kalashnikov_tom_1

4.8. ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬®¬¥­â				¨¬¯ã«ìá			121
(â.ª.		_			0) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¢® ¢â®à®¬ ãà ¢­¥­¨¨
	p~ ~v ¨ ¯®â®¬ã [~r p~] = [~v p~]
	k		~	~
âà¥â¨© § ª®­ ìîâ®­			F21	= ;F12,	¯¥à¥¯¨è¥¬ (4.74)		¢ ¢¨¤¥:
		d			~	~
		dt	[~r1 p~1] = [~r1 F12] + [~r1 F1]
		d			~	~
		dt	[~r2 p~2] = ;[~r2 F12] + [~r2 F2]:				(4.76)

«®¦¨¬ ¯®«ã祭­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï:

d

~

~

~

dt f[~r1 p~1] + [~r2

p~2]g = [(~r1

; ~r2) F12] + [~r1 F1] + [~r2

F2]:

(4.77)

~

ª®««¨­¥ à­ë, ¯®íâ®¬ã ¨å ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥

¥ªâ®àë (~r1 ;~r2) ¨ F12

à ¢­® ­ã«î.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬

d

~

~

dt f[~r1 p~1

] + [~r2 ~p2]g = n[~r1 F1] + [~r2 F2]o :

(4.78)

«¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥­áâ¢

á⮨⠯ந§¢®¤­ ï ®â áã¬¬ë ¬®¬¥­â®¢ ¨¬¯ã«ìá

~

¢ ¯à -

ç áâ¨æ (¥¥ ­ §ë¢ îâ ¯®«­ë¬ ¬®¬¥­â®¬ ¨¬¯ã«ìá L á¨á⥬ë),

~

¢®© | á㬬 ¬®¬¥­â®¢ ¢­¥è­¨å ᨫ | ¯®«­ë© ¬®¬¥­â M ¢­¥è­¨å ᨫ,

¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ ⥫ á¨á⥬ë. ¡®¡é¥­¨¥ ­

á«ãç © á¨áâ¥¬ë ¨§ ¬­®£¨å

ç áâ¨æ (¨«¨ ⢥म£® ⥫ ) ®ç¥¢¨¤­®:

~

~

[~ri p~i]

L =

Li =

i

i

~

X

~

X

[~ri

~

M =

Mi =

Fi]

i

i

~

X

X

dL

~

dt =

M:

(4.79)

~

0 ¨,

ᮮ⢥âá⢥­­®,

~

á«¥¤ã¥â § ª®­

§ (4.79) ¯à¨ M =

L = const

á®åà ­¥­¨ï ¬®¬¥­â

¨¬¯ã«ìá

á¨á⥬ë:

¥á«¨ á¨á⥬ § ¬ª­ãâ ¨«¨ á㬬 à­ë© ¬®¬¥­â ¢­¥è­¨å ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ ­¥¥, à ¢¥­ ­ã«î, â® á㬬 à­ë© ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë á®åà ­ï¥âáï.

¤ ç 4.16. ëïá­¨âì, ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá á¨áâ¥¬ë ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ­ ç « ª®®à¤¨­ â O.

122 « ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

¥è¥­¨¥. ©¤¥¬ á­ ç « , ª ª ¨§¬¥­ï¥âáï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá ¯à¨ á¬¥­¥ ­ ç « ª®®à¤¨­ â. ®§ì¬¥¬ ­¥ªãî â®çªã O0, ¯®«®¦¥­¨¥ ª®â®à®© ®â­®á¨- ⥫쭮 â®çª¨ O § ¤ ¥âáï à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬ ~r0. ¤¨ãá-¢¥ªâ®àë ~ri 0, ¯à®¢¥-

¤¥­­ë¥ ¨§ O0, á¢ï§ ­ë á à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ¬¨ ~ri ᮮ⭮襭¨ï¬¨ ~ri = ~r0 +~ri 0.
®¤áâ ¢¨¬ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ ä®à¬ã«ã ¤«ï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá	~
	L ®â­®á¨-
⥫쭮 â®çª¨ O:

~

X

[(~r0 + ~ri

0

) p~i] =

X

[~r0 ~pi] +

X

0

X

X

0

p~i]:

L =

[~ri

~pi] = [~r0 p~i] + [~ri

i

i

i

i

i

¯¥à¢®¬ ç«¥­¥ ¬ë ¢¢¥¤¥¬ ¯®«­ë© ¨¬¯ã«ìá á¨á⥬ë p~ =

P

i p~i,

¢â®à®©

ç«¥­ ¥áâì ­¥ çâ® ¨­®¥,

~ 0

0

.

ª ª ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá L ®â­®á¨â¥«ì­® â®çª¨ O

¬¥¥¬

~

~

0

:

L = [~r0 p~] + L

ë ¨é¥¬ ãá«®¢¨¥, ª®£¤

~

~ 0

¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¢¥ªâ®à

~r0. â®

L =

L

¢®§¬®¦­® ⮫쪮 ¯à¨ à ¢¥­á⢥ ­ã«î ¯®«­®£® ¨¬¯ã«ìá

á¨á⥬ë p~ = 0.

