kalashnikov_tom_1

7.3. «®áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ⢥म£® ⥫

181

¨á. 7.7: ª âë¢ ­¨¥ ⥫ á ­ ª«®­­®© ¯«®áª®á⨠(ª § ¤ ç¥ 7.23.)

¯«®бª®бвмо ¤¥©бв¢г¥в ¢ в®зª¥ б®¯а¨ª®б­®¢¥­¨п ¨ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ бª®«м¦¥- ­¨ï ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï:

Fâà mg cos

(7.38)

£¤¥ | ª®íää¨æ¨¥­â â७¨ï. ᨠª®®à¤¨­ â 㤮¡­® ­ ¯à ¢¨âì á«¥- ¤ãî騬 ®¡à §®¬: ®áì x | ¢¤®«ì ¤¢¨¦¥­¨ï, ®áì y | ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®

­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâ¨.	¥«® ¤¢¨¦¥âáï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ âà¥å ᨫ:			ᨫë âï-
¦¥á⨠m~g, ᨫë â७¨ï		~	~	â ª çâ®
		Fâà	¨ á¨«ë ­®à¬ «ì­®£® ¤ ¢«¥­¨ï Fr,

ãà ¢­¥­¨¥ ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï 業âà ¨­¥à樨 ⥫ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

~ ~	(7.39)
m~a = m~g + Fâà + Fr:

¤®«ì ®á¨ y ⥫® ­¥ ¤¢¨¦¥âáï. ஥æ¨àãï (7.39) ­	®áì y, ¯®«ãç ¥¬ ᨫã
­®à¬ «ì­®£® ¤ ¢«¥­¨ï ¯«®áª®áâ¨:
Fr ; mg cos = 0:	(7.40)
஥ªæ¨ï (7.39) ­ ®áì x ¤ ¥â:
ma = mg sin ; Fâà:	(7.41)

ª ª ª «¨­¥©­ ï ᪮à®áâì â®ç¥ª ᮯਪ®á­®¢¥­¨ï 樫¨­¤à á ­ ª«®­­®© ¯«®áª®áâìî à ¢­ ­ã«î (®¯пвм ¨б¯®«м§г¥¬ гб«®¢¨¥ ®вбгвбв¢¨п ¯а®бª «м- §ë¢ ­¨ï), ⮠᪮à®áâì (ã᪮७¨¥) ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï á¢ï§ ­ë á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî (㣫®¢ë¬ ã᪮७¨¥¬) ⥫ ®¡ëç­ë¬¨ ᮮ⭮襭¨- ﬨ:

v = !R a = "R:

(7.42)

182	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

஬¥ ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï, ⥫® ¥é¥ ¨ ¢à é ¥âáï. à 饭¨¥ 㤮¡­® ®¯¨áë¢ âì ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ z, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¬ áá æ¨-

«¨­¤à . ë¡®à íâ®â ®¡ãá«®¢«¥­ ⥬, çâ® «¨­¨¨ ¤¥©á⢨ï ᨫë â殮á⨠¨ á¨«ë ­®à¬ «ì­®£® ¤ ¢«¥­¨ï ¯«®áª®á⨠¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ ®áì ¢à 饭¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®¬¥­âë íâ¨å ᨫ à ¢­ë ­ã«î. ª¨¬ ®¡à §®¬, 樫¨­¤à ¢à é ¥âáï ⮫쪮 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë â७¨ï ¨ ãà ¢­¥­¨¥ ¢à é ⥫ì- ­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

J" = FâàR:

(7.43)

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ 4-å ãà ¢­¥­¨© (7.40)-(7.43) á ¤®¯®«- ­¨â¥«ì­ë¬ ­¥à ¢¥­á⢮¬ (7.38).

¥è ï á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©, ­ 室¨¬:

a	=			g sin
		1		2
				+ J=mR
	=			g sin
					2
			R(1 + J=mR )
Fr	=	mg cos
Fâà	=			mg sin		:	(7.44)
		1		+ mR2=J

¥¬ ¡®«ìè¥ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¬ áá, ⥬ ¬¥­ìè¥ ã᪮७¨¥ ⥫ . ë 㦥 ¯®«ã稫¨ ®â¢¥â ­ ®¤¨­ ¨§ ¢®¯à®á®¢ § ¤ ç¨: è à ¡ã¤¥â ¤¢¨£ âìáï ¡ëáâ॥ 樫¨­¤à , 樫¨­¤à | ¡ëáâ॥ ®¡àãç . ®¤áâ ¢«ïï à¥è¥­¨¥ ¤«ï ᨫë â७¨ï ¢ ­¥à ¢¥­á⢮

(7.38), ­ 室¨¬ ãá«®¢¨¥, ¯а¨ ª®в®а®¬ ¡г¤¥в ®вбгвбв¢®¢ вм ¯а®бª «м§л- ¢ ­¨¥:

tg 1 + mRJ 2 : (7.45)

¬ëá« í⮣® ãá«®¢¨ï ¯à®áâ: ­ ª«®­ ­¥ ¤®«¦¥­ ¡ëâì ᫨誮¬ ªàãâ.

