kalashnikov_tom_1

10.8. ¥®à¥¬ áâà®£à ¤áª®£®- ãáá

241

â®çª å ®á­®¢ ­¨ï. ®â®ª ç¥à¥§ ®á­®¢ ­¨¥ ¯®«ãç ¥âáï à ¢­ë¬ ¢§ï⮬ã á

®¡à â­ë¬ §­ ª®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î E ­ ¯«®é ¤ì ®á­®¢ ­¨ï: 1 = ; R2 E.
©¤¥¬ ⥯¥àì ¯®â®ª ç¥à¥§ ¯®¢¥àå­®áâì ¯®«ãáä¥àë. ᯮ«ì§ãï áä¥-
à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë | ã£«ë ¨	| ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®«®¦¥­¨ï â®çª¨
~	2
­ ¯®«ãáä¥à¥, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® 1) E	~n = E cos ¨ 2) dS = R sin d d :
®í⮬㠯®â®ª ç¥à¥§ í«¥¬¥­â à­ãî ¯«®é ¤ªã ­ ¯®«ãáä¥à¥ à ¢¥­ d 2 =

ER2 sin cos d d : ç¨âë¢ ï, çâ® cos d = d sin , sin d sin =			1	d sin2 ,
			2
§ ¯¨áë¢ ¥¬ ¯®â®ª ¢ ¢¨¤¥ d 2 =	1	ER2 d sin2 . âáî¤ ­ 室¨¬ ¯®«­ë©
	2
¯®â®ª:

		R2E	=2	2
	2 =		Z0 d sin2 d Z0		d
		2
	=	R2E sin2 0=2 = R2E:

ë ¯®«ã稫¨, çâ® ¯®â®ª ç¥à¥§ ¯®¢¥àå­®áâì ¯®«ãáä¥àë à ¢¥­ ¯® ¡á®«îâ- ­®© ¢¥«¨ç¨­¥ ¯®â®ªã ç¥à¥§ ¥¥ ®á­®¢ ­¨¥, â ª çâ® á ãç¥â®¬ §­ ª®¢ ¯®«­ë© ¯®â®ª ç¥à¥§ § ¬ª­ãâãî ¯®¢¥àå­®áâì à ¢¥­ ­ã«î: = 1 + 2 = 0.

10.8¥®à¥¬ áâà®£à ¤áª®£®- ãáá

¥®à¥¬ áâà®£à ¤áª®£®- ãáá ¯®§¢®«ï¥â á¢ï§ âì ¯®â®ª ¢¥ªâ®à ­ ¯àï- ¦¥­­®áâ¨ á ¢¥«¨ç¨­®© § à冷¢. ®áª®«ìªã áâண¨© ¢ë¢®¤ ⥮६ë áâà®- £à ¤áª®£®- ãáá ¤®¢®«ì­® á«®¦¥­ ¨ ¢ë室¨â § à ¬ª¨ ¤ ­­®£® ªãàá , ¬ë à áᬮâਬ ç áâ­ë© á«ãç ©, ª®â®àë© ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¯®¤¤ ¥âáï ®¡®¡- 饭¨î. ¯à¥¤¥«¨¬ ¯®â®ª ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®á⨠ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¢®®¡à ¦ ¥¬ãî áä¥à¨ç¥áªãî ¯®¢¥àå­®áâì, ¢ 業âॠª®â®à®© à ᯮ«®¦¥­

â®ç¥ç­ë© § àï¤.

¨­¨¨ ­ ¯à殮­­®á⨠~ â®ç¥ç­®£® § àï¤ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ᮢ®

E -

ªã¯­®áâì à ¤¨ «ì­ëå ¯àï¬ëå, ­ ¯à ¢«¥­­ëå ®â § àï¤ , ¥á«¨ ®­ ¯®«®¦¨-

⥫¥­, ¨ ª § àï¤ã, ¥á«¨ ®­ ®âà¨æ ⥫¥­ (á¬. à¨á. 10.5,

,¡). ®â®ª ¢¥ªâ®à

­ ¯à殮­­®á⨠¯®«ï â®ç¥ç­®£® § àï¤

ç¥à¥§ áä¥à¨ç¥áªãî ¯®¢¥àå­®áâì

à ¤¨ãᮬ r, 業âà ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«®¦¥­¨¥¬ § àï¤ , à ¢¥­:

1

q

1

q

q

= ZS

dS = ZS

r2 d =

:

(10.9)

4 "0

r2

4 "0

r2

"0

¤¥áì d | í«¥¬¥­â ⥫¥á­®£® 㣫 , ¨ ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì §­ 祭¨¥¬ ¯®«­®£® ⥫¥á­®£® 㣫 R d = 4 .

