kalashnikov_tom_1

7.4. ¯à¨­æ¨¯¥ à ¡®âë ª®«¥á

191

ç á⨠¯®¢®§ª¨). ¥¯¥àì ¯®­ïâ­®, ¯®ç¥¬ã ¢ áâ àëå íª¨¯ ¦ å ¨ ¡®¥¢ëå ª®«¥á­¨æ å ¤¥« «¨ â ª¨¥ ¡®«ì訥 ª®«¥á . ®¢à¥¬¥­­ë¥ ¯à®¤ãªâ®¢ë¥ ª®- «ï᪨ ¢ á㯥ଠથâ å ¬®£ãâ ª â¨âìáï «¨èì ¡« £®¤ àï ¯®¤è¨¯­¨ª ¬.

§ ¯®«ã祭­®© ä®à¬ã«ë (7.70) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ r = R (ª®«¥á	¡¥§ ®á¨,
¢¬®­â¨à®¢ ­­ë¥ ¢ ª®à¯ãá ¨ âàã騥áï ®¡ ­¥£®) ¡ã¤¥â ᮢ¥à襭	â ¦¥

à ¡®â , çâ® ¨ ¯à¨ ¢®«®ç¥­¨¨ ¯®¢®§ª¨. ¥áì ¢ë¨£àëè § ª«î祭 ¢ ®â­®- 襭¨¨ à ¤¨ãᮢ r=R, â.¥. ª®«¥á® | ¯® áã⨠¤¥« àëç £ ­¥¯à¥à뢭®£® ¤¥©á⢨ï á ¯«¥ç ¬¨ r ¨ R. « £®¤ àï \᢮à 稢 ­¨î" àëç £ ¢ ®ªàã¦- ­®áâì ¥£® ­¥ ­ ¤® ¢®§¢à é âì ¢ ­ ç «ì­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥: íâ® ¤®á⨣ ¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. à㤭® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ᥡ¥ â¥å­¨ç¥áª®¥ ¨§®¡à¥â¥­¨¥, ¡®«¥¥ £¥­¨ «ì­®¥ ¯® ¯à®áâ®â¥ ¨ íä䥪⨢­®áâ¨!

®«¨ç¥á⢥­­ ï ⥮à¨ï ª®«¥á

áᬮâਬ ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­		­ èã ¯®¢®§ªã (á¬. à¨á. 7.10).
¨«ë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­	ª®«¥á®:	ᨫ	~ 0	á® áâ®à®­ë ®á¨,	ᨫ
			â७¨ï f
~				~
­®à¬ «ì­®£® ¤ ¢«¥­¨ï N	á® áâ®à®­ë ®á¨, ᨫ â७¨ï f á® áâ®à®­ë ­ -
á⨫ . â¨ á¨«ë ¯®ª § ­ë ­ à¨á. 7.10			⥬­ë¬¨ áâ५ª ¬¨. ¬¥â¨¬,

çâ® ¬ë ­¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ®áì ᮯਪ á ¥âáï á ª®«¥á®¬ ¢ ᢮¥© ­¨¦-

­¥© â®çª¥:	㣮« ®¯¨áë¢ ¥â ᬥ饭¨¥ ­ § ¤ â®çª¨ ᮯਪ®á­®¢¥­¨ï ®á¨
á ª®«¥á®¬	(ᮮ⢥âá⢥­­®, â®çª¨ ¯à¨«®¦¥­¨ï ᨫ	~ 0		~	­ 祭¨¥
		f		N).

㣫 â ª¦¥ ¤®«¦­® ¡ëâì ­ ©¤¥­® ¨§ à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï.஬¥ ⮣®, ­ ª®«¥á® ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ â殮á⨠m~g ¨ ­®à¬ «ì­®¥ ¤ ¢«¥- ­¨¥ ;(M + m)~g á® áâ®à®­ë ­ á⨫ , ­® ®­¨ ᥩç á ­ ¬ ­¥ ¢ ¦­ë ¨ ­ à¨áã­ª¥ ­¥ ¯®ª § ­ë.

¨á. 7.10: ¥à¥¤¢¨¦¥­¨¥ £àã§ á ¯®¬®éìî ª®«¥á : ᨫ â७¨ï ᪮«ì¦¥­¨ï ¢®§­¨ª ¥â §¤¥áì ¬¥¦¤ã § ªà¥¯«¥­­®© ®áìî (¢­ãâ७­¨© ªàã£) ¨ ¢à é î騬áï ª®«¥á®¬

롨à ï ®áì x ¢ £®à¨§®­â «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨, ®áì y | ¢ ¢¥à⨪ «ì- ­®¬, § ¯¨áë¢ ¥¬ ¯à®¥ªæ¨î ãà ¢­¥­¨ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ª®«¥á

192 « ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

­ ®áì x:

ma	=	f0 cos ; N sin ; f	(7.71)
f0	=	N:	(7.72)

а¥¤¯®« £ п ®вбгвбв¢¨¥ ¯а®бª «м§л¢ ­¨п ¢ в®зª¥ б®¯а¨ª®б­®¢¥­¨п ª®-

«¥á á ­ á⨫®¬ (" = a=R), § ¯¨áë¢ ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¢à é ⥫쭮£® ¤¢¨¦¥- ­¨ï ª®«¥á :

J

a

= fR ; f0r:

(7.73)

R

¨«ë,

¤¥©áâ¢ãî騥 ­

¯®¢®§ªã (¯®ª § ­ë ᢥâ«ë¬¨ áâ५ª ¬¨ ­

à¨á. 7.10):

¢­¥è­ïï ᨫ

~

~0

~

á® áâ®-

F , ᨫ â殮á⨠M~g ¨ ᨫë ;f

;N

à®­ë ®á¨.

