Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

Перiод биття

Tб = 2π/Δω ω.

Характер залежностi (1.34) показаний на рис. 1.7, де суцiльнi жирнi лiнiї дають графiк результуючого коливання (1.34), а обвiднi графiк амплiтуди, що поволi змiнюється згiдно з рiвнянням (1.35).

Визначення частоти тону (звуку певної висоти (див. 2.6)) биття мiж еталонним i вимiрюваним коливаннями найбiльш широке використання на практицi методу порiвняння вимiрюваної величини з еталонною.

Метод биття використовується для настроювання музичних iнструментiв, аналiзу слуху i т. iн.

Будь-якi складнi перiодичнi коливання s = f(t) можна представити у виглядi суперпозицiї гармонiчних коливань, що одночасно виконуються, i мають рiзнi амплiтуди, початковi фази, а також частоти, кратнi циклiчнiй частотi ω0.

Представлення перiодичної функцiї у виглядi (1.36) пов’язують з поняттям гармонiчного аналiзу складного перiодичного коливання, або розкладання Фур’є1:

s =	A0	+ A1 cos (ω0t + ϕ1) + A2 cos (2ω0t + ϕ2) + .. + An cos (nω0t + ϕn) .	Рис. 1.7.
	2

(1.36)

Доданки ряду Фур’є, що визначають гармонiчнi коливання з частотами ω0, 2ω0, 3ω0. . . , називаються першою (або основною), другою, третьою i т. iн. гармонiками складного перiодичного коливання.

1Ж.Фур’є(1768–1830) французький учений.

1.6.Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Розглянемо результат додавання двох гармонiчних коливань однакової частоти ω0, що вiдбуваються у взаємно перпендикулярних напрямах уздовж осей x i y. Для простоти початок вiдлiку виберемо так, щоб початкова фаза першого коливання дорiвнювала нулю, i запишемо

x = A cos ωt,

(1.37)

y = B cos(ωt + α),

де α рiзниця фаз обох коливань, A i B амплiтуди коливань, що додаються.

Рiвняння траєкторiї результуючого коливання знаходиться виключенням з виразiв (1.37) параметра t. Записуючи коливання, що додаються, у виглядi

x/A = cos ωt;

y/B = cos(ωt + α) = cos ωt cos α − sin ωt sin α

i замiнюючи в другому рiвняннi cos ωt на x/A i sin ωt на 1 − (x/A)2, одержимо пiсля нескладних

перетворень рiвняння елiпса, осi якого орiєнтованi щодо						координатних осей довiльно:
						p
	x2	2xy			y2
		−		cos α +		= sin2 α.	(1.38)
	A2		AB		B2

Оскiльки траєкторiя результуючого коливання має форму елiпса, то такi коливання називаються елiптично поляризованими.

Орiєнтацiя елiпса i розмiри його осей залежать вiд амплiтуд коливань, що додаються, i рiзницi фаз α. Розглянемо деякi окремi випадки, якi являють фiзичний iнтерес:

1) α = mπ (m = 0, ±1, ±2, ...). У цьому випадку елiпс вироджується у вiдрiзок

y = ±(B/A)x,

(1.39)

Рис. 1.9.

де знак "плюс"вiдповiдає нулю i парним значенням m (рис. 1.8, а), а знак "мiнус непарним зна-

ченням m (рис. 1.8,б ). Результуюче коливання є гармонiчним коливанням з частотою ω i амплiтудою

√

A2 + B2, що здiйснюється вздовж прямої (1.39), яка складає з вiссю кут ϕ = arctg(B/A cos mπ). В даному випадку маємо справу з лiнiйно поляризованими коливаннями;

2) α = (2m + 1)π/2 (m = 0, ±1, ±2, ...). У такому випадку рiвняння набуде вигляду

	x2	+	y2	= 1.	(1.40)
	y2		B2

Це рiвняння елiпса, осi якого збiгаються з осями координат, а його напiвосi дорiвнюють вiдповiдним амплiтудам (рис.1.9).

Крiм того, якщо A = B, то елiпс (1.40) вироджується в коло. Такi коливання називають циркулярно поляризованими коливаннями або коливаннями, поляризованими по колу.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, рiзнi, то замкнена траєкторiя результуючого коливання досить складна. Замкненi траєкторiї, прокреслюванi точкою, що виконує одночасно два взаємно перпендикулярних коливання, називають фiгурами Лiссажу2. Вигляд цих кривих залежить вiд спiввiдношення амплiтуд, частот i рiзницi фаз коливань, що додаються. На рис. 1.10 зображенi фiгури Лiссажу для рiзних спiввiдношень частот (вказанi злiва) i рiзниць фаз (вказанi вгорi; рiзниця фаз взята рiвною ϕ).

Вiдношення частот коливань, що додаються, дорiвнює вiдношенню

числа перетинiв фiгур Лiссажу з прямими, паралельними осям координат. За виглядом фiгур можна визначити невiдому частоту за вiдомою або визначити вiдношення частот коливань, що додаються.

2 Ж. Лiссажу (1822 – 1880) французький фiзик

Тому аналiз фiгур Лiссажу це широко вживаний метод дослiдження спiввiдношень частот i рiзницi фаз коливань, а також форми коливань, що додаються.

Рис. 1.10.

1.7.Диференцiальне рiвняння вiльних загасаючих коливань (механiчних i електромагнiтних) та його розв’язок. Автоколивання

Розглянемо вiльнi загасаючi коливання коливання, амплiтуди яких через втрати енергiї реальною коливальною системою з часом зменшуються. Простим механiзмом зменшення енергiї коливань є її перетворення в теплоту внаслiдок тертя в механiчних коливальних системах, а також омiчних втрат i випромiнювання електромагнiтної енергiї в електричних коливальних системах.

Закон загасання коливань визначається властивостями коливальних систем. Звичайно розглядають лiнiйнi системи iдеалiзованi реальнi системи, в яких параметри, що визначають фiзичнi властивостi системи, в ходi процесу не змiнюються. Лiнiйними системами є, примiром, пружинний маятник при малих розтягуваннях пружини (коли справедливий закон Гука), коливальний контур, iндуктивнiсть, ємнiсть i опiр якого не залежать нi вiд струму в контурi, нi вiд напруги. Рiзнi за своєю природою лiнiйнi системи описуються iдентичними лiнiйними диференцiальними рiвняннями, що дозволяє пiдходити до вивчення коливань рiзної фiзичної природи з єдиної точки зору, проводити їх моделювання, у тому числi i на ЕОМ.

Диференцiальне рiвняння вiльних загасаючих коливань лiнiйної системи, задається у виглядi

d2s			ds
		+ 2δ		+ ω02s = 0,	(1.41)
dt2
			dt

де s коливна величина, яка описує той або iнший фiзичний процес, δ=const коефiцiєнт загасання, ω0 циклiчна частота вiльних незагасаючих коливань тiєї ж коливальної системи, тобто при δ=0 (за вiдсутностi втрат енергiї) називається власною частотою коливальної системи.

Розв’язок рiвняння (1.41) розглянемо у виглядi

s = e−δtu,

(1.42)

де u = u(t). Пiсля знаходження першої i другої похiдних виразу (1.42) i пiдставлення їх у (1.41) одержимо

d2u	+ (ω02 − δ2)u = 0.	(1.43)
dt2

Розв’язок рiвняння (1.43) залежить вiд знаку коефiцiєнту перед шуканою величиною. Розглянемо випадок, коли цей коефiцiєнт позитивний:

ω2 = ω02 − δ2,

(1.44)

(якщо (ω02 − δ2)>0, то таке позначення ми маємо право зробити). Тодi одержимо рiвняння типу (1.16)

d2u + ω2u = 0, розв’язком якого є функцiя u = A0 cos(ωt + ϕ) (див. (1.1)). Отже, розв’язок рiвняння dt2

(1.41) у разi малих загасань (δ2 ω02)

s = A0e−δt cos(ωt + ϕ),	(1.45)
де
A = A0e−δt,	(1.46)

A амплiтуда загасаючих коливань, а A0 початкова амплiтуда. Залежнiсть (1.45) показана на рис. 1.11 суцiльною лiнiєю, а залежнiсть (1.46) штриховими лiнiями. Промiжок часу τ = 1/δ, протягом якого амплiтуда загасаючих коливань зменшується в e раз, називається часом релаксацiї.

Загасання порушує перiодичнiсть коливань, тому загасаючi коливання не є перiодичними, i, строго кажучи, до них непридатне поняття перiоду або частоти. Проте якщо загасання мале, то можна умовно користуватися поняттям перiоду як промiжку часу мiж двома сусiднiми максимумами (або мiнiмумами) фiзичної величини, що коливається (рис. 1.11). Тодi перiод загасаючих коливань з врахуванням формули (1.44) дорiвнює

q

T = 2π/ω = 2π/ ω02 − δ2.

Якщо (t) i (t + T ) амплiтуди двох послiдовних коливань, якi вiдповiдають моментам часу, що вiдрiзняються на перiод, то вiдношення

A(t)	= eδT
A(t + T )

називається декрементом загасання, а його логарифм

θ = ln	A(t)		= δT =	T	=		1	(1.47)
	A(t + T )			τ		Ne

логарифмiчним декрементом загасання; Ne число коливань, якi здiйснюються за час зменшення амплiтуди в e разiв. Логарифмiчний декремент загасання постiйна для даної коливальної системи величина.

Для характеристики коливальної системи користуються поняттям добротностi Q, яка при малих значеннях логарифмiчного декремента дорiвнює

Q =	π	= πNe =	π	=	ω0		,	(1.48)
	θ		δT0			2δ

(оскiльки загасання мале ( δ2 < ω02), то T прийнято рiвним T0). З формули (1.48) виходить, що добротнiсть пропорцiйна числу коливань Ne, якi здiйснюються системою за час релаксацiї. Висновки, одержанi для вiльних загасаючих коливань лiнiйних систем, можуть бути застосованi для коливань рiзної фiзичної природи механiчних (як приклад розглянемо пружинний маятник) i електромагнiтних.

1. Вiльнi загасаючi коливання пружинного маятника. Для пружинного маятника масою m, що здiйснює малi коливання пiд дiєю пружної сили F = −kx, сила тертя пропорцiйна швидкостi, тобто

F = −rυ = −rdx/dt,

де r коефiцiєнт опору; знак "мiнус"вказує на протилежнi напрями сили тертя i швидкостi. За даних умов закон руху маятника матиме вигляд

d2x

= −kx − r

dx

(1.49)

m

.

Використовуючи формулу ω0 = p

dt2

dt

(див. (1.17)) i приймаючи, що коефiцiєнт загасання

k/m

δ = r/(2m),

(1.50)

одержимо iдентичне рiвнянню (1.41) диференцiальне рiвняння загасаючих коливань маятника:

d2x

dx

− 2δ

+ ω0x = 0.

dt2

dt

З виразiв (1.41) i (1.45) виходить, що коливання маятника вiдповiдають закону

x = A0e−δt cos(ωt + ϕ),

де частота ω = q

ω02 − r2

(4m2) (див. (1.44)).

√

Добротнiсть

пружинного маятника, згiдно (1.48) та (1.50), Q =

km/r.

2. Вiльнi загасаючi коливаннi в електричному коливальному контурi. Диференцiальне рiвняння вiльних загасаючих коливань заряду в контурi (при R 6= 0) має вигляд (див.(1.26))

d2Q			R dQ					1
			+					+		Q = 0
	dt2			L dt
								LC
Враховуючи вираз (1.28) i приймаючи коефiцiєнт загасання
			δ = R/(2L),							(1.51)

диференцiальне рiвняння (1.26) можна записати у виглядi, iдентичному рiвнянню (1.41)

d2Q

+ 2δ

dQ

+ ω2Q = 0.

dt2

dt

0

З виразiв (1.41) та (1.45) виходить, що коливання заряду виконуються згiдно iз законом

Q = Qme−δt cos(ωt + ϕ),

(1.52)

з частотою згiдно (1.44)

1

R2

ω = r

−

,

(1.53)

LC

4L2

яка менша власної частоти контуру ω0 (див. (1.28)). При R=0 формула (1.53) переходить у вираз (1.28). Логарифмiчний декремент загасання визначається за формулою

(1.47), а добротнiсть коливального контуру (див. (1.48))
Q = Rr			.	(1.54)
		C
	1 L
На закiнчення вiдзначимо, що при збiльшеннi коефiцiєнта загасання
перiод загасаючих коливань росте i при δ = ω0 обертається в нескiн-
ченнiсть, тобто рух перестає бути перiодичним. У даному випадку
коливна величина асимптотично наближається до нуля, коли t → ∞.
Процес не буде коливальним. Вiн називається				аперiодичним.
Величезний iнтерес для технiки являє можливiсть пiдтримувати					Рис. 1.11.

коливання незгасаючими. Для цього потрiбно поповнювати втрати енергiї реальної коливальної системи. Особливо важливi i широко використовуються так званi автоколивання незгасаючi коливання,

що пiдтримуються в дисипативнiй системi за рахунок постiйного зовнiшнього джерела енергiї, причому властивостi цих коливань визначаються самою системою.

Автоколивання принципово вiдрiзняються вiд вiльних незгасаючих коливань, що вiдбуваються без дiї зовнiшнiх сил, а також вiд вимушених коливань, що вiдбуваються пiд дiєю зовнiшньої перiодичної сили. Автоколивальна система сама управляє зовнiшнiми дiями, забезпечуючи узгодженiсть надходження енергiї певними порцiями в потрiбний момент часу (у такт з її коливаннями).

Прикладом автоколивальної системи може бути годинник. Механiзм храповика пiдштовхує маятник у такт з його коливаннями. Енергiя, що передається при цьому маятнику, береться або за рахунок пружини, що розкручується, або за рахунок вантажу, що опускається. Коливання повiтря в духових iнструментах i органних трубах також виникають внаслiдок автоколивань, якi пiдтримуються повiтряним струменем. Автоколивальними системами є також двигуни внутрiшнього згорання, паровi турбiни, ламповий генератор i т. iн.

1.8.Диференцiальне рiвняння вимушених коливань (механiчних i електромагнiтних) та його розв’язок

Щоб у реальнiй коливальнiй системi одержати незагасаючi коливання, треба компенсувати втрати енергiї. Така компенсацiя можлива за допомогою якого-небудь перiодично дiючого чинника X(t), який змiнюється за гармонiчним законом:

X(t) = X0cosωt.

Якщо розглядати механiчнi коливання, то роль X(t) виконує зовнiшня змушуюча сила

F = F0cosωt.

(1.55)