kalashnikov_tom_1

6.5. «®¦¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¯® ®à¥­æã	151
¦ã騬áï ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¥£® ᪮à®á⨠V .	®£« á­® § ª®­ã

á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩, á«¥¤ãî饬㠨§ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© «¨«¥ï, ᪮à®áâì ᢥ⠤®«¦­ ¡ëâì à ¢­ c + V . ® ¢ ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®á⨠íâ® ­¥¢®§- ¬®¦­®. ®á¬®âਬ, ª ª®© § ª®­ á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩ á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥®¡à - §®¢ ­¨© ®à¥­æ . «ï í⮣® § ¯¨è¥¬ ¨å ¤«ï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå ¢¥«¨ç¨­:

		dx0		+ V dt0			dt0		+	V dx0
	dx =					dy = dy0 dz = dz0 dt =				c2	: (6.23)
		p	1	; V 2=c2			p	1	; V 2=c2
	® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ᪮à®á⨠¥¥ ª®¬¯®­¥­âë ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â									K ­ 室ïâáï

ª ª ®â­®è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯¥à¥¬¥é¥­¨© ª ¢à¥¬¥­­ë¬ ¨­â¥à¢ « ¬:

vx = dx=dt ¨ â.¤. ­ «®£¨ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᪮à®áâì ®¡ê¥ªâ				¢ ¤¢¨¦ã-
饩áï á¨á⥬¥ ®âáç¥â K0, ⮫쪮 ¯à®áâà ­á⢥­­ë¥ à ááâ®ï­¨ï ¨ ¢à¥-
¬¥­­ë¥ ¨­â¥à¢ «ë ­ ¤® ¢§ïâì ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩ á¨á⥬ë:			v0	= dx0=dt0 ¨
			x
â.¤. «¥¤®¢ ⥫쭮, à §¤¥«¨¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ dx ­ ¢ëà ¦¥­¨¥ dt, ¯®«ã稬:
dx	0	0
	= dx + V dt0 :			(6.24)
dt	dt0 + V dx
		c2

§¤¥«¨¢ ç¨á«¨â¥«ì ¨ §­ ¬¥­ â¥«ì ­ dt0, ­ 室¨¬ á¢ï§ì x-ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⥩ ¢ à §­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â , ª®â®à ï ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯à ¢¨« á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩ (6.2) ¯® «¨«¥î:

	v0	+ V
vx =	x		:	(6.25)
		0 2
	1 + vxV=c

஬¥ ⮣®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ¬¥­повбп ¨ ª®¬¯®­¥­вл бª®а®бв¥©, ®à⮣®­ «ì­ë¥ ­ ¯à ¢«¥­¨î ¤¢¨¦¥­¨ï. ­ «®£¨ç­ë¥ ¢ëç¨- á«¥­¨ï ¤«ï ¤àã£¨å ª®¬¯®­¥­â ᪮à®á⥩ ¤ îâ:

	vy0	p						p
			x						x
vy =			; V 2=c2			vz =				:	(6.26)
							1 + v;0 V=c2
	1 + v0			V=c2

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã祭ë ä®à¬ã«ë ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᪮à®á⥩ ¢ à¥- «ï⨢¨áâ᪮© ¬¥å ­¨ª¥. ®à¬ã«ë ®¡à â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯®«ãç îâáï ¯à¨ § ¬¥­¥ èâà¨å®¢ ­­ëå ¢¥«¨ç¨­ ­ ­¥èâà¨å®¢ ­­ë¥ ¨ ®¡à â­® ¨ § -

¬¥­®© V ­ ;V .

¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ®â¢¥â¨âì ­ ¢®¯à®á, ¯®áâ ¢«¥­­ë© ¢ ­ ç «¥ ¤ ­- ­®£® à §¤¥« . ãáâì ¢ â®çª¥ O0 ¤¢¨¦ã饩áï á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â K0 ãáâ ­®- ¢«¥­ « §¥à, ¯®áë« î騩 ¨¬¯ã«ìá ᢥ⠢ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨

152 « ¢ 6. «¥¬¥­âë á¯¥æ¨ «ì­®© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨

®á¨ O0x0. ª®© ¡ã¤¥â ᪮à®áâì ¨¬¯ã«ìá		¤«ï ­¥¯®¤¢¨¦­®£® ­ ¡«î¤ -
â¥«ï ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â	K? í⮬ á«ãç ¥ ᪮à®áâì ᢥ⮢®£® ¨¬¯ã«ìá
¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â K0	¨¬¥¥â ª®¬¯®­¥­âë v0	= c v0	= 0 v0 = 0. ਬ¥-
	x	y	z
­ïï § ª®­ ५ï⨢¨áâ᪮£® á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩, ­ 室¨¬ ¤«ï ª®¬¯®­¥­â

᪮à®á⨠¨¬¯ã«ìá ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥¯®¤¢¨¦­®© á¨á⥬ë K: vx = c vy =

	0 vz = 0. ë ¯®«ãç ¥¬, ç⮠᪮à®áâì ¨¬¯ã«ìá v =	q
			vx2 + vy2 + vz2 = c.

