4.8.16 Оценка идентичности работы однотипного технологического оборудования

В условиях серийного производства нередки случаи, когда из­делие изготавливается на нескольких однотипных станках, прессах или автоматах. При этом возникают вопросы, является ли работа этих станков идентичной и можно ли смеши­вать изготовленные на этих станках изделия при формировании однородных партий изделий. Это бывает существенно при форми­ровании представительных выборок для целей выбо­рочного контроля и в тех случаях, когда дальнейшие технологи­ческие процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.

Для ответа на эти вопросы можно было бы провести, как это было сделано в предыдущем разделе для оценки настроенности технологического процесса, попарное сравнение средних арифме­тических выборок, отобранных из партий изделий, изготовлен­ных на отдельных станках. Однако такой подход связан со значи­тельным объемом вычислений. Более удобно оценку степени идентичности работы станков производить с помощью однофакторного дисперсионного анализа результатов измерений контро­лируемого параметра изделий.

Дисперсионный анализ основан на предположении о нормаль­ности закона распределения измеренных значений контролируемо­го параметра и позволяет установить, являются ли различия сред­них арифметических, вычисленных для указанных выше выборок, случайными или обусловлены влиянием определенных факторов.

Пусть, например, необходимо оценить идентичность работы однотипных станков. Для этого из партий изделий, изготовленных на каждом изстанков, отберемвыборок объемомизделий каждая и измерим значение контролируемого параметраизделий. Для каждой выборки вычислим частное среднее арифме­тическое значение и частную дисперсию по формулам

,

. (4.45)

Для всех измеренных значений контролируемого пара­метра вычислим общее среднее арифметическое значение и общую дисперсию

,

.

В дисперсионном анализе кроме общей дисперсии вычисляют еще две другие оценки рассеяния. Одна из них, основанная на ста­тических флуктуациях частных средних вокруг общей средней, называется дисперсией между выборками и определяется соот­ношением

. (4.46)

Другую оценку рассеяния, основанную на колебаниях изме­ренных значений контролируемого параметра вокруг частной сред­ней внутри отдельных выборок, принято называть дисперсией внутри выборок и рассчитывают по формуле

(4.47)

или с учетом (2.33)

. (4.48)

Если на контролируемый параметр оказывают влияние толь­ко обычные случайные причины, то обе оценки дисперсии (4.46) и (4.47) не отличаются друг от друга. Это можно проверить с помо­щью критерия.

Если выполняется условие

, (4.49)

где - квантиль распределения Фишера уровня () со степенями свободыи, то дестабилизирующие технологические факторы не оказывают значимого влияния на значения контролируемого параметра из­делий, произведенных на однотипных станках, и работу этих стан­ков можно считать идентичной.

В заключение следует отметить, что применение описанных статистических методов анализа и управления процес­сами изготовления продукции сопряжено с необходимостью про­ведения следующих расчетов:

- положения контрольных и предупреждающих границ на контрольных картах;

- выборочных средних значений, размахов и стандартных от­клонений контролируемых параметров;

- накопленных сумм отклонений контролируемого параметра от его среднего значения (в случае построения карт);

- приемлемых и неприемлемых уровней процесса, приемочных контрольных границ и объема выборки (в случае построения приемочных контрольных карт);

- собственной и полной изменчивости процесса;

- индексов возможности и пригодности процесса.

Кроме того, необходимо определять значения квантилей нор­мированного нормального распределения, распределений Стьюдента и Фишера различных уровней и степеней свободы.

Выполнение таких расчетов требует определенных знаний, на­выков и умения пользоваться приведенными в стандартах расчет­ными соотношениями, таблицами и графиками. Эти расчеты объек­тивно сложны и не доступны для большинства производственного персонала (операторов, контролеров, наладчиков), как правило, не имеющих специальной подготовки в области прикладной стати­стики. Поэтому широкое практическое исполь­зование статистических методов анализа и управления технологи­ческими процессами принципиально невозможно без их компьюте­ризации. Последнее позволяет полностью автоматизировать как процесс построения и ведения контрольных карт, так и проведения оценок статистической управляемости, настроенности, точности и стабильности технологических процессов с выдачей необходимой информации на экран дисплея или в виде распечаток.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите семь элементарных статистических методов обеспечения качества.

2. В чем заключается смысл функции потерь Тагути?

3. Приведите механизм построения диаграммы Парето.

4. Как строится причинно-следственная диаграмма Исикавы?.

5. Что такое гистограмма? Виды гистограмм.

6. Для чего строятся диаграммы рассеивания?

7.Что такое стратификация данных?

8. Приведите общие сведения о контрольных картах и возможные области их применения.

9. Приведите классификацию контрольных карт.

10. Объясните теоретические основы применения и построения контрольных карт.

11. Как строятся контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами?

12. Контрольные карты Шухарта. Назначение и принципы построения.

13. Приведите методы управления и интерпретации контрольных карт Шухарта.

14. Объясните принципы построения приемочных контрольных карт.

15. С какой целью используются контрольные карты кумулятивных сумм?

16. Объясните назначение показателей возможностей процессов.

17. В чем заключаются рекомендации по применению методов снижения изменчивости и постоянному улучшению возможностей процессов.

