4 Принцип послідовної оптимізації ( лексикографічного впорядкування)

Ідея цього методу полягає в перетворенні багатокритеріальної оптимізаційної задачі в упорядковану послідовність однокритеріальних задач.

Із цією метою всі частинні критерії впорядковуються за спаданням важливості, тобто встановлюється лінійних порядок

, (4.8)

де - символ відношення порядку.

Відповідно до послідовності (4.8) розв’язуються однокритеріальні оптимізаційні задачі за кожним частинним критерієм.

За принципом послідовної оптимізації із двох рішень ,перше краще, тобто, якщо

таке, що .

Найкраще рішення визначається в такий спосіб.

На першому кроці з вихідної множини припустимих рішень виділяється підмножинарішень, еквівалентних за першим (важливим) критерієм. Для цього розв’язується однокритеріальна оптимізаційна задача вигляду

(4.9)

Якщо множина містить більше одного рішення, необхідно перейти до наступного етапу, тобто розв’язати задачу вибору еквівалентних рішень відносно другого за важливістю критерію, але вже із множини:

(4.10)

У загальному випадку

(4.11)

тут =.

Якщо всі окремі критерії “вичерпані” і не знайдене єдине рішення, формуються додаткові критерії. Оптимізація триває, доки не буде знайдене єдине рішення.

Якщо вже на перших кроках оптимізації знайдене єдине рішення, тоді всі наступні частинні критерії не враховуються. У цьому випадку може бути застосований метод поступки, відповідно до якого ОПР призначає припустимий рівень зниження частинного критеріюв порівнянні з його екстремальним значенням:

, (4.12)

за умови , якщомаксимізується;, якщомінімізується.

Вибір величини поступки здійснюється ОПР евристично і залежить від особливостей задачі оптимізації.

Якщо буде потреба ранжирування всієї множини рішень , отримане найкраще рішення виключається з, а на решті повторюється описана вище процедура. У результаті визначається друге за якістю рішення. І так далі, доки не будуть упорядковані всі рішення із множини.

4.2 Контрольні питання

1. У чому полягає принцип головного критерію?

2. Що таке функціонально-вартісний аналіз? Які при цьому види оптимізаційних критеріїв?

3. Сформулюйте принцип послідовної оптимізації.

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 5

Тема. Формування узагальнених багатокритеріальних оцінок. Вимірювання та шкалування частинних критеріїв. Формування функції корисності частинних критеріїв. Перетворення дихотомічного якісного фактора. Перетворення багатозначного якісного фактора.

Мета: навчитися формувати узагальнені багатокритеріальні оцінки та функції корисності частинних критеріїв. Застосовувати придбані знання для розв’язку практичних задач.

5.1 Короткі теоретичні відомості.

5.2 Контрольні питання.

5.1 Короткі теоретичні відомості

1 Формування узагальнених багатокритеріальних оцінок

Найбільш загальний та універсальний підхід до розв’язання задачі багатокритеріальної оптимізації (3.1) відомий як проблема багатофакторного оцінювання. Центральною задачею цієї проблеми є побудова узагальненої оцінки рішень .

Розв’язання задачі побудови (ідентифікації, синтезу) математичної моделі в загальному випадку вимагає вирішення таких задач:

• визначення виду (структури) математичної залежності початкових та вихідних змінних, тобто задача структурної ідентифікації;

• обчислення кількісних характеристик (параметрів) моделі – задача параметричної ідентифікації.

Теоретичною основою формування узагальнених багатокритеріальних скалярних оцінок є теорія корисності, яка ґрунтується на гіпотезі, запропонованій Дж. фон Нейманом та О. Моргенштерном про те, що кожна локальна характеристика рішення, оцінювана частинними критеріями, має для ОПР деяку цінність (корисність), що може бути вимірювана кількісно й тому існує узагальнена кількісна оцінка переваги рішення. Це означає, що якщо рішення ,такраще (переважніше), то

де - кількісна оцінка узагальненої корисності рішення;

знак означає, що справедливо як пряме, так і зворотне твердження.

Таким чином, узагальнена корисність є кількісною оцінкою переваги рішення.

У межах цієї гіпотези необхідно обґрунтувати правило, за яким формується корисність рішення в просторі частинних критеріїв.

Принциповим є те, що об’єктивного правила не існує, а принцип ранжирування рішень відображає переваги конкретного ОПР. Таким чином, теорія корисності та вибір конкретного виду функцій корисності має аксіоматичний характер, при чому аксіоматика відображає переваги конкретного ОПР. У зв’язку з цим може виникнути сумнів у доцільності реалізації конструктивного підходу. Тому в основу теорії корисності покладена гіпотеза про існування “раціонального поводження ОПР”, що має на увазі “близкість” рішень різних ОПР в однакових умовах.