­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá

­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à

­ ç «

ª®®à¤¨-

­ â ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â ,

á¢ï§ ­­®© á 業â஬ ¬ áá á¨á⥬ë.

®­â஫ì­ë¥ ¢®¯à®áë

1. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥à, ª®£¤ ᨫ â७¨ï ᮢ¥àè ¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­ãî à ¡®âã.

2.¥à¥¬¥é¥­¨¥ ⥫ § ¢¨á¨â ®â á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â . ­ ç¨â, à ¡®â â ª¦¥ ®â ­¥¥ § - ¢¨á¨â. ãáâì £à㧠¯¥à¥¬¥é ¥âáï ¯® è¥à®å®¢ ⮬㠯®«ã á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî ᨫ®© ­ â殮­¨ï ¢¥à¥¢ª¨. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥àë á¨á⥬ ®âáç¥â , ¢ ª®â®àëå à - ¡®â , ᮢ¥àè ¥¬ ï ᨫ®© ­ â殮­¨ï ¢¥à¥¢ª¨: a) ¯®«®¦¨â¥«ì­ b) à ¢­ ­ã«î c) ®âà¨æ â¥«ì­ .

3.।áâ ¢ìâ¥, çâ® ¥¬«ï ¢à é ¥âáï ¢®ªà㣠®«­æ ¯® ªà㣮¢®© ®à¡¨â¥. ந§- ¢®¤¨â «¨ ¯à¨ í⮬ ®«­æ¥ ª ªãî-«¨¡® à ¡®âã? á ¬®¬ ¤¥«¥ ®à¡¨â ¥¬«¨ | í««¨¯á. ª ¨§¬¥­¨âáï è ®â¢¥â ¢ í⮬ á«ãç ¥?

4.¢¨á¨â «¨ §­ 祭¨¥ ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ⥫ ®â ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¥£® ¤¢¨¦¥­¨ï?â á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â ?

5.§¬¥­¨âáï «¨ ¢¥«¨ç¨­ à ¡®âë, ᮢ¥àè ¥¬®© ¤¢¨£ ⥫¥¬ í᪠« â®à , ¥á«¨ ¯ áá -

¦¨à, áâ®ï騩 ­ ¤¢¨¦ã饩áï ¢¢¥àå «¥áâ­¨æ¥, ¡ã¤¥â ¯®¤­¨¬ âìáï ¯® í᪠« â®àã

á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî? §¬¥­¨âáï «¨ ¯®âॡ«ï¥¬ ï ¤¢¨£ ⥫¥¬ ¬®é­®áâì?

6.¥«®¢¥ª ¯ëâ ¥âáï ᤢ¨­ãâì á ¬¥áâ ®£à®¬­ë© ª ¬¥­ì. ­ ¤ ¢¨â ­ ­¥£® á ¡®«ì让 ᨫ®© ¢ â¥ç¥­¨¥ ¤«¨â¥«ì­®£® ¢à¥¬¥­¨, ­® ª ¬¥­ì ®áâ ¥âáï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬. ªãî à ¡®âã ᮢ¥à訫 祫®¢¥ª ­ ¤ ª ¬­¥¬? ®ç¥¬ã ®­ ãáâ «?

4.8. ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá

123

7.§ १ã«ìâ â § ¤ ç¨ (4.13.) ¯®«ãç ¥âáï, ç⮠祬 £«ã¡¦¥ § ¡¨â £¢®§¤ì, ⥬ «¥£ç¥ ¥£® ¢ëâ é¨âì (l á⮨⠢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¢ëà ¦¥­¨ï (4.57) ¤«ï ᨫë). ¥ ¯à®â¨¢®à¥- ç¨â «¨ íâ® ­ 襬㠮¯ëâã?

8.ª®¢ ¬£­®¢¥­­ ï ¬®é­®áâì, à §¢¨¢ ¥¬ ï á¥à¤¥ç­®© ¬ëè楩 (á¬. ª®­â஫ì­ë© ¢®¯à®á 8 £«. 3) ¢ ¬®¬¥­â ¢ëâ «ª¨¢ ­¨ï ªà®¢¨ ¢ á¨á⥬㠪஢®®¡à 饭¨ï? ª®¢

á।­ïï ¬®é­®áâì á¥à¤æ , ¥á«¨ ç áâ®â ¯ã«ìá á®áâ ¢«ï¥â 60 㤠஢ ¢ ¬¨­ãâã?

9.¥à¤æ¥, à ¡®â ï ª ª ­ á®á, á®®¡é ¥â ªà®¢¨ ­¥ªãî ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î. â® á í⮩ í­¥à£¨¥© ¯à®¨á室¨â ¤ «ìè¥?

10.⢥âì⥠­ ª®­â஫ì­ë© ¢®¯à®á 10 £«. 3) ¢ â¥à¬¨­ å à ¡®âë-í­¥à£¨¨. à ¢­¨â¥ ®â¢¥â á ¯®«ã祭­ë¬ à ­¥¥.

