kalashnikov_tom_1

7.1. ¨­ ¬¨ª ¢à 饭¨ï ¢®ªà㣠­¥¯®¤¢¨¦­®© ®á¨	171
£¤¥ m | ¯®«­ ï ¬ áá ®¡àãç .

2.®¬¥­â ¨­¥à樨 ¤¨áª ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®©

¥£® ¯«®áª®á⨠¨ ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà.

¨á. 7.2: ëç¨á«¥­¨¥ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ¤¨áª ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®© ¥£® ¯«®áª®á⨠¨ ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà

¨áª áç¨â ¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® â®­ª¨¬, â.¥. ¥£® ⮫騭 ¬­®£® ¬¥­ìè¥ à ¤¨ãá R. ®¬¥­â ¨­¥à樨, ᮣ« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î, ¢¥«¨ç¨­ ¤¤¨â¨¢- ­ ï: ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 楫®£® ⥫ à ¢¥­ á㬬¥ ¬®¬¥­â®¢ ¨­¥à樨 ¥£® ç á⥩. §®¡ì¥¬ ¤¨áª ­ ¡¥áª®­¥ç­® â®­ª¨¥ ®¡àãç¨ à ¤¨ãᮬ s ¨ è¨à¨-

­®© ds (à¨á. 7.2) «®é ¤ì ¯®¢¥àå­®á⨠®¡àãç à ¢­									¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¥£®
¤«¨­ë ®ªà㦭®á⨠­	è¨à¨­ã: 2 s ds.						®áª®«ìªã ¬ áá m ¤¨áª à á-
¯à¥¤¥«¥­ à ¢­®¬¥à­®, ¬ áá ¥¤¨­¨æë ¯«®é ¤¨ à ¢­									m=( R2), â ª çâ®
¬ áá ®¡àãç à ¢­
dm = 2 s ds			m		=			2m2 s ds:
			2
			R					R
®¬¥­â ¨­¥à樨 ®¡àãç	¬ë 㦥 §­ ¥¬:
	2			2m				3
	dJ = dm s	=		R2			s ds:		(7.11)

áâ «®áì ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¬®¬¥­âë ¨­¥à樨 ¢á¥å â ª¨å ®¡àã祩:

J = Z		2m	R		2m R4	mR2
	dJ =	R2	Z0	s3 ds =	R2 4 =	2 :	(7.12)

ª®© ¦¥ १ã«ìâ â ¯®«ãç¨âáï ¨ ¤«ï ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 樫¨­¤à ª®­¥ç- ­®© ¤«¨­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¥£® ¯à®¤®«ì­®© ®á¨.

172	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

¨á. 7.3: ®¬¥­â ¨­¥à樨 è à ®â­®á¨â¥«ì­® ¥£® ¤¨ ¬¥âà

3. ®¬¥­â ¨­¥à樨 è à ®â­®á¨â¥«ì­® ¥£® ¤¨ ¬¥âà .

®áâ㯨¬ ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬: \­ ०¥¬" è à ­ ¡¥áª®­¥ç­® â®­-

ª¨¥ ¤¨áª¨ ⮫騭®© dz, ­ 室ï騥áï ­ à ááâ®ï­¨¨ z ®â 業âà

(à¨á. 7.3).

¤¨ãá â ª®£® ¤¨áª

r = pR2

; z2. ¡ê¥¬ ¤¨áª

dVz

à ¢¥­ ¥£® ¯«®é ¤¨,

㬭®¦¥­­®© ­

⮫騭ã: dVz

= r2 dz. ááã ¤¨áª

dm ­ 室¨¬, à §¤¥-

«¨¢ ¬ ááã è à

m ­

¥£® ®¡ê¥¬ 4 R3=3 ¨ 㬭®¦¨¢ ­

®¡ê¥¬ ¤¨áª :

dm =

m

2

3m

2

4 R

3

r

dz =

3

r

dz:

