10.2 Розв’язування задач

Задача 10.1 Критерій Вальда настільки «песимістичний», що іноді може призводити до нелогічних висновків. Для обґрунтування необхідності застосування «менш песимістичного» критерію Севіджа розглянемо задачу прийняття рішення в умовах невизначеності з матрицею виграшів вигляду (табл. 10.1):

Таблиця 10.1 – Матриця виграшів прикладу 10.1

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
	s1	s2
x1	-11 000	-90
x2	-10 000	-10 000

Розв’язання: Розв’язуючи цю задачу за критерієм Вальда (формула (10.2)), отримаємо, . Але інтуїтивно можна було б вибрати, оскільки не виключено, що наступить стан зовнішнього середовища s₂, і втрати складуть тільки 90 одиниць. У той же час вибір завжди призводить до втрат 10 000 одиниць за будь-якого стану зовнішнього середовища.

Використовуючи формули (10.3), отримаємо рішення за критерієм Севіджа. Для цього складемо матрицю ризиків (табл. 10.2).

Таблиця 10.2 - Матриця ризиків прикладу 10.1

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
	s1	s2
x1	1000	0
x2	0	9910

Отримаємо: , .

Відповідь: Таким чином, критерій Севіджа допоміг прийти до більш логічного розв’язання задачі.

10.3 Контрольні питання

1. Чим характеризуються задачі прийняття рішень в умовах пасивної взаємодії ОПР і зовнішнього середовища?

2. Для чого при розв’язанні задач даного класу необхідне прийняття гіпотези про поводження зовнішнього середовища щодо ОПР?

3. Перелічити основні критерії прийняття рішень в умовах пасивної взаємодії ОПР і зовнішнього середовища.

4. У якому сенсі критерій Севіджа є менш песимістичним, ніж критерій Вальда?

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 11

Тема. Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца. Критерій Ходжеса-Лемана.

Мета: вміти використовувати критерії для прийняття рішення. Порівнювати критерії та вміти обрати потрібний критерій для конкретної задачі.

11.1 Короткі теоретичні відомості.

11.2 Розв’язування задач.

11.3 Контрольні питання.

11.1 Короткі теоретичні відомості

Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца

У практиці прийняття рішень ОПР керується не тільки критеріями, пов'язаними із крайнім песимізмом або врахуванням максимального ризику. Намагаючись зайняти найбільш урівноважену позицію, ОПР може ввести оцінний коефіцієнт, що називається коефіцієнтом песимізму , який приймає значення в інтервалі [0, 1] і відображує ситуацію, проміжну між точками зору крайнього оптимізму й крайнього песимізму. Цей коефіцієнт визначається на основі оцінки сформованої обстановки, статистичних досліджень результатів прийняття рішень або особистого досвіду прийняття рішень у схожих ситуаціях. Критерій Гурвіца виражається співвідношенням:

(11.1)

При визначенні оптимальної стратегії за критерієм Гурвіца матриця виграшів доповнюється стовпцем, елементи якого розраховуються за формулою

Оптимальною за даним критерієм уважається стратегія, у якій значення є максимальним

При критерій Гурвіца перетворюється в критерій Вальда. Гїри він перетворюється в критерій “ азартного гравця ”, що робить ставку на те, що «настане» найкращий випадок.

Критерій Гурвіца застосовується в ситуації, коли:

• інформація про стани зовнішнього середовища відсутня або недостовірна;

• необхідно зважати на появу кожного стану зовнішнього середовища;

• реалізується тільки мала кількість рішень;

• припускається деякий ризик.

Критерій Ходжеса-Лемана

Критерій Ходжа-Лемана застосовується в ситуації, коли ОПР має відомості про ймовірності станів зовнішнього середовища, хоча не має до них повної довіри. Цей критерій спирається одночасно на критерій Вальда та критерій максимального математичного сподівання. При визначенні оптимальної стратегії за цим критерієм уводиться параметр вірогідності інформації про розподіл імовірностей станів зовнішнього середовища, значення якого перебуває в інтервалі [0,1]. Якщо ступінь вірогідності великий, то домінує критерій максимального математичного сподівання, інакше — критерій Вальда. Вираз для критерію Ходжа-Лемана має вигляд

(11.2)

Матриця виграшів доповнюється стовпцем, коефіцієнти якого визначаються за формулою

(11.3)

де и - параметр вірогідності інформації про ймовірності станів зовнішнього середовища.

Оптимальною за даним критерієм уважається та стратегія, у якій значення L_і є максимальним

Даний критерій застосовується, коли:

• є інформація про ймовірності станів зовнішнього середовища, однак ця інформація отримана на основі відносно невеликого числа спостережень і може змінитися;

• прийняте рішення теоретично допускає нескінченно багато реалізацій;

• за малого числа реалізацій допускається деякий ризик.

Загальні рекомендації з вибору того або іншого критерію дати важко. Однак відзначимо таке: якщо в окремих ситуаціях не допустимий навіть мінімальний ризик, то необхідно застосовувати критерій Вальда; якщо певний ризик цілком прийнятний, то можна скористатися критерієм Севіджа або Гурвіца. Можна рекомендувати одночасно застосовувати по черзі різні критерії. Після цього серед декількох варіантів, відібраних у такий спосіб як оптимальні, доводиться вольовим рішенням вибирати деяке остаточне рішення.