11. ¬¥ç¥­®, çâ® ¢â®¬®¡¨«ì ¬ áᮩ m = 1200 ª£ § ¬¥¤«ï¥âáï ®â ᪮à®á⨠v1 = 90 ª¬=ç ¤® ᪮à®á⨠v2 = 70 ª¬=ç ¯à¨¬¥à­® § ¢à¥¬ï t = 5 á. ëç £ ª®à®¡ª¨ ¯¥à¥¤ ç ­ 室¨âáï ¯à¨ í⮬ ¢ ­¥©âà «ì­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨. 業¨â¥ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì- ­ãî ¬®é­®áâì, ­¥®¡å®¤¨¬ãî ¤«ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¢â®¬®¡¨«ï á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî

v = 80 ª¬=ç.	ëà §¨â¥ ®â¢¥â ¢ «®è ¤¨­ëå ᨫ å: 1 «:á: 736 â). -
ªãî ç áâì ¢¥á	¢â®¬®¡¨«ï á®áâ ¢«ï¥â á।­ïï ᨫ ᮯà®â¨¢«¥­¨ï ¯à¨ ᪮à®áâ¨
v = 80 ª¬=ç?

12.¬¥îâáï ¤¢¥ ¯à㦨­ë, ª®â®àë¥ à §«¨ç îâáï «¨èì ¦¥á⪮áâﬨ (k1 > k2). ¤ ª ª®© ¯à㦨­®© ᮢ¥àè ¥âáï ¡®«ìè ï à ¡®â , ¥á«¨: ) ¨å à áâ¢ îâ ­ ®¤¨­ - ª®¢ãî ¤«¨­ã ¡) ¨å à áâ¢ îâ ®¤¨­ ª®¢®© ᨫ®©?

13.¥¬ã à ¢¥­ ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠k ¯à㦨­ë, ¥á«¨ ®­ ¬®¦¥â ®áâ ­®¢¨âì ¢- ⮬®¡¨«ì ¬ áᮩ m, ¥¤ã騩 ᮠ᪮à®áâìî v, â ª çâ® ¯ áá ¦¨àë ¨á¯ëâë¢ î⠯ਠí⮬ ã᪮७¨¥, ­¥ ¯à¥¢ëè î饥 a?

14.­¦¥­¥à à ááç¨âë¢ ¥â ¦¥á⪮áâì ¯à㦨­, ª®â®àë¥ ­ ¤® ¯®¬¥áâ¨âì ­ ¤­® è åâë «¨äâ , çâ®¡ë ¯à¨ ®¡à뢥 âà®á «¨äâ ¯ áá ¦¨àë ­¥ ¨á¯ëâ «¨ ¯¥à¥£à㧪¨, ¡®«ì-

	襩 10g. áá «¨äâ á ¯ áá ¦¨à ¬¨ m = 1 â, ¬ ªá¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­ ï ¢ëá®â
	¯ ¤¥­¨ï h = 40 ¬ (¯à¨¬¥à­® 12-íâ ¦­ë© ¤®¬). ।¯®« £ ¥âáï ãáâ ­®¢¨âì n = 4
	¯à㦨­ë. ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠k ¯à㦨­.
15.	ª®© ¤«¨­ë l ¤®«¦­ ¡ëâì ¯à㦨­ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¢®¯à®á¥, ¥á«¨ ¥¥ ¤«¨­ ¢ ¬ ª-
	ᨬ «ì­® ᦠ⮬ á®áâ®ï­¨¨ á®áâ ¢«ï¥â 1/10 ®â ¤«¨­ë l ­¥à áâï­ã⮩ ¯à㦨­ë?
	áå®¤ï ¨§ १ã«ìâ â , ¯à¨¬¨â¥ à¥è¥­¨¥, ­ ¤® «¨ ªà®¬¥ ¯à㦨­ ¯à¥¤ãᬮâà¥âì
	¨­ë¥ ¬¥àë ¡¥§®¯ á­®áâ¨?
16.	ª ­ ¤® ¡à®á¨âì ­ ¯®« ¬ïç, çâ®¡ë ®­ ¯®á«¥ ®â᪮ª ¯®¤¯à룭㫠¢ëè¥ ã஢­ï,

á ª®â®à®£® ¡à®è¥­? ¤ à áç¨â âì ¡á®«îâ­® ã¯à㣨¬.

17.ਪ ¯ ¤ ¥â ­ áâ «ì­ãî ¯«¨âã á ­¥ª®â®à®© ¢ëá®âë h. ਠª ¦¤®¬ ®â᪮ª¥ â¥àï¥âáï = 6% í­¥à£¨¨ è ਪ ¤® 㤠à . ®á«¥ ᪮«ìª¨å ®â᪮ª®¢ è ਪ ¯®¤- ¯à룭¥â ­ ¢ëá®âã h=2?

