)

z pk = e j( 2π / N )k = zok также равномерно расположены на единичной ок-

ружности (см. рис.5.14). Они компенсируются нулями нерекурсивной части , что математически обеспечивает устойчивость фильтра и конечность его импульсной характеристики. Звенья описываются разностным уравнени-

ем	y′pk ( n ) =	v( n ) +	e	jω	k Tд	y′pk	( n	− 1) = v( n ) − a1k y′pk ( n − 1), a1k = − z pk и
импульсной характеристикой h′pk =								e jω k nTд , определяемой по разностному

уравнению при v(n) = uo(n). Она представляет собой комплексное гармоническое колебание с частотой ω k .

				18
| HH ( jω		) |	2
	а)
		0	ω 1	ω 2 . . . ω Д	ω N − 1	ω Д	ω
				2
| H p0 ( jω		) |
	б)		1/2
							ω
| H p1( jω		) |
	в)		1/2
							ω
| H0/ ( jω	) |		1
	г)
							ω
| H1( jω	) |
			1
	д)
							ω
| H0,1( jω		) |	1
	е)
							ω
Рис. 5.15. Частотные характеристики фильтра на основе ЧВ: нерекурсивной
части (а), рекурсивных звеньев k= 0, k =1 (б, в), отдельных (г, д) и объеди-
				ненных (е) каналов k = 0, k = 1

19

v(n)	yk(n)
	Σ

-1

Z

x

yk(n-1)

e jω kTд

Рис. 5.16. Структура рекурсивных звеньев фильтра

Передаточной функции H ′pk ( z ) соответствуют частотные характеристи-

ки звеньев:								e jω k Tдe− jω Tд ) =
H ′	( jω		) =	H ′	( z )|		jω Tд = 1/(1−
pk				pk	z = e
	=	e	j(ω	− ω k	)Tд / 2	/[2 j sin(ω − ω		k )Tд / 2] .
Модуль их определяет АЧХ звеньев: | H ′pk |=								1/[2 | sin(ω − ω k )Tд / 2]. Для

звеньев с номерами k=0, 1 они приведены на рис. 5.15, б, в. Фильтр с такой АЧХ называют идеальным комплексным цифровым резонатором.

5.6.4.РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

ИРАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРА

Результирующая частотная характеристика нерекурсивной и рекурсивной частей фильтра представляются выражением

− jω

N − 1

Tд N − 1

H( jω

k ) sin(ω

−

ω

k )NTд / 2

jω

k

N − 1

Tд

H( jω

) =

e

2

∑

e

2

.

N

sin(ω

−

ω

k= 0

k )Tд / 2

Дискретизированную частотную характеристику H( jω k ) можно выразить

через ее АЧХ | H( jω k ) |

и ФЧХ θ (ω k ) = θ k :

H( jω

k ) = | H( jω k )| e jθ k . Для

фильтра с линейной ФЧХ θ k =

− ω

k

N −

1

Tд

и выражение для ЧХ фильтра

преобразуется к виду

2

N −

1Tд N − 1

− jω

− ω

k )NTд / 2

H( jω ) = e

2

∑

| H( jω k )| sin(ω

.

N

sin(ω

− ω

k )Tд / 2

k=

0

На рис. 5.15, г, д показаны раздельные АЧХ для каналов k = 0 и k = 1:

| Ho( jω )|= | Hн( jω )|| H ′pо( jω )| , | H1( jω )|= | Hн( jω )|| H ′p1( jω )| и их результирующая АЧХ | Hо,1( jω )| (рис. 5.15, е) при | H( jω о )|= | H( jω 1 )|= 1.

20

Так, фильтру с одним рекурсивным звеном при k = 0 соответствует передаточная функция

N −

1

1 1 −

z − N

− jω

Tд sinω NTд / 2

2

H( z ) =

и ЧХ H( jω ) = e

. Фильтр имеет

N

1 −

z − 1

sinω

Tд / 2

прямоугольную импульсную характеристику h( n ) = 1,

n =

0,1,..N − 1, описы-

вается разностным уравнением y( n ) =

N − 1

∑

x( n − m ) и известен как цифровой

m=

0

фильтр скользящего среднего. При реализации фильтра на основе частотной выборки обработка осуществляется в соответствии с алгоритмом

y( n ) = x( n ) − x( n − N ) + y( n − 1) . Такой алгоритм требует двух операций

сложения вместо N при прямом вычислении ДВС.

Аналогичным образом формируются АЧХ и при любом другом сочетании каналов фильтра и их весовых коэффициентов| H( jω k )|, соответст-

вующих отсчетам ДЧХ. На частотах ω k полос задерживания ЧХ весовые коэффициенты фильтра H( jω k ) имеют нулевые значения и необходимость в

соответствующих им рекурсивных звеньях H ′pk ( z ) в структуре фильтра,

очевидно, отсутствует (см. синтез НФ методом частотной выборки). Фильтр содержит только звенья с весовыми коэффициентами H( jω k ) , не равными

нулю. Это означает, что алгоритм на основе частотной выборки эффективен прежде всего для реализации узкополосных ЦФ с малым числом ненулевых выборок ДЧХ.

