3 Формування функції корисності частинних критеріїв

На множині Парето (області компромісів) ранжирування альтернатив пов’язане з формуванням деякої узагальненої скалярної оцінки, яка враховує всі частинні критерії (оцінки) і формалізує уявлення ОПР про перевагу альтернатив.

Така оцінка може бути розглянута як функція корисності частинних критеріїв

Функція корисності має задовольняти такі вимоги:

1) – область значень функціїтобто

2) інваріантна до розмірності частинного критерію

3) інваріантна до виду екстремуму частинного критерію

Остання вимога означає,що незалежно від виду екстремуму (мінімум обо максимум) частинного критерію його найкращому значенню на множинімає відповідати максимальнеа найгіршому – мінімальнезначення функції корисності

Крім того, функція корисності частинного критерію має описувати як лінійні, так і нелінійні залежності корисності альтернативи від значення частинного критерію.

Формально задача нормалізації частинних критеріїв розглядається як задача вторинного шкалування (вибір єдиної шкали для всіх частинних критеріїв).

Задача формалізації інформації про ступінь домінування альтернатив або переваг ОПР вимагає описування поряд з лінійними також нелінійних залежностей.

У багатьох випадках корисність частинних критеріїв нелінійно залежить від їхніх значень. Наприклад, корисність житлової площі для конкретної родини, цінність швидкодії обо обсягу оперативної пам’яті персонального комп’ютера для конкретно користувача й т.д.

Оскільки кожна альтернатива характеризується декількома частинними критеріями, то, у загальному випадку, вона описується нелінійностями різного типу.

Всім перерахованим вимогам відповідає функція локальної корисності вигляду

(5.8)

де - значення частинного критерію;

- відповідно найкраще й найгірше значення частинного критерію на області припустимих рішень.

Залежно від виду екстремуму (напряму домінування) маємо

Параметр визначає вид залежності:- увігнута функція при- лінійна функція при- опукла функція привідповідно. Графік функціїпри різнихпоказаний на рис.5.1.

Рисунок 5.1 – Графіки за різних

Оскільки тає константами, то функція корисності (5.8) може бути записана у вигляді

(5.9)

де

Таким чином, обрана функція корисності частинних критеріїв є інтервальною нелініййною шкалою з адаптованими до конкретної ситуації параметрами таПричомувона перетворюється в лінійну інтервальну шкалу.

Всі частинні критерії, незалежно від того, у якій шкалі вони спочатку обмірювані, мають бути перетворені в шкалу (5.9). Ця процедура не икликає ускладнень, якщо частинний критерій вимірюється у кожній з кількісних шкал: абсолютній, подібності або інтервальній. Ці шкали містять об’єктивну, кількісну інформацію про значення критерію, інтервали його можливої зміни, максимальне та мінімальне значення, напрям домінування. Дана інформація дозволяє обчислити об’єктивні значення коефіцієнтівтаОПР повинна установити тільки силу переваги різних значень критерію, визначити характер залежності корисності від абсолютних значень критерію, тобто задати значення параметра

Зазначимо, що виникають ситуації, коли на інтервалі можливого змінювання критерію задані два напрями домінування. Наприклад, проводиться оцінка якості джерела електропостачання і як частинний критерій розглядається стабільність видаваної напруги. Очевидно, що найкращим значенням буде нормальна напруга, а відхилення як у більшу, так і меншу сторону небажані. У цьому випадку виникає ситуація, зображена на рис. 5.2, де стрілками вказані напрями домінування. У загальному випадку лівий і правий інтервал можуть відрізнятися діаметром і характером зміни корисності. Наприклад, підвищення напруги може бути більш небезпечним, тому що може призвести до руйнування системи. У цьому випадку для кожного інтервалу будується окрема функція корисності.

Рисунок 5.2 – Двостороннє домінування

Зміна артеріального тиску людини належить до такої ж ситуації.

Аналогічно може бути інтерпретований один із частинних критеріїв ефективності економіки – курс національної валюти. Найкращим значенням цього критерію є стабільне значення. Відхилення, тобто як підвищення, твк і зниження курсу, небажані, однак вони мають різні наслідки (корисності).

Якісна картина змінювання функції корисності в цьому випадку показана на рис. 5.3, де цифрами 1 і 2 позначені функції корисності відповідно при відхиленні в меншу й більшу сторони від норми.

Рисунок 5.3 – Графіки функції корисності при двосторонньому домінуванні