q="0

242	« ¢ 10. «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ ¢ ªã㬥

~

¨á. 10.9: ®â®ª ¢¥ªâ®à E ç¥à¥§ § ¬ª­ãâãî ¯®¢¥àå­®áâì, ª®£¤ § àï¤ ­ 室¨âáï ¢­ã- âਠ( ) ¨ ¢­¥ ¥¥ (¡)

®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¯®â®ª ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®á⨠ç¥à¥§ «î¡ãî § - ¬ª­ãâãî ¯®¢¥àå­®áâì, ®å¢ âë¢ îéãî § àï¤ q, ­¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ¯®- ¢¥àå­®á⨠¨ à ¢¥­ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¤«ï áä¥àë. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® ã⢥ত¥­¨ï ®¯ïâì-â ª¨ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, ç⮠ᨫ®¢ë¥ «¨­¨¨ ­ 稭 îâáï ¨ ª®­ç îâáï ­ § àï¤ å. ®í⮬㠭¥¯à¥à뢭 ï (¡¥§ à §-

à뢮¢) ¤¥ä®à¬ æ¨ï ¯®¢¥àå­®á⨠(¯®ª § ­ ­ à¨á. 10.9, ¯ã­ªâ¨à®¬) ­¥ ¨§¬¥­¨â ¯®«­®£® ç¨á« «¨­¨© ­ ¯à殮­­®áâ¨, ¢ë室ïé¨å ­ àã¦ã. ª

á«¥¤á⢨¥, ¯®â®ª ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®¢¥àå­®áâì, ®å¢ âë¢ îéãî § - àï¤, ¡ã¤¥â â ª¨¬ ¦¥, ª ª ¨ ¤«ï áä¥àë (á¬. à¨á. 10.9, ). ᫨ ¦¥ § àï¤ ­ 室¨âáï ¢­¥ ®£à ­¨ç¥­­®£® § ¬ª­ã⮩ ¯®¢¥àå­®áâìî ¯à®áâà ­á⢠, â® «¨­¨¨ ­ ¯à殮­­®á⨠¯à®­¨§ë¢ îâ ¯®¢¥àå­®áâì ¤¢ ¦¤ë (á­ à㦨 ¨ ¨§- ­ãâà¨), ¨ ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«­ë© ¯®â®ª ç¥à¥§ ¯®¢¥àå­®áâì, ­¥ ®å¢ âë¢ î-

éãî § àï¤ (á¬. § ¤ çã 10.33.), à ¢¥­ ­ã«î (à¨á. 10.9,¡).

ãáâì ⥯¥àì ¢­ãâਠ¤ ­­®© § ¬ª­ã⮩ ¯®¢¥àå­®á⨠§ ª«î祭® ¯à®- ¨§¢®«ì­®¥ ç¨á«® â®ç¥ç­ëå § à冷¢ «î¡®£® §­ ª . ᨫ㠯ਭ樯 áã- ¯¥à¯®§¨æ¨¨ á㬬 à­ ï ­ ¯à殮­­®áâì ¯®«ï ¡ã¤¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®©

						~	~
¢¥ªâ®à­ãî á㬬㠭 ¯à殮­­®á⥩ ¯®«¥© ª ¦¤®£® ¨§ § à冷¢: E =							Ei:
						i
®«­ë© ¯®â®ª ­ ¯à殮­­®á⨠¯®«ï ç¥à¥§ íâã ¯®¢¥àå­®áâì ¥áâì:P
~		~		~
= (E ~n)dS =		(Ei ~n)dS =		(Ei ~n)dS = i:
ZS	i		i		i
	ZS X		X ZS		X

ᯮ«ì§ãï ⥯¥àì (10.9), ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¯®â®ª¨ ®â ®â¤¥«ì­ëå § à冷¢ á¨- áâ¥¬ë ª ª i = qi="0 ¨ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨¥, ¨§¢¥áâ­®¥ ª ª ⥮६

áâà®£à ¤áª®£®- ãáá :

¯®«­ë© ¯®â®ª ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ç¥à¥§ § ¬ª­ãâãî ¯®¢¥àå­®áâì ¯à®¨§¢®«ì­®© ä®à¬ë ç¨- á«¥­­® à ¢¥­ «£¥¡à ¨ç¥áª®© á㬬¥ í«¥ªâà¨ç¥áª¨å § à冷¢, ®å¢ âë¢ ¥¬ëå í⮩ ¯®¢¥àå­®áâìî, ¤¥«¥­­®© ­ "0:

10.9. «®â­®áâì § àï¤

243

	=	1	P	q :			(10.10)
	"0			i
			i

᫨ ¯®¢¥àå­®áâì ­¥ ®å¢ âë¢ ¥â § à冷¢ (¢á¥ qi = 0), â® ¯®â®ª ç¥à¥§ ­¥¥ à ¢¥­ ­ã«î, ª ª íâ® ¡ë«®, ­ ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯®«ãáä¥àë ¢ ®¤­®à®¤­®¬

