Состояния электрона в атоме водорода

4

Уровень энергии	Волновая функция	Значение			Число состояний
		n	l	m
		1	0	0	1
		2	0	0	4
		2	1	0
		2	1	+1
		2	1	-1
		3	0	0	Всего 9
		3	1	0
		3	1	+1
		3	1	-1
	--------	------	------	------

1.9. 1S– состояние электрона в атоме водорода

Волновая функция электрона для 1s– состояния зависит только от расстоянияrэлектрона от ядра, т.е. является сферически симметричной. Ее выражение имеет вид

. (1.9.1)

Здесь и совпадает с формулой радиуса первой боровской орбиты; численное значение этого параметра равно;A– множитель, который можно определить из условия нормировки волновой функции

(1.9.2)

Исходя из сферической симметрии задачи, выберем элемент объема в виде тонкого сферического слоя радиусаrтолщиной dr (рис.1.14).

(1.9.3)

Подставим выражения (1.9.1) и (1.9.2) в условие нормировки (1.9.3), получим

или . (1.9.4)

Интеграл в выражении (1.9.4) можно взять по частям. Он будет равен

. (1.9.5)

Для нормировочного множителя получим выражение

. (1.9.6)

Окончательно, нормированная волновая функция электрона в 1s– состоянии имеет вид

(1.9.7)

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема равна

(1.9.8)

Найдем наиболее вероятное расстояние электрона от ядра. Для этого введем функцию

. (1.9.9)

Функцияопределяет плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянииrот ядра. . (1.9.10)

График этой функции представлен на рис.1.15.

Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра соответствует максимуму функции . Для нахождения положения максимума необходимо приравнять нулю производную, или

. (1.9.11)

Расчет приводит к результату

r_m=a .(1.9.12)

Таким образом, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно радиусу первой боровской орбиты.

1.10. Спин электрона. Принцип Паули

В настоящее время доказано, что кроме орбитального механического момента электрон обладает собственным моментом импульса. Собственный момент импульса называется спином. Собственный момент импульса электрона был обнаружен в опытах Штерна и Герлаха.

Целью опытов являлось измерение магнитных моментов атомов. Сущность опыта заключалась в следующем. Узкий пучок атомов пропускался через неоднородное магнитное поле. Для атомов с одним валентным электроном в s– состоянии собственный орбитальный механический и магнитный моменты раны нулю, следовательно, такой пучок атомов не должен испытывать отклонения в неоднородном магнитном поле. Но в опытах наблюдалось расщепление пучка на два, обусловленное пространственным квантованием спинового магнитного момента.

Спиновый момент импульса электрона определяется формулой

. (1.10.1)

Здесь s–спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число имеет только одно значение

. (1.10.2)

Проекция спина на направление внешнего магнитного поля может принимать значения

, (1.10.3)

где - магнитное спиновое число. Так как существует всего 2 ориентации спинового момента на направление внешнего поля, тоm_S =1/2.

В связи с существованием спина электрона к квантовым числам n, l, m нужно добавить еще и квантовое числоm_S. Таким образом,состояние каждого электрона в атоме характеризуется набором четырех квантовых чисел:

• главным квантовым числом n (n=1,2,3………);

• орбитальным квантовым числом l (l =0,1,2…….n-1);

• магнитным квантовым числом m (m =0, 1,… l);

• магнитным спиновым квантовым числом m_S (m_S = 1/2).

В 1925 г. Паули установил квантовомеханический закон, называемый принципом Паулиили принципом исключения.

Простейшая формулировка принципа Паули заключается в следующем.

В любой системе, содержащей множество электронов, не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, l, m, m_S:

или 1 .

Принцип Паули справедлив для всех частиц, для которых . Эти частицы называют фермионами.