=3

4R

®¬¥­â ¨­¥à樨 ¤¨áª

¡ë« ­ ©¤¥­ ¢ëè¥. ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ª ¤ ­­®¬ã á«ã-

ç î ®­ à ¢¥­

dm r2

3m

4

3m

2

2

2

dJ =

2

=

8R3

r

dz =

8R3

(R ; z

)

dz:

(7.13)

®¬¥­â ¨­¥à樨 è à

­ 室¨âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ¢á¥¬ â ª¨¬ ¤¨á-

ª ¬:

3m

R

3m

R

J = Z dJ =

Z (R2 ; z2)2 dz =

Z (R4 ; 2R2z2 + z4) dz =

8R3

8R3

;R

;R

3m

2R3

2R5

3mR2

4 2

=

R4 2R ; 2R2

+

=

2 ; 3 + 5

=

8R3

3

5

8

=

2mR2:

(7.14)

5

7.1. ¨­ ¬¨ª ¢à 饭¨ï ¢®ªà㣠­¥¯®¤¢¨¦­®© ®á¨

173

4. ®¬¥­â ¨­¥à樨 â®­ª®£® áâ¥à¦­ï ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®-

¤ï饩 ç¥à¥§ ¥£® á¥à¥¤¨­ã ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® áâ¥à¦­î.

ãáâì áâ¥à¦¥­ì ¨¬¥¥â ¤«¨­ã l. ¯à ¢¨¬ ®áì x ¢¤®«ì áâ¥à¦­ï. -

ç «® ª®®à¤¨­ â ¯® ãá«®¢¨î ­ 室¨âáï ¢ 業âॠáâ¥à¦­ï.								®§ì¬¥¬ í«¥-
¬¥­â áâ¥à¦­ï ¤«¨­®© dx, ­ 室ï騩áï ­			à ááâ®ï­¨¨ x ®â ®á¨ ¢à é¥-
­¨ï. £® ¬ áá à ¢­ dm = (m=l)dx,		¬®¬¥­â ¨­¥à樨 dJ = dm x2 =
(m=l) x2 dx. âáî¤ ­ 室¨¬ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 áâ¥à¦­ï:
l=2						3	ml2
m	m	2		l
J = Z dJ = l Z x2 dx =		3					= 12 :	(7.15)
	l			2
;l=2

¥®à¥¬ ⥩­¥à

¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¯à¨¬¥à å ®á¨ ¯à®å®¤ïâ ç¥à¥§ 業âà ¬ áá (業âà ¨­¥à樨) ⥫ . ®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¤àã£¨å ®á¥© ¢à 饭¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

¢á®®â¢¥âá⢨¨ á ⥮६®© ⥩­¥à :

¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ⥫ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯à®¨§¢®«ì­®© ®á¨

à ¢¥­ á㬬¥ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 JC ®â­®á¨â¥«ì­® ¯ à ««¥«ì-

­®© ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¨­¥à樨 ⥫ , ¨ ¢¥«¨ç¨­ë ma2 | ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¬ ááë ⥫ ­ ª¢ ¤à â à ááâ®ï­¨ï ®â

業âà ¨­¥à樨 ⥫ ¤® ¢ë¡à ­­®© ®á¨, â.¥.
	J = JC +ma2:			(7.16)
த¥¬®­áâà¨à㥬 á­ ç « ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ⥮६ë ⥩­¥à .				ëç¨-

᫨¬ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 â®­ª®£® áâ¥à¦­ï ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¥£® ªà © ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® áâ¥à¦­î. àאַ¥ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ᢮¤¨âáï ª ⮬㠦¥ ¨­â¥£à «ã (7.15), ­® ¢§ï⮬㠢 ¤àã£¨å ¯à¥¤¥« å:

	m	l		m	l3	ml2
J =	l	Z0	x2 dx =	l	3 =	3 :	(7.17)