â ª, 業âà ¬ áá ⥫ ¤¢¨¦¥âáï ¢¤®«ì ¯«®áª®áâ¨ á ¯®áâ®ï­­ë¬ ã᪮- ७¨¥¬ a, â ª çâ® § ¢¨á¨¬®áâì ¯à®©¤¥­­®£® ¯ã⨠¨ ᪮à®á⨠®â ¢à¥¬¥­¨

¨¬¥¥â ¢¨¤: s = at2=2 v = at. âáî¤							á«¥¤ã¥â á¢ï§ì ᪮à®á⨠¨ ¯à®©¤¥­-
­®£® ¯ãâ¨: s = v2=2a. ª®­æã á¯ãáª							⥫® ¯à®å®¤¨â ¯ãâì s = h= sin ,
â ª çâ® ¥£® ᪮à®áâì ¤®á⨣ ¥â ¢¥«¨ç¨­ë
		2ah					2gh
v = r			= s					:		(7.46)
		sin				1 + J=mR2

7.3. «®áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ⢥म£® ⥫

183

®¤áâ ¢«ïï áî¤

¬®¬¥­âë ¨­¥à樨 ®¡àãç (J = mR2), 樫¨­¤à

(J =

mR2=2) ¨ è à (J = 0:4mR2), ­ 室¨¬:

4

10

v®¡à = pgh

v樫 = r3 gh

vè à = r 7 gh:

(7.47)

¥è¥­¨¥: 2-© ᯮᮡ. ᯮ«ì§ã¥¬ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¯®«­®© í­¥à£¨¨.

ª®­æ¥ á¯ã᪠⥫® ¯à¨®¡à¥â ¥â ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î

mv2

J!2

mv2

Jv2

mv2

J

T = 2

+ 2

= 2

+ 2R2

=

1 +

:

(7.48)

2

mR2

â ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ¯à¨®¡à¥â¥­

§

áç¥â ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨

mgh. âáî¤ á«¥¤ã¥â ¢ëà ¦¥­¨¥ (7.46)

¤«ï ᪮à®á⨠¢ ª®­æ¥ á¯ã᪠.

ª®© ᯮᮡ ­ ¬­®£® ª®à®ç¥, ­® ®­ ­¥ ¯®§¢®«ï¥â 㧭 âì ¤¥â «¨ ¯à®æ¥áá : ¤¥©áâ¢ãî騥 ­ ⥫® á¨«ë ¨ â.¯.

í⮩ § ¤ ç¥ ¬ë ¨¬¥«¨ ¤¥«® á® á«ãç ¥¬, ª®£¤ ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨¥ ®â- бгвбв¢®¢ «®. â® ¯®§¢®«¨«® ãáâ ­®¢¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã 㣫®¢®© ¨ «¨­¥©­®© ᪮à®áâﬨ ⥫ . ¨« â७¨ï ­ 室¨« áì ⮣¤ ¯à¨ à¥è¥­¨¨ ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï. ®¡à â­®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ ⥫® ¤¢¨¦¥âáï á ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨¥¬, ®¤­®§­ ç­®© á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã «¨­¥©­®© ¨ 㣫®¢®© ᪮à®áâﬨ ­¥â. â® ¬ë § à ­¥¥ §­ ¥¬ ᨫã â७¨ï: à § â®çª ᮯਪ®á­®¢¥­¨ï ⥫ á ¯®¢¥àå­®- áâìî ¤¢¨¦¥âáï, ᨫ â७¨ï ¤®á⨣« ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï.¤¥áì ¢ ¦­® ¯®­¨¬ âì, ¢ ª ª®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ â७¨ï.

¨«ë â७¨ï, ª ª 㦥 £®¢®à¨«®áì, ­ ¯à ¢«¥­ë â ª, çâ®¡ë ¯à¥¯ïâ- á⢮¢ âì ®â­®á¨â¥«ì­®¬ã ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨î ᮯਪ á îé¨åáï ⥫. - áâ® ¯ãâ îâ íâ® ¢®§¬®¦­®¥ ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨¥ á ®áãé¥áâ¢«ï¥¬ë¬ ¯®áâ㯠- ⥫ì­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬. ¥®¡å®¤¨¬® ç¥âª® ¯®­¨¬ âì, çâ® ­¥ ।ª¨ á«ãç ¨, ª®£¤ ᨫ â७¨ï ­¥ â®à¬®§¨â, ­® ã᪮àï¥â ⥫®, â.¥. ­ ¯à ¢«¥­ ¯® ¥£® ¤¢¨¦¥­¨î. ¬ë© ¨§¢¥áâ­ë© ¯à¨¬¥à | âண ­¨¥ ¢â®¬®¡¨«ï á ¬¥áâ .®«¥á ­ 稭 îâ ¢à é âìáï ¨ ¯à®áª «ì§ë¢ îâ ¯® §¥¬«¥ ­ § ¤. ®®â- ¢¥âá⢥­­®, ᨫ â७¨ï ­ ¯à ¢«¥­ ¢¯¥à¥¤, ¨ ¨¬¥­­® ®­ § áâ ¢«ï¥â ¢â®¬®¡¨«ì âண âìáï. â®¡ë ¡«¨¦¥ ¯®§­ ª®¬¨âìáï á ¯®¤®¡­ë¬¨ á«ãç - ﬨ, à áᬮâਬ § ¤ çã.

