Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

•Що таке смуги рiвної товщини i рiвного нахилу? Де вони локалiзованi?

•Освiтлюючи тонку плiвку з прозорого матерiалу монохроматичним свiтлом, падаючим нормально до поверхнi плiвки, на нiй спостерiгають паралельнi рiвновiддаленi темнi i свiтлi смуги, що чергуються. Чи однакова товщина окремих дiлянок плiвки?

•Чому центр кiлець Ньютона, якi спостерiгаються в прохiдному свiтлi, зазвичай свiтлий?

•Мiж двома пластинками є повiтряний клин, освiтлюючи який монохроматичним свiтлом спостерiгають iнтерференцiйнi смуги. Як змiниться вiдстань мiж смугами, якщо простiр заповнити прозорою рiдиною?

•У чому суть просвiтлення оптики?

•Коли i чому шар (шари) з оптичною товщиною в четверть довжини хвилi служить(служать) для повного погашення вiдбитих променiв та для отримання високовiдбиваючих покрить?

5.8.Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки

22.1. Визначити, яку довжину шляху s1 пройде фронт хвилi монохроматичного свiтла в вакуумi за той же час, за який вiн проходить шлях s2=1,5 мм в склi з показником заломлення n=1,5. [2,25 мм]

22.2.У дослiдi Юнга щiлини, розташованi на вiдстанi 0,3 мм, освiтлювались монохроматичним свiтлом з довжиною хвилi 0,6 мкм. Визначити вiдстань вiд щiлин до екрана, якщо ширина iнтерференцiйних смуг дорiвнює 1 мм. [0.5 м]

22.3.На склянний клин ( n=1,5) нормально падає монохроматичне свiтло (λ=698 нм). Визначити кут

мiж поверхнями клину, якщо вiдстань мiж двома сусiднiми iнтерференцiйними мiнiмумами в вiдбитому свiтлi дорiвнює 2 мм. [0,40]

22.4.Установка для спостереження кiлець Ньютона освiтлюється нормальним монохроматичним свiтлом. При заповненнi простору мiж лiнзою i склянною плостинкою прозорою рiдиною радiуси темних кiлець у вiдбитому свiтлi зменшилися в 1,21 раз. Визначити показник заломлення рiдини. [1,46 см]

22.5.На лiнзу з показником заломлення 1,55 нормально падає монохроматичне свiтло з довжиною хвилi 0.55 мкм. Для зменшення втрат вiдбитого свiтла на лiнзу наноситься тонка плiвка. Визначити:

1)оптимальний показник заломлення плiвки; 2) товщину плiвки. [1)1.24; 2) 0,111 мкм]

22.6.На шляху одного з променiв iнтерференцiйного рефрактометра розмiстили вiдкачану трубку довжиною 10 см. При заповненнi трубки хлором iнтерференцiйна картина змiстилась на 131 смугу. Визначити показник заломлення хлору, якщо спостереження вiдбувається в монохроматичному свiтлi з довжиною хвилi 0,59 мкм. [1,000773]

6.Дифракцiя свiтла

6.1.Принцип Гюйгенса Френеля

Дифракцiєю називається огинання хвилями перешкод, що зустрiчаються на їх шляху, або в ширшому розумiннi будь-яке вiдхилення поширення хвиль поблизу перешкод вiд законiв геометричної оптики. Завдяки дифракцiї хвилi можуть потрапляти в область геометричної тiнi, огинати перешкоди, проникати через невеликi отвори в екранах i т. iн. Примiром, звук добре чутний за рогом будинку, тобто звукова хвиля його огинає.

Явище дифракцiї пояснюється за допомогою принципу Гюйгенса (див. 5.1), згiдно з яким кожна точка, до якої доходить хвиля, служить центром вторинних хвиль, а обвiдна цих хвиль задає положення хвильового фронту в наступний момент часу.

Нехай плоска хвиля нормально падає на отвiр в непрозорому екранi (рис. 6.1). Згiдно з Гюйгенсом, кожна точка дiлянки хвильового фронту, що видiляється отвором, служить джерелом вторинних хвиль (у однорiдному iзотропному середовищi вони сферичнi). Побудувавши обвiдну вторинних хвиль для деякого моменту часу, бачимо, що фронт хвилi заходить в область геометричної тiнi, тобто хвиля огинає краї отвору.

Явище дифракцiї характерне для хвильових процесiв. Тому якщо свiтло є хвильовим процесом, то для нього має спостерiгатися дифракцiя, тобто свiтлова хвиля, що падає на межу якого-небудь непрозорого тiла, повинна огинати

його (проникати в область геометричної тiнi). З досвiду, Рис. 6.1.