¯¨áë¢ ¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¯®¢®§ª¨ ¢

¯à®¥ªæ¨ïå ­ ®á¨ x y:

Ma

=

F + N sin ; f0 cos

(7.74)

0

=

f0 sin + N cos ; Mg:

(7.75)

ë ¨¬¥¥¬ ¯ïâì ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ¯ï⨠­¥¨§¢¥áâ­ëå:

a f f0 N .

å ¢á¥

¬®¦­® ­ ©â¨, à¥è ï á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©.

ë å®â¨¬ ¯®«ãç¨âì «¨èì ®â-

¢¥â ­

¢®¯à®á: ¯à¨ ª ª®© ¬¨­¨¬ «ì­®© ᨫ¥ Fmin

¯®¢®§ª

ᤢ¨­¥âáï á

¬¥áâ ?

«ï í⮣® ­ ¤® ¯®«®¦¨âì F = Fmin, ¯à¨ í⮬ ã᪮७¨¥ a = 0.

¬¥¥¬ ⮣¤ á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©:

f

=

N( cos

; sin )

(7.76)

r

f

=

N

(7.77)

R

Fmin

=

N( cos

; sin )

(7.78)

Mg

=

N( sin + cos )

(7.79)

£¤¥ ¬ë 㦥 ã竨 ᮮ⭮襭¨¥ (7.72). § ¤¢ãå ¯¥à¢ëå ãà ¢­¥­¨© (7.76),

(7.77) á«¥¤ã¥â:

r

cos ; sin =

R

®âªã¤ ¬®¦­® ­ ©â¨ âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨 㣫

:

2(r=R) +

cos

=

1 + 2(1

; r2=R2)

p1 + 2

sin

=

1 + 2(1

; r2=R2)

; (r=R):

(7.80)

p

1 + 2

7.4. ¯à¨­æ¨¯¥ à ¡®âë ª®«¥á

193

¨á. 7.11: ¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¬®¬¥­â®¢ ¨­¥à樨 ⥫ à §«¨ç­®© ä®à¬ë (ª ª®­â஫쭮¬ã ¢®- ¯à®áã 5)

®£¤ ¨§ ¤¢ãå ¯®á«¥¤­¨å ãà ¢­¥­¨© (7.78), (7.79) á«¥¤ã¥â ¨áª®¬®¥ ¢ëà - ¦¥­¨¥:

Fmin = Mg	cos ; sin	=	r			Mg			:	(7.81)
			R
	sin + cos			2				2 2
				1 +			(1 ; r =R )
î¡®¯ëâ­®, çâ® ¬ áá ª®«¥á ­¥ ¢®è«				¢pª®­¥ç­ë© ®â¢¥â ¤«ï Fmin.

¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ r = R ¨¬¥¥¬ Fmin = Mg, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â,

¢áãé­®áâ¨, ®вбгвбв¢¨о ª®«¥б ¨ ¯¥а¥в бª¨¢ ­¨¥ ¯®¢®§ª¨ ¢®«®ª®¬.

®¡à â­®¬ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ r ! 0 ¬¨­¨¬ «ì­ ï ᨫ â ª¦¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î. ਠ¬ «ëå ª®íää¨æ¨¥­â å â७¨ï ª¢ ¤à â­ë© ª®à¥­ì ¢ §­ -

¬¥­ ⥫¥ ¯à¨¡«¨¦¥­­® à ¢¥­ ¥¤¨­¨æ¥, ¨ Fmin Mg (r=R): ëè¥ ¬ë ª ç¥á⢥­­® ¯®«ã稫¨ íâ®â १ã«ìâ â ¨§ í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥­¨©.

®­â஫ì­ë¥ ¢®¯à®áë

1. ã­	¢à é ¥âáï ­ ®à¡¨â¥ ¢®ªà㣠¥¬«¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ª ¥¬«¥ ¢á¥£¤	®¡à -
饭	®¤­ ¥¥ áâ®à®­ . ©â¨ ®â­®è¥­¨¥ ᮡá⢥­­®£® ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá	ã­ë

(¯à¨ ¢à 饭¨¨ ¢®ªà㣠¥¥ ®á¨) ª ¥¥ ®à¡¨â «ì­®¬ã ¬®¬¥­âã ¨¬¯ã«ìá (¯à¨ ¢à é¥- ­¨¨ ¢®ªà㣠¥¬«¨). ã¦­ë¥ ç¨á«®¢ë¥ ¤ ­­ë¥ ­ ©¤¨â¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å § ¤ ç å ¨ ¢®¯à®á å.

