4.8.12 Контрольные карты кумулятивных сумм

Рассмотренные выше контрольные карты, в которых для каж­дого наносимого на карту значения контролируемого параметра используются данные только одной выборки и не учитывается предыдущее поведение контролируемого параметра, принято на­зывать контрольными картами без памяти. Контрольные карты, учитывающие наряду с текущим значением контролируемого па­раметра также и результаты контроля в нескольких предыдущих выборках, называются контрольными картами с памятью. Такие контрольные карты оказываются более чувствительными к воз­мущениям процесса, то есть уже в самом начале сдвига уровня про­цесса или изменения его рассеяния позволяют обнаружить нару­шения хода процесса и своевременно вмешаться в процесс.

В соответствии с ГОСТ Р 50779.40 контрольные карты, использующие для каждого наносимого на карту значения данные нескольких выбо­рок, подразделяются на:

- карты скользящих выборочных средних и скользящих размахов;

- карты экспоненциально взвешенного скользящего выбороч­ного среднего ();

- карты кумулятивных (накопленных) сумм (карты).

Рис.4.24 Построение приемочной контрольной карты (пример 4.7)

Из этих трех типов контрольных карт с памятью рассмотрим только применяющиеся на практике карты кумулятивных сумм.

Для построения контрольных карт кумулятивных сумм, принципы построения которых устанавливает национальный стандарт ГОСТ Р 50779.45, вы­числяют накопленные суммы отклонений отдельных значений наблюдаемой переменной или выборочных средних значений выборок от установленного (заданного или опорного) значенияв соответствии с выражением

. (4.29)

Вычисленные и нанесенные на график в порядке появления кумулятивные суммы () образуюткарту.

Опорное значение устанавливают в зависимости от конкретной ситуации и от типа данных, с которыми необходимо работать.

При управлении процессом. Во многих случаях - установленная цель или целевой уровень показателя качества. На основекарты получают информацию о неточной настрой­ке процесса на. Иногда в качествевыбирают не целевое значение, а средний уровень показателя качества, рассчитанный по предыдущей серии данных, полученной при работе стабильного процесса.

При анализе предыдущих данных. При анализе серии накопленных данных целью является, как правило, среднее арифметическое всей серии. Такой выбор приведет кривуюкарты к виду, когда начало и конец графика будут иметь одно и то же значение ординат.

Рис.4.25 Построение приемочной контрольной карты (пример 4.8)

При планировании экспериментов. Двоичные данные последовательности, кодируемые числами 0 и 1, требуют надлежащего оценивания доли откликов с кодом 1. Эту долю затем используют как целевое значение. Можно использовать общую долю для всего эксперимента или в случае последовательных экспериментов с двоичным откликом цель можно устанавливать на долю, рассчитанную по первому интервалу эксперимента. Позднее ее можно изменить, если она окажется неподходящей.

При выборочном приемочном контроле, например при контроле по альтернативному признаку, в качестве целевого значения можно использовать долю несоответствующих единиц продукции в выборке или приемлемый уровень качества . Значенияустанавливают в нормативных документах, например ГОСТ Р 50779.70 или ГОСТ Р 50779.71, или в контракте. Целевое или опорное значение в этом случае -.

Таким образом, может принимать любое значение, даже нулевое, однако чаще всего в качествеиспользуют среднее зна­чение параметра процесса. При этом если среднее значение пара­метра процесса возрастает, то будет иметь место и общий рост уровня кумулятивной суммы, поскольку все большее число значений () станут положительными. Аналогично, если среднее значение параметра процесса будет уменьшаться, то все боль­шее число значений () станут отрицательными, и будет иметь место падение уровня кумулятивной суммы. Таким образом, из­менение среднего значения параметра процесса приводит к изме­нению угла наклона графика кумулятивной суммы. При этом фак­тическая величина кумулятивной суммы в отдельной точке контрольной карты не имеет никакого значения. Из-за незначи­тельных случайных колебаний параметров процесса на отдель­ных участках контрольной карты могут проявляться различные тенденции в углу наклона графика кумулятивной суммы. По­этому только построение среднего наклона графика позволяет установить, имеют ли место какие-либо неслучайные изменения процесса.