проте, вiдомо, що предмети, якi освiтлюються свiтлом, що йде вiд точкового джерела, дають рiзку

тiнь i, отже, променi не вiдхиляються вiд їх прямолiнiйного поширення. Чому ж виникає рiзка тiнь, якщо свiтло має хвильову природу? На жаль, теорiя Гюйгенса вiдповiсти на це питання не могла.

Принцип Гюйгенса вирiшує лише задачу про напрям поширення хвильового фронту, але не пiднiмає питання про амплiтуду, а отже, i про iнтенсивнiсть хвиль, що поширюються у рiзних напрямах. Френель вклав у принцип Гюйгенса фiзичний змiст, доповнивши його iдеєю iнтерференцiї вторинних хвиль.

Згiдно з принципом Гюйгенса Френеля свiтлова хвиля, що випромiнюється яким-небудь джерелом, може бути представлена як результат суперпозицiї когерентних вторинних хвиль, "випромiнюваних" фiктивними джерелами. Такими джерелами можуть служити нескiнченно малi елементи будь-якої замкнутої поверхнi, що охоплює джерело S. Звичайно в якостi такої поверхнi вибирають одну з хвильових поверхонь, тому всi фiктивнi джерела дiють синфазно. Отже, хвилi, що поширюються вiд джерела, є результатом iнтерференцiї всiх когерентних вторинних хвиль. Френель виключив можливiсть виникнення зворотних вторинних хвиль i припустив, що якщо мiж джерелом i точкою спостереження знаходиться непрозорий екран з отвором, то на поверхнi екрана амплiтуда вторинних хвиль дорiвнює нулю, а в отворi така ж, як за вiдсутностi екрана.

Врахування амплiтуд i фаз вторинних хвиль дозволяє у кожному конкретному випадку знайти амплiтуду (iнтенсивнiсть) результуючої хвилi в будь-якiй точцi простору, тобто визначити закономiрностi поширення свiтла. У загальному випадку розрахунок iнтерференцiї вторинних хвиль досить складний i громiздкий, проте, як буде показано нижче, для деяких випадкiв знаходження амплiтуди результуючого коливання здiйснюється алгебраїчним додаванням.

6.2.Метод зон Френеля. Прямолiнiйне поширення свiтла

Принцип Гюйгенса Френеля в рамках хвильової теорiї мав вiдповiсти на питання про прямолiнiйне поширення свiтла. Френель розв’язав цю задачу, розглянувши взаємну iнтерференцiю вторинних хвиль i застосувавши прийом, що одержав назву методу зон Френеля.

Знайдемо в довiльнiй точцi M амплiтуду свiтлової хвилi, що поширюється в однорiдному середовищi

зточкового джерела S (рис. 6.2). Згiдно з принципом Гюйгенса Френеля замiнимо дiю джерела S дiєю уявних джерел, розташованих на допомiжнiй поверхнi Φ, що є поверхнею фронту хвилi, яка йде

зS (поверхня сфери з центром S). Френель розбив хвильову поверхню Φ на кiльцевi зони такого

розмiру, щоб вiдстанi вiд країв зони до вiдрiзнялися на λ/2, тобто P1M − P0M = P2M − P1M = P3M − P2M = λ/2,... Подiбне розбивання фронту хвилi на зони можна виконати, провiвши сфери радiусами b + λ/2, b + 2λ/2, ..., b + 3λ/2 з центром у точцi M. Оскiльки коливання вiд сусiднiх зон проходять до точки M вiдстанi, якi вiдрiзняються на λ/2, то в точку M вони приходять у протилежнiй фазi i при накладаннi цi коливання взаємно ослаблятимуть один одне. Тому амплiтуда результуючого свiтлового коливання в точцi M

A = A1 − A2 + A3 − A4 + ...,

(6.1)

де A1, A2 ... амплiтуди коливань, порушуваних 1-ю, 2-ю,..., m-ю зонами.