¤ ç 7.24. ¨àª®¢®© àâ¨áâ ¡à®á ¥â ­ ७㠮¡àãç ¬ áᮩ m ¨ à - ¤¨ãᮬ R, ª®â®àë© ª â¨âáï ¢ £®à¨§®­â «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ᮠ᪮à®áâìî v. ਠí⮬ ®¡àãç㠯ਤ ­® ®¡à â­®¥ ¢à 饭¨¥ á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî !.ਠª ª®© 㣫®¢®© ᪮à®á⨠®¡àãç ¯®á«¥ ®áâ ­®¢ª¨ ¯®ª â¨âáï ­ § ¤ ª à- â¨áâã? ©â¨ ª®­¥ç­ãî ᪮à®áâì vf ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ®¡àãç .

184	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

¨á. 7.8: ¢¨¦¥­¨¥ ®¡àãç á ®¡à â­ë¬ ¢à 饭¨¥¬

¥è¥­¨¥. ਠ®¡à â­®¬ ¢à 饭¨¨ ®¡àãç â®çª ¥£® ª á ­¨ï á ७®©

¤¢¨¦¥âáï ¢¯¥à¥¤ ª ª ¨§-§ ¢à 饭¨ï, â ª ¨ ¨§-§ ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥- ­¨ï ®¡àãç . ®í⮬㠭¥¨§¡¥¦­® áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨¥ ¨, §­ ç¨â,

ᨫ	â७¨ï ¤®á⨣ ¥â ᢮¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® §­ 祭¨ï.				­ â®à¬®§¨â
ª ª ¯®áâ㯠⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥, â ª ¨ ¢à 饭¨¥ ®¡àãç .					¨âã æ¨ï ¯®ª -
§ ­	­	à¨á. 7.8. ®¦¥â á«ãç¨âìáï â ª,		çâ® ¯®áâ㯠⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥
®¡àãç		¡ã¤¥â ®áâ ­®¢«¥­® ¢ â®â ¬®¬¥­â,		ª®£¤ ®­ ¥é¥ á®åà ­ï¥â ®¡à â-
­®¥ ¢à 饭¨¥.			«¥¥ ᨫ â७¨ï ­ ç­¥â ã᪮àïâì ®¡àãç ¯® ­ ¯à ¢«¥-
­¨î ª		àâ¨áâã.	᪮७¨¥ íâ® ¯à¥ªà â¨âáï, ª®£¤ ¨á祧­¥â ⥭¤¥­æ¨ï ª

¯à®áª «ì§ë¢ ­¨î, ¯®á«¥ 祣® ®¡àãç ¯®ª â¨âáï ­ § ¤ à ¢­®¬¥à­® á ­¥ª®- â®à®© ãáâ ­®¢¨¢è¥©áï ᪮à®áâìî vf . ®¦¥â, ®¤­ ª®, á«ãç¨âìáï ¨ â ª, çâ® à ­ìè¥ ¡ã¤¥â ®áâ ­®¢«¥­® ®¡à â­®¥ ¢à 饭¨¥, ¨ ⮣¤ ®¡àãç á®åà - ­¨â ¯®áâ㯠⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢¯¥à¥¤, ¨§¬¥­¨¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢à 饭¨ï ­ ¯àאַ¥. ⮡ë à §«¨ç¨âì í⨠¤¢ á«ãç ï, ª ç¥á⢥­­ëå à áá㦤¥­¨© ­¥¤®áâ â®ç­®, ¨ ¬ë ®¡à ⨬áï ª ä®à¬ã« ¬.

®¬¥­â ¨­¥à樨 ®¡àãç		J = mR2. ®â®¬ã ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï § ¯¨-
áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥:
m	dv(t)	=	; mg	v(0) = v
	dt
2 d!(t)				!(0) = ;!:
mR	dt	=	mgR		(7.49)

¤¥áì v(t) !(t) | ᪮à®áâì ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¨ 㣫®¢ ï ᪮- à®áâì ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t, ᮮ⢥âá⢥­­®. âà¨æ ⥫ì­ë© §­ ª ã ­ - ç «ì­®£® §­ 祭¨ï 㣫®¢®© ᪮à®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¤ ­­®¬ã ¢ ãá«®¢¨¨ ®¡à â­®¬ã ¢à 饭¨î.

¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© (7.49) ¨¬¥îâ ¢¨¤:

g

v(t) = ; gt + v !(t) = R t ; !: (7.50)

7.3. «®áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ⢥म£® ⥫

185

á«®¢¨¥ ¨á祧­®¢¥­¨ï ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ tf § ª«îç ¥âáï ¢ à ¢¥­á⢥ «¨­¥©­®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ®¡®¤ ¨ ᪮à®á⨠¯®áâ㯠⥫ì- ­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ®¡àãç : v(tf ) = !(tf )R. ®¤áâ ¢«ïï áî¤ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï v(t) ¨ !(t) ¨§ ãà ¢­¥­¨© (7.50) ¨ à¥è ï ¨å ®â­®á¨â¥«ì­® tf , ­ 室¨¬

tf =	v + !R	:	(7.51)
	2 g

íâ®â ¬®¬¥­â ᪮à®áâì ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ®¡àãç		áâ ­®¢¨âáï
à ¢­®©
vf = v(tf ) = v ; !R	:	(7.52)
2