2.¢¥à¤®¥ ⥫® á ¬®¬¥­â®¬ ¨­¥à樨 J ¢à é ¥âáï á 㣫®¢ë¬ ã᪮७¨¥¬ " ¨ ¬£­®- ¢¥­­®© 㣫®¢®© ᪮à®áâìî !. ª ï ¬®é­®áâì à á室ã¥âáï ­ â ª®¥ ¢à 饭¨¥ ⥫ ?

3. ®¦­® «¨ à áᬠâਢ âì ⥫® ª ª ¬ â¥à¨ «ì­ãî â®çªã, à ᯮ«®¦¥­­ãî ¢ 業âॠ¬ áá ⥫ , ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¥£® ¬®¬¥­â ¨­¥à樨? ᫨ \¤ ", ¤ ©â¥ ®¡êïá­¥­¨¥, ¥á«¨ \­¥â", ¯à¨¢¥¤¨â¥ ª®­âà¯à¨¬¥à.

4.業¨â¥ ¯® ¯®à浪㠢¥«¨ç¨­ë ᢮© ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¢¥à⨪ «ì­®© ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¬ áá ¢ 襣® ⥫ . ।¯®« £ ¥âáï ¯®«®¦¥­¨¥ ¯® á⮩ª¥ \ᬨ୮".

5. à¨á. 7.11 ¯®ª § ­ë á¥ç¥­¨ï à §«¨ç­ëå ⥫ ®¤¨­ ª®¢®© ¬ ááë:	1) âàã¡ë, 2)
¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , 3) 樫¨­¤à , 4) âà¥ã£®«ì­®© ¯à¨§¬ë ¨ 5) è à .	ᥠá¥ç¥­¨ï

194	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

¨á. 7.12: ᯮ«ì§®¢ ­¨¥ àëç £ ¤«ï ¯®¤­ïâ¨ï £à㧠(ª ª®­â஫쭮¬ã ¢®¯à®áã 9)

¬®£ãâ ¡ëâì ¢¯¨á ­ë ¢ ®¤¨­ ª®¢ë© ª¢ ¤à â. ª®¥ ¨§ ⥫ ¨¬¥¥â ­ ¨¡®«ì訩 ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å 業âà ¬ áá ®à⮣®­ «ì­® ¯«®áª®á⨠à¨áã­ª ? ª ª®£® ¨§ ⥫ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ­ ¨¬¥­ì訩?

6.¢ ¯®«ëå è à ¨§ ¬¥¤¨ ¨ «î¬¨­¨ï ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë© ¢¥á ¨ à §¬¥à. àë ¢ëªà è¥­ë ®¤¨­ ª®¢®© ªà ᪮©, ª®â®àãî ­¥«ì§ï æ à ¯ âì. ª à §«¨ç¨âì è àë?

7.᫨ ¯à¨¢¥á⨠ï©æ® ¢® ¢à 饭¨¥, в® б¢ а¥­­®¥ ¢ªагвго ¢а й ¥вбп £®а §¤® ¤®«ми¥ бла®£®. ®ç¥¬ã?

8.®з¥¬г а¥§ª® бв авгой¨© ¬®в®ж¨ª« \¢á⠥⠭ ¤ë¡ë"?

9.ªãî ª á ⥫ì­ãî ᨫã F ­ ¤® ¯à¨«®¦¨âì ª à㪮ï⪥ (à¨á. 7.12), çâ®¡ë ¯®¤­ïâì £à㧠¬ áᮩ m? ¤¨ãáë ¯®ª § ­ë ­ à¨áã­ª¥.

10.¥áâ­¨æ ¤«¨­®© L = 5 ¬ ¨ ¬ áᮩ M = 10 ª£ ¯à¨á«®­¥­ ª £« ¤ª®© á⥭¥, â ª çâ® ¥¥ ¢¥àå­¨© ª®­¥æ ­ 室¨âáï ­ ¢ëá®â¥ H = 3:5 ¬. ¨¦­¨© ª®­¥æ ã¯¨à ¥âáï ¢ è¥à®å®¢ âë© ¯®«. ®íää¨æ¨¥­â â७¨ï ¬¥¦¤ã «¥á⭨楩 ¨ ¯®«®¬ à ¢¥­ = 0:25.® «¥áâ­¨æ¥ ­ 稭 ¥â ¬¥¤«¥­­® ¯®¤­¨¬ âìáï 祫®¢¥ª ¬ áᮩ m = 80 ª£. ª ªãî ¢ëá®âã h г¤ бвбп ¯®¤­пвмбп з¥«®¢¥ªг, ¯à¥¦¤¥ 祬 «¥áâ­¨æ ­ ç­¥â ᪮«ì§¨âì ¯® ¯®«ã?