Например, можно достаточно просто реализовать узкополосные ФНЧ, импульсные характеристики которых соответствуют весовым функциям Хэмминга, Блэкмана, а также избирательные полосовые и заграждающие фильтры, настроенные на частоты выборок ω k .

Общее разностное уравнение фильтра на основе частотной выборки можно записать в виде

v( n ) = x( n ) − x( n − N ); y′pk ( n ) = v( n ) − a1k y′pk ( n − 1);

N − 1

y( n ) = ∑ y′pk ( n )H( jω k ) / N.

k= 0

Однако обработка сигнала в соответствии с данным разностным уравнением осложняется комплексным характером коэффициентов a1k и H( jω k ) .

21

5.6.5.ОПИСАНИЕ И СТРУКТУРА ФИЛЬТРА

СВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

							j	2π	k
	Коэффициенты			рекурсивных звеньев фильтра a1k =	−	e		N		и
	a1( N − k ) = − e j	2π	( N − k )	являются комплексно-сопряженными a1k	=	a1( N − k ) ,				а
		N

дискретизированные АЧХ и ФЧХ фильтра обладают свойством соответственно четной и нечетной симметрии: | H( k )|= | H( N − k )| , θ k = − θ ( N − k ) . Это позволяет преобразовать передаточную функцию рекурсивной части фильтра к форме, содержащей только вещественные коэффициенты:

e jθ ( k )

− jθ ( k )

( N − 1 ) /

2

| H( jω k

)|

e

H( 0 )

H p ( z ) =

∑

+

+

=

N

2π

2π

−

1

k = 0

N(1 − z

)

j N k

− 1

−

j N k

− 1

1 − e

z

1 −

e

z

( N − 1) /

2 2| H( jω k

)| cosθ k −

cos(θ

k −

2π

k / N )z − 1

H( 0 )

=

∑

+

.

N

1 − 2 cos( 2π k / N )z − 1 + z −

2

N(1 − z − 1 )

k= 1

Данному выражению соответствует структурная схема из (N −

1)/2 па-

раллельно включенных звеньев второго порядка с весовыми коэффициентами 2| H( jω k )| / N и одного звена первого порядка с весовым коэффициен-

том | H( 0 ) | / N (рис. 5.17).

						2 | H ( jω	1) |/N
	H p/		1( 2) ( z)
x(n)						2 | H ( jω	2 ) |/N
	H p/		2( 2 ) ( z)
HH(z)								Σ
				.		2			y(n)
				.		2 | H ( jω N − 1 ) |/N
				.
	H /	N − 1			( 2)	( z)
	p		2
+	Σ					H (0)	/N
	-					Z-1

Рис. 5.17. Структурная схема НФ на основе частотной выборки с вещественными коэффициентами

22

Передаточная функция k-го звена второго порядка имеет вид

H ′pk( 2 )( z ) =

b0k +

b1k z − 1

,

1+ a1k z −

1 +

a2k z−

1

где b0k =

cosθ

k ; b1k =

− cos(θ k

−

2π k / N ) ; a1k = −

2cos( 2π k / N ) ; a2k

=

1.

В случае линейной ФЧХ

θ

k

= − ω

k

N −

1T = −

2π

k N −

1 ;

b

=

( − 1)k cos( 2π k / N );

b

=

−

b

.

2

д

N

2

0k

1k

0k

Структурная схема звена второго порядка в канонической форме приве-

дена на рис. 5.18.

b0k

/

v(n)

wк (n)

yk

(n)

Σ

− a1k

Z-1

b1k

Σ

2

+

wк (n −

1)

1

Z-1

-

wк (n −

2)

Рис. 5.18. Структурная схема рекурсивного звена второго порядка

Его разностное уравнение:
	wk ( n ) = v( n ) − a1k wk ( n − 1) − wk ( n − 2 );
	′	( n ) = b0k wk				( n ) + b1k wk ( n − 1) .
	yk
Для звена первого порядка разностное уравнение имеет вид
			′		( n ) =	v( n ) +			′
			yo						yo ( n − 1) .
Общее разностное уравнение рекурсивной части фильтра
( N − 1) / 2 2	| H( jω k )|						H( 0 )
y( n ) = ∑			y	′	( n ) +				′
	N			k			N		yо ( n ) . Совместно с разностными
k= 1

уравнениями	звеньев и разностным уравнением нерекурсивной части
v( n ) = x( n ) −	x( n − N ) оно определяет алгоритм обработки данного фильтра.