Для оцiнки амплiтуд коливань знайдемо площi зон Френеля. Нехай зовнiшня межа m-ї зони видiляє на хвильовiй поверхнi сферичний сегмент висоти hm (рис. 6.3). Позначивши площу цього сегмента через σm, знайдемо, що площа m-ї зони Френеля дорiвнює σm = σm−1 − σm, де σm−1 площа сферичного сегмента, що видiляється зовнiшньою межею (m − 1)-ї зони. З рисунку виходить, що

rm2 = a2 − (a − hm)2 = b + λ/2					2	− (b + hm)2 .			(6.2)
Пiсля елементарних перетворень, враховуючи, що λ i λ b, одержимо
	hm =		mbλ						(6.3)
				.
			2 (a + b)
Площа сферичного сегмента i площа m-й зони Френеля вiдповiдно
σm = 2πahm =	πabλ		σm = σm			− σm−1 =	πabλ		(6.4)
		m,						.
	a + b						a + b

Вираз (6.4) не залежить вiд m, отже, при не дуже великих m площi зон Френеля однаковi. Таким чином, побудова зон Френеля розбиває хвильову поверхню сферичної хвилi на рiвнi зони.

Рис. 6.2.

Рис. 6.3.

Згiдно з припущенням Френеля дiя окремих зон в точцi M тим менша, чим бiльше кут ϕm (рис. 6.3) мiж нормаллю n до поверхнi зони i напрямом на M, тобто дiя зон поступово зменшується вiд центральної (бiля P0) до периферичних. Крiм того, iнтенсивнiсть випромiнювання у напрямi точки M зменшується: iз зростанням m i внаслiдок збiльшення вiдстанi вiд зони до точки M. Враховуючи цi обидва чинника, можемо записати:

A1 > A2 > A3 > A4 > ...

Загальне число зон Френеля, що вмiщаються на пiвсферi, дуже велике; примiром, при a=b=10 см i

λ=0,5 мкм N = 2πa2 (a + b) = 8 · 105. Тому як допустиме наближення можна вважати, що амплiтуда

πabλ

коливання Am вiд деякої m-ї зони Френеля дорiвнює середньому арифметичному вiд амплiтуд сусiднiх

з нею зон, тобто

Am−1 + Am+1

Am =

,

(6.5)

2

Тодi вираз (6.1) можна записати у виглядi

A =

A1

+ (

A1

− A2 +

A3

) + (

A3

− A4

+

A5

)+ =

A1

,

(6.6)

2

2

2

2

2

2

оскiльки вирази, що стоять в дужках, згiдно (6.5), дорiвнюють нулю, а частина, що залишилася, вiд амплiтуди останньої зони ±Am/2 нескiнченно мала.

Таким чином амплiтуда результуючих коливань в довiльнiй точцi M визначається дiєю тiльки половини центральної зони Френеля. Отже, дiя всiєї хвильової поверхнi на точку M зводиться до дiї її малої дiлянки, меншої центральної зони.

Якщо у виразi (6.2) покладемо, що висота сегмента hm a (при не дуже великих m), тодi rm2 = 2ahm. Пiдставивши сюди значення (6.3), знайдемо радiус зовнiшньої межi m-ї зони Френеля:

rm = r	a + bmλ.			(6.7)
		ab

При a=b=10 см i λ=0,5 мкм радiус першої (центральної) зони r1=0,158 мм. Отже, поширення свiтла вiд S до вiдбувається так, нiби свiтловий потiк поширюється всерединi дуже вузького каналу вздовж SM, тобто прямолiнiйно. Таким чином принцип Гюйгенса Френеля дає змогу пояснити прямолiнiйне поширення свiтла в однорiдному середовищi.

Правомiрнiсть подiлу хвильового фронту на зони Френеля пiдтверджена експериментально. Для цього використовуються зоннi пластинки в простому випадку склянi пластинки, що складаються з системи прозорих i непрозорих концентричних кiлець, побудованих за принципом розташування зон Френеля, що чергуються, тобто з радiусами rm зон Френеля, якi визначаються виразом (6.7) для заданих

значень a, b i (m = 0, 2, 4, ... для прозорих i m = 1, 3, 5, ... для непрозорих кiлець). Якщо помiстити зонну пластинку в строго визначеному мiсцi (на вiдстанi вiд точкового джерела i на вiдстанi b вiд точки спостереження на лiнiї, що сполучає цi двi точки), то для свiтла довжиною хвилi λ вона перекриє парнi зони i залишить вiльними непарнi починаючи з центральної. В результатi цього результуюча амплiтуда A = A1 + A2 + A3 + ... повинна бути бiльшою, нiж при повнiстю вiдкритому хвильовому фронтi. Дослiд пiдтверджує цi висновки: зонна пластинка збiльшує освiтленiсть в точцi M, дiючи подiбно збираючiй лiнзi.

6.3.Дифракцiя Френеля на круглому отворi та диску

Розглянемо дифракцiю в променях, що сходяться, або дифракцiю Френеля, здiйснювану в тому випадку, коли дифракцiйна картина спостерiгається на граничнiй вiдстанi вiд перешкоди, що викликала дифракцiю.