11.ª¨¬ ¤®«¦¥­ ¡ëâì ª®íää¨æ¨¥­â â७¨ï ¬¥¦¤ã ­¨¦­¨¬ ª®­æ®¬ «¥áâ­¨æë ¨ ¯®- «®¬, ç⮡ë 祫®¢¥ª ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¢®¯à®á ¬®£ ¤®¡à âìáï ¤® á ¬®£® ¢¥àå ?

« ¢ 8

¥¨­¥àæ¨ «ì­ë¥ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â

ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì, § ª®­л мов®­ ¢л¯®«­повбп в®«мª® ¢ ¨­¥аж¨ «м-

­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â . ¨áâ¥¬ë ®âáç¥â , ¤¢¨¦ã騥áï ®â­®á¨â¥«ì­®
¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â á ã᪮७¨¥¬,			­ §ë¢ îâáï ­¥¨­¥à-
æ¨ «ì­ë¬¨. ­¥¨­¥àæ¨ «ì­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â					­¥á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯¥à-
¢ë© § ª®­ ìîâ®­ . ¦¤ë© §­ ¥â, çâ® ¯à¨ à뢪¥					¢â®¡ãá					á ¬¥áâ
.	¢â®¡ãá				---					-
¯ áá ¦¨à®¢ ⮫ª ¥â ¢ ®¡à â­ãî áâ®à®­ã						­¥¨­¥àæ¨ «ì
­ ï á¨á⥬ , ¨ ¢ ­¥© ­¨ª ª¨å ¢¨¤¨¬ëå ¢®§¤¥©á⢨© ­						¯ áá ¦¨à®¢ á®
,		,	⥬ ­¥ ¬¥­¥¥					,		­¥ á®åà	-
áâ®à®­ë ¤à㣨å ⥫ ­¥ ®ª §ë¢ «®áì ­® ®­¨
.
­¨«¨ á®áâ®ï­¨¥ ¯®ª®ï
¯à¨­æ¨¯¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ­¥¨­¥àæ¨ «ì­ëå á¨á⥬ ®âáç¥â										­¨ç¥¬ ­¥
.		---		­	¥¬«¥		,		¢à é î饩áï
§ ¯à¥é¥­® ë á ¬¨ ¦¨¢¥¬ ¢ â ª®© á¨á⥬¥
¢®ªà㣠ᮡá⢥­­®© ®á¨ ¨ ¤¢¨¦ã饩áï ¢®ªà㣠®«­æ .						â ª®© á¨á⥬¥
						.					,
®âáç¥â § ª®­ë ¤¨­ ¬¨ª¨ ¢ë£«ï¤ïâ §­ ç¨â¥«ì­® á«®¦­¥¥							áãé­®áâ¨

á¯®à ¬¥¦¤ã á¨á⥬ ¬¨ ¬¨à

¯® ⮫¥¬¥î ¨ ®¯¥à­¨ªã ª á «áï ¢®¯à®á ,

ª ªãî ¨§ á¨á⥬ ®âáç¥â

:

-

¨á¯®«ì§®¢ âì á¢ï§ ­­ãî á ¥¬«¥© ¨«¨ á ®«­

.

®á«¥¤­ïï

,

ª ª ¨§¢¥áâ­®

,

.

楬

®ª § « áì £®à §¤® 㤮¡­¥¥ ¨á⥬

®âáç¥â

,

á¢ï§ ­­ ï á ¥¬«¥©

,

­¥¨­¥àæ¨ «ì­ ¢ £®à §¤® ¡®«ì襩 áâ¥

-

,

¢ ­¥© ¤¢¨¦¥­¨ï ¯« ­¥â ¢ë£«ï¤¥«¨ á«®¦­ë¬¨ ¨ § ¯ãâ ­­ë¬¨

.

®

...

¯¥­¨

,

.

¤®

­¨ªâ® ­¥ § ¯à¥é ¥â ¯®«ì§®¢ âìáï ¨ á¨á⥬®©

á¢ï§ ­­®© á ¥¬«¥©

⮫쪮 ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¯®¤¯à ¢¨âì § ª®­ë ¤¨­ ¬¨ª¨.

8.1¨«ë ¨­¥à樨

®§ì¬¥¬ 㥤¨­¥­­®¥ ⥫®, ­¥ ¯®¤¢¥à¦¥­­®¥ ¢®§¤¥©áâ¢¨î ¤à㣨å ⥫. ᫨ á«¥¤¨âì § ­¨¬ ¨§ ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â , â®, ¯®¤®¡­® ¯ áá - ¦¨à ¬ ¢â®¡ãá , ®­® ­¥ ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï ¢ ¯®ª®¥ ¨«¨ ¤¢¨£ âìáï ¯àאַ- «¨­¥©­® ¨ à ¢­®¬¥à­®. à § ¥£® ᪮à®áâì ¬¥­ï¥âáï, â® ®â«¨ç­® ®â ­ã«ï

195

196	« ¢ 8. ¥¨­¥àæ¨ «ì­ë¥ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â

ã᪮७¨¥ ⥫ . ­ ç¨â, 㬭®¦¨¢ ã᪮७¨¥ ­ ¬ ááã, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯® ¢â®- ஬㠧 ª®­г мов®­ ­ ©в¨ ¤¥©бв¢гойго ­ в¥«® б¨«г. ª®£® த á¨«ë ­¥ ᮢᥬ ®¡ëç­ë ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¬ë ­¥ ¬®¦¥¬ 㪠§ âì ⥫ , á® áâ®à®­ë ª®â®àëå ®­¨ ¤¥©áâ¢ãîâ. ®áâ «ì­®¬ ®­¨ ­¨ç¥¬ ­¥ ®â«¨ç îâáï ®â ¯à®ç¨å ᨫ, á ª®â®à묨 ¬ë 㦥 §­ ª®¬ë.