ááâ®ï­¨¥ ¤® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¬ áá, à ¢­® a = l=2. ® ⥮६¥ ⥩­¥à ¯®«ãç ¥¬ â®â ¦¥ १ã«ìâ â.

	ml2	l		2	ml2
J =	12 + m			=	3 :
		2

174	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

¨á. 7.4: ®áâ஥­¨¥ ¤«ï ¢ë¢®¤ ⥮६ë ⥩­¥à

뢮¤ ⥮६ë ⥩­¥à ¨««îáâà¨àã¥âáï à¨á. 7.4. ãáâì ®¤­	®áì ¯à®å®¤¨â ¢
­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¥¤¨­¨ç­®£® ¢¥ªâ®à ~n ç¥à¥§ 業âà ¬ áá C ⢥म£® ⥫	(á¨á⥬ë ⥫),

¤à㣠ï | ¯ à ««¥«ì­® ¥© ç¥à¥§ ­¥ª®â®àãî â®çªã O. § 業âà ¬ áá ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ¢â®- ன ®á¨ ¯à®¢®¤¨¬ ®à⮣®­ «ì­ë© ®áï¬ ¢¥ªâ®à ~a, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«®¦¥­¨¥ â®çª¨

O.	¤¨ãá-¢¥ªâ®àë ­¥ª®â®à®£® í«¥¬¥­â				á¨áâ¥¬ë ¬ áᮩ mi ®â­®á¨â¥«ì­® â®ç¥ª C ¨ O
		~	~		®¬¥­â ¨­¥à樨 í⮣® í«¥¬¥­â ®â­®á¨â¥«ì­®
®¡®§­ ç ¥¬ RC i ¨ Ri, ᮮ⢥âá⢥­­®.
®á¨ C ¥áâì JC i			= mixC2	i, £¤¥ xC i | à ááâ®ï­¨¥ í«¥¬¥­â ®â ®á¨. ® ⥮६¥ ¨ä £®à
2	2	2			~
xC i = RC i ;yC~i (á¬. à¨á. 7.4). â¥â yC i à ¢¥­ ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥ªâ®à RC i ­ ®áì ¢à 饭¨ï,
â.¥. yC i = (~n RC i). ᯮ«ì§ãï í⨠¢ëà ¦¥­¨ï ¨ á㬬¨àãï ¯® ¢á¥¬ í«¥¬¥­â ¬ á¨á⥬ë,
­ 室¨¬ ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã C, ¨, ­ «®£¨ç­ë¬
®¡à §®¬,		¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¯ à ««¥«ì­®© ®á¨:

X	2	X	h	2	~	2	i
JC = mixC i =		i	mi RC i ; (~n RC i)
i

	X	2		X	h	2	~	2	i
JO =	i	mixi	=	i	mi Ri		; (~n Ri)			:
							~			~
¤¥áì ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï JO ¯®«ã祭® ¨§ JC ¯à®á⮩ § ¬¥­®© RC i ­ Ri.
		~		~
ª ¢¨¤­® ¨§ à¨á. 7.4, ¢¥ªâ®àë Ri ¨ RC i á¢ï§ ­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©:
		~		~
		Ri = RC i ; ~a

(7.18)

(7.19)

~	~	~a ®à⮣®­ «ì­ë ¨ ¨å ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§-
¯à¨ç¥¬ (~n Ri) = (~n RC i), â ª ª ª ¢¥ªâ®àë ~n ¨
¢¥¤¥­¨¥ (~n ~a) = 0. ®£¤ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ âì ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï JO:

JO =	X	h	~	2	~	2	i	=
	i	mi (RC i ; ~a)			; (~n RC i)

7.1. ¨­ ¬¨ª ¢à 饭¨ï ¢®ªà㣠­¥¯®¤¢¨¦­®© ®á¨

175

=

X

h

2

~

2

i

; 2~a

X

~

2

X

mi:

(7.20)

i

mi R C i ; (~n RC i)

i

miRC i + a

i

¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠| ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 JC ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩

ç¥à¥§ â®çªã C. à¥âì¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢­® ma2, £¤¥ m =

P

i mi | ¯®«­ ï ¬ áá

á¨á⥬ë.