18. Сформулируйте рекомендации по применению контрольных карт для статистического управления технологическими процессами.

19. Какие существуют статистические методы оценки настроенности, точности и стабильности технологических процессов?

20. Как осуществить оценку идентичности работы однотипного технологического оборудования?

ЛИТЕРАТУРА

1. Закон РФ «Федеральный закон от 27.12.2002 №184-ФЗ «О техническом регулировании».

2. Миттаг Х.-Й., Ринне Х. Статистические методы обеспечения качества. /Под редакцией Маркова Б.Н. – М.: Машиностроение, 1995. - 616 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

4. Машиностроение. Энциклопедия. Стандартизация и сертификация вы промышленности. /Под общей ред. Воронина Г.П. – М.: Машиностроение, 2000. - 656 с.

5. Нив Г. Р. Пространство доктора Деминга. – В 2-х кн. Кн. 1 – М.: Государственный комитет по высшему образованию, 1996.

6. Жулинский С.Ф., Новиков Е.С., Поспелов В.Я. Статистические методы в современном менеджменте качества. – М.: Фонд «Новое тысячелетие», 2001. – 208 с.

7. Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов. – Санкт-Петербург: Издательский дом «Питер», 2003. – 688 с.

8. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Практикум по курсу «Статистика» (в системе STATISTICA). – М.: Издательский дом «Социальные отношения», 2002. – 188 с.

9. Богатырев А.А., Филиппов Ю.Д. Стандартизация статистических методов управления качеством. - М.: Издательство стандартов, 1989. - 121с.

10. Исикава К. Японские методы управления качеством. - М.: Экономика, 1988. – 215 с.

11. Деминг Э.У. Выход из кризиса. - Тверь: Издательская фирма «Альба», 1994. – 498 с.

12. Статистические методы повышения качества. /Под редакцией Х. Кумэ. – М: Финансы и статистика, 1990. – 304 с.

13. ГОСТ Р 9000 – 2001 Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь.

14. ГОСТ Р 9001 – 2001 Системы менеджмента качества. Требования.

15. ГОСТ Р 9004 – 2001 Системы менеджмента качества. Рекомендации по улучшению качества.

16. ГОСТ Р 50779.0 - 95 Статистические методы. Основные положения.

17. ГОСТ Р 50779.10 – 2000 (ИСО 3534.1 – 93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.

18. ГОСТ Р 50779.11 – 2000 (ИСО 3534.2 – 93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения.

19. ГОСТ Р 50779.21 – 2004 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по вы­борочным данным. Часть 1. Нормальное распределение.

20. ГОСТ Р 50779.30 – 95 Статистические методы. Приемочный контроль качества. Общие требования.

21. ГОСТ Р 50779.40 – 96 (ИСО 7870-93) Статистические методы. Контрольные карты. Общее руководство и введение.

22. ГОСТ Р 50779.41 – 96 (ИСО 7873-93) Статистические методы. Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами.

23. ГОСТ Р 50779.42 – 99 (ИСО 8258-91) Статистические методы. Контрольные карты Шухарта.

24. ГОСТ Р 50779.43 – 99 (ИСО 7966-93) Статистические методы. Приемочные контрольные карты.

25. ГОСТ Р 50779.44 – 2001 Статистические методы. Показатели возможностей процессов. Основные методы расчета.

26. ГОСТ Р 50779.45 – 2002 Статистические методы. Контрольные карты кумулятивных сумм. Основные положения.

27. ГОСТ Р 50779.50 – 95 Статистические методы. Приемочный контроль качества по количественному признаку. Общие требования.

28. ГОСТ Р 50779.51 – 95 Статистические методы. Непрерывный приемочный контроль качества по альтернативному признаку.

29. ГОСТ Р 50779.52 – 95 Статистические методы. Приемочный контроль качества по альтернативному признаку.

30. ГОСТ Р 50779.53 – 98 Статистические методы. Приемочный контроль качества по количественному признаку для нормального закона распределения. Часть 1. Стандартное отклонение известно.

31. ГОСТ Р 50779.70 – 99 (ИСО 2859.0 - 95) Статистические методы. Процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку. Часть 0. Введение в систему выборочного контроля по альтернативному признаку на основе приемлемого уровня качества .

32. ГОСТ Р 50779.71 – 99 (ИСО 2859.1 - 89) Статистические методы. Процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку. Часть 1. Планы выборочного контроля последовательных партий на основе приемлемого уровня качества .

33. ГОСТ Р 50779.72 – 99 (ИСО 2859.2 - 85) Статистические методы. Процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку. Часть 2. Планы выборочного контроля отдельных партий на основе предельного качества .

34. ГОСТ Р 50779.73 – 99 (ИСО 2859.3 - 91) Статистические методы. Процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку. Часть 3. Процедуры выборочного контроля с пропуском партий.

35. ГОСТ Р 50779.74 – 99 (ИСО 3951 - 89) Статистические методы. Процедуры выборочного контроля и карты контроля по количественному признаку для процента несоответствующих единиц продукции.

36. ГОСТ Р 50779.75 – 99 (ИСО 8422 - 91) Статистические методы. Последовательные планы выборочного контроля по альтернативному признаку.