¨«ë, ¯®ï¢«ïî騥áï ¢ ­¥¨­¥àæ¨ «ì­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â , ­ §ë-

¢îâáï ᨫ ¬¨ ¨­¥à樨.

­®£¤ £®¢®àïâ ® 䨪⨢­®á⨠⠪¨å ᨫ, ¯®­¨¬ ï ¯®¤ í⨬, çâ® ¢ ¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬¥ ®âáç¥â ¨å ­¥ ¡ë«® ¡ë. â®â à£ã¬¥­â ¯à¥¤áâ - ¢«ï¥âáï ­¥ ᮢᥬ ã¡¥¤¨â¥«ì­ë¬. â® § ¡¥¤ , ¥á«¨ ¢ ®¤­®© á¨á⥬¥ ®â-

áç¥â ⥫® ¨¬¥¥â ã᪮७¨¥ (­ ­¥£® ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ ), ¢ ¤à㣮© íâ® ã᪮- ७¨¥ à ¢­® ­ã«î (­¥â ᨫ)? ਠ¯¥à¥å®¤¥ ¨§ ®¤­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â ª ¤à㣮© ¬¥­ï¥âáï ᪮à®áâì ⥫ , ¥£® í­¥à£¨ï. ®á«¥ §­ ª®¬á⢠á

¬ë §­ ¥¬, зв® ¬¥­повбп ¤«¨­л ¨ ¢а¥¬¥­­л¥ ¨­в¥а¢ «л. ®í⮬㠥áâ¥- á⢥­­® ¨ ­ á¨«ë ¢§£«ï­ãâì á í⮩ ¦¥ â®çª¨ §à¥­¨ï. â ª, á¨«ë ¨­¥à樨 ¢¯®«­¥ ॠ«ì­ë, ¨å ¬®¦­® ¨§¬¥à¨âì, ­® ­ ¡«î¤ îâáï ®­¨ ⮫쪮 ¢ ­¥- ¨­¥àæ¨ «ì­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â . â¨ á¨«ë ¨¬¥îâ à §­ë¥ ᢮©á⢠¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § ª®­ ¤¢¨¦¥­¨ï ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â ®â­®- á¨â¥«ì­® ¨­¥àæ¨ «ì­®©.

8.2¨«ë ¨­¥à樨 ¯à¨ ã᪮७­®¬ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â

áᬮâਬ è ਪ, ¯®¤¢¥è¥­­ë© ­ ­¨â¨, â®çª ¯®¤¢¥á ª®â®à®£® O0 ¤¢¨¦¥âáï á ã᪮७¨¥¬ ~a ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®© ¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬ë

®âáç¥â K. ¨âì ¯®¤¢¥á ®âª«®­ï¥âáï ®â ¢¥à⨪ «¨ ­				­¥ª®â®àë© ã£®«
.		~	á¨«ë ­ â殮­¨ï ­¨â¨
	£®« íâ®â â ª®¢, ç⮡ë à ¢­®¤¥©áâ¢ãîé ï F
~	¨ ᨫë â殮á⨠m~g ¯à¨¢¥«	ª ¤¢¨¦¥­¨î è ਪ á ã᪮७¨¥¬ ~a:
T
	~	~		(8.1)
	F = T + m~g = m~a

®âªã¤ tg = a=g. ª ¢ë£«ï¤¨â ®¯¨á ­¨¥ ¥­¨ï á â®çª¨ §à¥­¨ï ­ - ¡«î¤ â¥«ï ¢ ¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬¥ ®âáç¥â K (à¨á. 8.1,a).

¢ï¦¥¬ ⥯¥àì á¨á⥬㠮âáç¥â K0 á â®çª®© ¯®¤¢¥á O0. â á¨á⥬ ¡ã¤¥â ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®©, â.ª. ®­ ¤¢¨¦¥âáï á ã᪮७¨¥¬ ~a ®â­®á¨â¥«ì­®

¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬ë K. ë ¯®«ì§ã¥¬áï ­¥à¥«ï⨢¨áâ᪮© ¬¥å ­¨ª®©,