¯®áâ®ï­­®¬ í«¥ªâà¨ç¥áª®¬ ¯®«¥. ®¤ç¥àª­¥¬ ¥é¥ à §, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ¢®®¡à ¦ ¥¬ëå ¯®¢¥àå­®áâïå, ®ç¥à祭­ëå ¢®ªà㣠§ à冷¢ ­¥â ­¨ª ª®© ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, ç⮡ë í⨠¯®¢¥àå­®á⨠¡ë«¨ ॠ«¨§®¢ ­ë ¢ ¢¨¤¥ â¥å ¨«¨ ¨­ëå ¬¥â ««¨ç¥áª¨å, ¯« á⨪®¢ëå ¨«¨ ¤àã£¨å ®¡®«®ç¥ª.

10.9«®â­®áâì § àï¤

ª ª ª í«¥¬¥­â à­ë© § àï¤ | § àï¤ í«¥ªâà®­ | ¢¥áì¬ ¬ «, ¬ - ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ ⥫ ᮤ¥à¦ â ®ç¥­ì ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ í«¥¬¥­â à­ëå

§ à冷¢, â® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï § à冷¢ ¢­ãâਠ⠪¨å ⥫ ¬®¦­® áç¨â âì ­¥- ¯à¥à뢭묨. â® ¯®§¢®«ï¥â ¢¢¥á⨠¯®­ï⨥ ¯«®â­®á⨠§ àï¤ :

	1)	®¡ê¥¬­ ï ¯«®â­®áâì: = lim		q		, £¤¥ V | í«¥¬¥­â ®¡ê¥¬
				V
			V !0
	2)	¯®¢¥àå­®áâ­ ï ¯«®â­®áâì = lim					q	, £¤¥	S | ¯«®é ¤ì í«¥¬¥­â
							S
		¯®¢¥àå­®áâ¨	S!0

3) «¨­¥©­ ï ¯«®â­®áâì: = lim q, £¤¥ l | í«¥¬¥­â ¤«¨­ë § à殮­-

­®© «¨­¨¨.

l!0 l

¤¥áì ¢áî¤ã q | § àï¤ à áᬠâਢ ¥¬®£® í«¥¬¥­â (®¡ê¥¬ , ¯®¢¥àå- ­®áâ¨, «¨­¨¨). ᯮ«ì§®¢ ­¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ® ⮬ ¨«¨ ¨­®¬ à á¯à¥- ¤¥«¥­¨¨ § à冷¢ ¯® ®¡ê¥¬ã ¨«¨ ¯®¢¥àå­®á⨠⥫ ¢¬¥áâ¥ á ¯à¨­æ¨¯®¬ á㯥௮§¨æ¨¨ áãé¥á⢥­­® à áè¨àï¥â ­ è¨ ¢®§¬®¦­®á⨠®¯¨á ­¨ï í«¥ª- âà¨ç¥áª¨å ¯®«¥©.

¤ ç 10.34. «¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤ Q = 50 ­ « à ¢­®¬¥à­® à á¯à¥¤¥- «¥­ ¯® â®­ª®¬ã áâ¥à¦­î ¤«¨­®© a = 15 á¬. ¯à®¤®«¦¥­¨¨ ®á¨ áâ¥à¦­ï ­ à ááâ®ï­¨¨ r = 10 ᬠ®â ¡«¨¦ ©è¥£® ¥£® ª®­æ ­ 室¨âáï â®ç¥ç­ë©

§àï¤ q = 100 ­ « (à¨á. 10.10). ¯à¥¤¥«¨âì ᨫã F ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï

§à殮­­®£® áâ¥à¦­ï ¨ â®ç¥ç­®£® § àï¤ .

244	« ¢ 10. «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ ¢ ªã㬥

¨á. 10.10: § ¨¬®¤¥©á⢨¥ § à殮­­®£® áâ¥à¦­ï á â®ç¥ç­ë¬ § à冷¬

¥è¥­¨¥. í⮩ § ¤ ç¥ á¨«ã F ­¥«ì§ï ®¯à¥¤¥«¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ­¥¯®- á।á⢥­­® § ª®­ ã«®­ . á ¬®¬ ¤¥«¥, 祬ã à ¢­® à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã áâ¥à¦­¥¬ ¨ § à冷¬: r r + a=2 r + a? ®áª®«ìªã ¯® ãá«®¢¨ï¬ § ¤ ç¨ ¬ë ­¥ ¨¬¥¥¬ ¯à ¢ áç¨â âì, çâ® a r, ¯à¨¬¥­¥­¨¥ § ª®­ ã«®­ , á¯à - ¢¥¤«¨¢®£® ⮫쪮 ¤«ï â®ç¥ç­ëå § à冷¢, âॡã¥â ­¥ª®â®àëå ãå¨éà¥-