1. Дифракцiя на круглому отворi. Сферична хвиля, що поширюється з точкового джерела S, зустрiчає на своєму шляху екран з круглим отвором. Дифракцiйну картину спостерiгаємо на екранi E в точцi B, яка лежить на лiнiї, що сполучає S з центром отвору (рис. 6.4). Екран паралельний площинi отвору i знаходиться вiд нього на вiдстанi b. Розiб’ємо вiдкриту частину хвильової поверхнi Φ на зони Френеля. Вид дифракцiйної картини залежить вiд числа зон Френеля, що вiдкриваються отвором. Амплiтуда результуючого коливання, що порушується в точцi B всiма зонами (див. (6.1) i (6.6),

A = A1/2 ± Am/2,

де знак "плюс" вiдповiдає непарним m i "мiнус" парним m. Коли отвiр вiдкриває непарне число зон Френеля, то амплiтуда (iнтенсивнiсть) у точцi B буде бiльшою, нiж при вiльному поширеннi хвилi; якщо парне, то амплiтуда (iнтенсивнiсть) буде дорiвнювати нулю. Якщо отвiр вiдкриває одну зону Френеля, то в точцi B амплiтуда A = A1 тобто вдвiчi бiльша, нiж за вiдсутнiстю непрозорого екрана з отвором (див. 6.2). Iнтенсивнiсть свiтла бiльше вiдповiдно в чотири рази.

Якщо отвiр вiдкриває двi зони Френеля, то їх дiї в точцi B практично компенсують одна одну через iнтерференцiю.

Отже, дифракцiйна картина вiд круглого отвору поблизу точки B матиме вид темних i свiтлих кiлець, що чергуються, з центрами в точцi B (якщо m парне, то в центрi буде темне кiльце, якщо m непарне то свiтле кiльце), причому iнтенсивнiсть в максимумах зменшується з вiдстанню вiд центра картини.

Розрахунок амплiтуди результуючого коливання за межами осьових дiлянок екрана складнiший, оскiльки вiдповiднi їм зони Френеля частково перекриваються непрозорим екраном. Якщо отвiр освiтлюється не монохроматичним, а бiлим свiтлом, то кiльця забарвленi.

Число зон Френеля, що вiдкриваються отвором, залежить вiд його дiаметра. Якщо вiн великий, то Am A1 i результуюча амплiтуда A = A/2, тобто така ж, як i при повнiстю вiдкритому хвильовому фронтi. Нiякої дифракцiйної картини не спостерiгається, свiтло поширюється, як i за вiдсутнiстi круглого отвору, прямолiнiйно.

2. Дифракцiя на диску. Сферична хвиля, що поширюється вiд точкового джерела S, зустрiчає на своєму шляху диск. Дифракцiйну картину спостерiгаємо на екранi E в точцi B, яка лежить на лiнiї, що сполучає S з центром диска (рис. 6.5). У даному випадку закриту диском дiлянку хвильового фронту треба виключити з розгляду, i зони Френеля будувати починаючи з країв диска. Нехай диск закриває m перших зон Френеля. Тодi амплiтуда результуючого коливання в точцi B дорiвнює

A = Am+1	− Am+2 + Am+3	− ... = 2		+	2	− Am+2	+ 2		+ ...,
			Am+1		Am+1			Am+3

або A = Am+1/2, оскiльки вирази, що стоять в дужках, дорiвнюють нулю. Отже, в точцi B завжди спостерiгається iнтерференцiйний максимум (свiтла пляма), яка вiдповiдає половинi дiї першої вiдкритої зони Френеля. Центральний максимум оточений концентричними темними i свiтлими кiльцями, а iнтенсивнiсть в максимумi зменшується з вiдстанню вiд центра картини.

Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

Iз збiльшенням радiуса диска перша вiдкрита зона Френеля вiддаляється вiд точки i збiльшується кут ϕm (див. рис. 6.3) мiж нормаллю до поверхнi цiєї зони i напрямом на точку B. У результатi iнтенсивнiсть центрального максимуму iз збiльшенням розмiрiв дискаа зменшується. При великих розмiрах диска за ним спостерiгається тiнь, поблизу межi якої має мiсце дуже слабка дифракцiйна картина. В даному випадку дифракцiєю свiтла можна нехтувати i вважати свiтло таким, що поширюється прямолiнiйно.

Вiдзначимо, що дифракцiя на круглому отворi i дифракцiя на диску вперше розглянутi Френелем.