Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

де h постiйна Планка.

Теорiя Планка не потребувала поняття про ефiр. Вона пояснила теплове випромiнювання чорного тiла. Ейнштейн в 1905 р. створив квантову теорiю свiтла, за якою не тiльки випромiнювання свiтла, але i його поширення вiдбувається у виглядi потоку свiтлових квантiв фотонiв, енергiя яких визначається спiввiдношенням (5.3), а маса

mφ =	ε0	=	hν	=	h	.	(5.4)
	2		2
	c		c		λc

Квантовi уявлення про свiтло добре узгоджуються iз законами випромiнювання i поглинання свiтла, законами взаємодiї свiтла з речовиною. Проте як за допомогою цих уявлень пояснити такi добре вивченi явища, як iнтерференцiя, дифракцiя та поляризацiя свiтла? Цi явища легко пояснюються на основi хвильових уявлень. Все рiзноманiття вивчених властивостей i законiв поширення свiтла, його взаємодiї з речовиною показує, що свiтло має складну природу. Воно є єднiстю протилежних видiв руху корпускулярного (квантового) i хвильового (електромагнiтного). Тривалий шлях розвитку привiв до сучасних уявлень про подвiйну корпускулярно-хвильову природу свiтла. Вирази (див.5.3) i (див.5.4) зв’язують корпускулярнi характеристики випромiнювання масу i енергiю кванта з хвильовими частотою коливань i довжиною хвилi. Отже, свiтло є єднiстю дискретностi i безперервностi.

5.2.Когерентнiсть i монохроматiчность свiтлових хвиль

Iнтерференцiю свiтла можна пояснити, якщо розглянути iнтерференцiю хвиль (див.2.4). Необхiдною умовою iнтерференцiї хвиль є їх когерентнiсть, тобто злагоджений перебiг в часi i просторi декiлькох коливальних або хвильових процесiв. Цiй умовi задовольняють монохроматичнi хвилi необмеженi в просторi хвилi однiєї певної i строго постiйної частоти. Оскiльки жодне реальне джерело не дає строго монохроматичного свiтла, то хвилi, випромiнюванi будь-якими незалежними джерелами свiтла, завжди

некогерентнi. Тому на дослiдi не спостерiгається iнтерференцiя свiтла вiд незалежних джерел, примiром вiд двох електричних лампочок.

Зрозумiти фiзичну причину немонохроматiчностi, а отже, i некогерентностi хвиль, що випромiнюються двома незалежними джерелами свiтла, можна виходячи з самого механiзму випромiнювання свiтла атомами. У двох самостiйних джерелах свiтла атоми випромiнюють незалежно один вiд одного. У кожному з таких атомiв процес випромiнювання обмежений i триває дуже короткий час (τ ≈10−8с). За цей час збуджений атом повертається в нормальний стан i випромiнювання ним свiтла припиняється. Перейшовши знову в збуджений стан, атом починає випромiнювати свiтловi хвилi, але вже з новою початковою фазою. Оскiльки рiзниця фаз мiж випромiнюванням двох таких незалежних атомiв змiнюється при кожному новому актi випромiнювання, то хвилi, що спонтанно випромiнюються атомами будь-якого джерела свiтла, некогерентнi. Отже, хвилi, що випромiнюються атомами, лише протягом iнтервалу часу ≈ 10−8 с мають приблизно постiйнi амплiтуду i фазу коливань, тодi як за бiльший промiжок часу i амплiтуда, i фаза змiнюються. Переривчасте випромiнювання свiтла атомами у виглядi окремих коротких iмпульсiв називається хвильовим цугом.

Описана модель випромiнювання свiтла справедлива i для будь-якого макроскопiчного джерела, оскiльки атоми тiла, що свiтиться, випромiнюють свiтло також незалежно один вiд одного. Це означає, що початковi фази вiдповiдних їм хвильових цугiв не зв’язанi мiж собою. Крiм цього, навiть для одного i того самого атома початковi фази рiзних цугiв вiдрiзняються для двох подальших актiв випромiнювання. Отже, свiтло, що випромiнюється макроскопiчним джерелом, некогерентне.