­¨©. á«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï § àï¤ ®§­ ç ¥â, çâ® «¨­¥©- ­ ï ¯«®â­®áâì ¯®áâ®ï­­ ¢¤®«ì áâ¥à¦­ï ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª = Q=a.¢¥¤¥¬ ®áì x, ­ ¯à ¢¨¢ ¥¥ ®â § àï¤ q (¥£® ¬¥áâ®­ 宦¤¥­¨¥ ¢§ïâ® § ­ ç «® ª®®à¤¨­ â) ¢¤®«ì áâ¥à¦­ï. ®£¤ ª®®à¤¨­ â ¡«¨¦ ©è¥£® ª®­æ

áâ¥à¦­ï à ¢­ r, ­ ¨¡®«¥¥ 㤠«¥­­®£® | (r + a). áᬮâਬ ãç á⮪ áâ¥à¦­ï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ¤«¨­ë dx, à ᯮ«®¦¥­­ë© ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨- ­ ⮩ x. ­¥¬ ­ 室¨âáï í«¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤ dQ = (Q=a) dx. ¤¥áì ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¤ ­­ë¬ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ «¨­¥©­®© ¯«®â­®á⨠§ -

àï¤ . ®áª®«ìªã ¤«¨­ dx ãç áâª	¯à¥­¥¡à¥¦¨¬® ¬ « ¯® áà ¢­¥­¨î á
à ááâ®ï­¨¥¬ x ®â ­¥£® ¤® § àï¤ q,	¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ᨫ㠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï
dF í⮣® ãç áâª á § à冷¬ ¯® § ª®­ã ã«®­ :
dF = kdQ2q	= k q Q dx2 :
x	a x

¥¯¥àì ¬ë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨­æ¨¯®¬ á㯥௮§¨æ¨¨ ¨ ­ ©¤¥¬ á㬬㠢á¥å ᨫ ®â à §«¨ç­ëå â ª¨å ãç á⪮¢, à ᯮ«®¦¥­­ëå ¢ à §­ëå â®çª å

x, £¤¥ r x	r + a. ¤ ç	®¡«¥£ç ¥âáï ⥬, çâ® ¢á¥ íâ¨ á¨«ë ¨¬¥îâ
®¤¨­ ª®¢®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¨ ¯®â®¬ã ¢¥ªâ®à­ ï á㬬 ¬®¦¥â ¡ëâì § ¬¥­¥­
­ ¯à®áâãî	«£¥¡à ¨ç¥áªãî.	á㬬 ¡¥áª®­¥ç­®£® ç¨á« ¡¥áª®­¥ç­®

¬ «ëå ᨫ dF ­ §ë¢ ¥âáï, ª ª ¨§¢¥áâ­®, ¨­â¥£à «®¬:

F = Z dF = k qaQ

qQ

= k r(r + a):

r+adx			q Q	1	1
Zr	x2	= k		r	;
			a			r + a

(10.11)

10.10. ਬ¥­¥­¨¥ ⥮६ë áâà®£à ¤áª®£®- ãáá

245

®¤áâ ¢«ïï áî¤		ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï, ­ 室¨¬
F = 9		109 50 10;9 100 10;9	= 1:8		10;3 = 1:8 ¬ :
		0:1(0:1 + 0:15)
¨¤­®, çâ® ¯à¨ r a ¢ëà ¦¥­¨¥ (10.11)			¤«ï á¨«ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯¥à¥-
室¨â ¢ ®¡ëç­ãî ä®à¬ã«ã § ª®­ ã«®­ .
§¤¥«¨¢ ᨫ㠭 § àï¤, ¯®«ã稬 ­ ¯à殮­­®áâì E = F=q ¯®«ï ­

®á¨ áâ¥à¦­ï. ­ «®£¨ç­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¬®¦­® ¢ ¯à¨­æ¨¯¥ à ááç¨â âì ¯®«¥ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥. ®«¥¥ ⮣®, á ¯®¬®éìî ª®¬¯ìîâ¥à ¬®¦­® â - ª¨¬ ¯ã⥬ ­ ©â¨ ­ ¯à殮­­®áâì í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯à¨ «î¡®¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ § à冷¢. ­ «¨â¨ç¥áª¨ à¥è¨âì â ªãî § ¤ çã ¢ ®¡- 饬 á«ãç ¥, ª®­¥ç­®, ­¥¢®§¬®¦­®. ® ¥áâì à á¯à¥¤¥«¥­¨ï § à冷¢, ®¡« - ¤ î騥 ¢ë᮪®© á⥯¥­ìî ᨬ¬¥âਨ. «ï ­¨å à áç¥â ¯®«¥© ®á®¡¥­­® ¯à®áâ, ¤ ¦¥ ¯à®é¥, 祬 ¢ à áᬮâ७­®¬ ¯à¨¬¥à¥. â ª¨¬ § ¤ ç ¬ ¬ë ¨ ¯¥à¥å®¤¨¬ ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥.