®®â¢¥âá⢥­­®, 㣫®¢ ï ᪮à®áâì ¢ â®â ¦¥ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ !f = vf =R.í⮣® ¬£­®¢¥­¨ï ®¡àãç ¯®ª â¨âáï à ¢­®¬¥à­® (¥á«¨ ­¥â ᨫ â७¨ï ª - 祭¨ï), á®åà ­ïï ¤®á⨣­ãâë¥ §­ 祭¨ï ¯®áâ㯠⥫쭮© ¨ 㣫®¢®© ᪮à®- á⥩. ¥à ¢¥­á⢮ vf < 0 ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ⮣®, çâ® ®¡àãç ¯®ª â¨âáï

­ § ¤. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ! > v=R. «¥¤®¢ ⥫쭮, àâ¨áâã ­ ¤® § ªàãâ¨âì ®¡àãç á 㣫®¢®© ᪮à®áâìî, ¯à¥¢ëè î饩 㪠§ ­­®¥ ¬¨­¨-

¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ !min = v=R.

¤ ç 7.25. ¯¨á âì ¤¢¨¦¥­¨¥ ®¡àãç , ¥á«¨ ¥¬ã ¯à¨¤ ­® ¯àאַ¥ ¢à - 饭¨¥.

¥è¥­¨¥. í⮬ á«ãç ¥ ­ ç «ì­ ï ᪮à®áâì ­¨¦­¥© â®çª¨ ®¡àãç ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ᪮à®á⨠¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï v ¨ «¨­¥©­®© ᪮- à®á⨠;!R ¢à 饭¨ï, ­ ¯à ¢«¥­­®© ¢ ®¡à â­ãî áâ®à®­ã. á¢ï§¨ á í⨬ ­ ¤® à §«¨ç âì ¤¢ á«ãç ï.

1) !R	v.
®£¤	­ ç «ì­ ï ᪮à®áâì v ; !R ­¨¦­¥© â®çª¨ ®¡®¤ ¯®«®¦¨â¥«ì­ ,
â.¥. ­ ¯à ¢«¥­		¢ âã ¦¥ áâ®à®­ã, çâ® ¨ ᪮à®áâì v.	­ ç¨â, ᨫ â७¨ï
f ­ ¯à ¢«¥­		¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî áâ®à®­ã, â.¥.	ª ª ¯®ª § ­® ­ à¨á.

7.8. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ¤¢¨¦¥­¨ï (7.49) ­ ¤® ⮫쪮 ¨§¬¥­¨âì §­ ª !. ¬¥áâ® (7.50) ¯®«ã稬 à¥è¥­¨ï

g

v(t) = ; gt + v !(t) = R t + !: (7.53)

®¬¥­â tf ¨á祧­®¢¥­¨ï ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï ®¯à¥¤¥«¨âáï ¨§ ⮣®-¦¥ á®®â-

­®è¥­¨ï v(tf ) = !(tf )R, ®âªã¤	­ 室¨¬:
tf	=	v ; !R	:	(7.54)
		2 g

186 « ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

ª®à®áâì ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ®¡àãç ¢ íâ®â ¬®¬¥­â áâ ­®¢¨âáï à ¢­®©

vf = v(tf ) =	v + !R	(7.55)
	2

¨ ®áâ ¥âáï ¯®â®¬ ­¥¨§¬¥­­®©. â ᪮à®áâì ¬¥­ìè¥ ­ ç «ì­®© ᪮à®á⨠¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ®¡àãç .

2) !R v.

í⮬ á«ãç ¥ ᪮à®áâì ­¨¦­¥© â®çª¨ ®¡®¤ ®âà¨æ â¥«ì­ , ­ ¯à - ¢«¥­ ¯à®â¨¢ ᪮à®á⨠v. ­ ç¨â, ᨫ â७¨ï f ­ ¯à ¢«¥­ ¯® v, â.¥. ¢ áâ®à®­ã, ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî ¯®ª § ­­®© ­ à¨á. 7.8.

®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ¤¢¨¦¥­¨ï ­ ¤® ¨§¬¥­¨âì §­ ª ­¥ ⮫쪮 ¯à¨ !, ­® ¨ ¯à¨ . ¥è¥­¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤:

	g
v(t) = gt + v	!(t) = ; R t + !:	(7.56)
®¬¥­â ¨á祧­®¢¥­¨ï ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï		­ «®£¨ç­®:
tf =	!R ; v	(7.57)
	2 g

¤«ï ᪮à®á⨠ãáâ ­®¢¨¢è¥£®áï ¤¢¨¦¥­¨ï ¯®«ãç ¥âáï â® ¦¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ (7.55), ­® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ®­ ¡ã¤¥â ¡®«ìè¥ ­ ç «ì­®© ᪮à®á⨠¯®áâã- ¯ ⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï.