â ª ç⮠㣮« ®âª«®­¥­¨ï ­¨â¨ à ¢­® ª ª ¨ ᨫë ~ ¤«ï ®¡®¨å ­

, T m~g -

¡«î¤ ⥫¥© ®¤¨­ ª®¢ë. ® ¤«ï ­ ¡«î¤ ⥫ï K0 è ਪ ­ 室¨âáï ¢ ¯®ª®¥

8.2. ¨«ë ¨­¥à樨 ¯à¨ ã᪮७­®¬ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â

197

¨á. 8.1: ®¢¥¤¥­¨¥ è ਪ ­ ­¨â¨, â®çª ¯®¤¢¥á ª®â®à®£® ¤¢¨¦¥âáï á ã᪮७¨¥¬: á â®çª¨ §à¥­¨ï ­ ¡«î¤ ⥫¥© ¢ ¨­¥àæ¨ «ì­®© ( ) ¨ ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®© (¡) á¨á⥬ å

(à¨á. 8.1,b) ¤à㣮© áâ®à®­ë, ­ ¡«î¤ ⥫ì K0 ¢¨¤¨â, ç⮠१ã«ìâ¨àã-
	~	¨ m~g ­¥ à ¢­	­ã«î.		®í⮬㠭 ¡«î¤ ⥫ì		K	0	¯à¨å®¤¨â ª
îé ï ᨫ T
¢ë¢®¤ã, çâ® ¢ ¥£® á¨á⥬¥ ®âáç¥â					¤¥©áâ¢ã¥â ª ª ï-⮠ᨫ		| ᨫ ¨­¥à-
~	ª®â®à®© ­¥ ¡ë«® ¢ ¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬¥ ®âáç¥â K.								ëà ¦¥­¨¥
樨 F¨­,
¤«ï á¨«ë ¨­¥à樨 ¯®«ãç ¥¬ ¨§ ãá«®¢¨ï à ¢­®¢¥á¨ï è ਪ							¢ á¨á⥬¥ K0,
â.¥. ¨§ à ¢¥­á⢠­ã«î âà¥å ᨫ:					¢ à ¢­®¢¥á¨¨:
			~			~
			T + m~g + F¨­ = 0:
âáî¤	~	~	¨ ¨§	(8.1)		á«¥¤ã¥â ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï á¨«ë ¨­¥à				-
	F¨­	= ;(T + m~g),
樨 ¯à¨ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬ë
®âáç¥â	á ã᪮७¨¥¬ ~a:
			~
			F¨­ = ;m~a:						(8.2)

â®â ¦¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥­ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¤¢¨¦¥-

­¨ï ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¢ ¤¢¨¦ã饩áï ¯®áâ㯠⥫쭮 ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®©
á¨á⥬¥ ®âáç¥â K0. ãáâì ᪮à®áâì ¥¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ®â­®á¨â¥«ì­® ¨­¥à-
æ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â	~	®á¨ ®¡¥¨å
	K ®¯¨áë¢ ¥âáï ä㭪樥© V (t),

á¨á⥬ ®áâ îâáï ¯ à ««¥«ì­ë¬¨. ãáâì ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥­¨ï ¬ â¥à¨ «ì- ­®© â®çª¨ ¢ á¨á⥬¥ K ¬¥­ï¥âáï ¯® § ª®­ã ~v(t). ­ ç¨â ¢ ¨­¥àæ¨ «ì­®©

á¨á⥬¥				K ᮣ« á­® ¢â®à®¬ã § ª®­ã ìîâ®­			­ â®çªã ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ
~	=		_						K	0
F		m~v(t). ª®à®áâì í⮩ ¦¥ â®çª¨ ¤«ï ­ ¡«î¤ â¥«ï ¢ á¨á⥬¥
à ¢­		~v	0	~					K	0
				(t) = ~v(t) ; V (t). ­ ç¨â ¢ ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨á⥬¥ ®âáç¥â
				~ 0	_ 0	_	~_	~ ~
­	â®çªã ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ F				= m~v	(t) = m~v(t) ; mV (t) = F + F¨­: ª¨¬

198 « ¢ 8. ¥¨­¥àæ¨ «ì­ë¥ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â

®¡à §®¬, ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ᨫ	¨­¥à樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
~	~_

F¨­ = ;mV (t) = ;m~a(t)

£¤¥ ~a(t) | ã᪮७¨¥ ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ­¥¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¨­¥àæ¨ «ì­®©.

¬¥â¨¬, çâ® ¡« £®¤ àï à ¢¥­áâ¢ã £à ¢¨â 樮­­®© ¨ ¨­¥àâ­®© ¬ áá,

®¡á㦤 ¢è¥¬ãáï ¢ à §¤. 5.4, ­ ¡«î¤ â¥«ì ¢ á¨á⥬¥ K0 ¬®¦¥â ã⢥à- ¦¤ âì, çâ® ¢ ¥£® á¨á⥬¥ ¨¬¥¥âáï ®¤­®à®¤­®¥ £à ¢¨â 樮­­®¥ ¯®«¥, § -

áâ ¢«ïî饥 ⥫ ¯ ¤ âì á ã᪮७¨¥¬ ~_ ©­è⥩­ áä®à¬ã

\ " ;V (t). . -

«¨à®¢ « â.­. ¯à¨­æ¨¯ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠­¥¨­¥àæ¨ «ì­ëå á¨á⥬ ¨ £à ¢¨â 樮­­ëå ¯®«¥© ¨ ¯®áâந« ­ í⮩ ®á­®¢¥ ®¡éãî ⥮à¨î ®â­®á¨- ⥫쭮á⨠( ) ¨«¨ ⥮à¨î £à ¢¨â 樨.