На практике находят применение карты кумулятивных сумм как с границами регулирования, так и с использованием усечен­ной образной маски (шаблона). Причем карты кумулятивных сумм с границами регулирования позволяют обнаруживать лишь разладку процесса, тогда как карты собразной маской, кроме того, показывают его тренд и, таким образом, позволяют судить о характере смещения процесса. Однако по чувствительности к разладке процесса эти карты равнозначны.

Основное правило принятия решений заключается в построении на картемаски и определении значимых изменений при выходе точек кривойза линиимаски. Существуют три различных формы масок, они идентичны по принципу построения и действию:

- полная маска;

- усеченная маска;

- параллельная маска.

Наиболее распространенная из них усеченная маска.

Схематическое изображение усеченной маски или шаблонамаски приведено на рис.4.26.

- интервалы решений; ;- число выборочных интервалов;и- разрешающие линии.

Рис.4.26 Шаблон усеченной маски

Отрезки иназывают интервалами решений и обозначают, а линии, -разрешающими линиями.

Для удобства работы на местах с картой применяют шаблонмаски, который делают из прозрачного пластика, плотной бумаги или пленки. На практике для построения шаблона от оси, проходящей параллельно горизонтальной осикарты, откладывают отрезки, перпендикулярно. На расстояниивыборочных интервалов влево от точкиперпендикулярно осиоткладывают отрезки. Значенияивычисляют на основе значенийи масштабного множителя. Шаблон применяют, помещая опорную точкуна любую нанесенную точку на контрольной карте, при этом рекомендуют выбирать последнюю нанесенную на карту точку, но это может быть и точка в любом предыдущем интервале. Если какая-либо из предшествовавших точек окажется вне наклонных разрешающих линий и (или их продолжений), то это является сигнал о значимом отклонении процесса от целевого значения. Если вся кривая находится между лучами, то существенного сдвига нет.

Эффективность процедур принятия решений на основе масок определяют по среднему числу серии выборок ().является случайной величиной и характеризует среднее число выборок, на основе которого принимается решение о корректировке процесса при одном и том же среднем значении контролируемого параметра процесса. Если не возникает реального изменения процесса,должна быть большой и характеризовать среднее число сотен выборок, так как любые сигналы о выходе процесса из статистически управляемого состояния будут тогда ложными тревогами. Если возникает большой сдвиг от цели, рекомендуют назначать величинумалой для быстрого обнаружения изменения состояния процесса. Взаимосвязь правил принятия решений и величины отклонения контролируемого параметра от цели можно представить кривой средней длины серии выборок, дающей возможность сравнения правил принятия решений аналогично оперативной характеристике для процедур выборочного контроля.

Примечание. Иногда вместо применяют другие характеристики, например такие, как мода или медиана длины серии выборок.

При сравнении поведения карт и контрольных карт Шухартакарт более эффективны -имеют большие значения для процесса, находящегося на цели, и малые значения при значительном сдвиге процесса от цели – уже при значении.

При анализе данных, полученных при проведении длинных серий наблюдений, могут быть применены несколько критериев по оценке различия данных между последовательными интервала­ми. Одни из них - критерий «перекрытия».

При рассмотрении карты и анализе возможных точек изменения среднего уровня контролируемой переменной основой разбиения на интервалы являются локальные максимумы и минимумы кривой. Критерий оценки значимости такого изменения - максимальная степень от­клонения кривойот прямой, соединяющей крайние точки графика на интервале выборок, в котором подозревается изменение.

Для карты максимальную высоту, нормированную делением на стандартное отклонение, определяют с помощью построения хорды(рис.4.27), соединяющей точки графика в концах последовательности значений, и измерением максимального вертикаль­ного расстояния CD от подозреваемой точки на графике до хорды.

; - интервал выборок.