37. ГОСТ Р 50779.76 – 99 (ИСО 8423 - 91) Статистические методы. Последовательные планы выборочного контроля по количествен­ному признаку для процента несоответствующих единиц продук­ции (стандартное отклонение известно).

38. ГОСТ Р 50779.77 – 99 Статистические методы. Планы и про­цедуры статистического приемочного контроля нештучной продукции.

39. ИСО/ТО 10017 - 2003 Руководящие указания по статистическим методам для ИСО 9001:2000.

Приложение А

Нормированное нормальное распределение

В таблице ПА.1 приведены некоторые значения функции с точностью до шести десятичных знаков. Исходя из свойства симметрии

,

функция табулирована только для.

Примеры: .

Таблица ПА.1 Значения функции распределения при:

	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0.0	.500000	.503989	.507978	.511966	.515953	.519939	.523922	.527903	.531881	.535856
0.1	.539828	.543795	.547758	.551717	.555670	.559618	.563559	.567495	.571424	.575345
0..2	.579260	.583156	.587064	.590954	.594835	.598706	.602568	.606420	.610261	.614092
0.3	.617912	.621720	.625516	.629300	.633072	.636831	.640577	.644309	.648027	.651732
0.4	.655423	.629037	.665757	.666407	.670032	.673645	.677242	.680823	.684386	.687933
0.5	.691463	.694974	.698468	.701944	.705402	.708840	.712260	.715661	.719043	.722405
0.6	.725747	.729069	.732371	.735653	.738914	.742154	.745373	.748571	751748	754903
0.7	.758036	.761148	.764237	.767305	.770350	.773373	.776373	.779350	.782304	.785236
0.8	.788144	.791030	.793892	.796730	.799546	.802337	.805105	.807850	.810570	.813267
0.9	.815940	.818589	.821214	.823814	.826391	.828944	.831472	.833977	.836457	.838913
1.0	.841345	.843752	.846136	.848495	.850830	.853141	.855428	.857690	.859929	.862143
1.1	.864334	.866501	.868643	.870762	.872857	.874928	.876976	.879000	.881000	.882977
1.2	.884930	.886861	.888768	.890652	.892512	.894350	.896165	.897958	.899728	.901475
1.3	.903200	.904902	.906583	.908241	.909877	.911492	.913085	.914657	.916207	.917736
1.4	.919243	.920730	.922196	.923642	.925066	926471	.927855	.929219	.930563	.931888
1.5	.933193	.934478	.935745	.936992	.938220	.939429	.940620	.941793	.942947	.944083
1.6	.945201	.946301	.947384	.948449	.949497	.950529	.951543	.952540	.953521	.954486
1.7	.955435	.956367	.957284	.958185	.959070	959941	.960796	.961636	.962462	.963273
1.8	.964070	.964852	.965620	.966375	.967116	.967843	.968557	.969258	.969946	.970621
1.9	.971283	.971933	.972571	.973196	.973810	974412	975002	.975581	.976148	.976704
2.0	.977250	.977784	.978308	.978822	.979325	.979818	.980301	.980774	.981237	.981691
2.1	.982135	.982571	.982997	.983414	.983823	.984222	.984614	.984996	.985371	.985738
2.2	.986096	.986447	.986791	.987126	.987454	.987775	.988089	.988396	.988696	.988989
2.3	.989276	.989556	.989830	.990097	.990358	99061 Л	.990863	.991106	.991344	.991576
2.4	.991802	.992024	.992240	.992451	.992656	992857	993053	.993244	.993431	.993613
2.5	.993790	.993964	.994132	.994297	.994457	.994614	994766	.994915	.995060	.995201
2.6	.995339	.995473	.995604	.995731	.995855	.995976	.996093	.996208	996319	.996428
2.7	.996533	.996636	.996736	.996833	.996928	.997020	.997110	.997197	.997282	.997365
2.8	.997445	.997523	.997599	.997673	.997744	.997814	.997882	.997948	.998012	.998074
2.9	.998134	.998193	.998250	.998305	.998359	.998411	.998462	.998511	.998559	.998605

Таблица ПА.2 Значения функции распределения при:

	.00	.05	.10	.15	.20	.25	.30	.35	.40	.45
3.0 3.5 4.0 4.5	.998650 .999767 .999968 .999997	.998856 .999807 .999974 .999997	.999032 .999841 .999979 .999998	.999184 .999869 .999983 .999998	999313 .999892 .999987 .999999	.999423 .999912 .999989 .999999	999517 .999928 .999991 .999999	999596 .999941 .999993 .999999	.999663 .999952 .999995 1.000000	.999720 .999961 .999996 1.000000

Приложение Б

Квантили нормированного нормального распределения

В таблице ПБ.1 приведены некоторые значения функции с точностью до трех десятичных знаков. Исходя из свойства симметрии

,

функция достаточно было бы табулировать только для.

Примеры: .

