Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

		x1	x2 3x3 2x4 3x5 0,
			2x2			4x3		x4		3x5		0,
25)	2x1
		x	x	2	5x		3	5x	4	6x	5	0.
		1
	6x1 3x2 2x3 3x4 4x5 0,
						x3		2x4		3x5		0,
27)	4x1 2x2
	2x 2x			2	x		3	x	4	x	5	0.
		1
		x1 x2 x3 2x4 x5 0,
29)		x1 2x2			3x3			x4		x5 0,
	2x x			2	2x		3	3x	4		0.
		1

x1 2x2 3x3 2x4 x5 0, 26) x1 2x2 7x3 4x4 x5 0,

x1 2x2 11x3 6x4 x5 0.

3x1 2x2 4x3 x4 2x5 0, 28) 3x1 2x2 2x3 x4 0,

3x1 2x2 16x3 x4 6x5 0.

	x			x		x	2x		x 0,
		1			2	3		4	5
30)	x1			x2		2x3	x4		2x5	0,
	x 3x				2	4x	3x	4		0.
		1				3

3. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства

указаны в таблице.

	Вид	Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.			запас
					сырья, вес.
	сырья	1	2	3
					ед.
	1	5	12	7	2000+N
	2	10	6	8	1900+N
	3	9	11	4	2100+n

Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. (N – номер варианта)

52

Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2.1 Векторная алгебра

2.1.1 Векторы и действия над ними

Определение 1. Скалярными называются величины, которые

характеризуются одним числом.

Определение 2. Вектор – это направленный отрезок. Векторы обозначаются одной a , a или двумя буквами AB , AB .

Определение 3. Длиной вектора называется его модуль и

обозначается | a | или | AB | :

x2 y

2 z2

,

(1)

| a |

где a(x; y; z) – координаты вектора.

Направляющие

косинусы

вектора

определяются по

a

формулам:

cos

x

; cos

y

cos

z

;

.

(2)

| a |

| a |

| a |

Если известны

координаты

начала

A(x1, y1, z1)

и конца

B(x2 , y2 , z2 ) вектора, то координаты вектора

AB определяются по

формуле:

AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1 ) .

(3)

Длина вектора

AB :

| AB |

(x

x )2

( y

2

y )2

(z

2

z )2 .

(4)

2

1

1

1

53

Определение 4. Вектор, длина которого равняется нулю,

называется нулевым вектором.

Определение 5. Вектор, длина которого равняется единице,

называется единичным или ортом.

Определение 6.	Векторы, расположенные на одной или
параллельных прямых, называются коллинеарными.
Условие коллинеарности векторов a(x1, y1, z1)								и b (x2 , y2 , z2 ) :
		x1		y1		z1	.
		x2		y2		z2
Определение 7.	Векторы,				расположенные			на одной или

параллельных плоскостях, называются компланарными.

Определение 8. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Разность между координатами проекций конца и начала вектора

AB на ось l называется проекцией вектора AB на эту ось:

прl AB xB xA .

Если вектор AB образует с осью l острый угол, то xB xA , и

проекция вектора положительна; если угол тупой, то проекция

отрицательна; если вектор AB перпендикулярен оси l, то проекция равна нулю.

Свойства проекций:

прl a | a | cos ;

прl (a b ) прl a прl b ;

прl (a ) прl a .

54

Произведение проекции вектора a на ось l и единичного вектора этой оси называется составляющей вектора по оси l.

Нахождение проекции одного вектора на направление другого:

		a	b			a	b
npb a				; npab				.
		| b |				| a |

Определение 8. Линейными называются операции сложения,

вычитания векторов и умножение вектора на число.

Сложение векторов графически имеет вид:

		а	с a b
а	b
	с a b		b
а) правило треугольника		б) правило параллелограмма.
	Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения –
переместительному		a b b a	и	сочетательному
a b c (a b ) c a (b c ) .
	Разность векторов графически имеет вид:
	b		а
		c a b

55

Определение 9. Произведением вектора a на число называется вектор a , коллинеарный вектору a и имеющий модуль

| a| | | | a | .

Произведение вектора на число обладает следующими

свойствами:

1). 1 a a ;		4). 1 (2 a ) (1 2 ) a ;
2).	0 a 0 ;	5).	(1 2 ) a 1 a 2 a ;
3).	0 0	6).	(a b ) a b .

Каждый вектор можно представить в виде произведения его

модуля на орт.

Пример 1. Даны начало

A( 1, 2,3)

и конец B(2,6, 2) вектора

AB . Найти координаты вектора AB и его длину.

Решение. Найдем координаты вектора AB :

AB (2 ( 1);6 2; 2 3) (3, 4, 5)

или AB 3i

4 j 5z .

| AB | 32 42 ( 5)2 50 5 2 .

Пример 2. Даны векторы

3, 1)

Найти

a(2,

и b(1, 1, 2) .

координаты и длину вектора c 2a 3b .

Решение. По формуле умножения вектора на число имеем:

2a (2 2; 2 3; 2 ( 1)) (4;6; 2) ,

3b ( 31; 3 ( 1); 3 2) ( 3; 3; 6) .