8.3¥­â஡¥¦­ ï ᨫ ¨­¥à樨

।áâ ¢¨¬ ᥡ¥ ¤¨áª, à ¢­®¬¥à­® ¢à é î騩áï á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ~!. ¬¥áâ¥ á ¤¨áª®¬ ¢à é ¥âáï ­ ¤¥âë© ­ ᯨæã è ਪ, ᮥ¤¨­¥­­ë© á 業â஬ ¤¨áª ¯à㦨­®©. ਪ ¯®ª®¨âáï ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¨áª ¨ § ­¨-

¬ ¥â ­ á¯¨æ¥ â ª®¥ ¯®«®¦¥­¨¥,		¯à¨ ª®â®à®¬ ᨫ		­ â殮­¨ï ¯à㦨­ë
~	®ª §ë¢ ¥âáï à ¢­®© ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¬ ááë è ਪ m ­ ­®à¬ «ì­®¥
F¯à
(業âà®áâ६¨â¥«ì­®¥) ã᪮७¨¥ ~an = ;!2~r:
	~	2
	F¯à = m~an = ;m!		~r	(8.3)

£¤¥ ~r | à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à, ¯à®¢¥¤¥­­ë© ª è ਪ㠨§ 業âà ¤¨áª (à¨á. 8.2).® â ª à áá㦤 ¥â ­ ¡«î¤ ⥫ì, ᬮâàï騩 ­ ¢à 饭¨¥ ¤¨áª ¨§

¨­¥àæ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â . ¢п¦¥¬ б ¤¨бª®¬ ¢а й ойгобп ­¥- ¨­¥àæ¨ «ì­ãî á¨á⥬㠮âáç¥â K0, ¢ ª®â®à®© ¤¨áª ¢¬¥á⥠á è ਪ®¬

¯®ª®¨âáï. á«®¢¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï è ਪ			¢ í⮩ á¨á⥬¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	~	~			(8.4)
	F¯à + Fæ = 0:
¡«î¤ â¥«ì ¢® ¢à é î饩áï á¨á⥬¥ ®âáç¥â				®¡êïá­ï¥â à ¢­®¢¥á¨¥
è ਪ		~	~	2	~r, ­ ¯à ¢«¥­­®© ®â
	­ «¨ç¨¥¬ á¨«ë ¨­¥à樨 Fæ = ;F¯à = m!
業âà	¤¨áª O0 ¯® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã ~r0.		¨«ã ¨­¥à樨, ¤¥©бв¢гойго ­

¬ â¥à¨ «ì­ãî â®çªã ¢ à ¢­®¬¥à­® ¢à é î饩áï á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî !

á¨á⥬¥ ®âáç¥â ­ §ë¢ îâ 業â஡¥¦­®© ᨫ®© ¨­¥à樨:

~	2	~	(8.5)
Fæ = m!		R

8.3. ¥­â஡¥¦­ ï ᨫ ¨­¥à樨

199

¨á. 8.2: ¥­â஡¥¦­ ï ᨫ ¨­¥à樨 ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â , á¢ï§ ­­®© á ¢à é î騬áï ¤¨áª®¬

£¤¥ ~ ¢¥ªâ®à ¯à®¢¥¤¥­­ë© ª ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¥ ®â ®á¨ ¢à 饭¨ï ®à

R | , -

⮣®­ «ì­® ¯®á«¥¤­¥©. ë ¢¢¥«¨ ¥£®, çâ®¡ë ®â«¨ç¨âì ®â à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à

~r ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â «¥¦¨â ­ ®á¨ ¢à 饭¨ï, ­® ­¥ ¢ ¯«®áª®á⨠¢à 饭¨ï ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨. ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® (8.5) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥

~	2	~r ; m~!(!~ ~r):
Fæ = ;m[!~ [!~ ~r] = m!			(8.6)

¤ ç 8.27. ®áã¤ á ¦¨¤ª®áâìî ¢à é ¥âáï á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî ! ¢®- ªà㣠¢¥à⨪ «ì­®© ®á¨. ©â¨ ä®à¬ã ¯®¢¥àå­®á⨠¦¨¤ª®áâ¨.

¥è¥­¨¥. ¤ çã à¥è ¥¬ ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â , ¢à é î饩áï ¢¬¥áâ¥ á ¦¨¤- ª®áâìî. í⮩ á¨á⥬¥ ¦¨¤ª®áâì ­¥¯®¤¢¨¦­ , ­® ªà®¬¥ ᨫë â殮áâ¨

­ ­¥¥ ¤¥©áâ¢ã¥â 業â஡¥¦­ ï ᨫ ¨­¥à樨. ®¢¥àå­®áâì ¦¨¤ª®á⨠ᨬ¬¥âà¨ç­ ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¢à 饭¨ï. áᬮâਬ á¥ç¥­¨¥ í⮩ ¯®- ¢¥àå­®á⨠ª ª®©-­¨¡ã¤ì ¢¥à⨪ «ì­®© ¯«®áª®áâìî, ᮤ¥à¦ 饩 ®áì ¢à -

饭¨ï, ª®â®àãî ¬ë ¯à¨¬¥¬ § ®áì Oy (à¨á. 8.3).