18.®ª®ï騩áï è à ¯®«ãç ¥â 業âà «ì­ë© ã¤ à ®â ¤à㣮£® â ª®£® ¦¥ è à . ®£¤ ¯¥à¢ë© è à ¯à¨®¡à¥â¥â ¡®«ìèãî ᪮à®áâì | ¯à¨ ã¯à㣮¬ ¨«¨ ­¥ã¯à㣮¬ 㤠à¥?

124	« ¢ 4. ¡®â ¨ í­¥à£¨ï

19.ª¨¬¨ ä ªâ®à ¬¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥«¨ç¨­ í­¥à£¨¨, ¯¥à¥¤ ­­®© ¯à¨ ã¯à㣮¬ á⮫ª- ­®¢¥­¨¨ ®â ¤¢¨¦ã饣®áï ⥫ ª ­¥¯®¤¢¨¦­®© ¬¨è¥­¨?

20.ਠª ª®¬ ãá«®¢¨¨ § ¬¥¤«¥­¨¥ ¡ëáâà® ¤¢¨¦ãé¨åáï ç áâ¨æ ¯à¨ ã¯à㣨å á⮫ª­®- ¢¥­¨ïå ï¥âáï ­ ¨¡®«¥¥ íä䥪⨢­ë¬?

21.®¦­® «¨ ᪮­áâàã¨à®¢ âì ¢¥à⮫¥â ⮫쪮 á ®¤­¨¬ ¢¨­â®¬?

22.ª ª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ᨬ¬¥âਨ ¯à®áâà ­á⢠¨ ¢à¥¬¥­¨ á¢ï§ ­ë § ª®­ë á®åà - ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá , í­¥à£¨¨ ¨ ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá ?

« ¢ 5

ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï

®£« á­® «¥£¥­¤¥, ®¤­ ¦¤ë ¢ «¥â­¨© ¤¥­ì 1665 £. . ìîâ®­, ᮧ¥à- æ ï ®ªà㦠îéãî ¯à¨à®¤ã, ®¡à ⨫ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ¯ ¤ î饥 ¢­¨§ ï¡«®ª®.᫨ ¬¥¦¤ã ¥¬«¥© ¨ ï¡«®ª®¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨â殮­¨¥, â® â ª ï ¦¥ ᨫ ¤®«¦­ áãé¥á⢮¢ âì ¨ ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï ⥫ ¬¨ á ¬ áá ¬¨ m1 ¨ m2.ᥠ⥫ ¢ ¯à¨à®¤¥ ¢§ ¨¬­® ¯à¨â¢ îâ ¤à㣠¤à㣠. â® ¢§ ¨¬®¤¥©- á⢨¥ ­ §ë¢ ¥âáï £à ¢¨â 樮­­ë¬ ¨ ï¥âáï, ª ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ à §¤¥«¥ 3.3, ®¤­¨¬ ¨§ äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© ¢ ¯à¨à®¤¥.

ë §­ ¥¬ ® ­¥¬ ®ç¥­ì ¬ «®, £®à §¤® ¬¥­ìè¥, 祬, ­ ¯à¨¬¥à, ®¡ í«¥ª- â஬ £­¨â­®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨. ¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ­ ã஢­¥ ¬¥å ­¨ª¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯¨á âì £à ¢¨â æ¨î, ¨ íâ® --- ®ç¥à¥¤­®¥ ¯à®ï¢«¥­¨¥ à §­¨æë ¬¥¦¤ã ¢®¯à®á ¬¨ ``¯®ç¥¬ã" ¨ ``ª ª". ⮬ ¦¥ £®¢®à¨â áâ ਭ­ë© ã祡- ­¨ª 䨧¨ª¨, ¨§ ª®â®à®£® ¢§ïâ í¯¨£à ä ª ­ áâ®ï饬ã ⮬ã: `` ¥ ¢å®¤ï ¢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¯à¨ç¨­ â殮áâ¨, ¯à¨¬¥â¨¬ ¬ë ¢®®¡é¥ ⮫쪮 â®, çâ® ¥¥ ­ §ë¢ îâ ®¡ëª­®¢¥­­® ¯à¨âï£ â¥«ì­®î ᨫ®© ¥¬«¨. ®ªã¤ á - ¬®© ¢¥é¨ ᮢ¥à襭­® ¨§êïá­¨âì ­¥ ¯®§¢®«ï¥âáï, â® ­¥ª®â®àë¬ ®¡à - §®¬ ¢ ᥬ ¯®«®¦¥­¨¨ ®¯à ¢¤ âìáï ¬®¦­® ⥬, çâ® ¨§ à §«¨ç­ëå ­ ¡«î- ¤¥­¨© ¯à¨§­ «¨ ¡ë⨥ â ª®© ¯à¨âï£ â¥«ì­®© ¢ ¥áâ¥á⢥ ᨫë".

