11.2 Розв’язування задач

Задача 11.1 Продовжимо розв’язання задачі про придбання пакета акцій підприємства, сформульованої в прикладі 8.1. Припустимо, що ймовірності сценаріїв S₁, S₂, S₃, S₄ або невідомі, або ОПР уважає їх недостовірними. Застосуємо для розв’язання критерії, наведені в пунктах 10,11.

Розв’язання:

• Критерій недостатньої підстави Лапласа

Оцінки розв’язань за формулою (10.1)

М(х₁) = (6 - 7 + 10 + 6)/4 = 3.75,

М(х₂) = (4 + 6 - 3 + 4)/4 = 2.75,

М (х₃) = (8 + 8 - 2 + 3)/4 = 4.25,

, .

Таким чином, якщо є підстави припускати, що всі сценарії рівноймовірні, фірмі рекомендується придбати пакет акцій П₃.

• Критерій Вальда

Використовуючи формулу (10.2) і матрицю виграшів, отримаємо оцінки альтернатив х_і

W₁ = min {6, - 7,10, 6} = -7,

W₂ = min {4, 6, - 3, 4} = -3,

Wз =min{8, 8, -2, 3} = -2.

, .

Таким чином, фірмі слід придбати пакет акцій підприємства П₃.

• Критерій Севіджа

Користуючись формулою (10.3) і матрицею ризиків, отримаємо оцінки альтернатив х_і

R₁ = max {2,15, 0, 0} = 15,

R₂ = max{4, 2,13, 2} = 13,

R ₃ = max{0, 0,12, 3> = 12.

, .

Таким чином, орієнтуючись на мінімаксний ризик, фірмі слід придбати пакет акцій підприємства П₃.

• Критерій Гурвіца

Припустимо, що є підстави думати, що несприятливі умови (сприятливі зниженню вартості акцій) здебільшого ймовірніші, ніж сприятливі. Для прийняття рішень за критерієм Гурвіца виберемо значення коефіцієнта песимізму. Використовуючи формулу (11.1) і матрицю виграшів, отримаємо оцінки альтернатив х_і

, .

Таким чином, фірмі слід придбати пакет акцій підприємства П₃.

• Критерій Ходжеса-Лемана

Припустимо, що ймовірності сценаріїв S₁, S₂, S₃, S₄ оцінені експертами й рівні відповідно 0.3, 0.1, 0.1, 0.5, однак ОПР не довіряє їм повністю. ОПР вважає їх достовірними з параметром u = 0.5. Отримаємо оцінки альтернатив за допомогою формули (4.5).

Відповідь: Таким чином, фірмі рекомендується придбати пакет акцій П₃.

Отже, з урахуванням всіх п'яти застосованих критеріїв, кращим рішенням виявилася покупка пакета акцій підприємства П₃.

11.3 Контрольні питання

1. В чому полягає критерій песимізму-оптимізму Гурвіца?

2. В чому полягає критерій Ходжеса-Лемана.

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 12

Тема. Динамічне програмування

Мета: навчитися розв’язувати конфліктні ситуації за допомогою теорії ігор.

12.1 Короткі теоретичні відомості.

12.2 Розв’язування задач.

12.3 Контрольні питання.

12.1 Короткі теоретичні відомості

1. Динамическое программирование.

Это особый метод, он специально приспособлен для оптимизации динамических задач, в которых операция состоит из элементов, сильно влияющих друг на друга. ДП связано с именем Ричарда Беллмана, который сформулировал принцип Беллмана. Он позволяет существенно сократить перебор решений в многоэтапных нелинейных задачах.

Рассмотрим экономическую задачу распределения ресурсов: пусть есть начальный капитал . Его можно потратить на несколько предприятий. количество средств вкладываемых в ом году, вое предприятие. В результате получается эффект:

В общем случае это не линейная функция.

Так как функция нелинейная, то получаем задачу нелинейного программирования. Решать её сложно, кроме того, частодискретные значения. Вопрос: нельзя ли решить задачу последовательно, т. е. найти оптимальное вложение для первого года, второго и т. д. т. е. провести последовательную оптимизацию. В большинстве задач так нельзя, т. к. то, что мы решили оказывает влияние на последующие шаги, например:

Бег на 800 метров. Каждый бегун имеет запас энергии, который он тратит на каждые 100 метров. t_i – время на i – й 100 метров. Σt_i(х_i) → min; Σх_i ≤ х₀. Оказывается, на первых 100 метров бегун будет обеспечивать минимальное время.