Рис.4.27 Применение критерия «перекрытий» к карте

Этот максимум возникнет в видимой точке перегиба кривой (в максимуме или минимуме) или в точке, где наклон становится круче или сглаживается. Такие точки на графике называют «углами».

В качестве примера работы с усеченной маской рассмотрим отдельные наблюдения, которые были получены в порядке, указанном в таблице 4.18, и для которых установлено опорное значение.

Таблица 4.18 Таблица данных для построения карты

Номер наблюдения*	Полученное значение	Отклонение от опорного значения	Кумулятивная сумма отклонений	Номер наблюдения*	Полученное значение	Отклонение от опорного значения	Кумулятивная сумма отклонений
1	2	3	4	1	2	3	4
1	12	-3	-3	18	12	-3	-22
2	17	+2	-1	19	13	-2	-24
3	14	-1	-2	20	16	+ 1	-23
4	14	-1	-3	21	12	-3	-26
5	17	+2	-1	22	18	+3	-23
6	16	+ 1	0	23	18	+3	-20
7	14	-1	-1	24	17	+2	-18
8	11	-4	-5	25	20	+5	-13
9	13	-2	-7	26	15	0	-13
10	14	-1	-8	27	14	-1	-14
11	15	0	-8	28	18	+3	-11
12	11	-4	-12	29	20	+5	-6
13	14	-1	-13	30	16	+ 1	-5
14	16	+ 1	-12	31	18	+3	-2
15	13	-2	-14	32	14	-1	-3
16	14	-1	-15	33	16	+ 1	-2
17	11	-4	-19
* Под наблюдением понимают любое значение характеристики выборки.

Для обычной контрольной карты значения, полученные в результате наблюдений, строят в зависимости от их порядковых номеров. Но из таблицы 4.18 видно, что последние двенадцать значений (графа 2) сгруппи­рованы около другого среднего уровня, чем первые двадцать.

карта дает более ясное представление о поведении данных, чем обычная контрольная карта Шухарта. Значения (графа 4) наносят на карту в зависимости от номеров наблюдений, причем по вертикальной осиоткладывают значения, а по горизонтальной осиномера наблюдений (ри­с.4.28).

Рис.4.28 карта для данных таблицы 4.18

карту можно разделить на 3 части. Кривая параллельна оси, то есть является горизонтальной для наблюдений 1…7 (включительно). Кривая идет вниз для наблюдений 8…21, несмотря на локальные выбросы в точках 14 и 20. Кривая идет вверх (так же с локальными выбросами) для наблюдений 22…33.

Можно сделать следующие выводы:

а) наблюдения 1…7 представляют выборку из совокупности со средним ;

б) наблюдения 8…21 представляют выборку из совокупности, среднее которой менее 15;

в) наблюдения 22…33 представляют выборку из совокупности, среднее которой более 15.

На рис.4.29 и 4.30 представлен шаблон усеченной маски, примененный в двух точках карты для данных таблицы 4.18 и рис.4.25.

Рис.4.29 Шаблон усеченной маски, наложенный накарту (нет указаний на значимый сдвиг при)

Рис.4.30 Шаблон усеченной маски, наложенный накарту (имеется указание на значимый сдвиг при)

Значение . При наложении шаблона на номер 16 эта кривая остается между лучами, и интервал между номерами наблюдений 8 и 16 существенно не отличается от опорного значения 15 (рис.4.29). При наложении шаблона на номер 18 кривая касается верхней разрешающей линии, указывая, что к этому времени имеется достаточно информации о сдвиге от опорного значения вниз (рис.4.30).

Сформулируем пояснения к рис.4.30.

Прежде всего, верхняя разрешающая линия касается кривой с номерами наблюдений 6 и 7, что считается наруше­нием и дается сигнал о значимом сдвиге.

В точке касания разрешающей линии необходимо принять решение о продлении луча шаблона усеченной маски.