Будь-яке немонохроматичне свiтло можна представити у виглядi сукупностi змiнюючих один одного незалежних гармонiчних цугiв. Середня тривалiсть одного цугу τког називається часом когерентностi. Когерентнiсть iснує тiльки в межах одного цугу, i час когерентностi не може перевищувати час випромiнювання, тобто τког < τ. Прилад зафiксує чiтку iнтерференцiйну картину лише тодi, коли час роздiлення приладу значно менше часу когерентностi свiтлових хвиль, що накладаються.

Якщо хвиля поширюється в однорiдному середовищi, то фаза коливань у певнiй точцi простору зберiгається тiльки протягом часу когерентностi τког. За цей час хвиля поширюється у вакуумi на

вiдстань lког = cτког, яка називається довжиною когерентностi (або довжиною цугу). Отже, довжина когерентностi це вiдстань, при проходженнi якої двi або декiлька хвиль втрачають когерентнiсть. Звiдси виходить, що спостереження iнтерференцiї свiтла можливе лише при оптичних рiзницях ходу, менших довжини когерентностi для джерела свiтла, що використовується.

Що ближче хвиля до монохроматичної, то менша ширина ω спектра її частот i, як можна показати, бiльший її час когерентностi τког, а отже, i довжина когерентностi lког. Когерентнiсть коливань, якi виконуються в однiй i тiй самiй точцi простору, що визначається ступенем монохроматiчностi хвиль, називається часовою когерентнiстю.

Разом з часовою когерентнiстю для опису когерентних властивостей хвиль в площинi, перпендикулярнiй до напряму їх поширення, вводиться поняття просторової когерентностi. Два джерела, розмiри i взаємне розташування яких дає можливiсть (при необхiдному ступенi монохроматiчностi свiтла) спостерiгати iнтерференцiю, називаються просторово-когерентними. Радiусом когерентностi (або довжиною просторової когерентностi) називається максимальна поперечна до напряму поширення хвилi вiдстань, на якiй можливий прояв iнтерференцiї. Отже, просторова когерентнiсть визначається радiусом когерентностi.

Радiус когерентностi

rког λ/ϕ,

де λ довжина хвилi свiтла; ϕ кутовий розмiр джерела. Так, мiнiмально можливий радiус когерентностi для сонячних променiв (при кутовому розмiрi Сонця на Землi ( ϕ ≈10−2 рад i λ ≈ 0,5 мкм) становить ≈ 0,05 мм. При такому малому радiусi когерентностi неможливо безпосередньо спостерiгати iнтерференцiю сонячних променiв, оскiльки роздiльна здатнiсть людського ока на вiдстанi якнайкращого зору становить лише 0,1 мм. Вiдзначимо, що перше спостереження iнтерференцiї провiв в 1802 р. Т. Юнг саме з сонячним свiтлом, для чого вiн заздалегiдь пропускав сонячнi променi через дуже малий отвiр у непрозорому екранi (при цьому на декiлька порядкiв зменшувався кутовий розмiр джерела свiтла i тим самим рiзко збiльшувався радiус когерентностi або довжина просторової когерентностi).

5.3.Iнтерференцiя свiтла

Припустимо, що двi монохроматичнi свiтловi хвилi, накладаючись одна на одну, порушують у певнiй точцi простору коливання однакового напряму:

x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) i x2 = A2 cos(ωt + ϕ2).