â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ à ¢­® ­ã«î,

â ª ª ª ®­® ¯à®¯®à樮­ «ì­® à ¤¨ãá-¢¥ªâ®àã 業âà

¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® á ¬®£® 業âà ¨­¥à樨.

ª®­ç ⥫쭮:

JO = JC + ma2

(7.21)

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.

¥®à¥¬ ⥩­¥à á¢ï§ë¢ ¥â ¬®¬¥­âë ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¯ à «- «¥«ì­ëå ®á¥©. ­®£¤ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§­®© ¤à㣠ï ⥮६ , á¢ï§ë¢ - îé ï ¬®¬¥­âë ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® âà¥å ¢§ ¨¬­® ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ëå ®á¥©. ¤­ ª® íâ ⥮६ ®â­®á¨âáï ⮫쪮 ª ¯«®áª¨¬ 䨣ãà ¬, ⮫é¨- ­®© ª®â®àëå ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¯® áà ¢­¥­¨î á à §¬¥à ¬¨ ¢ ¤¢ãå ¤à㣨å

­ ¯à ¢«¥­¨ïå. â ª, ⥮६ ® ¬®¬¥­â å ¨­¥à樨 ¯«®áª¨å 䨣ãà:

¥á«¨ ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã O ¯«®áª®© 䨣ãàë ¯à¨¢¥¤¥­ ®àâ®- £®­ «ì­ ï ª 䨣ãॠ®áì, â® ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩ ®á¨ à ¢¥­ á㬬¥ ¬®¬¥­â®¢ ¨­¥à権 ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¢ãå ¢§ ¨¬­® ¯¥à¯¥­¤¨- ªã«ïà­ëå ®á¥©, «¥¦ é¨å ¢ ¯«®áª®á⨠䨣ãàë ¨ ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ íâã ¦¥ â®çªã O.

­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¡¥à¥¬ ­ 䨣ãॠ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã O ¨ ¯à®¢®¤¨¬ ª®®à¤¨­ â­ë¥ ®á¨ â ª, ç⮡ë Ox ¨ Oy «¥¦ «¨ ¢ ¯«®áª®á⨠䨣ãàë. ®-

£¤ , ᮣ« á­® ⥮६¥, ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ Oz à ¢¥­ á㬬¥ ¬®¬¥­â®¢ ¨­¥à権 ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¥© Ox ¨ Oy:

J(z) = J(x) + J(y):	(7.22)

ਠí⮬ à ᯮ«®¦¥­¨¥ ®á¥© Ox Oy ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ £« ¢- ­®¥, çâ®¡ë ®­¨ «¥¦ «¨ ¢ ¯«®áª®á⨠䨣ãàë (à¨á. 7.5).

§ à¨áã­ª ¢¨¤­®, çâ®

	J(x) =		mi yi2 J(y) = mi xi2
		i					i
		X	mi Ri2 =				X
	J(z) =					mi (xi2 + yi2) = J(x) + J(y)		(7.23)
		i			i
		X			X
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.
©¤¥¬,	­ ¯à¨¬¥à, ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 J(x) ¤¨áª ®â­®á¨â¥«ì­® ¥£® ¤¨ -
¬¥âà . ¢	®à⮣®­ «ì­ëå ¤¨ ¬¥âà ¤¨áª à ¢­®¯à ¢­ë: J(y)							= J(x).
®£« á­® ⥮६¥ ® ¯«®áª®© 䨣ãॠ2J(x) = J(z) = mR2=2, ®âªã¤
				J(x) =		1mR2:
						4