10.10ਬ¥­¥­¨¥ ⥮६ë áâà®£à ¤áª®£®- ãáá

®«¥ à ¢­®¬¥à­® § à殮­­®© áä¥àë

®áª®«ìªã áä¥à § à殮­ à ¢­®¬¥à­®, ¢á¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ®â ¥¥ 業âà à ¢­®¯à ¢­ë. ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯à¨ «î¡®¬ ¢à 饭¨¨ áä¥àë ¢®ªà㣠業-

âà ¢ á¨á⥬¥ § à冷¢ ­¨ç¥£® ­¥ ¨§¬¥­ï¥âáï. ­ ç¨â, ­¥ ¤®«¦­® ¨§¬¥-
­¨âìáï ¯à¨ â ª®¬ ¢à 饭¨¨ ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥.		â® ¬®¦¥â ¡ëâì
⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®áâ¨ í«¥ªâà¨-
~	ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ~r,		¢¥«¨ç¨­
ç¥áª®£® ¯®«ï E
~
E = jEj § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â r = j~rj. ª®¥ ¯®«¥ ­ §ë¢ ¥âáï 業âà «ì­®-
ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬,	ᨫë, ª ª ¨§¢¥áâ­® ¨§ ¬¥å ­¨ª¨ (á¬. à §¤.		??), 業-
âà «ì­ë¬¨.
«ï ¯à¨¬¥­¥­¨ï ⥮६ë áâà®£à ¤áª®£®- ãáá		¬ëá«¥­­® ®¯¨è¥¬

¢®ªà㣠§ à殮­­®© áä¥àë ¢®®¡à ¦ ¥¬ãî áä¥àã ¡®«ì襣® à ¤¨ãá	r á
⥬ ¦¥ 業â஬. áî¤ã ­ í⮩ áä¥à¥ ¢¥«¨ç¨­ ­ ¯à殮­­®á⨠¯®«ï E
~	®«ì
¯à¨­¨¬ ¥â ®¤­® ¨ â® ¦¥ §­ 祭¨¥, ¢¥ªâ®à E ®à⮣®­ «¥­ áä¥à¥.

᪮஠íâ® â ª, ¢¥«¨ç¨­ ¯®â®ª ¢¥ªâ®à		­ ¯à殮­­®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£®
¯®«ï à ááç¨âë¢ ¥âáï ¡¥§ âà㤠: = E 4 r2:
ᨫã ⥮६ë áâà®£à ¤áª®£®- ãáá			¨¬¥¥¬:
E 4 r2 =	q		(10.12)
"
0

246 « ¢ 10. «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ ¢ ªã㬥

£¤¥ q | ¯®«­ë© § àï¤ ­		§ à殮­­®© áä¥à¥. âáî¤
	E =		q		¤«ï	r > R:		(10.13)
			4 "0r	2

®«¥ § à殮­­®© áä¥àë ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«¥¬ â®ç¥ç­®£® § àï¤ , ¯®¬¥-

饭­®£® ¢ 業âà áä¥àë.	¡«¨§¨ ¯®¢¥àå­®á⨠áä¥àë ¯®«¥ à ¢­®:
		q		4 R2
E =			=		=			(10.14)
		4 "0R2		4 "0R2		"0

£¤¥ | ¯®¢¥àå­®áâ­ ï ¯«®â­®áâì § àï¤ áä¥àë.

஢®¤ï ¢®®¡à ¦ ¥¬ãî áä¥àã ¢­ãâਠ§ à殮­­®© áä¥àë (r < R), ã¡¥- ¦¤ ¥¬áï, çâ® ¢áî¤ã ­ ­¥© ¯®«¥ à ¢­® ­ã«î, â ª ª ª ¢­ãâਠáä¥àë § -

ап¤л ®вбгвбв¢гов:

	E = 0 ¤«ï	r < R:
®«¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¤«¨­­®£® § à殮­­®£® 樫¨­¤à
§ á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ á«¥¤ã¥â,		~
		çâ® ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®á⨠¯®«ï E

¢ «î¡®© â®çª¥ ¯à®áâà ­á⢠¤®«¦¥­ ¡ëâì ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì à ¤¨ «ì­®© ¯àאַ©, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®© ª ®á¨ 樫¨­¤à , ¢¥«¨ç¨­ ­ ¯à殮­­®áâ¨

¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â à ááâ®ï­¨ï r ®â ®á¨ 樫¨­¤à .				¡à é ¥¬
¢­¨¬ ­¨¥: ¥á«¨ ®áì z ᮢ¯ ¤ ¥â á ®áìî 樫¨­¤à , â® r =				x2 + y2	, ¢ â®
¢à¥¬ï ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥ r ¡ë«® à ááâ®ï­¨¥¬ ¤® ­pç « ª®®à¤¨-
­ â r =	p
		x2 + y2 + z2.