®â ¦¥ १ã«ìâ â ¯®«ãç¨âáï ¯à¨ «î¡®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá . â® ¥áâ¥á⢥­­®, â ª ª ª ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠ᢥ⠮⠤¢¨¦¥­¨ï ¨áâ®ç­¨ª ¨ ­ ¡«î¤ â¥«ï § «®¦¥­ ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¯®áâ㫠⮢ ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨. ¥«ï⨢¨áâ᪨© § ª®­ á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩ | á«¥¤á⢨¥ í⮣® ¯®áâã« â .

ª®à®áâì ᢥ⠮ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¤¥«¥­­®© ⥬, çâ® ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯à¨ \¯à¨¡ ¢«¥­¨¨" ª ­¥© «î¡®© ᪮à®á⨠¤¢¨¦¥­¨ï ¨áâ®ç­¨ª v < c. ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ ¯à¨ £ «¨«¥¥¢áª®¬ § ª®­¥ á«®¦¥­¨ï â ª¨¬ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ìè ï ᪮à®áâì: ᪮«ìª® ­¨ ¯à¨¡ ¢«ï© ¨«¨ ­¨ ®â­¨¬ © ®â ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ®­ ¡¥áª®­¥ç­®áâìî ¨ ®áâ ­¥âáï. «¥¤®¢ - ⥫쭮, ª« áá¨ç¥áª ï 䨧¨ª | í⮠⥮à¨ï, £¤¥ ¤®¯ãá⨬ ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ìè ï ᪮à®áâì à á¯à®áâà ­¥­¨ï ᨣ­ «®¢. ª®¥ ¤®¯ã饭¨¥ å®à®è® à ¡®â ¥â ¯à¨ ¬ «ëå ᪮à®áâïå ®¡ê¥ªâ®¢ v c.

¥©á⢨⥫쭮, ª®£¤ ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥­¨ï ¯®¤¢¨¦­®© á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â V c, ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ®à¥­æ ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï «¨«¥ï, ¬ë

¯®«ãç ¥¬ ®¡ëç­ë© § ª®­ á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩ vx = vx0 + V vy = vy0 vz = vz0 .ਠí⮬ 室 â¥ç¥­¨ï ¢à¥¬¥­¨ ¨ ¤«¨­ «¨­¥©ª¨ ¡ã¤ãâ ®¤¨­ ª®¢ë ¢ ®¡¥¨å

á¨á⥬ å ®âáç¥â . ª¨¬ ®¡à §®¬, § ª®­ë ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ ¯à¨- ¬¥­¨¬ë, ¥á«¨ ᪮à®á⨠®¡ê¥ªâ®¢ ¬­®£® ¬¥­ìè¥ áª®à®á⨠ᢥâ . ¥®à¨ï ®â­®á¨â¥«ì­®á⨠­¥ § ç¥àª­ã« ¤®á⨦¥­¨ï ª« áá¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ®­ ãáâ ­®¢¨« à ¬ª¨ ¨å á¯à ¢¥¤«¨¢®áâ¨.

¤ ç 6.19. ¥«® ᮠ᪮à®áâìî v0 ­ «¥â ¥â ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ­ á⥭ªã, ¤¢¨£ ойгобп ¥¬г ­ ¢бва¥зг б® бª®а®бвмо v. ®«ì§ãïáì ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï ५ï⨢¨áâ᪮£® á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⥩, ­ ©â¨ ᪮à®áâì v1 ⥫ ¯®á«¥ ®â- ᪮ª . ¤ à ¡á®«îâ­® ã¯à㣨©, ¬ áá á⥭ª¨ ­ ¬­®£® ¡®«ìè¥ ¬ ááë ⥫ . à® ­ «¨§¨à®¢ âì ¯à¥¤¥«ì­ë¥ á«ãç ¨. ©â¨ ᪮à®áâì v1, ¥á«¨

v0 = v = c=3.

¥è¥­¨¥. ¬ ¯®­ ¤®¡ïâáï ª ª ä®à¬ã«			(6.25), â ª ¨ ä®à¬ã«		¤«ï ®¡à â-
­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï:
v0	=	vx ; V			(6.27)
x		1 ; vxV=c2

v1 = ;c,

6.5. «®¦¥­¨¥ ᪮à®á⥩ ¯® ®à¥­æã

153

£¤¥ V | ᪮à®áâì á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â K0 ®â­®á¨â¥«ì­® á¨á⥬ë K. ¯à -

¢¨¬ ®áì x ¢¤®«ì ­ ç «ì­®© ᪮à®á⨠⥫					v0 ¨ á¢ï¦¥¬ á¨á⥬㠮âáç¥â
K0 á® á⥭ª®©. ®£¤ vx = v0 ¨ V =			;v. á¨á⥬¥ ®âáç¥â , á¢ï§ ­­®© á®
á⥭ª®©, ­ ç «ì­ ï ᪮à®áâì v00	⥫		ᮣ« á­® (6.27) à ¢­
v0 =		v0 + v		:	(6.28)
0		1 + v0v=c2