5.1ª®­ë ¥¯«¥à

®§¬®¦­®, ¯ ¤ î饥 ï¡«®ª® ¨ ­ ¢®¤¨â ­ ®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ ¬ë᫨, ­® § 50 «¥â ¤® ìîâ®­ 㦥 ¡ë«¨ ¨§¢¥áâ­ë ª®«¨ç¥á⢥­­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï, ª®â®-

àë¥ ¯à®ª« ¤ë¢ «¨ ¡®«¥¥ ¯àאַ© ¯ãâì ª ãáâ ­®¢«¥­¨î § ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï. ¤­¨¬ ¨§ ¢¥«¨ç ©è¨å ®âªàë⨩ ¢ áâà®­®¬¨¨ áâ «¨ ãáâ ­®-

¢«¥­­ë¥ . ¥¯«¥à®¬ (1571-1630) § ª®­ë ¤¢¨¦¥­¨ï ¯« ­¥â:

1.ᥠ¯« ­¥âë ¤¢¨¦ãâáï ¯® í««¨¯â¨ç¥áª¨¬ ®à¡¨â ¬, ¯à¨- 祬 ®«­æ¥ ­ 室¨âáï ¢ ®¤­®¬ ¨§ 䮪ãᮢ ®à¡¨âë.

125

126	« ¢ 5. ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï

2.â१®ª, ᮥ¤¨­ïî騩 ®«­æ¥ á ¯« ­¥â®©, ®¯¨áë¢ ¥â à ¢­ë¥ ¯«®é ¤¨ § à ¢­®¥ ¢à¥¬ï.

3.¢ ¤à âë ¯¥à¨®¤®¢ ®¡à 饭¨ï ¯« ­¥â ¢®ªà㣠®«­æ ®â- ­®бпвбп ª ª ªг¡л ¡®«ми¨е ¯®«г®б¥© н««¨¯б®¢.

®«ì ᪮஠¯« ­¥âë ®¡à é îâáï ¢®ªà㣠®«­æ ¡« £®¤ àï ᨫ¥, á ª®- â®à®© ᢥ⨫® ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ­¨å, â® § ª®­ë ¥¯«¥à ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥- «¨âì ¢¨¤ í⮩ ᨫë. ®¬¥á⨬ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¢ 業âà ®«­æ . ãáâì

~r | à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ¯« ­¥âë, ~v | ¥¥ ᪮à®áâì ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥- ¬¥­¨. ¢à¥¬ï dt ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ ¯« ­¥âë à ¢­® d~l = ~v dt ¨ ­ ¯à ¢«¥­®

¯®¤ 㣫®¬ ª à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã. «®é ¤ì dS âà¥ã£®«ì­¨ª , ®¡à §®¢ ­­®£® ¢¥ªâ®à ¬¨ ~r, ~v dt ¨ ~r + ~v dt, à ¢­ dS = r v dt sin . ®£« á­® ¢â®à®¬ã § - ª®­ã ¥¯«¥à , ¢¥«¨ç¨­ dS=dt = rv sin ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï­­®©. ¥à¢ë© § ª®­ ¥¯«¥à ã⢥ত ¥â, ¢ ç áâ­®áâ¨, çâ® ®à¡¨â ¯« ­¥âë «¥¦¨â ¢

®¤­®© ¯«®áª®áâ¨. â® §­ ç¨â, çâ® ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨ ¢¥ªâ®à [~r ~v],

¢¥«¨ç¨­	ª®â®à®£® à ¢­ dS=dt, ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ®à⮣®­ «ì­® ¯«®áª®áâ¨
®à¡¨âë.	â®â ¢¥ªâ®à ¯à®¯®à樮­ «¥­ ¬®¬¥­âã ¨¬¯ã«ìá ¯« ­¥âë [~r p~].
âáî¤	á«¥¤ã¥â, ç⮠ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ­ ¯« ­¥âã, | 業âà «ì­ë¥:

®­¨ ­ ¯à ¢«¥­ë ¯® «¨­¨¨, ᮥ¤¨­ïî饩 ®«­æ¥ á ¯« ­¥â®©, ¨ § ¢¨áïâ «¨èì ®â à ááâ®ï­¨ï ¤® ®«­æ .