¡ê¥¤¨­ïï ®¡ á«ãç ï ¢ ®¤¨­, § ¯¨áë¢ ¥¬ ®ª®­ç ⥫ì­ë© १ã«ìâ â:

tf = jv ; !Rj	vf = v + !R	:	(7.58)
2 g	2

7.4¯à¨­æ¨¯¥ à ¡®âë ª®«¥á

§ 㦠¬ë ¬­®£® £®¢®à¨«¨ ¢ í⮩ £« ¢¥ ® ¢à 饭¨¨ ⥫, ®áâ ­®¢¨¬áï ­ á ¬®¬ ¢¥«¨ª®¬ ¨ ¢ ¦­®¬ ®âªàë⨨ 祫®¢¥ç¥á⢠| ¨§®¡à¥â¥­¨¨ ª®«¥á .ᥬ ¨§¢¥áâ­®, çâ® ¢®«®ç¨âì £à㧠£®à §¤® âà㤭¥¥, 祬 ¯¥à¥¢®§¨âì ¥£®

­ ª®«¥á å. á⠥⠢®¯à®á, ¯®ç¥¬ã? ®«¥á®, ¨£à î饥 ®£à®¬­ãî à®«ì ¢ ᮢ६¥­­®© â¥å­¨ª¥, ¯® ¯à ¢ã áç¨â ¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ £¥­¨ «ì­¥©è¨å ¨§®-

¡à¥â¥­¨© 祫®¢¥ç¥á⢠.

¥à¥¤¢¨¦¥­¨¥ £àã§ á ¯®¬®éìî ª âª

à®â®â¨¯®¬ ª®«¥á ¡ë« ª ⮪, ¯®¤ª« ¤ë¢ ¥¬ë© ¯®¤ £àã§. £® ¯¥à¢ë¥

¯а¨¬¥­¥­¨п в¥аповбп ¢® ¬£«¥ ¢¥ª®¢. ०¤¥ 祬 à §¡¨à âìáï á ª®«¥á®¬, ¯®©¬¥¬ ¯à¨­æ¨¯ ¤¥©áâ¢¨ï ª ⪠. «ï í⮣® à¥è¨¬ § ¤ çã.

7.4. ¯à¨­æ¨¯¥ à ¡®âë ª®«¥á	187
¤ ç 7.26. à㧠¬ áᮩ M ¯®«®¦¥­ ­	樫¨­¤à¨ç¥áª¨© ª ⮪ ¬ áᮩ

m ¨ à ¤¨ãᮬ r, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¤¢¨£ âìáï ¯® £®à¨§®­â «ì­®¬ã ¯«®áª®¬ã

­ á⨫ã. £àã§ã ¯à¨«®¦¥­ £®à¨§®­â «ì­ ï ᨫ F (à¨á. 7.9). ©â¨ ã᪮७¨ï £à㧠¨ ª ⪠. ¨«®© â७¨ï ª 祭¨ï ¯à¥­¥¡à¥çì. ç¨â âì,

çâ® ¤¢¨¦¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à®¨á室¨â ¡¥§ ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï.

¥è¥­¨¥. ¡®§­ 稬 f ᨫã â७¨ï ¬¥¦¤ã ª ⪮¬ ¨ £à㧮¬ ¨ f1 | ¬¥¦¤ã ª ⪮¬ ¨ ­ á⨫®¬. ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¯à¨¬¥¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢­¥è­¥© ᨫë F . ®£¤ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ §­ 祭¨ï¬ f ¨ f1 ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ᨫ â७¨ï, ¯®ª § ­­ë¥ ­ à¨á. 7.9. ¨«ë â७¨ï, ª®­¥ç­® ¦¥, ¤¥©áâ¢ãîâ ¢ ¬¥á⥠ᮯਪ®á­®¢¥­¨ï âàãé¨åáï ¯®¢¥àå­®á⥩, ­® ­ à¨áã­ª¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢¥ªâ®àë çãâì á¬¥é¥­ë ¤«ï ®¡«¥£ç¥­¨ï ¢®á- ¯à¨ïâ¨ï.

¨á. 7.9: ¥à¥¤¢¨¦¥­¨¥ £àã§ á ¯®¬®éìî ª âª

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ £à㧠¤¥©áâ¢ãîâ ᨫë F ¨ ;f, ­ ª ⮪ | ᨫë f

¨ f1. ¡®§­ 稬 a ã᪮७¨¥ £à㧠¨ a1 | ã᪮७¨¥ ª ⪠. ஬¥ ⮣®, ª ⮪ ¢à é ¥âáï ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥ á 㣫®¢ë¬ ã᪮७¨¥¬ ".

à ¢­¥­¨ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤: ¤«ï £àã§

F ; f = Ma	(7.59)
¨ ¤«ï ª âª
f + f1 = ma1:	(7.60)
à ¢­¥­¨¥ ¢à é ⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ª ⪠§ ¯¨áë¢ ¥âáï â ª:
(f ; f1) r = J":	(7.61)
¡а в¨¬бп в¥¯¥ам ª гб«®¢¨п¬ ®вбгвбв¢¨п ¯а®бª «м§л¢ ­¨п. §-§	¢à -
饭¨ï ª ⪠¥£® ­¨¦­ïï â®çª ¨¬¥¥â «¨­¥©­®¥ ã᪮७¨¥ ;"r ¨,	ªà®¬¥

⮣®, ãç áâ¢ã¥â ¢ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ á ã᪮७¨¥¬ a1. ®âáãâ-

188	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

á⢨¥ ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï ¬¥¦¤ã ª ⪮¬ ¨ ­ á⨫®¬ ¯®«­®¥ ã᪮७¨¥ ­¨¦- ­¥© â®çª¨ ª ⪠¤®«¦­® ¡ëâì à ¢­® ­ã«î, â ª çâ®

a1 ; "r = 0:

(7.62)

¥àå­ïï â®çª ª ⪠¯à¨®¡à¥â ¥â ¨§-§ ¢à 饭¨ï ¯à®â¨¢®¯®«®¦­® ­ -

¯à ¢«¥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ã᪮७¨¥ "r ¨ â® ¦¥ ã᪮७¨¥ a1 ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï. â®¡ë ­¥ ¡ë«® ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï ¬¥¦¤ã ª ⪮¬ ¨ £à㧮¬, ¯®«-

­®¥ ã᪮७¨¥ ¢¥àå­¥© â®çª¨ ¤®«¦­® ¡ëâì à ¢­® ã᪮७¨î £à㧠:

a1 + "r = a:

(7.63)

§ ãà ¢­¥­¨© (7.62) ¨ (7.63) á«¥¤ã¥â,			çâ® ã᪮७¨¥ ª âª			¢ ¤¢ à §
¬¥­ìè¥ ã᪮७¨ï £à㧠:
a1 =	a		" =	a	:	(7.64)
	2			2r

§ ­¥¯®á।á⢥­­®£® ®¯ëâ ª ¦¤ë© §­ ¥â, çâ® ª ⮪ ¤¥©á⢨⥫쭮 ®â- á⠥⠮⠣à㧠.

®¤áâ ¢«ïï (7.64) ¢ ãà ¢­¥­¨ï (7.59){(7.61) ¨ à¥è ï ¨å ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥¨§¢¥áâ­ëå a f f1, ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï ã᪮७¨ï £àã§

a =	4F	:	(7.65)
	4M + m(1 + J=mr2)

¡¥ ᨫë â७¨ï f ¨ f1 ®ª §ë¢ îâáï ¯à¨ í⮬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬¨, â ª çâ® ­ à¨á. 7.9 ¨å ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢ë¡à ­ë ¯à ¢¨«ì­®:

	f	=	F	m(1 + J=mr2)
				4M + m(1 + J=mr2)
	f1	=	F	m(1 ; J=mr2)	:	(7.66)
				4M + m(1 + J=mr2)
	ª ¢¨¤­®, à ¤¨ãá ª âª	®á®¡®© ஫¨ ­¥ ¨£à ¥â:				®â­®è¥­¨¥ J=mr2 § -

¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£® ä®à¬ë. ਠ¤ ­­ëå ¬ áᥠm ¨ à ¤¨ãᥠr ¬®- ¬¥­â ¨­¥à樨 ª ⪠¬ ªá¨¬ «¥­, ª®£¤ ª ⮪ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© âàã¡ã: J = mr2. í⮬ á«ãç ¥ ᨫ â७¨ï ¬¥¦¤ã ª ⪮¬ ¨ ­ á⨫®¬ ®âáãâ- áâ¢ã¥â (f1 = 0) ãà ¢­¥­¨ï (7.65), (7.66) ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤:

a =	F		f = F	m=2	:	(7.67)
	M + m=2			M + m=2

ਠ㬥­ì襭¨¨ ¬ ááë ª ⪠ᨫ â७¨ï 㬥­ìè ¥âáï, ã᪮७¨¥ £à㧠㢥«¨ç¨¢ ¥âáï | £à㧠«¥£ç¥ ¯¥à¥¬¥é âì.

7.4. ¯à¨­æ¨¯¥ à ¡®âë ª®«¥á

189

á«ãç ¥ ª ⪠-樫¨­¤à (¡à¥¢­ ) J = mr2=2 ¨ ¬ë ­ 室¨¬ ᨫë â७¨ï

f = F	3m=8				m=8
			f1 = F				(7.68)
	M + 3m=8				M + 3m=8
¨ ã᪮७¨¥ £àã§
			F
	a =			:			(7.69)
		M + 3m=8
à ¢­¨¢ ï á १ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï ª ⪠-âàã¡ë, ¢¨¤¨¬,							çâ® íä䥪⨢­®

¬ áá ª ⪠ª ª ¡ë 㬥­ì訫 áì: ã᪮७¨¥ £à㧠¢®§à á⠥⠯ਠ¯à®- ç¨å à ¢­ëå ãá«®¢¨ïå.