~

F? i

176	« ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

¨á. 7.5: ®¬¥­âë ¨­¥à樨 ¯«®áª®© 䨣ãàë ®â­®á¨â¥«ì­® ¢§ ¨¬­® ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ëå ®á¥©

¥¯¥àì ¬®¦­® ¯à¨¬¥­¨âì ⥮६ã ⥩­¥à , çâ®¡ë ­ ©â¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 J(x0) ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯ à ««¥«ì­®© ¤¨ ¬¥âàã ¨ ¯à®å®- ¤ï饩 ç¥à¥§ ªà © ¤¨áª (á¬. à¨á. 7.5):

J(x0) = J(x) + mR2 = 54mR2:

7.2¡®â ¢­¥è­¨å ᨫ ¯à¨ ¢à 饭¨¨ ⢥म£® ⥫

¯à¥¤¥«¨¬ à ¡®âã, ª®â®àãî ᮢ¥àè îâ ¢­¥è­¨¥ á¨«ë ¯à¨ ¢à 饭¨¨

⢥म£® ⥫ ¢®ªà㣠­¥¯®¤¢¨¦­®© ®á¨ OO. «¥¬¥­â à­ ï à ¡®â ¯® ¯¥à¥¬¥é¥­¨î í«¥¬¥­â ¬ áᮩ mi à ¢­ :

			~		(7.24)
			dAi = Fid~si = F idsi
£¤¥ F i | â ­£¥­æ¨ «ì­ ï á®áâ ¢«ïîé ï ¢­¥è­¥© ᨫë				~	¤¥©áâ¢ã-
				Fi,
î饩 ­		í«¥¬¥­â ¬ áᮩ mi (à¨á. 7.6). ᯮ¬­¨¬ à §«®¦¥­¨¥ ᨫë
~	~	~	­ ¢¥ªâ®à, ¯ à ««¥«ì­ë© ®á¨ ¢à 饭¨ï (¯à¨¬¥¬ ¥¥ §
Fi = k Fz i + F? i

®áì z), ¨ ¢¥ªâ®à, ®à⮣®­ «ì­ë© ª ­¥©. ਠ¢à 饭¨¨ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ ­ - ¯à ¢«¥­® ¯® ª á ⥫쭮© ª âà ¥ªâ®à¨¨, â.¥., ¢®-¯¥à¢ëå, «¥¦¨â ¢ ¯«®áª®- á⨠¢à 饭¨ï. âáî¤ á«¥¤ã¥â, ç⮠ᨫ Fz i, ­ ¯à ¢«¥­­ ï ¢¤®«ì ®á¨

¢à 饭¨ï, à ¡®âë ­¥ ᮢ¥àè ¥â. ®-¢â®àëå, ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ ®à⮣®­ «ì­® à ¤¨ãáã ®ªà㦭®áâ¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ¤ ­­ë¬ í«¥¬¥­â®¬. ஥ªæ¨î ¢­¥è­¥© á¨«ë ­ ¯«®áª®áâì ¢à 饭¨ï ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ¬®¦­® à §«®¦¨âì ­ á« £ ¥¬ë¥. ¤­® ¨§ ­¨å ­ ¯à ¢«¥­® ¯® à ¤¨ãáã, ®­® ®à⮣®­ «ì­® ¯¥à¥¬¥é¥­¨î ¨ ¯®â®¬ã â ª¦¥ ­¥ ᮢ¥àè ¥â à ¡®âë. ¡®âã ᮢ¥àè ¥â

7.2. ¡®â ¢­¥è­¨å ᨫ ¯à¨ ¢à 饭¨¨ ⢥म£® ⥫

177

«¨èì ¯à®¥ªæ¨ï á¨«ë ­ ª á ⥫쭮¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ F i, 䨣ãà¨àãîé ï ¢

(7.24).

