Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

деталях застосовують скляне волокно, свiтлопровiдна жила (серцевина) якого оточується склом оболонкою з iншого скла з меншим показником заломлення. Свiтло, що падає на торець свiтловоду пiд кутами, бiльшими за граничнi, зазнає на поверхнi роздiлу серцевини i оболонки повне вiдбивання i поширюється тiльки по свiтлопровiднiй жилi.

Отже, за допомогою свiтловодiв можна як завгодно викривляти шлях свiтлового пучка. Дiаметр свiтлопровiдних жил лежить у межах вiд декiлькох мiкрометрiв до декiлькох мiлiметрiв. Для передачi зображень, як правило, застосовуються багатожильнi свiтловоди. Питання передачi свiтлових хвиль i зображень вивчаються в спецiальному роздiлi оптики волоконнiй оптицi, що виникла в 50-i роки XX сторiччя. Свiтловоди використовуються в електронно-променевих трубках, в електроннообчислювальних машинах, для кодування iнформацiї, в медицинi (примiром, дiагностика шлунку), для цiлей iнтегральної оптики i т. iн.

4.2.Тонкi лiнзи. Зображення предметiв за допомогою лiнз

Роздiл оптики, в якому закони поширення свiтла розглядаються на основi уявлення про свiтловi променi, називається геометричною оптикою.

Пiд свiтловими променями розумiють нормальнi до хвильових поверхонь лiнiї, уздовж яких поширюється потiк свiтлової енергiї. Геометрична оптика, залишаючись наближеним методом побудови зображень в оптичних системах, дозволяє розiбрати явища, пов’язанi з проходженням через них свiтла, i є тому основою теорiї оптичних приладiв.

Лiнзи є прозорими тiлами, обмеженими двома поверхнями (одна з них зазвичай сферична, iнодi цилiндрична, а друга сферична або плоска), що заломлюють свiтловi променi, i здатнi формувати оптичнi зображення предметiв. Матерiалом для лiнз є скло, кварц, кристали, пластмаси i т.iн. За зовнiшньою формою (рис. 4.4) ) лiнзи дiляться на: 1) двоопуклi; 2)плосковипуклi; 3) двоввiгнутi; 4) плосковвiгнутi; 5) опукло-ввiгнутi; 6) угнутоопуклi. За оптичними властивостями лiнзи дiляться на

збиральнi i розсiювальнi.

Лiнза називається тонкою, якщо її товщина (вiдстань мiж обмежуючими площинами) значно менша в порiвняннi з радiусами поверхонь, що обмежують лiнзу. Пряма, що проходить через центри кривизни поверхонь лiнзи, називається головною оптичною вiссю. Для всякої лiнзи iснує точка, що називається оптичним центром лiнзи, яка лежить на головнiй оптичнiй осi i має ту властивiсть, що променi проходять крiзь неї не заломлюючись. Оптичний центр О лiнзи для простоти вважатимемо таким, що збiгається з геометричним центром середньої частини (це справедливо тiльки для двоопуклої та двоввiгнутої лiнз з однаковими радiусами кривизни обох поверхонь; для плосковипуклих та плосковвiгнутих лiнз оптичний центр О лежить на перетинi головної оптичної осi з сферичною поверхнею).

Для виведення формули тонкої лiнзи спiввiдношення, що зв’язує радiуси кривизни RI i R2 поверхонь лiнзи з вiдстанями a i b вiд лiнзи до предмета i його зображення, скористаємося принципом Ферма4, або принципом якнайменшого часу: дiйсний шлях поширення свiтла (траєкторiя свiтлового променя) є шлях, для проходження якого свiтлу потрiбен мiнiмальний час в порiвняннi з будь-яким iншим мислимим шляхом мiж тими ж точками.

Розглянемо два свiтловi променi (рис. 4.5) промiнь, що сполучає точки A i B (промiнь AOB), i промiнь, що проходить через край лiнзи (промiнь ACB) скориставшися умовою рiвностi часу проходження свiтла вздовж AOB i ACB.