« ¢­ë© ¨â®£ à¥è¥­­®© § ¤ ç¨: ã᪮७¨¥ ®â«¨ç­® ®â ­ã«ï (â.¥. £à㧠­ 稭 ¥â ¤¢¨£ âìáï) ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®© ¢­¥è­¥© ᨫ¥. ਠ¢®«®ç¥- ­¨¨ ¦¥ £à㧠¯® ­ á⨫㠤«ï ¥£® ᬥ饭¨ï ­¥®¡å®¤¨¬® ¯à¨«®¦¨âì ª ª ¬¨­¨¬ã¬ ᨫã F = Mg. â®à®© ¢ë¢®¤: ã᪮७¨¥ ¢®¢á¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢¥«¨ç¨­ë â७¨ï ¬¥¦¤ã ç áâﬨ ¤ ­­®© á¨á⥬ë. ®íää¨æ¨¥­â âà¥- ­¨ï ­¥ ¢®è¥« ¢ ­ ©¤¥­­ë¥ à¥è¥­¨ï, ®­ ¯®п¢¨вбп в®«мª® ¢ гб«®¢¨пе ®вбгвбв¢¨п ¯а®бª «м§л¢ ­¨п, ª®â®àë¥ á¢®¤ïâáï ª ⮬ã, çâ® ¯à¨«®¦¥­- ­ ï ᨫ F ­¥ ¤®«¦­ ¡ëâì ᫨誮¬ ¢¥«¨ª . ®«ã祭­ë© १ã«ìâ â, çâ® ª ⮪ ª ª ¡ë ¯®«­®áâìî \ã­¨ç⮦ ¥â" ᨫã â७¨ï, ­¥ 㤨¢¨â¥«¥­.¥©á⢨⥫쭮, ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ®в­®б¨в¥«м­®£® ¯¥а¥¬¥й¥­¨п б®¯а¨ª б о- é¨åáï ¯®¢¥àå­®á⥩ ᨫë â७¨ï ­¥ ᮢ¥àè îâ à ¡®âë. á ¬®¬ ¤¥«¥ ª ⮪ \§ ¬¥­ï¥â" â७¨¥ ᪮«ì¦¥­¨ï ­ â७¨¥ ª 祭¨ï, ª®â®àë¬ ¬ë ¯à¥­¥¡à¥£«¨. ॠ«ì­®¬ á«ãç ¥ ¬¨­¨¬ «ì­ ï ᨫ , ­¥®¡å®¤¨¬ ï ¤«ï ¤¢¨¦¥­¨ï á¨á⥬ë, ®â«¨ç­ ®â ­ã«ï, å®âï ¨ £®à §¤® ¬¥­ìè¥, 祬 ¯à¨ ¢®«®ç¥­¨¨ £à㧠¯® ­ á⨫ã. ᮢ६¥­­®© â¥å­¨ª¥ ¯à¨­æ¨¯ ¤¥©áâ¢¨ï ª ⪠ॠ«¨§ã¥âáï ¢ è ਪ®¯®¤è¨¯­¨ª å.

ç¥á⢥­­®¥ à áᬮâ७¨¥ à ¡®âë ª®«¥á

§®¡à ¢è¨áì á ª ⪮¬, ¯¥à¥©¤¥¬ ª ª®«¥áã. ¥à¢®¥ ª®«¥á® ¢ ¢¨¤¥ ¤¥- ॢﭭ®£® ¤¨áª , ­ á ¦¥­­®£® ­ ®áì, ¯®ï¢¨«®áì, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¢ 4 âë-

áï祫¥â¨¨ ¤® ­.í. ¢ 樢¨«¨§ æ¨ïå ॢ­¥£® ®á⮪ . ® 2-¬ âëá. ¤® ­.í. ª®­áâàãªæ¨ï ª®«¥á ᮢ¥à襭áâ¢ã¥âáï: ¯®п¢«повбп б¯¨жл, áâã¯¨æ ¨ £­ãâë© ®¡®¤. §®¡à¥â¥­¨¥ ª®«¥á ¤ «® £¨£ ­â᪨© ⮫箪 à §¢¨â¨î ६¥á¥« ¨ âà ­á¯®àâ . ¤­ ª® ¬­®£¨¥ ­¥ ¯®­¨¬ îâ á ¬®£® ¯à¨­æ¨¯ ¤¥©áâ¢¨ï ª®«¥á . à拉 ã祡­¨ª®¢ ¨ í­æ¨ª«®¯¥¤¨© ¬®¦­® ­ ©â¨ ­¥- ¢¥à­®¥ ã⢥ত¥­¨¥, çâ® ª®«¥á®, ¯®¤®¡­® ª âªã, â ª¦¥ ¤ ¥â ¢ë¨£àëè,

190	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª	⢥म£® ⥫
§ ¬¥­ïï ᨫã â७¨ï ᪮«ì¦¥­¨ï ­	ᨫã â७¨ï ª 祭¨ï.	­®£¤ ¯à¨-

室¨âáï á«ëè âì áá뫪¨ ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ᬠ§ª¨ ¨«¨ ¯®¤è¨¯­¨ª®¢, ­® ¤¥«® ­¥ ¢ í⮬, ¯®áª®«ìªã ª®«¥á® á ®ç¥¢¨¤­®áâìî ¯®ï¢¨«®áì à ­ìè¥, 祬 ¤®¤ã¬ «¨áì ¤® ᬠ§ª¨ (¨, ⥬ ¡®«¥¥, ¯®¤è¨¯­¨ª®¢).

¥©á⢨¥ ª®«¥á ¯à®é¥ ¢á¥£® ¯®­ïâì, ¨áå®¤ï ¨§ í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å á®- ®¡à ¦¥­¨©. ॢ­¨¥ ¯®¢®§ª¨ ãáâ஥­ë ¯à®áâ®: ªã§®¢ ¯à¨ªà¥¯«ï¥âáï ª ¤¥à¥¢ï­­®© ®á¨ à ¤¨ãᮬ r (®¡é ï ¬ áá ªã§®¢ á ®áìî à ¢­ M). ®áì

­ á ¦¨¢ îâáï ª®«¥á ¬ áᮩ m ¨ à ¤¨ãᮬ R (à¨á. 7.10). ।¯®«®¦¨¬, çâ® â ªãî ¯®¢®§ªã ¢¥§ãâ ¯® ¤¥à¥¢ï­­®¬ã ¦¥ ­ á⨫ã (⮣¤ ¢® ¢á¥å á®-