¨á. 7.6: ¡®â ᨫ ¯à¨ ¢à 饭¨¨ ⢥म£® ⥫

ãâì dsi ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª dsi = Rid'. ª¨¬ ®¡à §®¬,

dAi = Fi Ri d':

(7.25)

¬¥â¨¬, çâ® F iRi = F? ili, £¤¥ li | ¢¢¥¤¥­­®¥ ¢ëè¥ ¯«¥ç® ᨫë. «¥¤®- ¢ ⥫쭮, ¬ë ¢ëà §¨«¨ í«¥¬¥­â à­ãî à ¡®â㠯ਠ¯¥à¥¬¥é¥­¨¨ í«¥¬¥­â

¬ áᮩ mi ç¥à¥§ ¯à®¥ªæ¨î ¬®¬¥­â ¢­¥è­¥© á¨«ë ­ ®áì ¢à 饭¨ï:

					dAi = Mz i d':				(7.26)
®í⮬ã í«¥¬¥­â à­ ï à ¡®â						¯à¨ ¢à 饭¨¨ ¢á¥£® ⢥म£® ⥫			à ¢­
		X			X			~
	dA =		dAi	=		Mz i d' = Mz d' = M d~'			(7.27)
		i			i
~	¥áâì ¯®«­ë© ¬®¬¥­â ¢á¥å ¢­¥è­¨å ᨫ,							¢¥ªâ®à d~' ­ ¯à ¢«¥­
£¤¥ M
¢¤®«ì ®á¨ ¢à 饭¨ï ᮣ« á­® ¯à ¢¨«ã ¡ãà ¢ç¨ª .								«ï ¯®«­®© à ¡®âë §
¢à¥¬ï t ¬®¦­® § ¯¨á âì:
		A = Z		dA = Z Mz d' = Z0 t			Mz!dt:		(7.28)

178				« ¢ 7.		¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫
¡«¨æ 7.1: ­ «®£¨ï ¬¥¦¤ã ¯®áâ㯠⥫ì­ë¬ ¨ ¢à é ⥫ì­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨ï¬¨
®áâ㯠⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥				à é ⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥
¥à¥¬¥é¥­¨¥ d~r				®¢®à®â d~'
ª®à®áâì ~v				£«®¢ ï ᪮à®áâì !~
_						_
᪮७¨¥ ~a = ~v				£«®¢®¥ ã᪮७¨¥ ~" = !~
áá m				®¬¥­â ¨­¥à樨 J
¬¯ã«ìá p~ = m~v				®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá	~
					L = J~!
~				~
¨« F				®¬¥­â ᨫë M
_	~				_	~
					~
à ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï p~ = F				à ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï L = M
	~				J"z = Mz
m~a = F
~				~	~
¡®â dA = F d~r		mv	2	¡®â dA = M d'		J!	2
¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï T¯®áâ =		2		¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï T¢à = 2
஥ªæ¨î ¬®¬¥­â	¢­¥è­¨å ᨫ ¬®¦­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ 㣫®¢®¥ ã᪮-

७¨¥, ¨á¯®«ì§ãï ®á­®¢­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ ¢à é ⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï
(7.7):
Mz = J d!dt :
®£¤ ¯®«ãç ¥¬ á ãç¥â®¬ d' = !dt:
d!	J!2	:
dA = J dt !dt = J!d! = d	2
®£« á­® § ª®­ã á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ à ¡®â	dA à ¢­ï¥âáï ¯à¨à é¥-

­¨î dT ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ⢥म£® ⥫ . ª¨¬ ®¡à §®¬, ª¨­¥â¨ç¥-

᪠ï í­¥à£¨ï ¢à é î饣®áï ⥫		à ¢­
	T¢à:	=	J!2	:	(7.29)
			2

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7.3«®áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ⢥म£® ⥫