Таблица ПБ.1 Квантили нормированного нормального распределения при

	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0.0	.00	-2.327	-2.054	-1.881	-1.751	-1.645	-1.555	-1.476	-1.405	-1.341
0.1	-1.282	- 1.227	-1.175	-1.126	-1.080	-1.036	-0.994	-0.954	-0.915	-0.878
0.2	-0.841	- 0.806	-0.772	-0.739	-0.706	-0.674	-0.643	-0.612	-0.582	-0.553
0.3	-0.524	- 0.495	- 0.467	- 0.439	- 0.412	- 0.385	- 0.358	- 0.331	- 0.305	- 0.279
0.4	- 0.253	- 0.227	- 0.202	- 0.176	- 0.151	- 0.125	- 0.100	- 0.075	- 0.050	- 0.025
0.5	0.000	0.025	0.050	0.075	0.100	0.1.25	0.151	0.176	0.202	0.227
0.6	0.253	0.279	0.305	0.331	0.358	0.385	0.412	0.439	0.467	0.495
0.7	0.524	0.553	0.582	0.612	0.643	0.674	0.706	0.739	0.772	0.806
0.8	0.841	0.878	0.915	0.954	0.994	1.036	1.080	1.126	1.175	1.227
0.9	1.282	1.341	1.405	1.476	1.555	1.645	1.751	1.881	2.054	2.326

Таблица ПБ.2 Квантили нормированного нормального распределения при

	.000	.001	.002	.003	.004	.005	.006	.007	.008	.009
0.97	1.881	1.896	1.911	1.927	1.943	1.960	1.977	1.995	2.014	2.034
0.98	2.054	2.075	2.097	2.120	2.144	2.170	2.197	2.226	2.257	2.290
0.99	2.326	2.366	2.409	2.457	2.512	2.576	2.652	2.748	2.878	3.090

Таблица ПБ.3 Квантили нормированного нормального распределения при

	.0000	.0001	.0002	.0003	.0004	.0005	.0006	.0007	.0008	.0009
0.999	3.090	3.121	3.156	3.195	3.239	3.291	3.353	3.432	3.540	3.719

Приложение В

Квантили распределения Стьюдента

В таблице ПВ.1 приведены округленные до четырех десятичных знаков квантили для различныхи. На основании свойства симметрии

,

достаточно табулировать комбинации с.

Квантили припочти совпадают с квантилями нормированного нормального распределения:

.

Примеры: .

Таблица ПВ.1 Квантили распределения Стьюдента

	0.75	0.90	0.95	0.975	0.99	0.995
1	1.0000	3.0777	6.3138	12.7062	31.8207	63.6574
2	0.81 65	1.8856	2.9200	4.3072	6.9646	9.9248
3	0.7649	1.6377	2.3534	3.1824	4.5407	5.8409
4	0.7407	1.5332	2.131.8	2.7764	3.7469	4.6041
5	0.7207	1.4 759	2.0150	2.5706	3.3649	4.0322
6	0.7167	3.1398	1.9432	2.4469	3.1427	3.7044
7	0.7111	1.4149	1.8946	2.3646	2.9980	3.4995
8	0.7004	1.3968	1.8595	2.3060	2.8965	3.3554
9	0.7027	1.3839	1.8331	2.2622	2.8214	3.2498
10	0.6998	1.3722	1,8125	2.2281	2,7638	3.1693
11	0.6974	1.3634	1.7959	2.2010	2.7181	3.1058
12	0.6955	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810	3.0545
13	0.6938	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503	3.0123
14	0.6924	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245	2.9768
15	0.6912	1.3406	1.7531	2.1315	2.6025	2.9467
16	0.6901	1.3368	1.7459	2.1199	2.5835	2.9208
17	0.6892	1.3334	1.7396	2.1098	2.5669	2.8982
18	0.6884	1.3304	1.7341	2.1009	2.5524	2.8784
19	0.6876	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395	2.8609
20	0.6870	1.3253	1.7247	2.0860	2.5280	2.8453
21	0.6864	1.3232	1.7207	2.0796	2.5177	2.8314
22	0.6858	1.3212	1.7171	2.0739	2.5083	2.8183
23	0.6853	1.3195	1.7139	2.0687	2.4999	2.8073
24	0.6848	1.3178	1.7109	2.0659	2.4922	2.7969
25	0.6844	1.3163	1.7081	2.0595	2.4851	2.7874
26	0.6840	1.3150	1.7056	2.0555	2.4786	2.7787
27	0.6837	1.3137	1.7033	2.0518	2.4727	2.7707
28	0.6834	1.3125	1.7011	2.0484	2.4671	2.7633
29	0.6830	1.3114	1.6991	2.0452	2.4620	2.7564
30	0.6828	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573	2.7500
32	0.6822	1.3086	1.6939	2.0369	2.4487	2.7385
34	0.6818	1.3070	1.6909	2.0322	2.4411	2.7284
36	0.6814	1.3055	1.6883	2.0281	2.4345	2.7195
38	0.6810	1.3042	1.6860	2.0244	2.1286	2.7116
40	0.6807	1.3031	1.6839	2.0211	2.4233	2.7045
42	0.6804	1.3020	1.6820	2.0131	2.4185	2.6981
44	0.6801	1.3011	1.6802	2.0154	2.4141	2.6923
46	0.6799	1.3002	1.6787	2.0129	2.4102	2.6870
48	0.6796	1.2994	1.6772	2.0106	2.4066	2.6822
50	0.6794	1.2987	1.6759	2.0086	2.4033	2.6778
55	0.6790	1.297 1	1.6730	2.0040	2.3961	2.6682
60	0.6786	1.2958	1.6706	2.0003	2.3901	2.6603
65	0.6783	1.2947	1.6686	1.9971	2.3851	2.6536

