3.3.6.4 Последовательные планы выборочного контроля по альтернативному признаку

Логическим продолжением двухступенчатых и многоступенчатых планов контроля с целью повышения их эффективности (3.144) являются такие планы, в которых объем выборки на каждой ступени контроля . Напомним, что такие планы контроля, у которых число необходи­мых для принятия решения ступеней контроля теоретически мо­жет быть любым от единицы до полного объемаконтролируемой партии продукции, называютпланами последовательного контроля, а соответствующий контроль называют последовательным контролем.

Применение последовательных планов выборочного контроля, так же как двух- и многоступенчатых пла­нов, приводит к меньшим средним объемам выборки по сравне­нию с одноступенчатыми планами, имеющими такие же опера­тивные характеристики. При этом средняя экономия для последовательных выборочных планов даже превышает среднюю экономию при двух- и многоступенчатых планах.

Последовательные планы и процедуры выборочного контроля по альтернативному признаку как непрерывных серий, так и отдельных партий штучной продукции установлены в ГОСТ Р 50779.75 (ИСО 8422) «Статистические методы. Последовательные планы выборочного контроля по альтернативному признаку». Сущность и теоретическое обоснование последовательных ме­тодов выборочного контроля рассмотрим ниже.

3.3.6.4.1 Описание метода контроля

Применение плана последовательного контроля соответствует проверке конкурирующих гипотез (2.118):

(3.145)

Для вероятностей 1-го и 2-го рода заданы верхние границы и. Генеральная совокупность, к которой относятся эти гипотезы, является партия изделий с неизвестной долей брака. Будем исходить из того, что объем партиинастолько велик, что даже при последовательном взятии выборок без возвращения доля брака в остатке партии не изменяется. Из партии берутся изделия одно за другим и на каждой ступени контроляпроверяют, лежит ли общее числодефектных изделий, обнаруженных после контроляизделий, вне интервала. При этомивычисляются по формулам(2.116) по заданным значениям исогласно выражениям:

, (3.146а)

, (3.146б)

, (3.146в)

где

, (3.147а)

. (3.147б)

В случае партия принимается, в случаебракуется. Еслилежит внутри этого интервала, контроль изделий продолжается. Алгоритм реализации данного метода представлен на рис.3.38.обозначает поле данных, в котором находится искомое значение.

Рис.3.38 Структурограмма плана последовательного контроля

Если графически изобразить границы иконтрольного интерваладля, то получим дне последовательности точек, лежащих на параллельных полупрямых с крутизной подъема. Эти полупрямые в разделе 2.2.1 называлисьбраковочной и приемочной границами, а область между ними -областью продолжения контроля. Процедуру последовательного контроля изобразим с помощью диаграммы хода контроля (рис.3.39). Ее получают, изображая на графике значения контрольной величиныприи соединяя полученные точки ступенчатой линией. Как только эта линия достигает приемочной или браковочной границы, контроль закапчивается принятием или браковкой партии. На приведенной на рис.3.39 диаграмме хода контроля прииприведены два возможных варианта, хотя в действительности ход контроля описывается дискретной последовательностью точек.

Первая линия отражает процедуру контроля, при которой партия бракуется после контроля 52 изделий (пять изделий дефектны), вторая линия – процедуру контроля, при которой приемка партии происходит после контроля 56 изделий (одно изделие дефектно).

Рис.3.39 Диаграмма хода контроля при реализации плана последовательного контроля

Следует отметить, что полный объем выборки, то есть количество проконтролированных изделий до момента принятия решения, даже в случае с вероятностью, стремящейся к единице, остается конечным, если отдельные изделия выборки отбираются независимо друг от друга. Графически это выглядит так (рис.3.40).

Рис.3.40 График хода контроля при реализации последовательного плана

На рис.3.39 накопленное число дефектных изделий изображено в виде функции достигнутого объема выборки, а на рис.3.40 представлены относительные величины, то есть накопленные доли дефектных изделий. Таким образом, область продолжения контроля ограничивается уже не прямымии, а гиперболамии. Гиперболы образуют воронку, ось горловины которой прииасимптотически приближается к прямой. Ширина области продолжения контроля не остается постоянной, а асимптотически сужается. На рис.3.40 дляиснова выбраны те же значения, что и на рис.3.39. Для наглядности здесь изображена только одна линия хода контроля.

