Энергия Ферми и температура вырождения

Металл	EF, эВ	TF, К
Na	3,42	37000
Ag	5,5	64000
Cu	7,0	83000
Al	11,9	138000

Средняя энергия классического (невырожденного) газа составляет величину порядка ~ kT. При комнатных температурах (T≈300 K) kT ≈ 0,025 эВ. Сравнение этой величины с энергией Ферми показывает, чтоkT << E_F. Это означает, чтоэлектронный газ в металлах всегда вырожден, то есть проявляет чисто квантовые свойства.

Одним из критериев вырождения является температура вырождения, равная

. (3.2.7)

При T < T_Fсистема вырождена и подчиняется квантовым статистикам. ПриT > T_Fсистема не вырождена, и ее поведение подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

В таблице 3.1 приведены также температуры вырождения электронного газа. Они составляют по порядку величины десятки и сотни тысяч градусов. Значит электронный газ является вырожденным при всех температурах, при которых металл находится в твердом состоянии. Вырождению газа способствуют малое значение массы электронов mи их высокая концентрацияn.

Рассмотрим поведение функции распределения f_F приТ>0

.(3.2.8)

С повышением температуры электроны приобретают тепловую энергию порядка kТ и переходят на более высокие энергетические уровни (выше уровня Ферми), вследствие чего меняется характер распределения их по энергетическим состояниям (рис.3.3, б). По сравнению с нулевой температурой спад кривойf_F(E)происходит не скачком до нуля приE=E_F, а происходит плавно в полосе шириной порядка~ 2kT.Так как энергия теплового движенияkТзначительно меньше энергии Ферми, то тепловому возбуждению могут подвергаться лишь электроны узкой энергетической полосы порядкаkТ,непосредственно расположенной вблизи уровня Ферми (рис.3.5).

Электроны, находящиеся на более глубоких энергетических уровнях, остаются практически незатронутыми, так как энергии теплового движенияkТнедостаточно для их возбуждения (для перевода за уровень Ферми). ЭнергииE=E_F, соответствует значение функции распределения . Поэтому приТ > 0уровень Ферми - это уровень энергии, вероятность заполнения которого равна .

На рис.3.3,б заштрихованные площади пропорциональны числу электронов, покидающих состояние с энергией , (площадка АДВ) и переходящих на уровни, расположенные выше уровня Ферми(площадка ВМС). По величине эти площади равны друг другу. Доля электронов, приходящих в состояние теплового возбуждения, равна

, (3.2.9)

При комнатной температуре эта доля незначительна и составляет менее 1% от общего числа электронов проводимости.

Данным обстоятельством объясняется тот факт, что теплоемкость электронного газа оказывается чрезвычайно малой по сравнению с теплоемкостью решетки. Молярная теплоемкость его , а по классической теории. (ЗдесьR- универсальная газовая постоянная). Этот результат хорошо согласуется с опытом и снимает одно из затруднений классической электронной теории металлов.

3.3. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики и квантовой статистики Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металла.

Расчет электропроводимости металлов в квантовой теории был произведен Зоммерфельдом. Был выведен закон Ома в дифференциальной форме

, (3.3.1)

где - удельная проводимость;- плотность тока в данной точке;- напряженность электрического поля.

Для удельной проводимости было получено следующее выражение:

; (3.3.2)

где- средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией Ферми,- скорость такого электрона,m - его масса.

Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов

. (3.3.3)

В этом выражении <λ>- средняя длина свободного пробега электрона,- средняя скорость его теплового движения.

Несмотря на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему виду похожи, их содержание различно. Средняя скорость теплового движения зависит от температуры, как, апрактически не зависит от температуры, так как с изменением температуры энергия Ферми, а, следовательно, и скорость, остаются практически неизменными.

Наиболее существенное различие формул (3.3.2) и (3.3.3) состоит в том, какой смысл вкладывается в понятие длины свободного пробега электрона <λ>в классической и квантовой теории металлов.

Классическая электронная теория рассматривает электроны как обычные частицы и причиной электрического сопротивления металлов считает столкновения электронов с узлами кристаллической решетки. Полагая, что электроны сталкиваются почти со всеми узлами решетки, встречающимися на их пути, классическая теория принимает <λ>равной параметру решеткиd(d 10^-10м).

Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами, а электрический ток в металле - как процесс распространения электронных волн, длина волны которых определяется формулой де Бройля

. (3.3.4)

Такие представления позволяют объяснить наблюдаемую экспериментально температурную зависимость удельной проводимости и удельного сопротивления. Рассмотрим идеальную кристаллическую решетку металла, в узлах которой находятся неподвижные ионы, а примеси и дефекты отсутствуют. Такая идеальная решетка не рассеивает электронные волны, и электрическое сопротивление такого металла должно быть равно нулю.

В реальных кристаллах при T > 0ионы совершают тепловые колебания около положения равновесия, нарушая строгую периодичность решетки. Кроме того, в таких решетках обычно присутствуют структурные дефекты: примеси, вакансии, дислокации и так далее. Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания для электронных волн и являются причиной электрического сопротивления. Расчет показывает, что средняя длина свободного пробега<λ_F>зависит от температуры по закону

, (3.3.5)

где - модуль упругости;d - параметр решетки.

С учетом (3.15) удельная проводимость ,определяемая формулой (3.12), будет иметь вид

, (3.3.6)

то есть , а, что хорошо согласуется с опытом в области не слишком низких температур.

При очень низких температурах формула (3.3.5) не выполняется. При этом длина свободного пробега оказывается обратно пропорциональной не первой, а пятой степени температуры, поэтому и удельное сопротивлениеρ будет пропорционально пятой степени абсолютной температуры.

На рис.3.7 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлению_ост,, обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.