à¥â¨© § ª®­ ¥¯«¥à ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ­®¢¨âì § ¢¨á¨¬®áâì ᨫ ®â à á- áâ®ï­¨ï. áâ­ë© á«ãç © í««¨¯â¨ç¥áª®© ®à¡¨âë | íâ® ªà㣮¢ ï ®à- ¡¨â , ¢ 業âॠª®â®à®© ­ 室¨âáï ®«­æ¥. ®£¤ ¢â®à®© § ª®­ ¥¯«¥à ᢮¤¨âáï ª ã⢥ত¥­¨î ® ¯®áâ®ï­á⢥ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠! ®¡à 饭¨ï ¯« ­¥âë. ¯®¬­¨¬, ç⮠㣫®¢ ï ᪮à®áâì ®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¯¥- ਮ¤ã ®¡à 饭¨ï T: ! = 2 =T. «ï í⮣® á«ãç ï âà¥â¨© § ª®­ ¥¯«¥à ã⢥ত ¥â, çâ® ®â­®è¥­¨¥ ª¢ ¤à ⮢ ¯¥à¨®¤®¢ ®¡à 饭¨ï ¯« ­¥â à - ¢¥­ ®â­®è¥­¨î ªã¡®¢ à ¤¨ãᮢ ¨å ®à¡¨â, â.¥. çâ® ª¢ ¤à âë ¯¥à¨®¤®¢ ¯à®¯®à樮­ «ì­ë ªã¡ ¬ à ¤¨ãᮢ ®à¡¨â: T2 r3. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ª¢ ¤à âë 㣫®¢ëå ᪮à®á⥩ ®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­ë ªã¡ ¬ à ¤¨ãᮢ: !2 r;3. ®¬¡¨­ æ¨ï !2r ¥áâì ­¥ çâ® ¨­®¥ ª ª ­®à¬ «ì­®¥ ã᪮७¨¥, ª®â®à®¥ ¤«ï à ¢­®¬¥à­®£® ¢à 饭¨ï ¯® ®ªà㦭®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«­ë¬ ã᪮७¨¥¬ F=m, £¤¥ m | ¬ áá ¯« ­¥âë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬, çâ® F = m!2r mr=r3 m=r2: ª¨¬ ®¡à §®¬, ®«­æ¥ ¯à¨â¢ ¥â ¯« ­¥âã á ᨫ®©, ¯à®¯®à樮­ «ì­®© ¬ áᥠ¯« ­¥âë ¨ ®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­®© ª¢ ¤à âã à ááâ®ï­¨ï ¤® ­¥£®:

m F = C1 r2 :

5.2. à ¢¨â 樮­­ë¥ ᨫë

127

¤¥áì C1 | ª®íää¨æ¨¥­â ¯à®¯®à樮­ «ì­®áâ¨. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯« ­¥â ¯à¨â¢ ¥â ®«­æ¥ á â ª®© ¦¥ ᨫ®©, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥­ ª ª

M F = C2 r2

£¤¥ M | ¬ áá ®«­æ , C2 | ª ª®©-â® ¤à㣮© ª®íää¨æ¨¥­â ¯à®¯®à- 樮­ «ì­®áâ¨. § à ¢¥­á⢠¬®¤ã«¥© (âà¥â¨© § ª®­ ìîâ®­ ) ¢ë⥪ ¥â

ᮮ⭮襭¨¥

CM1 = Cm2 = G:

¡®§­ 祭­®¥ ᨬ¢®«®¬ G ®â­®è¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¯à®¯®à樮­ «ì­®- á⨠ª ¬ áᥠ­ §ë¢ ¥âáï £à ¢¨â 樮­­®© ¯®áâ®ï­­®©. ®¤áâ ¢«ïï §­ - 祭¨ï C1 = GM C2 = Gm ¢ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï á¨«ë £à ¢¨â 樨 ¬¥¦¤ã®«­æ¥¬ ¨ ¯« ­¥â®©, ­ 室¨¬

F= GmMr2 :

5.2à ¢¨â 樮­­ë¥ ᨫë

¡®¡é ï ¯®«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥, ¬®¦­® ã⢥ত âì, çâ® á¨«ë £à ¢¨- в ж¨¨ ¬¥¦¤г «о¡л¬¨ ¤¢г¬п в¥« ¬¨ ®¯а¥¤¥«повбп ¬ бб ¬¨ ¢§ ¨¬®¤¥©- áâ¢ãîé¨å ⥫ ¨ à ááâ®ï­¨ï¬¨ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨. ®£« á­® ãáâ ­®¢«¥­­®¬ã

§ª®­ã ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï,

«î¡ë¥ ¤¢¥ ¬ â¥à¨ «ì­ë¥ â®çª¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ á ᨫ®©, ¯à®- ¯®à樮­ «ì­®© ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¨å ¬ áá ¨ ®¡à â­® ¯à®¯®à樮­ «ì­®© ª¢ - ¤à âã à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã ­¨¬¨:

~	= ;G	m1m2	~
		r3
F12			~r12 = ;F21			(5.1)

£¤¥ £à ¢¨â 樮­­ ï ¯®áâ®ï­­ ï G = 6:67 10;11 ¬3=(ª£ á2), ~r12 | à ¤¨ãá- ¢¥ªâ®à ¢â®à®£® ⥫ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯¥à¢®£® (à¨á. 5.1). ­ ª¨ ¬¨­ãá 㪠-

§ë¢ îâ ­ â® ç⮠ᨫë ~ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¯à®â¨¢®¯®«®¦­® ­ ¯à ¢«¥­ë

, Fij

¨ п¢«повбп б¨« ¬¨ ¯а¨вп¦¥­¨п. ¨¡®«¥¥ â®ç­® £à ¢¨â 樮­­ ï ¯®áâ®- ï­­ ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ¨§¬¥­¥­¨î ¯¥à¨®¤ ª®«¥¡ ­¨© ªàã⨫ì­ëå ¢¥á®¢, ¢ë§¢ ­­®¬ã ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥¬ ¯à¨â¢ îé¨åáï ¬ áá. ¥а¢л¥ ¨§¬¥а¥­¨п ®в­®бпвбп ª ª®­жг 18 á⮫¥â¨ï, ¨§ ­¨å ª« áá¨ç¥áª¨¬ ï¥âáï ®¯ëâ . -

¢¥­¤¨è (1798 £.).