При обнаружении дефектного изделии эта линия резко поднимается, а затем медленно опускается до момента обнаружения следующего дефектного изделия. До тех пор, пока линия остается внутри воронки, контроль проводится дальше. Если линия касается или пересекает верхнюю или нижнюю границу воронки, то партия принимается или бракуется. На рис.3.40 партия бракуется после контроля десяти изделий. Как ясно видно по графику, с растущим числом проконтролированных изделий становится все более вероятным, что линия хода контроля выйдет за пределы становящейся все более узкой воронки, и тем самым будет принято окончательное решение.

Вышеизложенное можно без изменения применить к случаю, когда вместо числа дефектных изделий в качестве контрольной величины используется числодефектов в выборке. Если допустить, что, то (3.145) нужно преобразовать к виду

,

, (3.148)

где фигурирует среднее число ошибок на изделие. Тогда контрольный интервал имеет вид, причемивычисляются по следующим формулам

, (3.149а)

, (3.149б)

. (3.149в)

Пример 3.79 Определить план последовательного контроля, если .

План, который нам нужно определить, полностью известен, если для каждою объема выборки можно вычислить границы контрольного интервала. Последнее возможно, если известны параметрыи. Параметры приемочной и браковочной границыиполучаем с помощью формул (3.146) и (3.147). Учитывая, что

,

, получим:

,

,

.

Пример 3.80 Каким должно быть минимальное число изделий в выборке, необходимое для принятия решения о забраковке или приемке партии при последо­вательном контроле, ход которого изображен на рис.3.39?

График пересечет браковочную прямую уже после контроля изделий, если все три изделия окажутся дефектными. Приемочную прямую график пересечет в точке, если до этого момента не будет обнаружено ни одного дефектного изделия.

Пример 3.81 От каких величин зависит наклон прямых, отображающих браковочную и приемочную границы на рис.3.39?

Наклон определяется по (3.146в). По этой зависимости видно, что зависит только от значенийи. При более точном анализе можно показать, что параметрзависит, во-первых, от разности значенийи, во-вторых, при заданной длине интервалаот его положения внутри интервала. Чем ближе друг к другу значенияи, тем меньше параметр. Если значенияипри достаточной разности между ними сместить вправо в направлении больших значений, то параметрувеличивается.

Пример 3.82 Ответьте на последний вопрос также и в отношении разности .

Расстояние между прямыми по оси ординат определяются по (3.146а, б) и (3.147):

.

Итак, зависит оти. Чтобы эту зависимость проанализировать более детально, допусти сначала, чтоипостоянны. Чем больше рискии, тем меньше расстояние, что быстрее приводит к принятию окончательного решения. Если вероятность одной из ошибок постоянна, а вероятность другой ошибки увеличивается, то расстояниеопять будет уменьшаться. Если постоянныи, то чем ближе друг к другуи, тем больше будет расстояние между ординатами, что в свою очередь приводит к увеличению времени принятия решения. Еслиипри постоянной разностиувеличить, то расстояниеуменьшится.

Пример 3.83 Предприятие получает от предприятиятрубы в оболочке по I м длиной в упаковках поштук. Контроль качества заключается в определении дефектов оболочек груб. Их число будет учитываться в расчете на трубу. Определить нужно подходящий для этого случая план последовательного контроля с накопленным числом дефектовв качестве контрольной величины. Последняя имеет распределение(это означает, что среднее число дефектов на трубу равно). Искомый план должен соответствовать проверке гипотезис вероятностью ошибоки. После контроля пяти труб в общей сложности было обнаружено 10 дефектов. Какое решение нужно принять (приемка, браковка партии или продолжение контроля)?

Искомый план контроля может быть найден, если известны величины и, определяющие интервал. Названные величины определяем по (3.149), используя при этом (3.147) и исходные данные -и. Тогда получим

,

,

.

Изделия будут контролироваться до тех пор, пока значения накопленного числа ошибок в выборкахне попадут в интервал.

При данный интервал имеет следующий вид:. В силу того, что наблюдаемое значениеменьше, чем нижняя граница интервала, партия принимается.