Продолжение таблицы ПВ.1

	0.75	0.90	0.95	0.975	0.99	0.995
70	0.6780	1.2938	1.6669	1.9944	2.3808	2.6479
75	0.6778	1.2929	1.6654	1.9921	2.3771	2.6430
80	0.6776	1.2922	1.6641	1.9901	2.3739	2.6387
85	0.6774	1.2916	1.6630	1.9883	2.3710	2.6349
90	0.6772	1.2910	1.6620	1.9867	2.3685	2.6316
95	0.6771	1.2905	1.6611	1.9853	2.3662	2.6286
100	0.6770	1.2901	1.6602	1.9840	2.3642	2.6259
110	0.6767	1.2893	1.6588	1.9818	2.3607	2.6213
120	0.6765	1.2886	1.6577	1.9799	2.3578	2.6174
130	0.6764	1.2881	1.6567	1.9784	2.3554	2.6142
140	0.6762	1.2876	1.6578	1.9771	2.3533	2.6114
150	0.6761	1.2872	1.6551	1..9759	2.3515	2.6090
200	0.6757	1.2858	1.6525	1.9719	2.3451	2.6006
300	0.6753	1.2844	1.6499	1.9679	2.3388	2.5923
400	0.6751	1.2337	1.6487	1.9659	2.3357	2.5882
500	0.6750	1.2832	1.6479	1.9647	2.3338	2.5857
1000	0.6747	1.2824	1.6464	1.9623	2.3301	2.5808
	0.6745	1.2816	1.6449	1.9600	2.3263	2.5758

Приложение Г

Квантили распределения Фишера

В таблице ПГ.1 для некоторых степеней свободы ии некоторых значенийданы соответствующие квантили, округленные до двух десятичных знаков. На основании отношения симметрии

распределение достаточно табулировать для .

Примеры: .

Таблица ПГ.1 Квантили распределения Фишера

	1	2	3	4	5	7	10	15	20	30	50	100	200	500
1	1.00	1.50	1.71	1.82	1.89	1.98	2.04	2.09	2.12	2.14	2.17	2.18	2.18	2.19	2.20
2	0.67	1.00	1.13	1.21	1.25	1.30	1.34	1.38	1.39	1.41	1.42	1.43	1.44	1.44	1.44
3	0.59	0.88	1.00	1.06	1.10	1.15	1.18	1.21	1.23	1.24	1.25	1.26	1.26	1.27	1.27
4	0.55	0.83	0.94	1.00	1.04	1.08	1.11	1.14	1.15	1.16	1.18	1.18	1.19	1.19	1.19
5	0.53	0.80	0.91	0.96	1.00	1.04	1.07	1.10	1.11	1.12	1.13	1.14	1.15	1.15	1.15
7	0.51	0.77	0.87	0.93	0.90	1.00	1.03	1.05	1.07	1.08	1.09	1.10	1.10	1.10	1.10
10	0.49	0.74	0.85	0.90	0.93	0.97	1.00	1.02	1.03	1.05	1.06	1.06	1.07	1.07	1.07
15	0.48	0.73	0.83	0.88	0.91	0.95	0.98	1.00	1.01	1.02	1.03	1.04	1.04	1.04	1.05
20	0.47	0.72	0.82	0.87	0.90	0.94	0.97	0.99	1.00	1.01	1.02	1.03	1.03	1.03	1.03
30	0.47	0.71	0.81	0.86	0.89	0.93	0.96	0.98	0.99	1.00	1.01	1.02	1.02	1.02	1.02
50	0.46	0.70	0.80	0.85	0.88	0.92	0.95	0.97	0.98	0.99	1.00	1.01	1.01	1.01	1.01
100	0.46	0.70	0.79	0.85	0.88	0.91	0.94	0.96	0.97	0.98	0.99	1.01	1.00	1.01	1.01
200	0.46	0.70	0.79	0.84	0.87	0.91	0.94	0.96	0.91	0.98	0.99	1.00	1.00	1.00	1.00
500	0.46	0.69	0.79	0.84	0.87	0.91	0.94	0.96	0.97	0.98	0.99	0.99	1.00	1.00	1.00
	0.46	0.69	0.79	0.84	0.87	0.91	0.93	0.96	0.97	0.98	0.99	0.99	1.00	1.00	1.00