~ ~

Пiд x розумiють напруженiсть електричного E або магнiтного H полiв хвилi; вектори E i H коливаються у взаємно перпендикулярних площинах (див. 3.2) Напруженостi електричного i магнiтного полiв пiдкоряються принципу суперпозицiї (див. ч.2, § 80 i §110). Амплiтуда результуючого коливання в данiй

точцi (див. 1.33). Оскiльки хвилi когерентнi, то	cos(ϕ		2 −		ϕ	1	)	має	постiйне в часi (але своє для кожної
										2	)
точки простору) значення, тому iнтенсивнiсть результуючої хвилi (I A
I = I1 + I2 + 2p				cos(ϕ2 − ϕ1).							(5.5)
		I1I2

У точках простору, де cos(ϕ2 − ϕ1) >0, iнтенсивнiсть I > I1 + I2, де cos (ϕ2 − ϕ1)< 0, iнтенсивнiсть I < I1 + I2. Отже, при накладаннi двох (або декiлькох) когерентних свiтлових хвиль, вiдбувається просторовий перерозподiл свiтлового потоку, внаслiдок чого в одних мiсцях виникають максимуми, а в iнших мiнiмуми iнтенсивностi. Це явище називається iнтерференцiєю свiтла.

Для некогерентних хвиль рiзниця (ϕ2 − ϕ1) безперервно змiнюється, тому середнє в часi значення cos(ϕ2 − ϕ1) дорiвнює нулю, а iнтенсивнiсть результуючої хвилi всюди однакова i при I1 = I2 дорiвнює 2I1 (для когерентних хвиль при данiй умовi в максимумах I = 4I1, в мiнiмумах I=0).

Як можна створити умови, необхiднi для виникнення iнтерференцiї свiтлових хвиль? Для отримання когерентних свiтлових хвиль застосовують метод роздiлення хвилi, випромiнюваної одним джерелом, на двi частини, якi пiсля проходження рiзних оптичних шляхiв накладаються одна на одну, i спостерiгається iнтерференцiйна картина.

Нехай роздiлення на двi когерентнi хвилi вiдбувається в певнiй точцi O. До точки M, в якiй спостерiгається iнтерференцiйна картина, одна хвиля в середовищi з показником заломлення n1 пройшла

шлях s1, друга в середовищi з показником заломлення n2 шлях s2. Якщо в точцi O фаза коливань дорiвнює ωt, то в точцi M перша хвиля порушить коливання A1 cos ω(t − s1/υ1), друга хвиля коливання A2 cos ω(t − s2/υ2), де υ1 = c/n1, υ2 = c/n2 вiдповiдно фазова швидкiсть першої i другої хвилi. Рiзниця фаз коливань, порушуваних хвилями в точцi M, дорiвнює

δ = ω	s2	−	s1	=	2π		(s2n2 − s1n1) =	2π	(L2 − L1) =	2π
	υ2		υ1			λ0		λ0		λ0

(врахували, що ω/ = 2nν/c = 2π/λ0, де λ0 довжина хвилi у вакуумi). Добуток геометричної довжини s шляху свiтлової хвилi в даному середовищi на показник n заломлення цього середовища називається оптичною довжиною шляху L, а = L2 − L1 рiзниця оптичних довжин шляхiв, пройдених хвилями називається оптичною рiзницею ходу.

Якщо оптична рiзниця ходу дорiвнює цiлому числу довжин хвиль у вакуумi

= mλ0, (m = 0, 1, 2 . . .)

(5.6)

то δ = ±2πm, i коливання, порушуванi в точцi M обома хвилями, вiдбуватимуться в однаковiй фазi. Отже, (5.6) є умовою iнтерференцiйного максимуму.

Якщо оптична рiзниця ходу,

= ±(2m + 1)	λ0	, (m = 0, 1, 2 . . .)	(5.7)
	2

то δ = ±(2m + l)π, i коливання, порушуванi в точцi обома хвилями, вiдбуватимуться в протифазi. Отже, (5.7) є умовою iнтерференцiйного мiнiмуму.

5.4.Методи спостереження iнтерференцiї свiтла

Для здiйснення iнтерференцiї свiтла необхiдно одержати когерентнi свiтловi пучки, для чого застосовуються рiзнi прийоми. До появи лазерiв у всiх приладах для спостереження iнтерференцiї свiтла

когерентнi пучки одержували роздiленням i подальшим зведенням свiтлових променiв, якi випромiнюються з одного i того самого джерела. Практично це можна здiйснити за допомогою екранiв i щiлин, дзеркал i заломлюючих тiл. Розглянемо деякi з цих методiв.