®áª®«ìªã á⥭ªã ¬®¦­® áç¨â âì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ áᨢ­®©, ¯® § ª®­ã á®åà - ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ ¯®á«¥ ã¯à㣮£® 㤠à ⥫® ®â᪮ç¨â ¢ ®¡à â­®¬ ­ ¯à ¢«¥- ­¨¨ á ⥬ ¦¥ (®â­®á¨â¥«ì­® á⥭ª¨) ¡á®«îâ­ë¬ §­ 祭¨¥¬ ᪮à®áâ¨:

			v10 = ;v00 = ;				v0 + v
								:			(6.29)
							1 + v0v=c2
¥à­¥¬áï ⥯¥àì ­ § ¤ ¢ « ¡®à â®à­ãî á¨á⥬㠮âáç¥â											K. ®¤áâ ¢«ïï
¢ (6.25) v0	¢¬¥áâ® v0		¨ ãç¨âë¢ ï ®¯ïâì ¦¥ V = v, ­ 室¨¬ ¯®á«¥ ¯à¥-
1		x							;
®¡à §®¢ ­¨©:
	v1 =		v10 ; v	=		v0(1 + v2=c2) + 2v				:	(6.30)
		1	; v10 v=c2		;1 + 2v0v=c2 + v2=c2
à® ­ «¨§¨à㥬 ⥯¥àì ¯à¥¤¥«ì­ë¥ á«ãç ¨.

᫨ ᪮à®á⨠⥫ ¨ á⥭ª¨ ¬ «ë (v0 c v c), â® ¬®¦­® ¯à¥- ­¥¡à¥çì ¢á¥¬¨ ç«¥­ ¬¨, £¤¥ í⨠᪮à®á⨠¨ ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¥«ïâáï

­ ᪮à®áâì ᢥâ . ®«ãç ¥¬ ⮣¤ ¨§ (6.30) १ã«ìâ â ª« áá¨ç¥-

᪮© ¬¥å ­¨ª¨ v1 = ;(v0 + 2v) | ᪮à®áâì è à ¯®á«¥ ®â᪮ª	㢥-
«¨ç¨¢ ¥âáï ­ 㤢®¥­­ãî ᪮à®áâì á⥭ª¨ ­ ¯à ¢«¥­ ®­ ,	¥áâ¥-

á⢥­­®, ¯à®â¨¢®¯®«®¦­® ­ ç «ì­®©. á­®, çâ® ¢ ५ï⨢¨áâ᪮¬ á«ãç ¥ íâ®â १ã«ìâ â ­¥ £®¤¨âáï. ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ v0 = v = c=3 ¨§ ­¥£® á«¥¤ã¥â, ç⮠᪮à®áâì ⥫ ¯®á«¥ ®â᪮ª ¡ã¤¥â à ¢­ 祣® ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì.

ãáâì ⥯¥àì ­ á⥭ªã ­ «¥â ¥â ⥫®, ¤¢¨£ î饥áï ᮠ᪮à®áâìî ᢥâ (­ ¯à¨¬¥à, « §¥à­ë© «ãç ®âà ¦ ¥âáï ®â ¤¢¨£ î饣®áï §¥à- ª « ). ®¤áâ ¢«ïï v0 = c ¢ ᮮ⭮襭¨¥ (6.30), ¯®«ãç ¥¬

v1 = ;	c(1 + v2=c2) + 2v	= ;c	(1 + v=c)2	= ;c:
	1 + 2cv=c2 + v2=c2		(1 + v=c)2
­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ᪮à®áâì « §¥à­®£® «ãç			¨§¬¥­¨«	­ ¯à ¢«¥­¨¥, ­®

­¥ á¢®î ¡á®«îâ­ãî ¢¥«¨ç¨­ã, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡ëâì.

154	« ¢ 6. «¥¬¥­âë á¯¥æ¨ «ì­®© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨

áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç ©, ª®£¤ á⥭ª ¤¢¨¦¥âáï á ५ï⨢¨áâ᪮© ᪮à®áâìî: v ! c. í⮬ á«ãç ¥ (6.30) ¤ ¥â ­ ¬

2v0 + 2c

v1 ! ;2 + 2v0c=c2 = ;c:

¥«® ¯®á«¥ ®â᪮ª â ª¦¥ ¡ã¤¥â ¤¢¨£ âìáï ᮠ᪮à®áâìî, ¡«¨§ª®© ª ᪮à®á⨠ᢥâ .

ª®­¥æ, ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ (6.30) §­ 祭¨ï v0 = v = c=3:

1

1 +

1

+

2

7

3

3

9

v1 = ;c

;1 +

2

+

1

= ;9c = ;0:78c:

9

9

®â«¨ç¨¥ ®â ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, ⥮à¨ï ®â­®á¨â¥«ì­®á⨠¤ ¥â

¤«ï ᪮à®á⨠¯®á«¥ ®â᪮ª §­ 祭¨¥, ¬¥­ì襥 ᪮à®á⨠ᢥâ .