áᬮâਬ ⥯¥àì ¯«®áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ⢥म£® ⥫ , â.¥. ¤¢¨¦¥­¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ â®çª¨ ⥫ ®¯¨áë¢ îâ âà ¥ªâ®à¨¨, «¥¦ 騥 ¢ ¯ à ««¥«ì­ëå ¯«®áª®áâïå. ਬ¥à â ª®£® ¤¢¨¦¥­¨ï | ¢à 饭¨¥ ª®«¥á ¢â®¬®¡¨«ï

7.3. «®áª®¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ⢥म£® ⥫

179

¯à¨ ¥£® ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯® ¯àאַ©. ®¦­® ¢§ïâì «î¡ãî â®çªã O ⥫ ¨ ¬ë- á«¥­­® ¯à®¢¥á⨠ç¥à¥§ ­¥¥ ®áì ¢à 饭¨ï ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­® ¯«®áª®áâï¬, ¢ ª®â®àëå «¥¦ â âà ¥ªâ®à¨¨ â®ç¥ª ⥫ . ®£¤ ®áì ¢à 饭¨ï ¡ã¤¥â ¤¢¨- £ âìáï ¯®áâ㯠⥫쭮, ®áâ ¢ ïáì ¢á¥ ¢à¥¬ï ¯ à ««¥«ì­®© á ¬®© ᥡ¥.

®®â¢¥âá⢥­­®, ᪮à®áâì ~vi í«¥¬¥­â à­®© ¬ ááë mi ⢥म£® ⥫ ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ᪮à®á⨠~v0 ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï â®çª¨ O ¨ «¨­¥©- ­®© ᪮à®á⨠¢à 饭¨ï ¢®ªà㣠á¢ï§ ­­®© á ­¥© (¬ëá«¥­­® ¯à®¢¥¤¥­­®©) ®á¨:

~vi = ~v0 + [!~ ~ri]		(7.30)

£¤¥ ~ri | à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à, ®¯à¥¤¥«ïî騩 ¯®«®¦¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­®© ¬ ááë

¯® ®â­®è¥­¨î ª â®çª¥ O.			¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï í«¥¬¥­â à­®© ¬ ááë
à ¢­ ⮣¤ :
Ti =	mi		2	mi	~v0 + [!~ ~ri]		2	=
	2	~v i =				g
				2 f
=	mi		~v0 2 + 2~v0 [~! ~ri] + +[~! ~ri]2 :						(7.31)
	2
¥ªâ®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥			[~! ~ri] ¨¬¥¥â ¬®¤ã«ì, à ¢­ë© !Ri, £¤¥ Ri |

à ááâ®ï­¨¥ ¬ ááë mi ®â ®á¨ ¢à 饭¨ï. «¥¤®¢ ⥫쭮, âà¥âì¥ á« £ ¥-

¬®¥ ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å à ¢­® !2Ri2.

â®à®¥ á« £ ¥¬®¥, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饥

á¬¥è ­­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢, ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯à¨ æ¨ª«¨ç¥áª®© ¯¥à¥áâ -

­®¢ª¥ ᮬ­®¦¨â¥«¥©:

~v0 [~! ~ri] = ~ri

[~v0 !~]:

(7.32)

१ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 ¤«ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ í«¥¬¥­â

⢥म£® ⥫ :

Ti

=

mi

v02 + 2~ri [~v0 ~!] + !2R2i

:

(7.33)

2

«ï ­ 宦¤¥­¨ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ⥫

¯à®á㬬¨à㥬 ¯® ¢á¥¬ í«¥-

¬¥­â à­ë¬ ¬ áá ¬:

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1

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mi + [~v0 !~]

mi~ri + 2

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i

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i

i

㬬 í«¥¬¥­â à­ëå ¬ áá

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i mi = m ¥áâì ¬ áá

⢥म£® ⥫ . ë-

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i mi~ri

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P

RC, £¤¥

RC

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i miRi2

¥áâì ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ⥫

®â­®á¨â¥«ì­® â®çª¨ O.