	1	2	3	4	5	7	10	15	20	30	50	100	200	500
1	39.86	49.50	53.59	55.83	57.24	58.91	60.19	61.22	61.74	62.26	62.69	63.00	63.17	63.26	63.33
2	8.53	9.00	9.16	9.24	9.29	9.35	9.39	9.42	9.44	9.46	9.47	9.48	9.49	9.49	9.49
3	5.54	5.46	5.39	5.34	5.31	5.27	5.23	5.20	5.18	5.17	5.15	5.14	5.14	5.14	5.14
4	4.54	4.32	4.19	4.11	4.05	3.98	3.92	3.87	3.84	3.82	3.80	3.78	3.77	3.76	3.76
5	4.06	3.78	3.02	3.52	3.45	3.37	3.30	3.24	3.21	3.17	3.15	3.13	3.12	3.11	3.11
7	3.59	3.26	3.07	2.96	2.88	2.78	2.70	2.63	2.59	2.56	2.52	2.50	2.48	2.48	2.47
10	3.29	2.92	2.73	2.60	2.52	2.41	2.32	2.24	2.20	2.16	2.12	2.09	2.07	2.06	2.06
15	3.07	2.69	2.49	2.36	2.27	2.16	2.06	1.97	1.92	1.87	1.83	1.79	1.77	1.76	1.76
20	2.97	2.59	2.38	2.25	2.16	2.04	1.94	1.84	1.79	1.74	1.69	1.65	1.63	1.62	1.61
30	2.88	2.19	2.28	2.14	2.05	1.93	1.82	1.72	1.67	1.61	1.55	1.51	1.48	1.47	1.46
50	2.81	2.41	2.20	2.06	1.97	1.84	1.73	1.63	1.57	1.50	1.44	1.39	1.36	1.34	1.33
100	2.76	2.36	2.14	2.00	1.91	1.78	1..66	1.56	1.49	1.42	1.35	1.29	1.26	1.23	1.21
200	2.73	2.33	2.11	1.97	1.88	1.75	1.63	1.52	1.46	1.38	1.31	1.24	1.20	1.17	1.14
500	2.71	2.31	2.09	1.96	1.86	1.73	1.61	1.50	1.44	1.36	1.28	1.21	1.16	1.12	1.09
	2.71	2.30	2.08	1.95	1.85	1.72	1.60	1.49	1.42	1.34	1.26	1.18	1.13	1.08	1.00

	1	2	3	4	5	7	10	15	20	30	50	100	200	500
1	161	200	216	225	230	237	242	246	248	250	252	253	254	254	254
2	18.5	19.0	19.2	19.2	19.3	19.4	19.4	19.4	19.4	19.5	19.5	19.5	19.5	19.5	19.5
3	10.1	9.55	9.28	9.12	9.01	8.89	8.79	8.70	8.66	8.62	8.58	8.55	8.54	8.53	8.53
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.09	5.96	5.86	5.80	5.75	5.70	5.66	5.65	5.64	5.63
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.88	4.74	4.62	4.56	4.50	4.44	4.41	4.39	4.37	4.37
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.79	3.64	3.51	3.44	3.38	3.32	3.27	3.25	3.24	3.23
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.14	2.98	2.85	2.77	2.70	2.64	2.59	2.56	2.55	2.54
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.71	2.54	2.40	2.33	2.25	2.18	2.12	2.10	2.08	2.07
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.51	2.35	2.20	2.12	2.04	1.97	1.91	1.88	1.86	1.84
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.33	2.16	2.01	1.93	1.84	1.76	1.70	1.66	1.64	1.62
50	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.20	2.03	1.87	1.78	1.69	1.60	1.52	1.48	1.46	1.44
100	3.94	3.09	2.70	2.46	2.31	2.10	1.93	1.77	1.68	1.57	1.48	1.39	1.34	1.31	1.28
200	3.89	3.04	2.65	2.42	2.26	2.06	1.88	1.72	1.62	1.52	1.41	1.32	1.26	1.22	1.19
500	3.86	3.01	2.62	2.39	2.23	2.03	1.85	1.69	1.59	1.48	1.38	1.28	1.21	1.16	1.11
	3.84	3.00	2.60	2.37	2.21	2.01	1.83	1.67	1.57	1.46	1.35	1.24	1.17	1.11	1.00

	1	2	3	4	5	7	10	15	20	30	50	100	200	500
1	647.79	799.50	864.16	899.58	921.85	948.22	968.63	984.87	993.10	1001.41	1008.12	1013.17	1015.71	1017.24	1018.30
2	38.50	39.00	39.16	39.25	39.30	39.36	39.40	39.43	39.45	39.46	39.48	39.49	39.49	39.50	39.50
3	17.44	16.04	15.44	15.10	14.88	14.62	14.42	14.25	14.17	14.08	14.01	13.96	13.93	13.91	13.90
4	12.22	10.65	9.98	9.60	9.36	9.07	8.84	8.66	8.56	8.46	8.38	8.32	8.29	8.27	8.26
5	10.00	8.43	7.76	7.39	7.15	6.85	6.62	6.43	6.33	6.23	6.14	6.08	6.05	6.03	6.02
7	8.07	6.54	5.89	5.52	5.29	4.99	4.76	4.57	4.47	4.36	4.28	4.21	4.18	4.16	4.14
10	6.94	5.46	4.83	4.47	4.24	3.95	3.72	3.52	3.42	3.31	3.22	3.15	3.12	3.09	3.08
15	6.20	4.76	4.15	3.80	3.58	3.29	3.06	2.86	2.76	2.64	2.55	2.47	2.44	2.41	2.40
20	5.87	4.46	3.86	3.51	3.29	3.01	2.77	2.57	2.46	2.35	2.25	2.17	2.13	2.10	2.09
30	5.57	4.18	3.59	3.25	3.03	2.75	2.51	2.31	2.20	2.07	1.97	1.88	1.84	1.81	1.79
50	5.34	3.98	3.39	3.06	2.83	2.55	2.32	2.11	1.99	1.87	1.75	1.66	1.60	1.57	1.55
100	5.18	3.83	3.25	2.92	2.70	2.42	2.18	1.97	1.85	1.71	1.59	1.48	1.42	1.38	1.35
200	5.10	3.76	3.18	2.85	2.63	2.35	2.11	1.90	1.78	1.64	1.51	1.39	1.32	1.27	1.23
500	5.05	3.72	3.14	2.81	2.59	2.31	2.07	1.86	1.74	1.60	1.46	1.34	1.25	1.19	1.14
	5.02	3.69	3.12	2.79	2.57	2.29	2.05	1.83	1.71	1.57	1.43	1.30	1.21	1.13	1.00