¯®á«¥¤®ª ¯®á¬®âਬ, çâ® á«ãç¨âáï, ¥á«¨ á⥭ª 㤠«ï¥âáï ®â ⥫

á ⮩ ¦¥ ᪮à®áâìî (v = ;v0). ¬¥¥¬ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨§ (6.30):

v1 =

v0(1 + v02=c2) ; 2v0

=

;

v0(;1 + v02=c2) = v0:

; 1 ; 2v02=c2 + v02=c2

1 ; v02=c2

ª ¨ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¥, ⥫® á⥭ªã ­¥ ¤®£®­¨â, ¨ ¥£® ᪮- à®áâì ­¥ ¨§¬¥­¨âáï.

6.6¢«¥­¨¥ ¡¥àà 樨

¢«¥­¨¥ ¡¥àà 樨 ¡ë«® ®âªàëâ® ¦. ।«¨ ¢ 1725 £.: ­ ¡«î¤¥­¨ï ¯®ª § «¨, çâ® ¢ â¥ç¥­¨¥ £®¤ §¢¥§¤ë ®¯¨áë¢ îâ ­ ­¥¡¥ ­¥¡®«ì訥 í«-

«¨¯áë. ¥à¨®¤ ®¡à 饭¨ï §¢¥§¤ ¯®¤áª § «, çâ® í⮠¥­¨¥ á¢ï§ ­® á £®¤®¢ë¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬ ¥¬«¨ ¢®ªà㣠®«­æ . ¥®à¥â¨ç¥áª®¥ ®¡êïá­¥­¨¥

®á­®¢ë¢ «®áì ­ ¨¤¥¥ á«®¦¥­¨ï ᪮à®á⨠«ãç		ᢥ⠮⠧¢¥§¤ë á ®à¡¨-
â «ì­®© ᪮à®áâìî ¥¬«¨.	á᪠§ë¢ îâ, ç⮠⮫窮¬ ª ¯®­¨¬ ­¨î
íä䥪⠯®á«ã¦¨« ¯à®£ã«ª	।«¨ ­ ïåâ¥.	­ § ¬¥â¨«, çâ® ¢ë¬¯¥«

­ ¬ ç⥠¢®¢á¥ ­¥ 㪠§ë¢ ¥â ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢¥âà , ­® ¬¥­ï¥â ᢮¥ ­ ¯à - ¢«¥­¨¥ ª ¦¤ë© à § ¯à¨ ¯®¢®à®â¥ ïåâë.

	â ª, ¯ãáâì ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â	K (\­¥¯®¤¢¨¦­ ï" á¨á⥬ , á¢ï§ ­-
­ ï, ­ ¯à¨¬¥à, á ®«­æ¥¬) ­¥ª ï §¢¥§¤ (â®çª M) ¯®áë« ¥â ᢮© «ãç
­	¥¬«î (­ ç «® ª®®à¤¨­ â O).	ãç à á¯à®áâà ­ï¥âáï ¯®¤ 㣫®¬ ª
­	¯à ¢«¥­¨î ¤¢¨¦¥­¨ï ¥¬«¨, ª®â®à®¥ ¬ë ¢ë¡à «¨ ¢ ª ç¥á⢥ ®á¨ Ox

6.6. ¢«¥­¨¥ ¡¥àà 樨

155

(à¨á.	6.3, á«¥¢ ). ª®à®áâì «ãç ᢥâ à ¢­ c, ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥­¨ï ¥¬«¨
| V .	á¨á⥬¥ ®âáç¥â K0, á¢ï§ ­­®© á ¥¬«¥© (à¨á. 6.3, á¯à ¢ ), 㣮«

­ ª«®­ 0 ᢥ⮢®£® «ãç ¡ã¤¥â ¨­ë¬. ¥©á⢨⥫쭮, x;ª®¬¯®­¥­âë
᪮à®á⨠«ãç ᢥ⠢ á¨á⥬ å K K0								à ¢­ë
vx = ;c cos						vx0 = ;c cos 0:					(6.31)
¤¥áì ¬ë ¯à¨­ï«¨ ¢® ¢­¨¬ ­¨¥,			çâ® ¬®¤ã«ì ᪮à®á⨠ᢥâ								¢ ®¡¥¨å á¨-
á⥬ å à ¢¥­ c. ¤à㣮© áâ®à®­ë,						ª®¬¯®­¥­âã ᪮à®á⨠ᢥâ					¢ á¨á⥬¥
K0 ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨§ ä®à¬ã«ë, ®¡à â­®© (6.25):
vx0 =		vx ; V			=		;	cc cos		+ V :	(6.32)
		; vxV=c2
	1							c + V cos
à¨à ¢­¨¢ ï ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï vx0			¨§ (6.31) ¨ (6.32), ­ 室¨¬
		cos 0 =		V + c cos						:	(6.33)
				c + V cos

â¥ç¥­¨¥ £®¤ ¥¬«ï ¢ ­¥¯®¤¢¨¦­®© á¨á⥬¥ ®¯¨áë¢ ¥â § ¬ª­ãâãî âà ¥ªâ®à¨î, ¥¥ ᪮à®áâì ¬¥­ï¥âáï ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ ¨ ­ ¯à ¢«¥­¨î, â ª çâ® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨ ¬¥­ï¥âáï ¨ 㣮« ­ ¡«î¤¥­¨ï §¢¥§¤ë 0, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª 㣮«

®áâ ¥âáï ­¥¨§¬¥­­ë¬. â® ¨ ¥áâì ¥­¨¥ ¡¥àà 樨.