По формуле сложения векторов имеем:

			(4 ( 3); 6 3; 2 6) (1; 9; 8) .
c	2a	3b

56

2.1.2 Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов a

и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a b	a		b	cos .	(1)

Свойства скалярного произведения:

		2	или a2		a		2
1) a a	a							;

2)a b 0 , если a 0 , или b 0 , или a b ;

3)a b b a ;

4)a b c a b a c ;

5)ma b a mb m a b .

Условие перпендикулярности двух векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равняется нулю:

								0 .
a	b	0 a		b, a		0, b
Скалярное произведение				векторов					можно выразить
							a	и b
также формулами:
									(2)
	a	b	| a | np b		| b | np a .

a b

Скалярные произведения ортов осей координат: i 2 j2 k2 1, i j i k j k 0 .

57

Пусть векторы

a

и

b

заданы

своими

координатами:

a x1i y1 j z1 k , b x2 i y2

j z2 k . Тогда скалярное произведение

этих векторов находится по формуле

a b x1x2 y1 y2 z1z2 .

(3)

Механический смысл скалярного произведения: работа А на

прямолинейном

участке пути

равняется

скалярному

произведению

вектора силы F на вектор перемещения S :

A

F

S .

(4)

Нахождение проекции одного вектора на направление другого:

a

b

a

b

npb a

; npab

.

| b |

| a |

Угол между векторами a

и b :

a

b

a

b

cos( a,b)

arccos

.

| a |

| b |

| a | | b |

Пример

1.

Найти

скалярное

произведение

векторов

a 3i 4 j 7k и b 2i 5 j 2k .

Решение. Находим a b 3 2 4( 5) 7 2 0 . Так как a b 0 ,

то a b .

Пример 2. Даны векторы

a mi 3 j 4k

и b 4i m j 7k .

При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

Решение. Находим скалярное произведение

этих

векторов:

a b 4m 3m 28 , так как.

a b , то a b 0 .

Отсюда 7m 28 0 , т.е.

m 4 .

58

Пример 3. Даны вершины A(0,1, 2) , B(3, 1,1) и C(5,0,3)

треугольника. Найти угол при вершине А.

Решение. Найдем угол между векторами AB и AC :

AB (3, 0, 1); AC (5,1,1) .

Тогда

cos

3 5 0 1 ( 1) 1

14

0,852 ;

32 02 ( 1)2 52 12

12

10

27

arccos0,852 32O .

Пример

4.

Вычислить,

какую

работу

совершает

сила

F (2; 1; 4) ,

когда точка ее приложения, двигаясь

прямолинейно,

перемещается из положения M (1; 1; 3) в положение N (5; 6;1) .

Решение.

Найдем координаты вектора S :

S MN

(4; 4; 2) .

С помощью формулы работы находим:

A F

S

2

4 ( 1) ( 4) ( 2) ( 4) 20 (ед. работы).

2.1.3. Векторное произведение векторов

Определение

1.

Векторным

произведением

вектора

a на

вектор b

называется

третий вектор

c ,

определяемый следующим

образом:

1).

модуль

вектора c равняется произведению модулей

векторов a и b на синус угла между ними, т.е.

c

a

b

sin ,

(1)

59

где – угол между векторами a и b ;

2). вектор c перпендикулярен векторам a и b ;

3). векторы a , b и c после приведения к общему началу ориентированы как орты i , j, k (в правой системе координат образуют так называемую правую тройку векторов).

Векторное произведение a на b обозначается a b .

Свойства векторного произведения:

1)b a a b ;

2)a b 0 , если a 0 , или b 0 , или a||b ;

3)(ma) b a (mb) ;

4)a (b c) a b a c .

Векторные произведения координатных ортов i , j и k : i i j j k k 0 ,

i j j i k ; j k k j i ; k i i k j .

Геометрический смысл векторного произведения: модуль

векторного произведения векторов a и		b равен	площади S
параллелограмма, построенного на векторах a и b , т.е.
			(2)
S | a	b | ,

соответственно, площадь треугольника, построенного на этих векторах, выражается формулой:

		1
	S		| a	b | .	(3)
		2

60

Механический смысл векторного произведения: определение

момента силы F ,				приложенной к точке М,																					относительно точки А,
находится по формуле:
									mA F				AM F .																	(4)
Векторное				произведение													векторов									a x1i y1				j z1 k и
b x2 i y2 j z2 k				удобнее всего находить по формуле
														i			j		k
								a b						x1			y1		z1			.								(5)
														x2			y2		z2
Пример			1.		Найти								векторное										произведение							векторов
a 2i 3 j 5k и b i j k .
Решение. Имеем
a b		i		j	k		i		3 5				j			2 5			k		2 3				7i 3 j 1k
		2 3 5
		1	2		1				2		1					1	1				1		2
Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного
на векторах a 6i 3 j 2k и b 3i 2 j 6k .
Решение. Находим векторное произведение a на b :
			i		j			k					3				2					6 2					6	3
a b			6		3 2					i									j							k
			3		2			6					2				1					3		6			3	2

14i 42 j 21k .

61