©¤¥¬ ¯®â®ª ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ç¥à¥§ ¢®- ®¡à ¦ ¥¬ãî 樫¨­¤à¨ç¥áªãî ¯®¢¥àå­®áâì à ¤¨ãᮬ r ¨ ¤«¨­®© l, á®-

®á­ãî ­ 襬㠧 à殮­­®¬ã 樫¨­¤àã.		®â®ª ç¥à¥§ ®á­®¢ ­¨ï 樫¨­-
¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâ¨ à ¢¥­ ­ã«î,		¯®â®ª ç¥à¥§ ¥¥ ¡®ª®¢ãî ¯®¢¥àå-
­®áâì á­®¢ à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ­ ¯à殮­­®á⨠E ­			¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå-
­®á⨠S = 2 r l, ¯®áª®«ìªã ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥			~	ª ª á«¥¤ã¥â
			E ~n,
¨§ á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ, ¯à¨­¨¬ ¥â ®¤¨­ ª®¢®¥ §­ 祭¨¥ E ¢® ¢á¥å
â®çª å ¢®®¡à ¦ ¥¬®© ¯®¢¥àå­®áâ¨:
= ZS	~
	(E ~n)dS = E ZS dS = E S = E 2 r l:			(10.15)

ਠr > R (£¤¥ R | à ¤¨ãá § à殮­­®£® 樫¨­¤à ) ¢­ãâਠ¢®®¡à ¦ ¥- ¬®© 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠­ 室¨âáï § àï¤ q = l, £¤¥ | «¨­¥©-

10.10. ਬ¥­¥­¨¥ ⥮६ë áâà®£à ¤áª®£®- ãáá

247

­ ï ¯«®â­®áâì § àï¤ æ¨«¨­¤à				¤«¨­®© l. ®£« á­® ⥮६¥ áâà®£à ¤áª®£®-
ãáá	¯®«ãç ¥¬:
		E 2 rl =						l
								"0	(10.16)
®âªã¤	­ ¯à殮­­®áâì ¯®«ï ¡¥áª®­¥ç­® ¤«¨­­®£® § à殮­­®£® 樫¨­¤à
­ à ááâ®ï­¨¨ r ®â ­¥£® ¡ã¤¥â à ¢­ :
						1
		E = 2 "0 r						r > R:	(10.17)

ਠr < R ¢­ãâਠ¢®®¡à ¦ ¥¬®© 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠­¥â § àï- ¤®¢, ¨ ¯®â®¬ã ¯®«¥ à ¢­® ­ã«î.

®«¥ ¡¥áª®­¥ç­®© § à殮­­®© ¯«®áª®áâ¨

§ á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®á⨠¯®«ï

¤®«¦¥­ ¡ëâì ­ ¯à ¢«¥­ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ª ¯«®áª®á⨠(à¨á. 10.11), ¯à¨- 祬 E ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì «¨èì ®â à ááâ®ï­¨ï ¤® ­¥¥.

ãáâì ¯«®áª®áâì ¯¥à¥á¥ç¥­ ¢®®¡à ¦ ¥¬®© 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®- áâìî á ®¡à §ãî騬¨, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ë¬¨ ª ¯«®áª®áâ¨, ¨ ®á­®¢ ­¨ï¬¨ ¯«®é ¤ìî S, ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ¥©. ãáâì â ª¦¥ ®á­®¢ ­¨ï à ᯮ«®¦¥­ë ­ ®¤¨­ ª®¢®¬ à ááâ®ï­¨¨ ®â ¯«®áª®áâ¨. ®â®ª ¢¥ªâ®à ­ ¯à殮­­®á⨠¯®«ï ç¥à¥§ ¡®ª®¢ãî ¯®¢¥àå­®áâì à ¢¥­ ­ã«î, â ª ª ª «¨­¨¨ ­ ¯à殮­-

­®á⨠¯®«ï ¥© ¯ à ««¥«ì­ë.	¯à殮­­®áâì ¯®«ï ­	®á­®¢ ­¨ïå ®àâ®-
£®­ «ì­ ¨¬ ¨ ®¤¨­ ª®¢ ¯®	¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­¥:	~	~
		jE1j	= jE2j = E.
®í⮬㠯®«­ë© ¯®â®ª à ¢¥­:
= 1 + 2 = E ( S + S) = 2E S:			(10.18)