ਬ¥­¨¬ ⥯¥àì ¯®«ã祭­ë¥ ä®à¬ã«ë ª á«ãç î ­ ¡«î¤¥­¨ï §¢¥§¤- ­®£® ­¥¡ á £¨¯®â¥â¨ç¥áª®£® ª®á¬¨ç¥áª®£® ª®à ¡«ï, ¤¢¨¦ã饣®áï á ¡®«ì- 让 ᪮à®áâìî. ।áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® §¢¥§¤ë ¢ ­¥¯®¤¢¨¦­®© á¨á⥬¥ à ᯮ«®¦¥­ë à ¢­®¬¥à­® ­ ­¥¡®á¢®¤¥. â®çª¨ §à¥­¨ï áâà®­®¬®¢ ­

ª®à ¡«¥ í⮠㦥 ­¥ â ª. ¥©á⢨⥫쭮,	§¢¥§¤ ᧠¤¨ ¯® ªãàáã ª®à -
¡«ï ­¥ ᤢ¨­¥âáï: ¨§ ­ è¨å ä®à¬ã« ¯à¨	= 180 cos = ;1 á«¥¤ã¥â

¨á. 6.3: £«ë ­ ¡«î¤¥­¨ï §¢¥§¤ë à §«¨ç­ë ¢ á¨á⥬ å ®âáç¥â K ¨ K0

156		« ¢ 6.	«¥¬¥­âë á¯¥æ¨ «ì­®© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨
cos	0 = ;1	0 = 180 : ¢¥§¤	¦¥, à ᯮ«®¦¥­­ ï ¯® 㣫®¬	= 90
(cos	= 0) ª ªãàáã ª®à ¡«ï ¡ã¤¥â ­ ¡«î¤ âìáï ª®á¬®­ ¢â ¬¨ ¢ ­ ¯à -
¢«¥­¨¨ cos 0		= V=c. ਠV ¡«¨§ª¨å ª c íâ®â 㣮« ®ç¥­ì ¬ «.		í⮬

㧪®¬ ª®­ãᥠ¡ã¤ãâ á®á।®â®ç¥­ë ¢á¥ §¢¥§¤ë ¯¥à¥¤­¥© (¢ ­¥¯®¤¢¨¦­®© á¨á⥬¥ ®âáç¥â ) ¯®«ãáä¥àë. ®¡®à®â, ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ® §¢¥§¤ë ¨§

㧪®£® ª®­ãá á ⥬ ¦¥ 㣫®¬ à á⢮à , ­® ᧠¤¨ ¯® ªãàáã,	§ ©¬ãâ ¢áî
§ ¤­îî ¯®«ãáä¥àã ¢ á¨á⥬¥ ®âáç¥â K0. ª¨¬ ®¡à §®¬,	¯à¨ 㢥«¨-

祭¨¨ ᪮à®á⨠ª®à ¡«ï ­¥¡® ¯®§ ¤¨ ®áâ ¥âáï ¯®ç⨠¯ãáâë­­ë¬, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯®ç⨠¢áï ¢¨¤¨¬ ï ᥫ¥­­ ï ᮫ì¥âáï ¢ ïમ¥ ¯ïâ­® ¢¯¥à¥¤¨ ¯® ªãàáã.

6.7¥«ï⨢¨áâ᪮¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¨¬¯ã«ìá

§ ®¡é¨å á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ ¬ë ¯à¨è«¨ ¢ à §¤. 3.2 ª ¢ë¢®¤ã, çâ® ¨¬¯ã«ìá ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨ ¤®«¦¥­ ¡ëâì á¢ï§ ­ á ¥¥ ᪮à®áâìî á®®â-

­®è¥­¨¥¬ p~ = ~v m(v), £¤¥ m(v) | ­¥¨§¢¥áâ­ ï ¯®ª äã­ªæ¨ï ¬®¤ã«ï ᪮- à®áâ¨. ਠ¬ «ëå ᪮à®áâïå ¬ë § ¬¥­ï«¨ ¥¥ §­ 祭¨¥¬ ¢ ­ã«¥, ª®â®à®¥

­ §¢ «¨ ¬ áᮩ: m = m(0). áâ «® ¢à¥¬ï ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ í⮩ ä㭪樨

m(v).

।áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® ¢ ­¥¯®¤¢¨¦­®© á¨á⥬¥ ®âáç¥â ¢¤®«ì ®á¨ Ox

¤¢¨¦¥âáï ⥫® ¬ áᮩ m ¨ ­ ­¥£® ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¤¢¨¦¥­¨ï ¢ â¥ç¥­¨¥ ª®à®âª®£® ¢à¥¬¥­¨ dt ¤¥©áâ¢ã¥â ᨫ F. ®¤ ¤¥©á⢨¥¬ í⮩ ᨫë ⥫®

	¯à¨®¡à¥â ¥â ᪮à®áâì v + dv. §¬¥­¥­¨¥ ¨¬¯ã«ìá						⥫	à ¢­®
	dp = (v + dv)m(v + dv)			v m(v) = dv	d		vm(v)			:	(6.34)
			;		dv
	0									ᮠ᪮à®áâìî
	®§ì¬¥¬ á¨á⥬㠮âáç¥â K	, ¤¢¨¦гйгобп ¢¤®«м ®б¨						Ox
	V = v. í⮩ á¨á⥬¥ ®âáç¥â		⥫® ¯¥à¢®­ ç «ì­® ¯®ª®¨«®áì,								¯®á«¥

¤¥©á⢨ï á¨«ë ¯à¨®¡à¥«® ᪮à®áâì dv0. ®áª®«ìªã à¥çì ¨¤¥â ® ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ᪮à®á⨠⥫ , â® ¯à¨¬¥­¨¬ë § ª®­ë ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨. ®- £¤ ᪮à®áâì, ¯à¨®¡à¥â¥­­ ï ⥫®¬, à ¢­

dv0 = (F=m)dt0:

(6.35)

à¨à 饭¨ï ᪮à®á⥩ ¢ à §­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â á¢ï§ ­ë ¯® ä®à¬ã«¥ (6.25), £¤¥ ­ ¤® ¯®«®¦¨âì V = v:

v + dv =	dv0 + v	(dv0	+ v)(1 ; dv0v=c2)
	1 + dv0v=c2
v + dv0 (1 ; v2=c2)			(6.36)

6.7. ¥«ï⨢¨áâ᪮¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¨¬¯ã«ìá

157

®âªã¤

v2

dv = dv0 1 ; c2 :

(6.37)

®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (6.34) ¨ ¨á¯®«ì§ãï (6.35), ­ 室¨¬:

F

v2

d

dp = m dt0

1 ; c2

vm(v) :

(6.38)

dv

ਬ¥­ïï ä®à¬ã«ã (6.19) ¤«ï § ¬¥¤«¥­¨ï ¢à¥¬¥­¨ dt0

= dt 1 ; v2=c2,

¯®«ãç ¥¬ ®âáî¤

p

dp

F

v2

3=2

d

dt =

m 1 ; c2

vm(v) :

(6.39)

dv

¤à㣮© áâ®à®­ë, ᮣ« á­® ®á­®¢­®¬ã ãà ¢­¥­¨î ¤¨­ ¬¨ª¨, dp=dt =

F. ãç¥â®¬ í⮣® ¨§ (6.39) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ä㭪樨 m(v):

d

m

vm(v)

=

:

(6.40)

dv

(1 ; v2=c2)3=2

ã­ªæ¨ï m(v) ­ 室¨âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬:

m

dv

m

v

m(v) = v Z

= v

:

(1 ; v2=c2)3=2

1 ; v2=c2

à ¢¨«ì­®áâì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¬®¦­® ¯à®¢¥à¨âìp

¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬

ä㭪樨 v=

1

;

v2=c2

. ª¨¬ ®¡à §®¬,

p

m

m(v) =

2

=c

2 :

(6.41)

q1 ; v

ந§¢®«ì­ ï ª®­áâ ­â

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ë¡à ­

â ª,

çâ®¡ë ¢ë¯®«­ï-

«®áì ᮮ⭮襭¨¥ m(0) = m, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ¬ ááë ¢ à §¤. 3.2.

â ª, ५ï⨢¨áâ᪨© ¨¬¯ã«ìá p~ = m(v)~v ¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬

		p~ =			m~v	:	(6.42)
			p1 ; v2=c2
ਠ¬ «ëå ᪮à®áâïå		v c (6.42) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ®¡ëç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥
ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ p~		= m~v.			¥«ï⨢¨áâ᪨© ¨¬¯ã«ìá ¡¥áª®­¥ç­®

à áâ¥â ¯à¨ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ᪮à®á⨠⥫ ª ᪮à®á⨠ᢥâ .

158	« ¢ 6. «¥¬¥­âë á¯¥æ¨ «ì­®© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨

ਠ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ५ï⨢¨áâ᪮£® ¨¬¯ã«ìá ¬ë ­¥ï¢­® ¯à¥¤- ¯®«®¦¨«¨, ç⮠ᨫ F ¡ã¤¥â ®¤­®© ¨ ⮩ ¦¥ ¢ à §­ëå á¨á⥬ å ®âáç¥â .â® ¢¥à­® ¤«ï ᨫë, ¤¥©áâ¢ãî饩 ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¤¢¨¦¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ®â-

áç¥â K0. ®¦­® ¯à¨¢¥á⨠¡®«¥¥ á«®¦­ë© ¢ë¢®¤ ᮮ⭮襭¨ï (6.42), ­¥ ®á­®¢ ­­ë© ­ í⮬ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨, ­® १ã«ìâ ⠡㤥â ⥬ ¦¥.