P

180 « ¢ 7. ¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫

J ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¢à 饭¨ï. ®í⮬㠤«ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ⢥à- ¤®£® ⥫ ¬®¦­® § ¯¨á âì ä®à¬ã«ã:

	mv2	~	J!2
	0		!~] + 2
T =	2	+ mRC [~v0		:	(7.35)

	®áª®«ìªã ¢ë¡®à ¬ëá«¥­­®© ®á¨ ¢à 饭¨ï ¢á¥æ¥«® ¢ ­ 襩 ¢« áâ¨, ¬ë
ã¯à®á⨬ ¢ëà ¦¥­¨¥ (7.35), ¢§ï¢ ¢ ª ç¥á⢥ â®çª¨ O 業âà ¬ áá ⥫ . ®-
£¤	~					¯à¨ ¯«®áª®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ à ¢­
	RC = 0 ¨ ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ⥫
		T =	mvC2	+	JC !2	:	(7.36)
					2
			2
	¤¥áì ~vC | ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥­¨ï 業âà					¬ áá, JC | ¬®¬¥­â ¨­¥à樨

®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¬ áá ¨ ®à⮣®­ «ì­®© ¯«®á- ª®áâ¨, £¤¥ «¥¦ â âà ¥ªâ®à¨¨ â®ç¥ª ⥫ . ª¨¬ ®¡à §®¬, ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ⢥म£® ⥫ ¯à¨ ¯«®áª®¬ ¤¢¨¦¥­¨¨ á« £ ¥âáï ¨§ í­¥à£¨¨ ¯®- áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ᮠ᪮à®áâìî, à ¢­®© ᪮à®á⨠業âà ¬ áá ¨ í­¥à£¨¨ ¢à 饭¨ï ¢®ªà㣠®á¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ 業âà ¬ áá ⥫ .

¢¨¦¥­¨¥ ⢥म£® ⥫ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤¥©áâ¢ãî騬¨ ­ ⥫® ¢­¥è- ­¨¬¨ ᨫ ¬¨ ¨ ¬®¬¥­â ¬¨ íâ¨å ᨫ:

d~vC

m dt = F¢­¥è­ (7.37)

X ~

JC d!dt = X M! ¢­¥è­:

­¤¥ªá ! ¢ ®¡®§­ 祭¨ïå ¤«ï ¬®¬¥­â ¢­¥è­¥© á¨«ë ®§­ ç ¥â ¯à®¥ªæ¨î ¬®¬¥­â ­ ®áì ¢à 饭¨ï.

á«¥¤ãîé¨å § ¤ ç å ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¯«®áª¨¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬.

¤ ç 7.23. à㣫®¥ ®¤­®à®¤­®¥ ⥫® (®¡àãç, 樫¨­¤à, è à) à ¤¨ãᮬ

R ¨ ¬ áᮩ m ᪠âë¢ ¥âáï ¡¥§ ᪮«ì¦¥­¨ï ¯® ­ ª«®­­®© ¯«®áª®á⨠¯®¤ 㣫®¬ ª £®à¨§®­âã á ¢ëá®âë h (à¨á. 7.7). ç «ì­ ï ᪮à®áâì ⥫ à ¢­ ­ã«î. ©â¨ ᪮à®áâì 業âà ¬ áá ¢ ª®­æ¥ á¯ã᪠. ª ª®£® ¨§ ⥫ (®¡àãç, 樫¨­¤à, è à) ª®­¥ç­ ï ᪮à®áâì ¡ã¤¥â ­ ¨¡®«ì襩 ¨ ­ ¨- ¬¥­ì襩?

¥è¥­¨¥: 1-© ᯮᮡ. ® ãá«®¢¨î ⥫® ª â¨âáï ¡¥§ ¯à®áª «ì§ë¢ ­¨ï.â® ãá«®¢¨¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ã ­ á ¤¢ ¦¤ë. ¨« â७¨ï ¬¥¦¤ã ⥫®¬ ¨