2 Універсальна математична модель багатокритеріального оцінювання й оптимізації

Розглянемо універсальну модель оцінювання та оптимізації, яка може легко адаптуватися до конкретної інформаційної ситуації та, залежно від цього, реалізувати одну з основних проблемно-орієнтованих математичних моделей багатокритеріального оцінювання та оптимізації: адитивну, послідовної оптимізації, мінімаксну(максимінну).

Як така пропонується універсальна модель:

(6.10)

(6.11)

де - адаптаційний параметр;- функція втрати корисності.

Покажемо, що запропонована модель дозволяє реалізувати основні проблемно-орієнтовані багатокритеріальні оцінки.

3 Реалізація адитивної оцінки

Для реалізації адитивної багатокритеріальної оцінки достатньо у моделях (2.39), (2.40) покласти параметр

(6.12)

(6.13)

4 Реалізація моделі послідовної оптимізації

Вихідна інформація в цьому випадку подана у вигляді впорядкованої за важливістю множини частинних критеріїв

Аналіз проводиться послідовно за кожним критерієм шляхом розв’язання однокритеріальних оптимізаційних задач. Для реалізації цієї моделі необхідно покласти в (6.10), (6.11). Перехід до однокритеріальних задач здійснюється шляхом вибору відповідних значень вагових коефіцієнтів,і додаванням необхідних додаткових обмежень. Покажемо це на прикладі.

Крок 1. Вважаємо таУнаслідок умовикоефіцієнтиТаким чином, з (6.10) отримуємо модель вигляду

Крок 2. та

і т. ін.

Аналогічна процедура триває послідовно за кожним частинним критерієм (для цього необхідно прийняти)

(6.14)

до одержання єдиного рішення.

Очевидно, що для випадку мінімізації втрати корисності (4.12) модель послідовної оптимізації набуває вигляду

(6.15)

5 Реалізація мінімаксної та максимінної оцінок

Математична модель (6.10) при перетворюється в модель

а (6.11) при

Із сказаного вище випливає, що узагальнена адаптивна математична модель багатокритеріального оцінювання та оптимізації (6.10), (6.11) шляхом вибору відповідного значення адаптаційного параметра і адекватного врахування вихідної інформації про значення вагових коефіцієнтівчастинних критеріївдозволяє реалізувати основні моделі оцінювання та оптимізації.

6.2 Розв’язування задач

Комп’ютери оцінюються за трьома критеріями: швидкодія, обсяг оперативної пам’яті, вартість. Пропонуються такі моделі комп’ютерів (табл.6.1):

Таблиця 6.1 – Вихідні дані

Модель (альтернатива)	Процесор, GHz,	Оперативна пам’ять, Мб	Ціна, грн .
	1,8	256	1500
	2,0	128	1800
	2,0	256	2600
	2,2	128	2500
	2,5	256	3200
	2,5	128	2700
	2,6	128	3500
	2,6	512	4700
	3,0	256	3600
	3,1	256	4600

Необхідно вибрати модель комп’ютера за критеріями

Область припустимих рішень

Область компромісів. Область згоди. Наближена область компромісів

Отже,

Принцип головного критерію

• Головний критерій - вартість;та- обмеження;

Формуємо область припустимих рішень яка задовольняє задані обмеження:

Тоді - найкраще рішення.

• Головний критерій - швидкодія;та- обмеження;

Формуємо область припустимих рішень яка задовольняє задані обмеження:

Тоді - найкраще рішення.

• Головний критерій - об’єм пам’яті; та- обмеження;

Формуємо область припустимих рішень яка задовольняє задані обмеження:

Тоді - найкраще рішення.

Функціонально-вартісний аналіз

Критерії функціональні (якість)

Критерії вартісні (витрати)

1. Нехай тоді

Формуємо область припустимих рішень що задовольняє задані обмеження

Тоді Значення відношеннядля різних альтернатив наведені в табл.2.8.

Таблиця 6.2 – Значення відношення

- найкраще рішення.

2. Нехай тоді

Формуємо область припустимих рішень що задовольняє задані обмеження

Тоді Значення відношеннядля різних альтернатив наведені в табл.6.3.

Таблиця 6.3 – Значення відношення

- найкраще рішення.

Принцип послідовної оптимізації

1. Нехай

Оскільки досягає екстремальне значення в єдиній точцізастосуємо схему поступки

, - найкраще розв’язання.

2. 

Оскільки досягає екстремальне значення в єдиній точцізастосуємо схему поступки

, - найкраще рішення.

Функція корисності

Обчислимо функції локальної корисності критеріїв. Скористаємося співвідношенням вигляду

Для складання функції корисності визначимо відповідні значення критеріїв наведені в табл. 6.4.

Таблиця 6.4 – Значення критеріїв і

Значення	Значення	Значення

Значення функцій локальної корисності за кожним із критеріїв наведені в таблиці 6.5.

Таблиця 6.5 – Значення функцій локальної корисності

Альтернатива	Значення	Значення	Значення
	0,000	0,333	1,000
	0,154	0,000	0,906
	0,154	0,333	0,656
	0,308	0,000	0,688
	0,538	0,333	0,469
	0,538	0,000	0,625
	0,615	0,000	0,375
	0,615	1,000	0,000
	0,923	0,333	0,344
	1,000	0,333	0,031

Модель максимальної узагальненої корисності

Нехай важливість критеріїв задається кількісно за допомогою коефіцієнтів застосуємо модель максимальної узагальненої корисності

за різними наборами значень Значення функціїнаведені в табл. 6.6.

Таблиця 6.6 – Значення функції максимальної узагальненої корисності

Альтернатива	Значення функції
	0,444	0,367	0,267	0,733
	0,353	0,227	0,274	0,665
	0,381	0,344	0,290	0,523
	0,332	0,230	0,322	0,543
	0,447	0,422	0,483	0,469
	0,388	0,287	0,448	0,545
	0,330	0,260	0,444	0,386
	0,538	0,685	0,569	0,223
	0,533	0,512	0,689	0,459
	0,455	0,473	0,673	0,255
	0,538	0,685	0,689	0,733

Модель максиміна

У ситуації, коли інформація про коефіцієнти відсутня, скористаємося моделлю максиміну. ВизначимоЗначення функціїдля кожної з альтернатив наведені в табл. 6.7.

Таблиця 6.7 – Значення функції

Альтернатива	Значення	Альтернатива	Значення
	0,000		0,000
	0,000		0,000
	0,154		0,000
	0,000		0,333
	0,333		0,031

Якщо покласти, наприклад, тоа якщото -- найкраще рішення.

Відповідь: Таким чином, використання різних моделей компромісу в задачі про вибір моделі комп’ютера призводить до різних результатів, що цілком погоджується з теорією. Кожне з отриманих розв’язань визначається не тільки вибором моделі компромісу, але й суб’єктивізмом ОПР при заданні обмежень, упорядкуванням критеріїв за важливістю й коефіцієнтами важливості. Остаточний вибір моделі комп’ютера може бути проведений на основі аналізу сильних і слабких сторін рішень, отриманих за допомогою різних моделей компромісу.