¤ ç 6.20. ¥«® ­ 稭 ¥â ¤¢¨£ âìáï ¨§ á®áâ®ï­¨ï ¯®ª®ï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¯®áâ®ï­­®© ¢® ¢à¥¬¥­¨ ᨫë F. ©â¨ § ¢¨á¨¬®áâì ᪮à®á⨠⥫ ®â ¢à¥- ¬¥­¨. à ¢­¨âì á ª« áá¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ ⮬.

¥è¥­¨¥. ª ª ª ᪮à®áâì ⥫ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â ­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì «¨­¨¨ ¤¥©á⢨ï ᨫë, ¬®¦­® § ¯¨á âì ®á­®¢­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ ¢ ᪠«ïà­®© ä®à¬¥:

d

mv(t)

! = F

(6.43)

dt

p

1

;

v2(t)=c2

£¤¥ v(t) | ᪮à®áâì ⥫

¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t, ¯à¨ç¥¬ v(0) = 0. ­â¥£à¨-

àãï, ­ 室¨¬:

v(t)

F

= m t = aclt

(6.44)

2

(t)=c

2

1 ; v

£¤¥ ¬ë ¢¢¥«¨ ®¡®§­ çp¥­¨¥ acl

= F=m ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®£® ã᪮७¨ï ⥫ .

®§¢®¤ï ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ª¢ ¤à â, «¥£ª® ¯®«ãç ¥¬ § ª®­ § ¢¨á¨¬®á⨠᪮à®- á⨠®â ¢à¥¬¥­¨:

v(t) =		aclt		=		c	:	(6.45)
	p				p
		1 + (aclt=c)2				1 + (c=aclt)2
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ «î¡®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ v(t) < c,								¯à¨ t ! 1 ᪮-

à®áâì ⥫ áâ ­®¢¨âáï ¢á¥ ¡«¨¦¥ ª ᪮à®á⨠ᢥâ . á«ãç ¥ ­¥¡®«ìè¨å

§­ 祭¨© ¢à¥¬¥­¨ (t c=acl) ¬ë ¯®«ãç ¥¬ १ã«ìâ â ª« áá¨ç¥áª®© ­¥à¥- «ï⨢¨áâ᪮© ¬¥å ­¨ª¨ ¤«ï à ¢­®ã᪮७­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï:

v(t) aclt:	(6.46)
ਢ¥¤¥¬ ç¨á«¥­­ë¥ ®æ¥­ª¨. ãáâì à ª¥â	¤¢¨¦¥âáï á (ª« áá¨ç¥áª¨¬)

ã᪮७¨¥¬ acl = g = 9:8 ¬=á2 (â.¥. ª®á¬®­ ¢âë ¨á¯ëâë¢ î⠯ਢëç­ãî §¥¬­ãî ᨫã â殮áâ¨). ®£« á­® ª« áá¨ç¥áª®¬ã § ª®­ã ¤¢¨¦¥­¨ï à ª¥â

¤®á⨣­¥â ᪮à®á⨠ᢥâ ç¥à¥§ ¢à¥¬ï tcl = c=acl = 3 108=9:8 = 3:06

6.8. ¥«ï⨢¨áâ᪮¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨

159

107 á, â.¥. ¯à¨¬¥à­® ç¥à¥§ £®¤.			á ¬®¬ ¤¥«¥ ¢ íâ®â ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ¥¥
бª®а®бвм ¡г¤¥в а ¢­пвмбп
		c			c
v(tcl) =				= p			= 0:707c:
	p
		1 + (c=acltcl)2				2
¥à¥§ ¤¢ £®¤ ¯ã⨠᪮à®áâì áâ ­¥â à ¢­®© v(2tcl) = c=p										=
									1 + 0:25
0:894c ç¥à¥§ ¯ïâì «¥â ¡ã¤¥â v(5tcl) = c=p								= 0:981c ç¥à¥§ 10 «¥â
					1 + 0:04
¯®«ã稬 v(10tcl) = c=p1 + 0:01 = 0:995c ¨ â ª ¤ «¥¥. ª®«ìª® ¡ë ¢à¥-

¬¥­¨ ­¨ ã᪮àï« áì à ª¥â , ¥¥ ᪮à®áâì ­¨ª®£¤ ­¥ ¤®á⨣­¥â ᪮à®á⨠ᢥâ .

6.8¥«ï⨢¨áâ᪮¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à- £¨¨

â ª, ५ï⨢¨áâ᪮¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¬ â¥à¨ «ì­®© â®çª¨, ¨«¨ ®á­®¢-

­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ५ï⨢¨áâ᪮© ¤¨­ ¬¨ª¨, ¨¬¥¥â ®¡ëç­ë© ¢¨¤ ãà ¢-

­¥­¨ï ¢â®à®£® § ª®­ ìîâ®­ , ­® á ¤à㣮© § ¢¨á¨¬®áâìî ¨¬¯ã«ìá ®â ᪮à®áâ¨:

d~p

d

m~v

~

=

! = F :

(6.47)

dt

dt

p

1

;

v2=c2

८¡à §ã¥¬ ¯à¨à 饭¨¥ ¨¬¯ã«ìá

¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® ãà ¢­¥­¨ï:

m

mv=c2

d~p = d~v

+ ~vdv

:

(6.48)

(1 ; v2=c2)3=2

1 ; v2=c2

¬­®¦¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ (6.47)p

᪠«ïà­® ­

¢¥ªâ®à ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï d~s = ~vdt.