®§ì¬¥¬ ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨ í«¥¬¥­â ¦¨¤ª®á⨠¬ áᮩ m, à ᯮ«®¦¥­­ë©

¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨­ ⮩ x.	­¥£® ¤¥©áâ¢ã¥â 1) ᨫ â殮áâ¨			~
				;	j m g
	~	2
¨ 2) 業â஡¥¦­ ï ᨫ ¨­¥à樨 i m !			x (§¤¥áì ª®®à¤¨­ â x ¥áâì à á-
áâ®ï­¨¥ ®â ®á¨ ¢à 饭¨ï.	¥§ã«ìâ¨àãîé ï íâ¨å ᨫ ­ ª«®­¥­			ª ¢¥à-

⨪ «¨ ¯®¤ 㣫®¬ ' â ª¨¬, çâ® tg ' = m!2x=mg = x(!2=g): ®¢¥àå- ­®áâì ¦¨¤ª®áâ¨, ®¯¨áë¢ ¥¬ ï ä㭪樥© y(x), ¢á¥£¤ à ᯮ« £ ¥âáï ®à-

⮣®­ «ì­® «¨­¨¨ ¤¥©áâ¢¨ï ¢­¥è­¨å ᨫ. ª ¨§¢¥áâ­®, â ­£¥­á ⮣® ¦¥

200	« ¢ 8. ¥¨­¥àæ¨ «ì­ë¥ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â

¨á. 8.3: ®à¬ ¯®¢¥àå­®á⨠¢à é î饩áï ¦¨¤ª®á⨠(ª § ¤ ç¥ 8.27.)

㣫 ¬®¦­® ­ ©â¨ ª ª ®â­®è¥­¨¥ ¯à¨à 饭¨© (tg ' = dy=dx), â.¥. ª ª ¯à®¨§¢®¤­ãî. ®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ y0 = x (!2=g) ª®â®à®¥ «¥£ª® ¨­â¥£à¨- àã¥âáï: y(x) = !2x2=2g+y(0): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¢¥àå­®áâì ¢à é î饩áï ¦¨¤ª®á⨠¯à¨­¨¬ ¥â ä®à¬ã ¯ à ¡®«®¨¤ ¢à 饭¨ï. ਠ! = 0 ¨¬¥¥¬

y(x) = y(0), â.¥. ¯«®áªãî £®à¨§®­â «ì­ãî ¯®¢¥àå­®áâì.

8.4¨« ®à¨®«¨á

ਠ¤¢¨¦¥­¨¨ ⥫ ®â­®á¨â¥«ì­® ¢à é î饩áï á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â , ªà®¬¥ 業â஡¥¦­®© á¨«ë ¨­¥à樨 ¯®ï¢«ï¥âáï ¥é¥ ®¤­ ᨫ , ­ §ë¢ ¥¬ ï ᨫ®©®à¨®«¨á ¨«¨ ª®à¨®«¨á®¢®© ᨫ®© ¨­¥à樨.

ãáâì è ਪ ¬ áᮩ m ¤¢¨¦¥âáï ¡¥§ â७¨ï ¢¤®«ì à ¤¨ãá ¤¨áª

(à¨á. 8.4) á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî v, ­ ¯à ¢«¥­­®© ¢ ­¥ªãî â®çªã A ­ ªà î ¤¨áª . ᫨ ¤¨áª ­¥ ¢à é ¥âáï, â® è ਪ ¤¢¨¦¥âáï ¯® à ¤¨ãáã ¨

¯®¯ ¤ ¥â ¢ â®çªã A. ᫨ ¦¥ ¤¨áª ¯à¨¢¥á⨠¢® ¢à 饭¨¥ á 㣫®¢®© ᪮à®- áâìî !~, â® ª ¬®¬¥­âã ¤®á⨦¥­¨ï è ਪ®¬ ªà ï ¤¨áª ­ ¬¥á⥠â®çª¨ A ®ª ¦¥âáï ¤à㣠ï â®çª B. ᫨ è ਪ ®áâ ¢«ï¥â á«¥¤, â® ®­ ¯à®ç¥àâ¨â ᢮î âà ¥ªâ®à¨î ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¨áª | ªà¨¢ãî «¨­¨î OB. ਠí⮬ ­ è ਪ ­¥ ¤¥©áâ¢ãîâ ­¨ª ª¨¥ ¢¨¤¨¬ë¥ á¨«ë ¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ¨­¥à- æ¨ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ®­ ¯®-¯à¥¦­¥¬ã ¤¢¨¦¥âáï á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî ~v.ª®à®áâì ¦¥ è ਪ ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¨áª ~v 0 ¨§¬¥­ï« ᢮¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥.­ ç¨â, ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â , á¢ï§ ­­®© á ¢à é î騬áï ¤¨áª®¬, ­ è ਪ