Час проходження свiтла AOB

t1 = a + N(e + d) + b, c

де N = n/n1 вiдносний показник заломлення (n i n1 вiдповiдно абсолютнi показники заломлення лiнзи i навколишнього середовища). Час проходження свiтла вздовж ACB дорiвнює

pp

t2 =	(a + e)2 + h2 + (b + d)2 + h2
		.
	c

4П. Ферма (1601–1665) французький математик i фiзик.

Оскiльки t1 = t2, то

p		p
a + N(e + d) + b =	(a + e)2 + h2	+	(b + d)2 + h2	.	(4.6)

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

Розглянемо параксiальнi, або приосьовi променi, тобто променi, якi створюють з оптичною вiссю малi кути. Тiльки при використаннi параксiальних променiв виходить стигматичне зображення, тобто всi параксiальнi променi пучка, що виходять з точки A, перетинають оптичну вiсь в однiй i тiй же точцi B. Тодi h (a + e), h (b + d) i

s

p

(a = e)2 + h2 = (a = e)

Аналогiчно,

h2

1 +

1

h

1 +

= (a + e)

(

)2

(a + e)2

2

a + e

p

2

= b + d +

h

.

(b + d)2 + h2

2(b + d)

h2

= a + e + 2(a + e) .

Пiдставивши знайденi вирази в (4.6), одержимо
h2			1				1
(N − 1)(e + d) =		(					+				).	(4.7)
	2		a + e						b + d
Для тонкої лiнзи e i d b, тому (4.7) можна представити у виглядi
			h2 1				1
(N − 1)(e + d) =				(			+			).
			2		a			b

Враховуючи, що						#	=	2R2
e = R2 − qR22 − h2 = R2 − R2q1 − h2/R22 = R2 − R2 "1 − 2 R2
					1 h	2		h2

i вiдповiдно d = h2 , одержимо

2R1

	1			1		1		1
(N − 1)			+			=		+		.	(4.8)
	R1			R2			a		b

Вираз (4.8) є формулою тонкої лiнзи. Радiус кривизни опуклої поверхнi лiнзи вважається позитивним, увiгнутої негативним.

Якщо a = ∞, тобто променi падають на лiнзу паралельним пучком (рис. 4.6,а), то

b	= (N − 1)	R1	+ R2 .
1		1	1

Вiдповiдно цьому випадку вiдстань b = OF = f називається						фокусною вiдстанню лiнзи, що визна-
чається за формулою	(N − 1)	R1 +			R2 .
f = 1/
			1			1

Вона залежить вiд вiдносного показника заломлення i радiусiв кривизни.

Якщо b = ∞, тобто зображення знаходиться в нескiнченностi, i, отже, променi виходять з лiнзи паралельним пучком (рис. 4.6,б ), то a = OF = f. Таким чином, фокуснi вiдстанi лiнзи, оточеної з обох бокiв однаковим середовищем, рiвнi. Точки F , що лежать по обидвi сторони лiнзи на вiдстанi, що дорiвнює фокуснiй, називаються фокусами лiнзи. Фокус це точка, в якiй пiсля заломлення збираються всi променi, що падають на лiнзу паралельно головнiй оптичнiй осi. Величина

	1		1	1
(N − 1)		+		=		= Φ,	(4.9)
	R1		R2		f

називається оптичною силою лiнзи. Її одиниця дiоптрiя (дптр). Дiоптрiя оптична сила лiнзи з фокусною вiдстанню 1 м: 1 дптр=1/м.

Лiнзи з позитивною оптичною силою є збиральними, з негативною розсiювальними. Площини, що проходять через фокуси лiнзи перпендикулярно до її головної оптичної осi, називаються фокальними площинами. На вiдмiну вiд збиральної, розсiювальна лiнза має уявнi фокуси. В уявному фокусi сходяться (пiсля заломлення) уявнi продовження променiв, що падають на розсiювальну лiнзу паралельно головнiй оптичнiй осi (рис. 4.7).

Враховуючи вираз (4.9), формулу лiнзи (4.8) можна записати у виглядi

a1 + 1b = f1 .

Для розсiювальної лiнзи вiдстанi f i b треба вважати негативними.