¯à ¢ ¬ë ¨¬¥¥¬ ®¡ëç­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¨§¬¥­¥­¨ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à- £¨¨ ⥫ :

~

F d~s = dT:

«¥¢ ¯®á«¥ ãç¥â

~v d~v = d~v 2=2 = dv2=2 = v dv ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì

d~p

m

+ v2dv

mv=c2

~vdt dt

= ~v d~p = v dv

=

(1

; v2=c2)3=2

1 ; v2=c2

;

mc2

!

mvdv

=

(1

v2=c2)3=2p= d

p

1

;

v2=c2

:

(6.49)

(6.50)

160 « ¢ 6. «¥¬¥­âë á¯¥æ¨ «ì­®© ⥮ਨ ®â­®á¨â¥«ì­®áâ¨

ª¨¬ ®¡à §®¬,

dT = d			mc2		! :	(6.51)
	p	1	;	v2=c2
					á â®ç­®áâìî ¤® ¯®áâ®ï­­®©
«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ ᪮¡ å á¯à ¢

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª¨­¥â¨ç¥áªãî í­¥à£¨î ¬ â¥à¨ «ì-

­®© â®çª¨, ¤¢¨¦ã饩áï ᮠ᪮à®áâìî v.

­ 祭¨¥ í⮩ ¯®áâ®ï­­®© 䨪-

á¨àã¥âáï ãá«®¢¨¥¬, çâ® T = 0 ¯à¨ v = 0:

mc2

2

2

1

; 1! :

T =

1

v2=c2

; mc

= mc

1

v2=c2

(6.52)

p

;

p

;

ਠ¬ «ëå ᪮à®áâïå v c ¬ë ¬®¦¥¬ à §«®¦¨âì ª¢ ¤à â­ë© ª®à¥­ì ¢

àï¤ ¥©«®à :

v2

1

v2

p1 ; v2=c2

1 ;

1 +

:

2c2

2c2

1 ; v2=c2

í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ª¨­¥â¨ç¥áª ïpí­¥à£¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª« áá¨ç¥áª®©

ä®à¬ã«®©

v2

mv2

T mc2 1 +

; 1 =

2 :

2c2

6.9 ®«­ ï í­¥à£¨ï ⥫

в¥®а¨¨ ®в­®б¨в¥«м­®бв¨ ¯а®бва ­бв¢® ¨ ¢а¥¬п ­¥ п¢«повбп ¡®«¥¥ ­¥-

§ ¢¨á¨¬ë¬¨:	¨§ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ®à¥­æ	¨ ¨­¢ ਠ­â­®á⨠¨­â¥à¢ «
¢¨¤­®, çâ® ®­¨ ¢å®¤ïâ ¢ ãà ¢­¥­¨ï ­ à ¢­ëå ¯à ¢ å,			®¡à §ãï ¥¤¨­®¥
¯à®áâà ­á⢮-¢à¥¬ï. ᯮ¬­¨¬, çâ® § ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá					p~ ¨
í­¥à£¨¨ E ⥫ á¢ï§ ­ë á ®¤­®à®¤­®áâìî ¯à®áâà ­áâ¢			¨ ¢à¥¬¥­¨,		á®-
®â¢¥âá⢥­­®.	ਠ¯¥à¥å®¤¥ ª ¤¢¨¦ã饩áï á¨á⥬¥ ®âáç¥â			¢ëà ¦¥­¨ï
¤«ï ¨¬¯ã«ìá	¨ í­¥à£¨¨ ¤®«¦­ë ¯à¥®¡à §®¢ë¢ âìáï ­ «®£¨ç­® ª®®à¤¨-
­ â ¬ ¨ ¢à¥¬¥­¨ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïå ®à¥­æ . ®á¬®âਬ ­				ãà ¢­¥­¨ï
(6:17). ᫨ § ¬¥­¨âì ¢ ¯¥à¢®¬ ¨§ ­¨å x		) px x0 ) px0 ,		â® ¢à¥¬ï t0

­ ¤® § ¬¥­¨âì ­ ¢¥«¨ç¨­ã, ¯à®¯®à樮­ «ì­ãî í­¥à£¨¨ ¢ á¨á⥬¥ K0.

®íää¨æ¨¥­â ¯à®¯®à樮­ «ì­®á⨠᫥¤ã¥â ¨§ á®®¡à ¦¥­¨© à §¬¥à­®áâ¨: í­¥à£¨î ­ ¤® à §¤¥«¨âì ­ ª¢ ¤à â ª ª®©-⮠᪮à®áâ¨. ­ á ¥áâì «¨èì ®¤­ ¢ë¤¥«¥­­ ï ᪮à®áâì | ᪮à®áâì ᢥâ . ­ «®£¨ç­®, ¢ ¯®á«¥¤­¥¬