3.3.6.4.2 Оперативная характеристика и средний объем выборки ()

Представленный выше план контроля построен таким образом, что при уровнях дефектности ион ведет к приемке партии с вероятностямии. Тем самым уже заданы две точки оперативной харак­теристики () и (). Вычисление оперативной характеристики для плана последовательного контроля довольно сложно. Поэтому ограничимся только результатом.

Для представления оперативной характеристики плана последовательного контроля целесообразно ввести непрерывную вспомогательную функцию

при ,

при ,

(3.150)

где снова обозначает крутизну подъема (3.146в) границ приемки и браковки.

Функция (3.150) в интервале () принимает значения только из интервала (), она строго монотонно убывает и отвечает условиям

.

Функция на () имеет поэтому обратную функцию, то есть для любого действительного числасуществует конечноетакое, что(рис.3.41).

Вероятность приемки партии с долей бракапри реализации последовательного контроля определяется по формуле

при ,

при .

(3.151)

Поэтому при построении оперативной характеристики можно действовать следующим образом: сначала задать долю брака, потом вычислить значениефункции, обратной к (3.150), и затем это значение подставить в (3.151).

Так как вычисление значений обратной функции имеет ряд сложностей, то вместо (3.151) целесообразнее применять эквивалентное ему выражение

при ,

при

(3.152)

и действовать следующим образом:

- вначале задать и определить стоящее справа в (3.152) выражение;

- затем с помощью (3.150) определить для заданного долю брака, то есть аргумент функции.

а. вспомогательная;

б. обратная;

Рис.3.41 Графики вспомогательной функции и ее обратной функции

При последовательном контроле - как и при двухступенчатом и многоступенчатом контроле, число проконтролированных до принятия решения изделий является дискретной случайной величиной , которая имеет конечное число реализаций. Если действовать описанным ранее способом (последовательное взятие выборок объемом одно изделие), то

если решение принимается на основании результатов контроля 1-ой выборки

если решение принимается на основании результатов контроля 2-ой выборки

если решение принимается на основании результатов контроля ой выборки

(3.153)

Для сравнения экономичности различных планов контроля по качественному признаку интерес представляет математическое ожидание

(3.154)

этой случайной величины, которое аналогично (3.132) называют средним объемом выборки или (англ.: average sample number) плана последовательного контроля. Математическое ожидание (3.154) является функ­цией доли брака. Кроме того, оно зависит от параметровиприемочной и браковочной границ (рис.3.39), причем последние определяются заданием и. Функцияимеет следующий вид:

при ,

при .

(3.154)

График функции (3.154) имеет тот же вид, что и графики функции среднего объема выборки на рис.3.35. Начиная с точки, где, кривая возрастает до точки, затем убывает до, где. Вблизи максимумакривая протекает довольно круто.

Максимум функциииспользуют для срав­нения эффективности плана последовательного контроля с эквивалентным одноступенчатым и многоступенчатым планом. В качествемеры эффек­тивности при сравнении с эквивалентными одноступенчатыми планами () применяют аналогично (3.143) и (3.144) отношение

. (3.155)

Изложенное в отношении оперативной характеристики и объема выборки с небольшими изменениями можно перенести на случай, когда в качестве контрольной величины используется распределенное по законунакопленное число дефектов. Вместо (3.150) введем определенную на интервале () вспомогательную функцию:

при ,

при ,

(3.156)

С помощью которой получаем аналогично (3.151) выражение

при ,

при .

(3.157)

Соответствующая (3.154) зависимость от среднего объема выборки имеет вид:

при ,

при .

(3.158)

Пример 3.84 Найдем для плана последовательного контроля в примере 3.79 при идля различных уровней дефектностисоответствующие значенияиоперативной характеристи­ки и среднего объема выборки. При этом не будем задаватьнепосред­ственно, а вычислим его при некоторыхс помощью (3.150) (табл. 3.42).

