2. Зонная теория твердых тел.

2.1. Понятие о квантовых статистиках. Фазовое пространство

Статистической физикой (сокращенно – статистикой) называют теорию систем, состоящих из большого числа частиц. Под большим числом частиц понимают число порядка числа Авогадро.

Квантовая статистика - это статистический метод исследования, применимый к системам, подчиняющимся законам квантовой механики.

Квантовая статистика строится на принципе неразличимости тождественных частиц: все одинаковые частицы считаются принципиально неразличимыми.

В классической статистике при нахождении функции распределения молекул идеального газа по скоростям пользуются не совсем привычным пространством, осями координат которого являются компоненты вектора скорости V_x, V_y, V_z., а при рассмотрении распределения молекул по энергиям вводят еще три координаты -x, y, z. Таким образом, в неявном виде используются 6 координатных осей.

Для описания состояния системы частиц в квантовой статистике вводится пространство шести измерений – фазовое пространство. Осями координат шестимерного фазового пространства выбирают обычные осиx, y, zи проекции импульсаp_x, p_y, p_z.

Элемент объема шестимерного фазового пространства определяется следующим образом:

 = x^.y^.z^.p_x^.p_y^.p_z. (2.1.1)

Для частиц, подчиняющимся законам квантовой механики, должны выполняться соотношения неопределенностей Гейзенберга:

x^.p_x  h

y^.p_y  h (2.1.2)

z^.p_z  h.

Поэтому состояние микрочастицы в фазовом пространстве следует изображать не точкой, а элементарной ячейкой, объем которой будет равен h³.

В квантовой статистике решается задача о распределении частиц по ячейкам фазового пространства. Характер распределения частиц зависит от того, к какому из двух видов относятся частицы: к фермионамилибозонам.

Частицы с полуцелым спином называются фермионами.К фермионам относятся, например, электроны, протоны, нейтроны. Системы фермионов описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются принципу Паули: в данном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Распределение фермионов по квантовым состояниям описывается функцией Ферми-Дирака:

.(2.1.3)

Частицы с нулевым и целым спином называются бозонами.К бозонам относятся, например, фотоны (кванты электромагнитного поля), фононы (кванты энергии звукового поля), некоторые ядра. Системы бозонов описываются симметричными волновыми функциями и не подчиняются принципу Паули: число бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым. Распределение бозонов по квантовым состояниям описывается функцией Бозе-Эйнштейна

.(2.1.4)

В выражениях(2.1.3) и(2.1.4)f – функция распределения частиц, имеющая смысл среднего числа частиц в состоянии с энергиейЕ, - химический потенциал (эта величина имеет размерность энергии и определяется работой, совершаемой для увеличения числа частиц на единицу).

Система частиц (в частности, идеальный газ) называется вырожденной, если ее свойства значительно отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Параметром вырождения называют величину

. (2.1.5)

При малой степени вырождения A << 1 и, функцию распределения можно представить в виде

(2.1.6)

В этом случае распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана.

Вырождение газов становится существенным при низких температурах: чем ниже температура, тем более отчетливо проявляются квантовые свойства.