У межах цієї гіпотези формалізація процесу ранжирування рішень, по-перше, допомагає ОПР обґрунтувати свої переваги , а по-друге, дозволяє сформувати кількісну оцінку всіх . Процедура оцінки може здійснюватись без участі ОПР, у тому числі й за допомогою комп’ютера. Таким чином, відкривається можливість автоматизації процесів прийняття рішень.

Очевидно, що узагальнена корисність будь-якого рішення визначається значеннями частинних критеріївщо характеризують рішення, і, у загальному випадку, ці характеристики не рівнозначні, тобто мають різну“вагу” для ОПР. Це означає, що узагальнена корисність рішення може бути подана у вигляді

(5.1)

де - параметри, що приводять різнорідні частинні критеріїдо єдиного виміру.

Наступний етап полягає в ідентифікації виду відображення .

Найбільш широко відомі дві форми функції корисності

• адитивна

(5.2)

• мультиплікативна

(5.3)

Зазначимо, що найбільш інформативною є ситуація, коли задані у вигляді числових значень. Оскільки параметрив цьому випадку є константами, то (5.3) можна зобразити у вигляді:

_(5.4)

Звідси зрозуміло, що мультиплікативна форма не дозволяє врахувати інформацію про перевагу (важливості) частинних критеріїв, тому що є постійним масштабним множником, а, отже всі критерії стають рівнозначними, що не відповідає в загальному випадку вихідній гіпотезі.

Слід зазначити, що за однакової можливості частинних критеріїв адитивна та мультиплікативна оцінка еквівалентні.

Таким чином, адитивна форма (5.3) є більш універсальною. У деяких ситуаціях узагальнені оцінки корисності формуються у вигляді різних комбінацій адитивних і мультиплікативних форм, наприклад:

Зазначимо, зокрема, що при функціонально - вартісному аналізі критерій (4.1) є адитивним, а (4.4) – мультиплікативним.

Мультиплікативні критерії широко використовуються в економіці. Як приклади можна навести критерії оцінки роботи, зробленої транспортною системою в тонно-кілометрах (добуток ваги вантажу та відстані, на яку він перевезений), витрат праці в людино-годинах (добуток числа працюючих на тривалість роботи) і т.д.

Розглянемо адитивну форму оцінки узагальненої корисності більш докладно. Можна говорити про коректність оцінки (5.3) тільки в тому випадку, якщо коефіцієнти ,, ураховують не тільки важливість частинних критеріїв,, але й приводять різнорідні критерії,, до єдиної розмірності і єдиного інтервалу вимірювання. Прикладом такого коефіцієнта є ціна, що дозволяє привести до вартісного вираження деякий набір різнорідних товарів. Однак, у загальному випадку, визначення значень таких коефіцієнтів ускладнено.

Цю обставину можна подолати, якщо зобразити адитивну функцію у вигляді

, (5.5)

де - безрозмірні вагові коефіцієнти відносної важливості частинних критеріїв, для яких виконуються обмеження

, (5.6)

а - нормалізовані частинні критерії.

Нормалізація частинних критеріїв означає, що вони приводяться до однакової розмірності та інтервалу можливих значень, а також стають інваріантними до виду екстремуму (максимуму або мінімуму).

За визначенням - безрозмірні коефіцієнти, тому розмірність кожного частинного критеріюмає збігатися з розмірністю, тобтохарактеризує локальну корисністьї характеристики рішень. Позначимо. Відповідно до цього (5.5) набуває вигляду:

, (5.7)

Модель оцінювання (5.7) справедлива тільки в тому випадку, якщо вагові коефіцієнти частинних критеріївзадані точними кількісними значеннями. Як ми вже зазначали вище, носіями цієї інформації є ОПР, і, отже необхідні деякі процедури її одержання, тобто розв’язання задачіпараметричної ідентифікації моделі. Через різні причини отримання точної кількісної інформації про коефіцієнти не завжди можливе, тому, у загальному випадку, оцінювання доводиться робити в умовах невизначеності.

Основними ситуаціями є випадки, коли:

1. задані у вигляді точних кількісних значень;

2. Інформація про вагові коефіцієнти задана з різним ступенем невизначеності;

3. Інформація про перевагу частинних критеріїв повністю відсутня.

Таким чином, потрібна модель, що на відміну від моделі (5.7) враховуватиме вигляд інформації про значення вагових коефіцієнтів ,. Побудова такої моделі містить у собі розв’язання таких задач:

— розробка методів параметричної ідентифікації модем, тобто методів одержання від ОПР інформації про коефіцієнти взаємної важливості частинних критеріїв,;

— формування вигляду оцінки узагальненої корисності , тобто задачаструктурної ідентифікації моделі;

— побудова функцій локальної корисності , тобто нормалізація частинних критеріїв,.