1. Метод Юнга. Джерелом свiтла служить яскраво освiтлена щiлина S (рис. 5.3), вiд якої свiтлова хвиля падає на двi вузькi рiвновiддаленi щiлини S1 i S2, паралельнi щiлини S. Отже, щiлини S1 i S2 виконують роль когерентних джерел.

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Iнтерференцiйна картина (область ) спостерiгається на екранi (E), розташованому на деякiй вiдстанi паралель S1 i S2. Як вже зазначалося (див. 5.2), Т. Юнгу належить перше спостереження явища iнтерференцiї.

2. Дзеркала Френеля. Свiтло вiд джерела S (рис. 5.4) падає розбiжним пучком на два плоских дзеркала A1O i A2O, розташованих одне вiдносно iншого пiд кутом, лише трохи меншим вiд 180o (кут

ϕ малий). Використовуючи правила побудови зображення в плоских дзеркалах, можна показати, що i джерело, i його зображення S1 i S2 (кутова вiдстань мiж якими дорiвнює 2ϕ ) лежать на одному i тому самому колi радiуса r з центром в O (точка дотику дзеркал).

Свiтловi пучки, якi вiдбилися вiд обох дзеркал, можна вважати такими, що виходять з уявних джерел S1 i S2, що є уявним зображенням S у дзеркалах. Уявнi джерела S1 i S2 взаємно когерентнi, i свiтловi пучки, що випромiнюютья з них, зустрiчаючись один з одним, iнтерферують в областi взаємного перекриття (на рис. 5.4 вона заштрихована). Можна показати, що максимальний кут розходження пучкiв, що перекриваються, не може бути бiльше 2ϕ. Iнтерференцiйна картина спостерiгається на екранi

(Е), захищеному вiд прямого попадання свiтла заслiнкою (3).

Рис. 5.5.

Рис. 5.6.

3. Бiпризма Френеля. Вона складається з двох однакових, складених основами призм з малими заломлюючими кутами. Свiтло вiд джерела S (рис. 5.5) заломлюється в обох призмах, внаслiдок чого за бiпризмою поширюються свiтловi променi, так нiби вони виходять з уявних когерентних джерел S1

i S2. Отже, на поверхнi екрану (у заштрихованiй областi) вiдбувається накладання когерентних пучкiв i спостерiгається iнтерференцiя.

Розрахунок iтерференцiйної картини вiд двох джерел. Розрахунок iнтерференцiйної картини для розглянутих вище методiв спостереження iнтерференцiї свiтла можна провести, використовуючи двi вузькi паралельнi щiлини, розташованi достатньо близько одна до одної (рис. 5.6). Щiлини S1 i S2 знаходяться на вiдстанi d одна вiд одної i є когерентними (реальними або уявними зображеннями джерела S в якiйсь оптичнiй системi) джерелами свiтла. Iнтерференцiя спостерiгається в довiльнiй точцi A екрана, паралельного обом щiлинам i розташованого вiд них на вiдстанi l, причому l d. Початок вiдлiку вибрано в точцi O, симетричнiй щодо щiлин.

Iнтенсивнiсть у будь-якiй точцi A екрана, яка знаходиться на вiдстанi x вiд O, визначається оптичною рiзницею ходу = s2 − s1 (див.5.3). З рис. 5.6 маємо:

s22 = l2 + (x + d/2)2 ;

s21 = l2 + (x − d/2)2 ,

звiдки s22 − s21 = 2xd, або

=s22−s21 = 2xd/(s1 + s2).

Зумови l >> d виходить, що s1 + s2 ≈ 2l, тому

= xd/l.