Таблица 3.42 значения оперативной характеристики и среднего объема выборки при последовательном плане контроля

	1	0	2.52
-10	0.4591	0.0000	5.86
-5	0.2652	0.0000	11.16
-2	0.1270	0.0110	30.81
-1	0.0850	0.1000	57.67
-0.5	0.0667	0.2685	79.09
-0.1	0.0538	0.4985	93.39
0	0.0509	0.5621	92.26
0.1	0.0480	0.6244	91.35
0.2	0.0452	0.6834	90.52
0.4	0.0401	0.7858	88.12
0.6	0.0353	0.8629	82.04
0.8	0.0309	0.9159	75.27
1	0.0270	0.9500	69.06
2	0.0128	0.9969	48.56

Продолжение табл. 3.42

3	0.0055	0.9998	41.02
4	0.0022	1.0000	38.26
5	0.0009	1.0000	37.26
	0	1	36.61

Из колонок 2 и 3 табл.3.42 видно, что оперативная характеристика плана последовательного контроля действительно проходит череп точки () и (). Из колонки 4 следует, что максимальный средний объем выборки достигается примерно прии составляет. В примере 3.79 были найдены по одному почти эквивалентному одноступенчатому и двухступенчатому плану (контроль без прерывания), причем первый имеет постоянный объем выборки, а последний - варьирующийся объем выборки, математическое ожидание которого примерно в точкедос­тигает максимума. Поэтому план последовательного контроля из всех трех планов имеет наибольшую эффективность. При сравнении с одноступенчатым планом мера эффективности (3.155) составляет

.

Этот результат означает, что план последовательного контроля имеет средний объем выборки, который не превышает 68.7 % объема выборки эквивалентного одноступенчатого плана. Для эквивалентного двухступенчатого плана

,

то есть в среднем объем выборки не превысит 83.2 % объема, необходимого для реализации простого плана контроля.

Пример 3.85 В примере 3.66 речь шла о двукратном плане контроля с ипри максимальном среднем объеме выборки. Вычисленный эквивалентный план задавался параметрамии.

а. Определите для этих двух планов почти эквивалентный план последовательного контроля, который характеризуется по (3.146) параметрами иприемочной и браковочной границ.

,

,

.

б. Составьте для полученного плана последовательного контроля таблицу, аналогичную таблице 3.42, где бы содержались значения функции оперативной характеристики и среднего объема . Для аргументапримите значения. В какой точкефункциядостигнет своего максимума и каково его значение?

Результаты расчета представлены в таблице 3.43.

Таблица 3.43 Значения оперативной характеристики и функции

-1	0.0570	0.1000	37.89
-0.5	0.0415	0.2500	52.36
-0.3	0.0361	0.3409	57.64
-0.1	0.0310	0.4453	63.76
0	0.0287	0.5000	64.46
0.1	0.0265	0.5547	66.66
0.3	0.0224	0.6591	67.71
0.5	0.0187	0.7500	67.03
1.0	0.0116	0.9000	62.71

Оперативная характеристика проходит через точки () и (). Средний объем выборки приблизительно в точке, то есть вблизи, достигает максимума.

в. Сравните эффективность плана последовательного контроля с эффективностью эквивалентного одноступенчатого и двухступенчатого плана.

Простой план контроля характеризуется объемом выборки , двойной и последовательный планы – максимальным средним объемоми. Таким образом, последовательный план является наиболее эффективным. Сравнивая его с простым планом, получим значение меры эффективности

,

то есть последовательный план позволяет сократить число контролируемых изделий на 28.0 %. Двойной план имеет эффективность

,

что позволяет сократить среднее число проконтролированных изделий на 18.4 %.

Пример 3.86 Вычислите для полученного в примере 3.83 плана последовательного контроля с оперативную характеристику и средний объем выборок при тех значениях среднего числа дефектов, которые получаются при. Составьте таблицу, аналогичную таблице 3.43. В какой точкефункциядостигает своего максимумаи каково его значение?

,

,

.

Результаты расчетов приведены в таблице 3.44.

Таблица 3.44 Значения оперативной характеристики и функции для последовательного плана контроля (распределение Пуассона)

0.2	6.587	0.00528	1.487
0.4	5.000	0.05000	2.641
0.6	4.181	0.17700	3.874
0.8	3.653	0.38500	4.755
1.0	3.274	0.60400	4.946
1.2	2.985	0.76700	4.640
2.0	2.269	0.97100	3.004
2.5	2.000	0.99000	2.493

Оперативная характеристика проходит через точки и. Средний объем выборки в точкедостигает максимума.