­ãâਠ¢®®¡à ¦ ¥¬®© 樫¨­¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠­ 室¨âáï § àï¤ q =S, £¤¥ | ¯®¢¥àå­®áâ­ ï ¯«®â­®áâì § àï¤ ­ ¯«®áª®áâ¨. ® ⥮-

६¥ áâà®£à ¤áª®£®- ãáá = q="0 ¨ ­ ¯à殮­­®áâì ¯®«ï § à殮­­®© ¯«®áª®áâ¨ à ¢­ :

	E =		:	(10.19)
		2"0

â ª, ¯®«¥ ¡¥áª®­¥ç­®© § à殮­­®© ¯«®áª®á⨠®¤­®à®¤­® (­¥ § ¢¨á¨â ®â à ááâ®ï­¨ï ¤® ­¥¥) ¨ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ª ¯«®áª®áâ¨.

248	« ¢ 10. «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ ¢ ªã㬥

¨á. 10.11: «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ § à殮­­®© ¯«®áª®áâ¨

®«¥ ¯«®áª®£® ª®­¤¥­á â®à

¯à¥¤¥«¨¬ ­ ¯à殮­­®áâì ¯®«ï, ᮧ¤ ¢ ¥¬®£® ¤¢ã¬ï ¡¥áª®­¥ç­ë¬¨ ¯ - à ««¥«ì­ë¬¨ ¯«®áª®áâﬨ, § à殮­­ë¬¨ à §­®¨¬¥­­® á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨

¯«®â­®áâﬨ (¬®¤¥«ì ¯«®áª®£® ª®­¤¥­á â®à ). ª ¢¨¤­® ¨§ à¨á. 10.12, ­ ¯à殮­­®áâì ¯®«ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¡¥áª®­¥ç­ë¬¨ ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ¯«®áª®-

áâﬨ, ¨¬¥î騬¨ ¯®¢¥àå­®áâ­ë¥ ¯«®â­®á⨠§ àï¤								(; ) ¨ (+ ), à ¢­
á㬬¥ ­ ¯à殮­­®á⥩ ¯®«¥©, ᮧ¤ ¢ ¥¬ëå ®¡¥¨¬¨ ¯«®áª®áâﬨ, â.¥.
	E = E+ + E; = 2"0		+ 2" =			"0 :		(10.20)

­¥ ¯«®áª®á⥩ ¢¥ªâ®àë ®â ª ¦¤®© ¨§ ­¨å ­ ¯à ¢«¥­ë ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦- ­ë¥ áâ®à®­ë ¨ ¢§ ¨¬­® ã­¨ç⮦ îâáï. ®í⮬㠭 ¯à殮­­®áâì ¢ ¯à®- áâà ­á⢥ ¢­¥ ¯«®áª®á⥩ à ¢­ ­ã«î (E = 0).

¨á. 10.12: «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¯«®áª®£® ª®­¤¥­á â®à

10.11. ¡®â ᨫ ¯®«ï ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ § àï¤

249

10.11¡®â ᨫ ¯®«ï ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ § àï¤

«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â			~
		, ᮢ¥àè ¥¬ ï ᨫ®© F ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ â®ç¥ç­®£®
í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤		q¯à ­	~
			®â१ª¥ ¯ã⨠dl, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ¢­ :
		~	~
		dA = F dl = q¯àE cos dl		(10.21)
~	~
£¤¥ F = q¯àE | ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ­ § àï¤ q¯à ¢ â®çª¥ ¯®«ï á ­ ¯àï-
	~		~	~

¦¥­­®áâìî E | 㣮« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ E ¨ dl.

¨á. 10.13: ëç¨á«¥­¨¥ à ¡®âë ¯® ¯¥à¥¬¥é¥­¨î ¯à®¡­®£® § àï¤ q¯à ¢ ¯®«¥ § àï¤ q

¡®â ᨫ ¯®«ï ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ q¯à ¨§ â®çª¨ a ¢ â®çªã b à ¢­

A = Za b	q¯à E cos dl:	(10.22)
®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® à ¡®â ,	ᮢ¥àè ¥¬ ï ᨫ ¬¨ í«¥ªâà®áâ -

â¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ § àï¤ , ­¥ § ¢¨á¨â ®â âà -

¥ªâ®à¨¨ § àï¤ , ­® «¨èì ®â ¥£® ­ ç «ì­®£® ¨ ª®­¥ç­®£® ¯®-

«®¦¥­¨©. ãáâì \¯à®¡­ë©" § àï¤ q¯à ¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¢ ¯®«¥ § àï¤ q ¨§ â®çª¨ a, 㤠«¥­­®© ®â q ­ à ááâ®ï­¨¥ r1, ¢ â®çªã b, 㤠«¥­­ãî ®â

q ­ à ááâ®ï­¨¥ r2, ¯® «¨­¨¨ a ; a0		; b (à¨á. 10.13, ).	®«¥ â®ç¥ç­®£®
§ àï¤	à ¤¨ «ì­®, ¯®í⮬ã à ¡®â	­ ãç á⪥ a ; a0	­¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï,
â ª ª	ª ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ § àï¤ q¯à ᮢ¥àè ¥âáï ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ¢¥ªâ®àã