(5.8)

Пiдставивши знайдене значення (5.8) в умови (5.6) i (5.7), одержимо, що максимуми iнтенсивностi спостерiгатимуться у випадку, якщо

l
xmax = ±md	λ0	(m = 0, 1, 2, 3),	(5.9)

а мiнiмуми у випадку, якщо
xmin = ±(m +	1 l
	2 ) d	λ0	(m = 0, 1, 2, 3).	(5.10)

Вiдстань мiж двома сусiднiми максимумами (або мiнiмумами), яка називається шириною iнтер-

ференцiйної смуги, дорiвнює
x =	l	λ0,	(5.11)
d

x не залежить вiд порядку iнтерференцiї (величини m) i є постiйною для даних l, d i λ0. Згiдно з формулою (5.11) обернено пропорцiйно до d; отже, при великiй вiдстанi мiж джерелами, примiром при d ≈ l, окремi смуги стають невиразними. Для видимого свiтла λ0 ≈ l0−7м, тому чiтка, доступна для вiзуального спостереження iнтерференцiйна картина має мiсце при l d (ця умова i бралася при розрахунку). За вимiряними значеннями l, d i x, використовуючи (5.11), можна експериментально визначити довжину хвилi свiтла. З виразiв (5.9) i (5.10) виходить, що iнтерференцiйна картина, створена на екранi двома когерентними джерелами свiтла, є чергуванням свiтлих i темних смуг, паралельних одна однiй. Головний максимум, що вiдповiдає m=0, проходить через точку О. Вверх i вниз вiд нього на рiвних вiдстанях один вiд одного розташовуються максимуми (мiнiмуми) першого (m = 1), другого (m = 2) порядкiв i т. iн.

Описана картина, проте, справедлива лише при освiтленнi монохроматичним свiтлом (λ0 = const). Якщо використовувати бiле свiтло, що є безперервним набором довжин хвиль вiд 0,39 мкм (фiолетова межа спектра) до 0,75 мкм (червона межа спектра), то iнтерференцiйнi максимуми для кожної довжини хвилi будуть, згiдно з формулою (5.11), змiщенi один вiдносно одного i мати вид веселкових смуг. Тiльки для m=0 максимуми всiх довжин хвиль збiгаються, i всерединi екрана спостерiгатиметься бiла смуга, по обидвi сторони якої симетрично розташуються спектрально забарвленi смуги максимумiв першого, другого порядкiв i т. iн. (ближче до бiлої смуги знаходитимуться зони фiолетового кольору, далi зони червоного кольору).

Рис. 5.7.

5.5.Iнтерференцiя свiтла в тонких плiвках

У природi часто можна спостерiгати веселкове забарвлення тонких плiвок (маслянi плiвки на водi, мильнi мiхурi, оксиднi плiвки на металах), яке виникає в результатi iнтерференцiї свiтла, вiдбитого двома поверхнями плiвки.

ехай на плоскопаралельну прозору плiвку з показником заломлення n i товщиною d пiд кутом i (рис. 5.7) падає плоска монохроматична хвиля (для простоти розглянемо один промiнь). На поверхнi плiвки в точцi O промiнь роздiлиться на два: частково вiдiб’ється вiд верхньої поверхнi плiвки, а частково заломиться. Заломлений промiнь, дiйшовши до точки C, частково заломиться в повiтря (n0 = 1), а частково вiдiб’ється i пiде до точки B. Тут вiн знову частково вiдiб’ється (цей хiд променя надалi через малу iнтенсивнiсть не розглядаємо) i заломиться, виходячи в повiтря пiд кутом i. Променi 1 i 2, що вийшли з плiвки, когерентнi, якщо їх оптична рiзниця ходу мала в порiвняннi з довжиною когерентностi падаючої хвилi. Якщо на їх шляху поставити збираючу лiнзу, то вони зiйдуться в однiй з точок P фокальної площини лiнзи. В результатi виникає iнтерференцiйна картина, яка визначається оптичною рiзницею ходу мiж променями, що iнтерферують.

Оптична рiзниця ходу, що виникає мiж двома iнтерферуючими променями, вiд точки O до площини

AB,

= n(OC + CB) − (OA ± λ0/2),