¯à¨ª á îé¨åáï ¬¥áâ å ¨¬¥¥¬ â®â ¦¥ ª®íää¨æ¨¥­â â७¨ï ). ­ ç « § ª«¨­¨¬ ª®«¥á ¨, ¤¥©áâ¢ãï ᨫ®© F , ¯à®â 騬 ¯®¢®§ªã ­ à ááâ®ï­¨¥ S. ®áª®«ìªã ¯®¢®§ª ᪮«ì§¨â ¯® ­ á⨫ã, ᨫ â७¨ï ¤®á⨣ ¥â ᢮- ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®£® §­ 祭¨ï fmax = (M + m)g. ¡®â ¯à®â¨¢

í⮩ ᨫë à ¢­ A = (M + m)gS Mg (â ª ª ª ®¡ëç­® ¬ áá	ª®«¥á
¬­®£® ¬¥­ìè¥ ¬ ááë ¯®¢®§ª¨: m M).
᢮¡®¤¨¬ ⥯¥àì ª®«¥á ¨ á­®¢ ¯à®â 騬 ¯®¢®§ªã ­ â® ¦¥ à ááâ®ï-
­¨¥ S. ᫨ ª®«¥á ­¥ ᪮«ì§ïâ ¯® ­ á⨫ã, â® ¢ ­¨¦­¥© â®çª¥ ª®«¥á	ᨫ

â७¨ï ­¥ ᮢ¥àè ¥â à ¡®âë. ® â७¨¥ ᪮«ì¦¥­¨ï ¢®§­¨ª ¥â ¬¥¦¤ã ®áìî ¨ ª®«¥á®¬ ¢ ­¨¦­¥© ç á⨠®á¨ à ¤¨ãᮬ r. ¬ ⮦¥ ¨¬¥¥âáï ᨫ ­®à¬ «ì­®£® ¤ ¢«¥­¨ï. ­ ¡ã¤¥â ­¥áª®«ìª® ®â«¨ç âìáï ®â ¯à¥¦­¥© § áç¥â ¢¥á ª®«¥á ¨ ¤àã£¨å ¯à¨ç¨­, ª®â®àë¥ ¬ë ®¡á㤨¬ ­¨¦¥, ­® ¯à¨ ­¥- ¡®«ì让 ¬ áᥠª®«¥á ¨ ­¥¡®«ì讬 ª®íää¨æ¨¥­â¥ â७¨ï ¬®¦­® áç¨â âì ¥¥ ¯à¨¬¥à­® à ¢­®© Mg. ®í⮬㠬¥¦¤ã ®áìî ¨ ª®«¥á®¬ ¤¥©áâ¢ã¥â â

¦¥ á ¬ ï ᨫ â७¨ï fmax Mg. ®¤ç¥àª­¥¬ ¥é¥ à §: ª®«¥á® á ¬® ¯® ᥡ¥ ­¥ 㬥­ìè ¥â ᨫã â७¨ï. ® à ¡®â A0 ¯à®â¨¢ í⮩ á¨«ë ¡ã¤¥â

⥯¥àì £®à §¤® ¬¥­ìè¥, 祬 ¢ á«ãç ¥ ¢®«®ç¥­¨ï ¯®¢®§ª¨ á § ª«¨­¥­­ë¬¨ ª®«¥á ¬¨. ¥©á⢨⥫쭮, ª®£¤ ¯®¢®§ª ¯à®å®¤¨â à ááâ®ï­¨¥ S, ¥¥ ª®- «¥á ᮢ¥àè îâ N = S=2 R ®¡®à®â®¢. ­ ç¨â, âàã騥áï ®¡ ®áì ª®«¥á ¯®¢¥àå­®á⨠ᤢ¨­ãâáï ¤à㣠®â­®á¨â¥«ì­® ¤à㣠­ ¬¥­ì襥 à ááâ®ï­¨¥ s = 2 rN = Sr=R. ®í⮬ã à ¡®â ¯à®â¨¢ ᨫ â७¨ï â ª¦¥ ¡ã¤¥â ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç¨á«® à § ¬¥­ìè¥:

	A0 = fmaxs = MgS	r	= A	r	:	(7.70)
		R		R

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¤¥¢ ª®«¥á ­ ®á¨, ¬ë 㬥­ìè ¥¬ ­¥ ᨫã â७¨ï, ª ª ¢ á«ãç ¥ á ª ⪮¬, ¯ãâì, ­ ª®â®à®¬ ®­ ¤¥©áâ¢ã¥â. ª ¦¥¬, ª®«¥á® à - ¤¨ãᮬ R = 0 5 ¬ ¨ ®áìî à ¤¨ãᮬ r = 2 ᬠ㬥­ìè ¥â à ¡®âã ­ 96%.®áâ «ì­ë¬¨ 4% гб¯¥и­® б¯а ¢«повбп б¬ §ª ¨ ¯®¤и¨¯­¨ª¨, 㬥­ì- è î騥 á ¬® â७¨¥ (ᬠ§ª , ªà®¬¥ ⮣®, ¯à¥¤®â¢à é ¥â ¨§­®á 室®¢®©