128	« ¢ 5. ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï

¨á. 5.1: ¨«ë £à ¢¨â 樨 ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ⥫ ¬¨

᫨ ⥫ ­¥«ì§ï áç¨â âì ¬ â¥à¨ «ì­ë¬¨ â®çª ¬¨, ¨å ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ª ª ᮢ®ªã¯­®áâì ¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª (ç áâ¨æ) ¨, £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ á㬬¨- àãï á¨«ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ®â¤¥«ì­ëå ç áâ¨æ, ­ 室пв а¥§г«мв¨агойго б¨«г вп£®в¥­¨п ¬¥¦¤г ­¨¬¨. ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï ⥫ ¨¤¥ «ì­® áä¥à¨ç¥áª®© ä®à¬ë § ª®­ £à ¢¨â 樮­­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ã¤¥â â ª¨¬

¦¥, ª ª ¨ ¤«ï ¬ â¥à¨ «ì­ëå â®ç¥ª, ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ~r12 ᮥ¤¨­ï¥â 業âàë áä¥à (á¬. à¨á. 5.1).

5.3 à ªâ¥à­ë¥ áâà®­®¬¨ç¥áª¨¥ ¬ áèâ ¡ë

ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ­®¢¨âì ¬ áèâ ¡ë à ááâ®ï­¨© ¨ ¬ áá ¢ ®«­¥ç­®© á¨á⥬¥.

¤¨ãá ¥¬«¨ ¬®¦­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¨§¬¥à¥­¨© ­

¥¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨.	¥à¢ë¬ í⮠ᤥ« « à â®á䥭 (276-194 £. ¤® ­.í.), ­ -
襤訩 ¤«ï à ¤¨ãá ¥¬«¨ ¢¥«¨ç¨­ã R& = 6311 ª¬. à â®á䥭 ®è¨¡áï
¢á¥£® ­ 1%: ᮢ६¥­­®¥ §­ 祭¨¥ R&				= 6:38 106 ¬:
ª ­ ©â¨ ¬ ááã ¥¬«¨? ¦¤®¥ ⥫® ¬ áᮩ m ¯à¨â¢ ¥âáï ª ­¥©
c ᨫ®©
	F = G	mM&				(5.2)
			R2
£¤¥ M& | ¬ áá	¥¬«¨, R | à ááâ®ï­¨¥ ®â ⥫ ¤® 業âà					¥¬«¨.
¤à㣮© áâ®à®­ë, ®â­®è¥­¨¥ á¨«ë ª ¬ áᥠ| íâ® ã᪮७¨¥ ᢮¡®¤­®£®
¯ ¤¥­¨ï g (¢à 饭¨¥¬ ¥¬«¨ ¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬):
	g = G		M&	:		(5.3)
			R2

âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® g ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¬ ááë ¨ à §¬¥à®¢ ⥫ ¨ ®¯à¥¤¥- «ï¥âáï ¨áª«îç¨â¥«ì­® ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¥¬«¨ ¨ à ááâ®ï­¨¥¬ ¤® ­¥¥. ¡«¨§¨

5.3. à ªâ¥à­ë¥ áâà®­®¬¨ç¥áª¨¥ ¬ áèâ ¡ë

129

¯®¢¥àå­®á⨠¥¬«¨ R

R& ¨ g = 9:81 ¬=á2.

室¨¬ ®âáî¤

¬ ááã

¥¬«¨:

M

&

=

gR&2

= 9:81 (6:38 106)2

= 6:0

1024 ª£:

(5.4)

G

6:67 10;11

«¨¦ ©è¨¬ ª ¥¬«¥ ­¥¡¥á­ë¬ ⥫®¬ ï¥âáï ã­ . ¯à¥¤¥«¨¬ à á-

áâ®ï­¨¥ L$ ¤® ã­ë.

ë §­ ¥¬, çâ® ¯¥à¨®¤ ®¡à 饭¨ï ã­ë ¢®ªàã£

¥¬«¨ à ¢¥­ T$ = 27:32 áãâ: = 27:32 86400 = 2:36 106 á. ¥­âà®áâà¥-

¬¨â¥«ì­®¥ ã᪮७¨¥ ã­ë

a

= !2 L

=

2

2

L

$

$

T$

$

$

¤®«¦­® ¡ëâì à ¢­® ã᪮७¨î ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï ­

®à¡¨â¥ ã­ë (á¬.

(5.3) ¯à¨ R = L$). à¨à ¢­¨¢ ï g ¨ a$, ­ 室¨¬:

GM&T$2

3

3 6:67

10;11

6

1024

(2:36

106)2

L$ = s

4 2

=

r

4 2

=

= 3:84 108 ¬ = 384 âëá:

ª¬:

ª®à®áâì ã­ë ­

®à¡¨â¥ à ¢­

v

= 2 L

$

=T

$

= 1:02

103

¬=á =

$

1:02 ª¬=á: ¥£ª® ®¯à¥¤¥«¨âì 㣫®¢®© ¤¨ ¬¥âà ã­ë: ¡®«ì让 ¯ «¥æ,

⮫騭

ª®â®à®£® ¯à¨¬¥à­® à ¢­

d

1 á¬, § ªàë¢ ¥â ¯à¨ ¢ëâï­ã⮩

à㪥 (l

1 ¬) ¥¥ ¤¨áª. âáî¤

sin = d=l

10;2 à ¤

0:57 . ®«¥¥

â®ç­ë¥ ¨§¬¥à¥­¨ï ¤ îâ ¤«ï 㣫®¢®£® ¤¨ ¬¥âà

= 310500

= 31:0830

=

0:518 0:009 à ¤. âáî¤

à ¤¨ãá ã­ë

R$ = L$ sin( =2) L$ =2 3:84 10

8

0:009=2 1:73 10

6

¬

= 1730

ª¬

:

­ ï à ááâ®ï­¨¥ ®â ¥¬«¨ ¤® ã­ë, á ¯®¬®éìî £¥®¬¥âਨ ¬®¦­® ®¯à¥-

¤¥«¨âì à ááâ®ï­¨¥ ®â ¥¬«¨ ¤® ®«­æ . ®£¤

ã­ ­ 室¨âáï ¢ ¯¥à¢®©

ç¥â¢¥àâ¨,

­ ¯à ¢«¥­¨ï ®â ­¥¥ ¢ áâ®à®­ã ¥¬«¨ ¨ ¢ áâ®à®­ã ®«­æ á®-

áâ ¢«ïîâ ¯àאַ© 㣮« (à¨á. 5.2). ᫨ ¢ íâ®â ¬®¬¥­â ­

¥¬«¥ ¨§¬¥-

à¨âì 㣮« ¬¥¦¤ã ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬¨ ­

ã­ã ¨ ®«­æ¥, â® à ááâ®ï­¨¥ ¤®

®«­æ ®¯à¥¤¥«¨âáï ª ª

L = L$= cos .

£®«

®ª §ë¢ ¥âáï ¡«¨§ª¨¬ ª

¯àאַ¬ã: = 89

51

0

. ®í⮬ã 㤮¡­¥¥ ¡ã¤¥â ¯®«ì§®¢ âìáï ¤®¯®«­¨â¥«ì-

­ë¬ 㣫®¬ = =2

; = 90 = 0:15 0:0026 à ¤: ®£¤

à ááâ®ï­¨¥ ¤®

®«­æ

L

=

L$

L$

= 3:84

108

1:48

1011 ¬ = 148 ¬«­: ª¬:

sin

2:6

10;3

130	« ¢ 5. ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï

¨á. 5.2: \ ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨©" ¬¥â®¤ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à ááâ®ï­¨ï ®â ¥¬«¨ ¤® ®«­æ (¬ á- èâ ¡ ­¥ ¢ë¤¥à¦ ­)

®«¥¥ â®ç­® íâ® à ááâ®ï­¨¥ (¥£® ­ §ë¢ îâ

áâà®­®¬¨ç¥áª®© ¥¤¨­¨æ¥©)

à ¢­® L

= 1:496

1011 ¬. ­ ï ¯¥à¨®¤ ®¡à 饭¨ï ¥¬«¨ ¢®ªà㣠®«­æ

áãâ: = 3:156

10

7

á,

­ 室¨¬ ᪮à®áâì ¥¬«¨ ­

T& = 1

£®¤

365:25

®à¡¨â¥:

v

=

2 L

2 1:496 1011

= 2:98

104 ¬=á = 29:8 ª¬=á:

&

T

3:156

107

&

ª®­¥æ,

¬ë ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯ à ¬¥âàë ®«­æ . £«®¢®© ¤¨ ¬¥âà ®«­æ

¯à¨¬¥à­® â ª®¢ ¦¥, ª ª ¨ ã ã­ë: = 320

= 0:533 = 9:31 10;3 à ¤:

âáî¤

­ 室¨¬ à ¤¨ãá ®«­æ :

R

=

L

sin( =2)

L

= 1:496

1011 9:31 10;3 =

2

2

=696 106 ¬ = 696 âëá: ª¬:

ááã ®«­æ M ¯®«ãç ¥¬ ¨§ § ª®­ ¢á¥¬¨à­®£® â⥭¨ï: 業âà®- áâ६¨â¥«ì­®¥ ã᪮७¨¥ ¥¬«¨ ­ ®à¡¨â¥

	v2		4 2L
a& =	&	=
	L		T2
			&

¤®«¦­® ¡ëâì à ¢­® ã᪮७¨î ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï ¥¬«¨ ­ ®«­æ¥

g = GML2 :