250

« ¢

10. «¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ ¢ ¢ ªã㬥

~

«¥¤®¢ ⥫쭮, à ¡®â ¯¥à¥­®á

\¯à®¡­®£®" § àï¤

®â a ª b à ¢­ :

E.

b

q q¯à

r2 dr

q q¯à

1

1

A = Za

Eq¯à cos dl =

4 "0 rZ1

r2 =

;

:

(10.23)

4 "0

r1

r2

롥६ ⥯¥àì ¡®«¥¥ á«®¦­ãî «¨­¨î ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï \¯à®¡­®£®" § àï¤

(à¨á. 10.13,¡):	a ; a0 ; c ; c0 ; d ; d0 ; b. à ¥ªâ®à¨¥© ¥£® ¤¢¨¦¥­¨ï
¡ã¤¥â â® ¤ã£	®ªà㦭®áâ¨, â® à ¤¨ãá, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ ¯® ¤ã£ ¬
a ; a0 c ; c0 d	; d0 à ¡®â ­¥ ᮢ¥àè ¥âáï.
¦¤ë© à §, ª®£¤ ¯ãâì ¨¤¥â ¯® à ¤¨ãáã, â® ¨­â¥£à¨àã¥âáï ᮮ⭮è¥-

­¨¥ dr=r2. ® ¯¥à¢®¬ã à ¤¨ «ì­®¬ã ãç áâªã ¨­â¥£à « ¡¥à¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å

®â r1 ¤® rc, ¯® á«¥¤ãî饬㠮â rc ¤® rd ¨, ­ ª®­¥æ, ®â rd ¤® r2. 㬬 ¢á¥å

íâ¨å ¨­â¥£à «®¢ à ¢­ ®¡é¥¬ã ¨­â¥£à «ã ¢ ¯à¥¤¥« å ®â r1 ¤® r2, â.¥. ®â¢¥â ¯®«ãç ¥âáï â®â ¦¥, çâ® ¨ ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥. 祢¨¤­®, çâ® ¤«ï

¯ãâ¨, á®áâ ¢«¥­­®£® ¨§ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á« ãç á⪮¢ â ª®£® ¦¥ ¢¨¤ , ¯®«ãç¨âáï â®â ¦¥ १ã«ìâ â. ®áª®«ìªã «î¡ãî âà ¥ªâ®à¨î ¬®¦­® á®- áâ ¢¨âì ¨§ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå ãç á⪮¢ í⮣® ¦¥ ¢¨¤ , ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ®¡é¥¬ã § ª«î祭¨î:

	b		q q¯à		1		1
	~	~
A = Za				r1
	q¯àE dl =		4 "0			; r2			(10.24)

â.¥. à ¡®â A ­¥ § ¢¨á¨â ®â âà ¥ªâ®à¨¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï § àï¤ q¯à ¨ ®¯à¥- ¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ¥£® ­ ç «ì­ë¬ ¨ ª®­¥ç­ë¬ ¯®«®¦¥­¨¥¬. â®, ¢ ᢮î

®ç¥à¥¤ì, ®§­ ç ¥â çâ® à ¡®â ¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ q¯à ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­- âãàã à ¢­ ­ã«î: H dA = 0.

ª ¨§¢¥áâ­® ¨§ ¬¥å ­¨ª¨, ¯®«ï, à ¡®â ¢ ª®â®àëå ­¥ § ¢¨á¨â ®â ä®à¬ë ¯ãâ¨, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ­ ç «ì­ë¬ ¨ ª®­¥ç­ë¬ ¯®«®¦¥­¨¥¬

⥫, ­ §ë¢ îâáï ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¬¨. á«®¢¨¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®áâ¨ í«¥ª-

âà®áâ â¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: dA = 0
¨«¨								H
				~ ~					(10.25)
ëà ¦¥­¨¥		~ ~		H E dl = 0:			~	¯® § ¬ª­ã-
		(E dl) ­ §ë¢ ¥âáï æ¨àªã«ï樥© ¢¥ªâ®à					E
⮬㠪®­âãàã.	ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ ¯®â¥­æ¨ «ì­®áâ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®£®
	H

¯®«ï ­¥¯®¤¢¨¦­ëå § à冷¢ (¨«¨ í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª®£® ¯®«ï) ¬®¦­® áä®à- ¬ã«¨à®¢ âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: