Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

З формули (7.5) виявляються деякi суперечностi з дослiдом: величина n, будучи змiнною (див. 7.1),

√

залишається в той же час рiвною певної постiйної ε. Крiм того, значення n, одержанi з цього виразу, не узгоджуються з дослiдними значеннями. Труднощi пояснення дисперсiї свiтла з погляду електромагнiтної теорiї Максвелла усуваються електронною теорiєю Лоренца. В теорiї Лоренца дисперсiя свiтла розглядається як результат взаємодiї електромагнiтних хвиль iз зарядженими частинками, що входять до складу речовини i виконують вимушенi коливання в змiнному електромагнiтному полi хвилi.

Застосуємо електронну теорiю дисперсiї свiтла для однорiдного дiелектрика, припустивши формально, що дисперсiя свiтла є наслiдком залежностi ε вiд частоти ω свiтлових хвиль. Дiелектрична проникнiсть речовини, за визначенням (див. частина 2, (88.6) i (88.2)), дорiвнює

ε = 1 + χ = 1 + P/ (ε0E) ,

де χ дiелектрична сприйнятливiсть середовища, ε0 електрична стала, P миттєве значення поляризованостi. Отже,

n2 = 1 + P/ (ε0E) ,

(7.6)

тобто залежить вiд P . В даному випадку основне значення має електронна поляризацiя, тобто вимушенi коливання електронiв пiд дiєю електричної складової поля хвилi, оскiльки для орiєнтацiйної поляризацiї молекул частота коливань в свiтловiй хвилi дуже висока (ν 1015 Гц).

У першому наближеннi можна вважати, що вимушенi коливання виконують тiльки зовнiшнi електрони, якi найслабше пов’язанi з ядром, оптичнi електрони. Для простоти розглянемо коливання тiльки одного оптичного електрона. Наведений дипольний момент електрона, що виконує вимушенi коливання, дорiвнює p = ex, де e заряд електрона, x зсув електрона пiд дiєю електричного поля свiтлової хвилi. Якщо концентрацiя атомiв в дiелектрику дорiвнює n0, то миттєве значення поляризацiї

P = n0p = n0ex.

(7.7)

З (7.6) i (7.7) одержимо

n2 = 1 + n0ex/(ε0E).

(7.8)

Отже, задача зводиться до визначення зсуву електрона пiд дiєю зовнiшнього поля E. Поле свiтлової хвилi вважатимемо функцiєю частоти ω таке, що змiнюється за гармонiчним законом: E = E0 cos ωt.

Рiвняння вимушених коливань електрона (див. ??) для простого випадку (без врахування сили опору, що зумовлює поглинання енергiї падаючої хвилi) запишеться у виглядi

d2x

+ ω02x =

F0

cos ωt =

e

E0 cos ωt,

(7.9)

dt2

m

m

де F0 = eE0 амплiтудне значення сили, що дiє на електрон з боку поля хвилi, ω0 =

власна

k/m

ε = n2

залежно

частота коливань електрона, m маса електрона. Розв’язавши рiвняння (7.9), знайдемоp

вiд констант атома (e, n, ω0) i частоти ω зовнiшнього поля, тобто розв’яжемо задачу дисперсiї.

Розв’язок рiвняння (7.9) можна записати у виглядi

x = A cos ωt,

(7.10)

де

eE0

A =

,

(7.11)

m(ω02 − ω2)

в чому легко переконатися пiдстановкою (див. (1.62)). Пiдставляючи вирази (7.10) i (7.11) в (7.8), одер-

	жимо		n2e			1
	n2	= 1 +					.	(7.12)
		ε0m (ω02				− ω2)

Рис. 7.3.

Якщо в речовинi є рiзнi заряди ei, якi виконують вимушенi коливання з рiзними власними частотами ω0i, то

n	2	= 1 +	n2		Xi	ei2/mi	,	(7.13)
				ε0		(ω02i − ω2)

де mi маса i-ro заряду. З виразiв (7.12) i (7.13) виходить, що показник заломлення n залежить вiд частоти ω зовнiшнього поля, тобто одержанi залежностi дiйсно пiдтверджують явище дисперсiї свiтла, хоча i при вказаних вище допущеннях, якi надалi треба усунути.

З виразiв (7.12) i (7.13) виходить, що в областi вiд ω =0 до ω = ω0 n2 бiльше одиницi i зростає iз збiльшенням ω (нормальна дисперсiя); при ω = ω0 n2 = ±∞ ; в областi вiд ω = ω0 до ω = ∞ n2 менше одиницi i зростає вiд −∞ до 1 (нормальна дисперсiя). Перейшовши вiд n2 до n одержимо, що графiк залежностi n вiд ω має вигляд, зображений на рис. 7.3. Така поведiнка n поблизу ω0 результат допущення про вiдсутнiсть сил опору при коливаннях електронiв. Якщо прийняти в розрахунок i цю обставину, то графiк функцiї n(ω) поблизу ω0 задається штриховою лiнiєю AB. Область AB область аномальної дисперсiї (n зменшується при зростаннi ω), решта дiлянок залежностi n вiд ω описує нормальну дисперсiю (n зростає iз зростанням ω0).

Росiйському фiзику Д. С. Рождєствєнському (1876–1940) належить класична робота по вивченню аномальної дисперсiї в парах натрiю. Вiн розробив iнтерференцiйний метод для дуже точного вимiрювання показника заломлення пару i експериментально показав, що формула (7.13) правильно характеризує залежнiсть n вiд ω, а також ввiв в неї поправку, що враховує квантовi властивостi свiтла i атомiв.

7.3.Поглинання (абсорбцiя) свiтла

Поглинанням (абсорбцiєю) свiтла називається явище зменшення енергiї свiтлової хвилi при її поширеннi в речовинi внаслiдок перетворення енергiї хвилi в iншi види енергiї. В результатi поглинання iнтенсивнiсть свiтла при проходженнi через речовину зменшується. Поглинання свiтла в речовинi описується законом Бугера5:

I = I0e−αx,

(7.14)

де I0 i I iнтенсивностi плоскої монохроматичної свiтлової хвилi на входi i виходi шару поглинаючої речовини товщиною x, α коефiцiєнт поглинання, який залежить вiд довжини хвилi свiтла, хiмiчної природи i стану речовини i не залежить вiд iнтенсивностi свiтла. При x = 1/α iнтенсивнiсть свiтла I в порiвняннi з I0 зменшується в e разiв.

Коефiцiєнт поглинання залежить вiд довжини хвилi λ (або частоти ω) i для рiзних речовин рiзний. Наприклад, одноатомнi гази i пари металiв (тобто речовини, в яких атоми розташованi на значних вiдстанях один вiд одного, i їх можна вважати iзольованими) мають близький до нуля коефiцiєнт поглинання i лише для дуже вузьких спектральних областей (приблизно 10−11 10−12 м) спостерiгаються рiзкi максимуми (так званий лiнiйчатий спектр поглинання). Цi лiнiї вiдповiдають частотам власних коливань електронiв в атомах. Спектр поглинання молекул, який визначається коливаннями атомiв в молекулах, характеризується смугами поглинання (приблизно 10−10 10−7 м).

Коефiцiєнт поглинання для дiелектрикiв невеликий (приблизно 10−3 10−5 см−1), проте у них спостерiгається селективне поглинання свiтла в певних iнтервалах довжин хвиль, коли α рiзко зростає, i спостерiгаються порiвняно широкi смуги поглинання, тобто дiелектрики мають суцiльний спектр поглинання. Це пов’язане з тим, що в дiелектриках немає вiльних електронiв i поглинання свiтла зумовлене явищем резонансу при вимушених коливаннях електронiв в атомах i атомiв в молекулах дiелектрика.

5П. Бугер (1698–1758) французький учений.

Рис. 7.4.

Коефiцiєнт поглинання для металiв має великi значення (приблизно 103 105 см−1) i тому метали є непрозорими для свiтла. У металах через наявнiсть вiльних електронiв, якi рухаються пiд дiєю електричного поля свiтлової хвилi, виникають бистрозмiннi струми, що супроводжуються видiленням джоулевої теплоти. Тому енергiя свiтлової хвилi швидко зменшується, перетворюючись на внутрiшню енергiю металу. Чим вища провiднiсть металу, тим сильнiше в ньому поглинання свiтло.

На рис. 7.4 подана типова залежнiсть коефiцiєнту поглинання α вiд довжини хвилi свiтла λ i залежнiсть показника заломлення n вiд λ в областi смуги поглинання. З рис. 7.4 виходить, що всерединi смуги поглинання спостерiгається аномальная дисперсiя (n зменшується iз зменшенням λ). Проте поглинання речовини маэ бути значним, щоб вплинути на хiд показника заломлення.

Залежнiстю коефiцiєнта поглинання вiд довжини хвилi пояснюється забарвлення поглинаючих тiл. Наприклад, скло, яке слабо поглинає червонi i оранжевi променi i сильно поглинає зеленi i синi, при освiтленнi бiлим свiтлом здаватиметься червоним. Якщо на таке скло спрямувати зелене i синє свiтло, то через сильне поглинання свiтла цих довжин хвиль скло здаватиметься чорним. Це явище використовується для виготовлення свiтлофiльтрiв, якi залежно вiд хiмiчного складу (скло з присадками рiзних солей,

плiвки з пластмас, що мiстять фарбники, розчини фарбникiв i т. iн.) пропускають свiтло тiльки певних довжин хвиль, поглинаючи iншi. Рiзноманiтнiсть меж селективного (виборчого) поглинання у рiзних речовин пояснює рiзноманiтнiсть i багатство кольорiв i фарб, що спостерiгається в навколишньому свiтi.

Явище поглинання широко використовується в абсорбцiйному спектральному аналiзi сумiшi газiв, основаному на вимiрюваннях спектрiв частот i iнтенсивностей лiнiй (смуг) поглинання. Структура

спектрiв поглинання визначається складом i будовою молекул, тому вивчення спектрiв поглинання є одним з основних методiв кiлькiсного i якiсного дослiдження речовин.

7.4.Ефект Доплера

Ефект Доплера в акустицi (див. 2.7) пояснюється тим, що частота коливань якi сприймаються приймачем, визначається швидкостями руху джерела коливань i приймача щодо середовища, в якому вiдбувається поширення звукових хвиль. Ефект Доплера спостерiгається також i при русi один вiдносно одного джерела i приймача електромагнiтних хвиль. Оскiльки особливого середовища, що служить носiєм електромагнiтних хвиль, не iснує, то частота свiтлових хвиль, якi сприймаються приймачем (спостерiгачем), визначається тiльки вiдносною швидкiстю джерела i приймача (спостерiгача). Закономiрностi ефекту Доплера для електромагнiтних хвиль встановлюються на основi спецiальної теорiї вiдносностi.

Згiдно з принципом вiдносностi Ейнштейна (див. частина 1, § 35), рiвняння свiтлової хвилi у всiх iнерцiйних системах вiдлiку однакове за формою. Використовуючи перетворення Лоренца (див. частина 1, § 36), можна одержати рiвняння хвилi, яка посилається джерелом, у напрямi приймача в iншiй iнерцiйнiй системi вiдлiку, а отже, i зв’язати частоти свiтлових хвиль, якi випромiнюються джерелом (ν0) i приймаються приймачем (ν). Теорiя вiдносностi приводить до такої формули, що описує ефект Доплера для електромагнiтних хвиль у вакуумi:

	q	1 − υ2	c2
ν = ν0					= ν0		1 − β2		,	(7.15)
	1 + (υ/c)					p
			cos θ			1 + β cos θ

де υ швидкiсть джерела свiтла щодо приймача; c швидкiсть свiтла у вакуумi; β = υ/c, θ кут мiж вектором швидкостi υ i напрямом спостереження, що вимiрюється в системi вiдлiку, пов’язанiй iз

спостерiгачем. З виразу (7.15) виходить, що при θ=0

							√
	0 p1		+ υ/c			0					(7.16)
							√1		+ β
ν = ν	1		− υ/c		= ν		1		− β	.
	p

Формула (7.16) визначає так званий поздовжнiй ефект Доплера, який спостерiгається при русi приймача вздовж лiнiї, що сполучає його з джерелом. При малих вiдносних швидкостях υ (υ c), розкладаючи (7.16) в ряд за ступенями β i нехтуючи членом порядку β2, одержимо

ν = ν0 (1 − β) = ν0 (1 − υ/c) ,

(7.17)

Отже, при вiддаленнi джерела i приймача один вiд одного (при їх додатнiй вiдноснiй швидкостi) спостерiгається зсув у бiльш довгохвильову область (ν < ν0, λ > λ0) так званий червоний зсув. При зближеннi ж джерела i приймача (при їх негативнiй вiдноснiй швидкостi) спостерiгається зсув у бiльш короткохвильову область (ν < ν0, λ < λ0) так званий фiолетовий зсув. Якщо θ = π/2, то вираз (7.15) набуде вигляду

q

p

ν = ν0 1 − υ2 c2 = ν0 1 − β2, (7.18)

Формула (7.18) визначає так званий поперечний ефект Доплера, який спостерiгається при русi приймача перпендикулярно лiнiї, що сполучає його з джерелом. З виразу (7.18) виходить, що поперечний ефект Доплера залежить вiд β2, тобто при малих β є ефектом другого порядку малостi порiвняно до поздовжнього ефекту, залежного вiд β (див. (7.17)). Тому виявлення поперечного ефекту Доплера пов’язане з великими труднощами. Поперечний ефект, хоча i багато менше поздовжнього, має принципове значення, оскiльки не спостерiгається в акустицi при υ c i з (7.18) виходить, що ν = ν0, i є, отже, релятивiстським ефектом. Вiн пов’язаний з уповiльненням перебiгу часу для спостерiгача, який рухається. Експериментальне виявлення поперечного ефекту Доплера стало ще одним пiдтвердженням

справедливостi теорiї вiдносностi; вiн був знайдений в 1938 р. в дослiдах американського фiзика Р. Айвса.

Поздовжнiй ефект Доплера був вперше виявлений в 1900 р. в лабораторних умовах росiйським астрофiзиком А. А. Белопольским (1854–1934) i повторений в 1907 р. росiйським фiзиком Б. Б. Голiциним (1862–1919). Поздовжнiй ефект Доплера використовується при дослiдженнi атомiв, молекул, а також космiчних тiл, оскiльки за зсувом частоти свiтлових коливань, який виявляється у виглядi зсуву або розширення спектральних лiнiй, визначається характер руху випромiнюючих частинок, або випромiнюючих тiл. Ефект Доплера набув широке поширення в радiотехнiцi i радiолокацiї, наприклад у радiолокацiйних вимiрюваннях вiдстаней до рухомих об’єктiв.

7.5.Випромiнювання Вавiлова Черенкова

Росiйський фiзик П. А. Черенков (1904–1990), що працював пiд керiвництвом Вавiлова, показав, що при русi релятивiстських заряджених частинок в середовищi з постiйною швидкiстю υ, що перевищує фазову швидкiсть свiтла в цьому середовищi, тобто за умови υ > c/n (n показник заломлення середовища), виникає електромагнiтне випромiнювання, назване згодом випромiнюванням (ефектом) Вавiлова Черенкова. Природа даного випромiнювання, знайденого для рiзноманiтних речовин, у тому числi i для чистих рiдин, детально вивчалася С. I. Вавiловим. Вiн показав, що дане свiчення не є люмiнесценцiєю, як вважалося ранiше, i виказав припущення, що воно пов’язане з рухом вiльних електронiв крiзь речовину.

Випромiнювання Вавiлова Черенкова в 1937 р. було теоретично пояснено росiйськими вченими I. Е. Таммом (1895–1971) i I. М. Франком (р. 1908) (Черенков, Тамм i Франк в 1958 р. удостоєнi Нобелiвської премiї).

Згiдно з електромагнiтною теорiєю, заряджена частинка (наприклад, електрон) випромiнює електромагнiтнi хвилi лише при русi з прискоренням. Тамм i Франк показали, що це твердження справедливо тiльки до тих пiр, поки швидкiсть зарядженої частинки не перевищує фазової швидкостi c/n електро-

магнiтних хвиль в середовищi, в якому частинка рухається. Якщо частинка має швидкiсть υ > c/n, то, навiть рухаючись рiвномiрно, вона випромiнюватиме електромагнiтнi хвилi. Отже, згiдно з теорiєю Тамма i Франка, електрон, що рухається в прозорому середовищi з швидкiстю, яка перевищує фазову швидкiсть свiтла в даному середовищi, має сам випромiнювати свiтло.

Вiдмiнною особливiстю випромiнювання Вавiлова Черенкова є його поширення не у всiх напрямах, а лише у напрямах, що становлять гострий кут θ з траєкторiєю частинки, тобто вздовж твiрних конуса, вiсь якого, збiгається з напрямом швидкостi частинки. Визначимо кут θ:

cos θ = (c/n)/υ = c/(nυ).

(7.19)

Виникнення випромiнювання Вавiлова Черенкова i його спрямованiсть були поясненi Франком i Таммом на основi уявлень про iнтерференцiю свiтла з використанням принципу Гюйгенса.

На основi випромiнювання Вавiлова Черенкова розробленi експериментальнi методи для реєстрацiї частинок високих енергiй i визначення їх властивостей, що широко використовуються (напрям руху, величина i знак заряду, енергiя). Лiчильники для реєстрацiї заряджених частинок, в яких використовується випромiнювання Вавiлова Черенкова, одержали назву черенковськiх лiчильникiв. У цих лiчильниках частинка реєструється практично миттєво (при русi зарядженої частинки в середовищi з швидкiстю, що перевищує фазову швидкiсть свiтла в даному середовищi, виникає свiтловий спалах, перетворюваний за допомогою фотоелектронного помножувача в iмпульс струму. Це дозволило в 1955 р. iталiйському фiзику Е. Сегре (р. 1905) вiдкрити в черенковськом лiчильнику короткоживучу античастку антипротон.

7.6.Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки

•Що таке дисперсiя свiтла?

•Як пов’язанi мiж собою заломлюючий кут призми та кут вiдхилення променiв?

•Що показує дисперсiя речовини?

•Чим вiдрiзняється нормальна дисперсiя вiд аномальної?

•За якими признаками можна вiдрiзнити спектри, отриманi з допомогою призми i дифракцiйної гратки?

•Пояснiть дисперсiйну криву на рис. 7.3.

•У чому полягають основнi положення i висновки електронної теорiї дисперсiї свiтла?

•Чому метали сильно поглинають свiтло?

•У чому основна вiдмiннiсть ефекту Доплера для свiтлових хвиль вiд ефекту Доплера в акустицi?

•Чому поперечний ефект Доплера є релятивiстським ефектом? Чим вiн зумовлений?

•Коли виникає випромiнювання Вавiлова Черенкова?

7.7.Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки

24.1. На грань скляної призми (n=1,5) нормально падає промiнь свiтла. Визначити кут вiдхилення променя призмою, якщо її заломлюючий кут дорiвнює 25o. [14"210]

24.2 При проходженнi свiтла в деякiй речовинi шляху його iнтенсивнiсть зменшилася в два рази. Визначити, в скiльки разiв зменшиться iнтенсивнiсть свiтла при проходженнi ним шляху 4x. [У 16 разiв]

24.3.Джерело монохроматичного свiтла з довжиною хвилi λ0=0.6 мкм рухається у напрямку до спостерiгача зi швидкiстю υ=0,15 c (c швидкiсть свiтла у вакуумi]. Визначити довжину хвилi λ, яку зареєструє приймач. [516 нм]

24.4.Визначити мiнiмальну кiнетичну енергiю (у мегаелектрон-вольтах), яку повинен мати електрон, щоб в середовищi з показником заломлення n=1,5 виникло випромiнювання Вавiлова Черенкова. [0,17 МеВ]