Побудова зображення предмета в лiнзах здiйснюється за допомогою таких променiв:

1)промiнь, що проходить через оптичний центр лiнзи i не змiнює свого напряму;

2)промiнь, що йде паралельно головнiй оптичнiй осi; пiсля заломлення в лiнзi цей промiнь (або його продовження) проходить через другий фокус лiнзи;

Рис. 4.6.

Рис. 4.7.

3) промiнь (або його продовження), що проходить через перший фокус лiнзи; пiсля заломлення в нiй вiн виходить з лiнзи паралельно її головнiй оптичнiй осi.

Для прикладу приведенi побудови зображень в збиральнiй (рис. 4.8) ) i в розсiювальнiй (рис. 4.9) ) лiнзах: дiйсне (рис. 4.8, а) i уявне (рис. 4.8,б ) зображення в збиральнiй лiнзi, уявне в розсiювальнiй.

Вiдношення лiнiйних розмiрiв зображення i предмета називається лiнiйним збiльшенням лiнзи. Негативним значенням лiнiйного збiльшення вiдповiдає дiйсне зображення (воно перевернуте), позитивним уявне зображення (воно пряме). Комбiнацiї збиральних i розсiювальних лiнз застосовуються

Рис. 4.8.

Рис. 4.9.

в оптичних приладах, якi використовуються для вирiшення рiзних наукових i технiчних задач.

4.3.Аберацiя (похибка) оптичних систем

Розглядаючи проходження свiтла через тонкi лiнзи, ми обмежувалися параксiальними променями (див. 4.2). Показник заломлення матерiалу лiнзи вважали незалежним вiд довжини хвилi падаючого свiтла, а падаюче свiтло монохроматичним. Оскiльки в реальних оптичних системах цi умови не виконуються, то в них виникають спотворення зображення, якi називаються аберацiєю (або похибками).

1. Сферична аберацiя. Якщо пучок свiтла, що розходиться, падає на лiнзу, то параксiальнi променi пiсля заломлення перетинаються в точцi S0 (на вiдстанi OS0 вiд оптичного центра лiнзи), а променi,

бiльш вiддаленi вiд оптичної осi, в точцi S ближче до лiнзи (рис. 4.10). У результатi зображення свiтної точки на екранi, перпендикулярному оптичнiй осi, буде у виглядi розпливчатої плями. Цей вид похибки, пов’язаний iз сферичнiстю заломлюючих поверхонь, називається сферичною аберацiєю. Кiлькiсною мiрою сферичної аберацiї є вiдрiзок δ=OS-- OS0. Застосовуючи дiафрагми (обмежуючись параксiальними променями), можна сферичну аберацiю зменшити, проте при цьому зменшується свiтлосила лiнзи. Сферичну аберацiю можна практично усунути, складаючи системи iз збиральних (δ<0) i розсiювальних (δ>0) лiнз. Сферична аберацiя є окремим випадком астигматизму.

2.Кома. Якщо через оптичну систему проходить широкий пучок вiд свiтної точки, розташованої не на оптичнiй осi, то одержуване зображення цiєї точки буде у виглядi освiтленої плями, що нагадує кометний хвiст. Тому така похибка називається комою. Усунення коми проводиться тими ж прийомами, що i сферичної аберацiї.

3.Дисторсiя. Похибка, при якiй при великих кутах падiння променiв на лiнзу лiнiйне збiльшення для точок предмета, що знаходяться на рiзних вiдстанях вiд головної оптичної осi, дещо розрiзняється, називається дисторсiєю. В результатi порушується геометрична подiбнiсть мiж предметом (прямокутна сiтка, рис. 4.11,а) i його зображенням (рис. 4.11,б подушкоподiбна дисторсiя, рис. 4.11,в бочкоподiбна дисторсiя). Дисторсiя особливо небезпечна в тих випадках, коли оптичнi системи використовуються для зйомок, примiром при аерофотознiманнi, в мiкроскопiї i т. iн. Дисторсiю виправляють вiдповiдним пiдбором складникiв оптичної системи.