Если шаблон усеченной маски передвинуть к любому номеру ранее точки 18, то сигнала не будет. Если же этот шаблон наложить на контрольную карту между номерами наблюдений 18 и 21 (конец нисходящего интервала), то будет отмечен значимый сдвиг вниз. Повторное применение шаблона усеченноймаски не отменяет предыдущий сигнал.

Сигнал возникает при номере наблюдения 18. Для этой точки получено достаточно информации, подтверждающей вывод об изменении среднего, но изменение предположительно произошло несколько ранее. Анализ карты показывает, что первыми наблюдениями, в которых среднее сместилось от цели, были точки 7 и 8.

Аналогичное применение шаблона усеченной маски далее выявляет изменение направления кривой по отношению к нижнему лучу, указывающее на сдвиг вверх к 29-й точке наблюдения.

В случае управления (корректировки) процесса после нанесения номера наблюдения 18 и получения сигнала при наложении шаблона следует провести управляющее действие. Для определения правильной регулировки, рекомендуется провести оценку нового среднего уровня по формуле:

;

.

Если действия по управлению отложены или неэффективны, то в случае необходимости эту оценку пересчитывают на более поздней стадии.

Рассмотрим теперь, как осуществляется статис­тическое регулирование процесса с помощью контрольной карты кумулятивных сумм числа несоответствующих единиц продукции с образным шаблоном.

Для проверки налаженности процесса сразу же после нанесе­ния на контрольную карту кумулятивных сумм очередной точки () на контрольную карту накладываютобразный шаблон таким образом, чтобы точкашаблона совпала с точкой () на контрольной карте, линияшаблона была параллельна оси абсцисс, и вырез на шаблоне был бы обращен влево (рис.4.31). Если при этом все ранее нанесенные на контрольную карту точки ока­зываются вобразном вырезе шаблона, то процесс считается на­лаженным. Если хотя бы одна из предыдущих точек окажется вне выреза шаблона или же на линии выреза, то это означает разлад­ку процесса и необходимость проведения его корректировки.

Рис.4.31 Пример контрольной карты кумулятивных сумм числа несоответствующих единиц продукции с образным шаблоном

Как следует из рис.4.31, процесс находился в налаженном со­стоянии до взятия 19-й выборки, но после взятия 19-й выборки точка на карте, соответствующая 9-й выборке, оказалась за выре­зом шаблона, и принимается решение о необходимости корректи­ровки процесса.

Таким образом, несомненным достоинством контрольных карт кумулятивных сумм является то обстоятельство, что их чувствительность к изме­нениям хода процесса (за исключением случаев очень малых и очень больших отклонений процесса) в несколько раз выше чувствитель­ности контрольных карт Шухарта. Однако повышенная чувстви­тельность таит опасность необоснованного вмешательства в ход процесса, подвергающегося влиянию только случайных воздей­ствий. Действительно, если в какой-то момент времени появляет­ся, например, постоянная погрешность измерения, приводящая к смещению значения контролируемого параметра, то контрольная карта Шухарта не отреагирует на это смещение, но зато на него моментально может отреагировать контрольная карта кумулятив­ных сумм. Следовательно, контрольные карты Шухарта менее чув­ствительны к малым возмущениям, но более устойчивы в отноше­нии погрешностей измерения контролируемого параметра.

Следует отметить, что контрольные карты кумулятив­ных сумм являются незаменимыми в случае управления процес­сами с относительно низким уровнем производительности (напри­мер, в условиях мелкосерийного и штучного производства) или высокой стоимостью измерений контролируемого параметра, ког­да для контроля доступны лишь индивидуальные значения (т.е. объем выборки ), а также в случаях, когда даже незначитель­ные смещения уровня настройки контролируемого процесса недо­пустимы и подлежат немедленному устранению.

Вместе с тем, построение и интерпрета­ция карт кумулятивных сумм существенно сложнее, чем карт Шу­харта. Поэтому, несмотря на то, что контрольные карты кумулятив­ных сумм были предложены еще в конце пятидесятых годов XX века, их практическое использование стало возможным лишь многие годы спустя, когда для управления технологическими процессами стали широко применяться средства вычислительной техники.