	1	2	3	4	5	7	10	15	20	30	50	100	200	500
1	4052.18	4999.50	5403.35	5624..8	5763.65	5928.36	6055.85	6157.28	6208.73	6260.65	6302.52	6334.11	6349.97	6359.50	6370.00
2	98.50	99.00	99.16	99.25	99.30	99.37	99.40	99.45	99.46	99.47	99.48	99.49	99.49	99.50	99.50
3	34.11	30.82	29.46	28.71	28.24	27.67	27.23	26.69	26.60	26.51	26.35	26.24	26.18	26.16	26.13
4	21.20	18.00	16.69	15.98	15.52	14.98	14.55	14.20	14.02	13.84	13.69	13.58	13.52	13.49	13.46
5	16.26	13.28	12.06	11.39	10.97	10.46	10.05	9.72	9.55	9.38	9.24	9.13	9.08	9.04	9.02
7	12.25	9.55	8.45	7.85	7.46	6.99	6.62	6.31	6.16	5.99	5.86	5.75	5.70	5.67	5.65
10	10.04	7.56	6.55	5.99	5.64	5.20	4.85	4.56	4.41	4.25	4.12	4.01	3.96	3.93	3.91
15	8.68	6.36	5.42	4.89	4.56	4.14	3.80	3.52	3.37	3.21	3.08	2.98	2.92	2.89	2.87
20	8.10	5.85	4.94	4.43	4.10	3.70	3.37	3.09	2.94	2.78	2.64	2.54	2.48	2.44	2.42
30	7.56	5.39	4.51	4.02	3.70	3.30	2.98	2.70	2.55	2.39	2.25	2.13	2.07	2.03	2.01
50	7.17	5.06	4.20	3.72	3.41	3.02	2.70	2.42	2.27	2.10	1.95	1.82	1.76	1.71	1.68
100	6.90	4.82	3.98	3.51	3.21	2.82	2.50	2.22	2.07	1.89	1.73	1.60	1.52	1.47	1.43
200	6.76	4.71	3.88	3.41	3.11	2.73	2.41	2.13	1.97	1.79	1.63	1.48	1.39	1.33	1.28
500	6.69	4.65	3.82	3.36	3.05	2.68	2.36	2.07	1.92	1.74	1.56	1.41	1.31	1.23	1.16
	6.63	4.61	3.78	3.32	3.02	2.64	2.32	2.04	1.88	1.70	1.52	1.36	1.25	1.15	1.00

	1	2	3	4	5	7	10	15	20	30	50	100	200	500
1	16210.72	19999.50	21614.74	22499.58	23055.80	23714.57	24224.49	24630.21	24835.97	25043.63	25211.09	25337.45	25400.87	25439.00	25465.00
2	198.50	199.00	199.17	199.25	199.30	199.36	199.40	199.43	199.45	199.47	199.48	199.49	199.49	199.50	199.51
3	55.55	49.70	47.47	46.20	45.39	44.43	43.69	43.09	42.78	42.47	42.21	42.02	41.93	41.87	41.83
4	31.33	26.29	24.26	23.16	22.46	21.62	20.97	20.44	20.17	19.89	19.67	19.50	19.41	19.36	19.33
5	22.79	18.31	16.53	15.56	14.94	14.20	13.62	13.15	12.90	12.66	12.45	12.30	12.22	12.17	12.14
7	16.24	12.40	10.88	10.05	9.52	8.89	8.38	7.97	7.75	7.53	7.35	7.22	7.15	7.10	7.08
10	12.83	9.43	8.08	7.34	6.87	6.30	5.85	5.47	5.27	5.07	4.90	4.77	4.71	4.67	4.64
15	10.80	7.70	6.48	5.80	5.37	4.85	4.42	4.07	3.88	3.69	3.53	3.39	3.33	3.29	3.26
20	9.94	6.99	5.82	5.17	4.76	4.26	3.85	3.50	3.31	3.12	2.96	2.83	2.76	2.72	2.69
30	9.18	6.35	5.24	4.62	4.23	3.74	3.34	3.01	2.82	2.63	2.46	2.32	2.25	2.21	2.18
50	8.63	5.90	4.83	4.23	3.85	3.38	2.99	2.65	2.47	2.27	2.10	1.95	1.87	1.82	1.79
100	8.24	5.59	4.54	3.96	3.59	3.13	2.74	2.41	2.23	2.02	1.84	1.68	1.59	1.53	1.49
200	8.06	5.44	4.41	3.84	3.47	3.01	2.63	2.30	2.11	1.91	1.71	1.54	1.44	1.37	1.31
500	7.95	5.36	4.33	3.76	3.40	2.94	2.56	2.23	2.04	1.84	1.64	1.46	1.35	1.26	1.18
	7.88	5.30	4.28	3.72	3.35	2.90	2.52	2.19	2.00	1.79	1.59	1.40	1.28	1.17	1.00