4.Хроматична аберацiя. Досi ми припускали, що коефiцiєнти заломлення оптичної системи постiйнi. Проте це твердження справедливе лише для освiтлення оптичної системи монохроматичним свiтлом (λ = const); при складному складi свiтла необхiдно враховувати залежнiсть коефiцiєнту заломлення речовини лiнзи (i навколишнього середовища, якщо це не повiтря) вiд довжини хвилi (явище дисперсiї). При падiннi на оптичну систему бiлого свiтла окремi складовi його, монохроматичнi променi фокусуються в рiзних точках (найбiльшу фокусну вiдстань мають червонi променi, якнайменшу

фiолетовi), тому зображення розмите i по краях забарвлене. Це явище називається хроматичною аберацiєю. Оскiльки рiзнi сорти скла мають рiзну дисперсiю, то, комбiнуючи збиральнi i розсiювальнi

Рис. 4.10.

Рис. 4.11.

лiнзи з рiзного скла, можна сумiстити фокуси двох (ахромати) i трьох (апохромати) рiзних кольорiв, усунувши тим самим хроматичну аберацiю. Системи, виправленi на сферичну i хроматичну аберацiю, називаються апланатами.

5. Астигматизм. Похибка, зумовлена неоднаковiстю кривизни оптичної поверхнi в рiзних площинах перерiзу падаючого на неї свiтлового пучка, називається астигматизмом. Так, зображення точки, вiддаленої вiд головної оптичної осi, спостерiгається на екранi у виглядi розпливчатої плями елiптичної форми. Ця пляма залежно вiд вiдстанi екрана до оптичного центра лiнзи вироджується або у вертикальну, або в горизонтальну пряму. Астигматизм виправляється пiдбором радiусiв кривизни заломлюючих поверхонь i їх фокусних вiдстаней. Системи, виправленi на сферичну i хроматичну аберацiю i астигматизм, називаються астигматами. Усунення аберацiї можливе лише пiдбором спецiально розрахованих складних оптичних систем. Одночасне виправлення всiх похибок завдання вкрай складне, а iнодi навiть нерозв’язне. Тому звичайно усуваються повнiстю лише тi похибки, якi в тому або iншому випадку особливо шкiдливi.

4.4.Основнi фотометричнi величини та їхнi одиницi

Фотометрiя роздiл оптики, що займається питаннями вимiрювання iнтенсивностi свiтла i його джерел. У фотометрiї використовують такi величини:

1)енергетичнi характеризують енергетичнi параметри оптичного випромiнювання безвiдносно до його дiї на приймачi випромiнювання;

2)свiтловi характеризують фiзiологiчнi дiї свiтла i оцiнюються за дiєю на око (виходять з так званої середньої чутливостi очей) або iншi приймачi випромiнювання.

1. Енергетичнi величини. Потiк випромiнювання Φе величина, що дорiвнює вiдношенню енергiї W випромiнювання до часу, за який випромiнювання вiдбулося:

Φе = W/t.

Одиниця потоку випромiнювання ват (Вт).

Енергетична свiтнiсть (випромiнюванiсть) Rе величина, що дорiвнює вiдношенню потоку випромiнювання Φе який випускається поверхнею, до площi S перерiзу, крiзь який цей потiк проходить: Rе = Φе/S, тобто є поверхневою густиною потоку випромiнювання. Одиниця енергетичної свiтностi

ват на метр в квадратi (Вт/м2).

Енергетична сила свiтла (сила випромiнювання) Iе визначається за допомогою поняття про точкове джерело свiтла джерело, розмiрами якого в порiвняннi з вiдстанню до мiсця спостереження можна нехтувати. Енергетична сила свiтла Iе величина, що дорiвнює вiдношенню потоку випромiнювання Φе джерела до тiлесного кута ω, в межах якого це випромiнювання поширюється:

Iе = Φе/ω.

Одиниця, енергетичної сили свiтла ват на стерадiан (Вт/ср).

Енергетична яскравiсть (променистiсть) Bе величина, що дорiвнює вiдношенню енергетичної сили свiтла Iе елемента випромiнюючої поверхнi до площi S проекцiї цього елемента на площину,