Приложение Д

Квантили распределения

В таблице ПД.1 для некоторых степеней свободы и значенийприведены квантили, округленные до трех десятичных знаков. Приимеет место следующее приближение

,

причем обозначает квантиль нормированного нормального распределения порядка.

Примеры: .

Таблица ПД.1 Квантили распределения

	Значения квантилей распределения при уровне доверия
	0.01	0.02	0.05	0.1	0.2	0.3	0.5	0.7	0.8	0.9	0.95	0.98	0.99
1	0.0157	0.0628	0.0393	0.0158	0.0642	0.148	0.455	1.074	1.642	2.706	3.841	5.412	6.635
2	0.0201	0.0404	0.103	0.211	0.446	0.713	1.386	2.408	3.219	4.605	5.991	7.824	9.210
3	0.115	0.185	0.352	0.584	1.005	1.424	2.366	3.665	4.642	6.251	7.815	9.837	11.345
4	0.297	0.429	0.711	1.064	1.649	2.195	3.357	4.878	5.989	7.779	9.488	11.668	13.277
5	0.554	0.752	1.145	1.160	2.343	3.000	4.351	6.064	7.289	9.233	11.070	13.388	15.086
6	0.872	1.134	1.635	2.204	3.070	3.828	5.348	7.231	8.553	10.645	12.592	15.033	16.812
7	1.239	1.564	2.167	2.833	3.822	4.671	6.346	8.383	9.803	12.017	14.067	16.622	18.475
8	1.646	2.032	2.733	3.490	4.594	5.527	7.344	9.524	11.030	13.362	15.507	18.168	20.090
9	2.088	2.532	3.325	4.168	5.380	6.393	8.343	10.656	12.242	14.684	16.919	19.679	21.666
10	2.358	3.059	3.940	4.865	6.179	7.267	9.342	11.781	13.442	15.987	18.307	21.161	23.209
11	3.053	3.609	4.575	5.578	6.989	8.148	10.341	12.899	14.631	17.275	19.675	22.618	24.725
12	3.571	4.178	5.226	6.304	7.807	9.034	11.340	14.011	15.821	18.549	21.026	24.054	26.217
13	4.107	4.765	5.892	7.042	8.634	9.926	12.340	15.119	16.985	19.812	22.362	25.472	27.688
14	4.660	5.368	6.571	7.790	9.467	10.821	13.339	16.222	18.151	21.064	23.585	26.873	29.141
15	5.229	5.985	7.261	8.547	10.307	11.721	14.339	17.322	19.311	22.307	24.996	28.259	30.578
16	5.812	6.614	7.962	9.312	11.152	12.624	15.333	18.418	20.465	23.542	26.296	29.633	32.000
17	6.408	7.255	8.672	10.035	12.002	13.531	16.338	19.511	21.615	24.769	27.587	30.995	33.409
18	7.015	7.906	9.390	10.865	12.857	14.440	17.338	20.601	22.760	25.939	28.869	32.346	34.805
19	7.633	8.567	10.117	11.651	13.716	15.352	18.338	21.689	23.900	27.204	30.144	33.687	36.191
20	8.260	9.237	10.851	12.443	14.578	16.266	19.337	22.775	25.038	28.412	31.410	35.020	37.566
21	8.897	9.915	11.591	13.240	15.445	17.182	20.337	23.858	26.171	29.615	32.671	36.343	38.932
22	9.542	10.600	12.338	14.041	16.314	18.101	21.337	24.939	27.301	30.813	33.924	37.659	40.289
23	10.196	11.293	13.091	14.848	17.187	19.021	22.337	26.018	28.429	32.007	35.172	38.968	41.638
24	10.856	11.992	13.848	15.659	18.062	19.943	23.337	27.096	29.553	33.196	36.415	40.270	42.980
25	11.524	12.697	14.611	16.473	18.940	20.867	24.337	28.172	30.675	34.382	37.652	41.566	44.314
26	12.198	13.409	15.379	17.292	19.820	21.792	25.336	29.246	31.795	35.563	38.885	42.856	45.642
27	12.879	14.125	16.151	18.114	20.703	22.719	26.336	30.319	32.912	36.741	40.113	44.140	46.963
28	13.565	14.847	16.928	18.939	21.588	23.647	27.336	31.391	34.027	37.916	41.337	45.419	48.278
29	14.256	15.574	17.708	19.768	22.475	24.577	28.336	32.461	35.139	39.087	42.557	46.693	49.588
30	14.953	16.306	18.493	20.599	23.364	25.508	29.336	33.530	36.250	40.256	43.773	47.962	50.892

9