Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

Пiсля iнтегрування, враховуючи, що постiйна iнтегрування дорiвнює нулю (оскiльки вiдсутня постiйна складова струму), одержимо:

	Um		Um		ωt −	π	= Im cos	ωt −	π	,
I =		sin ωt =		cos							(1.76)
	ωL		ωL			2			2
де Im = Um/(ωL).
Величина				RL = ωL,							(1.77)

називається реактивним iндуктивним опором (або iндуктивним опором).

З виразу (1.77) виходить, що для постiйного струму ( ω = 0) котушка iндуктивностi не має опору. Пiдстановка значення Um = ωLIm у вираз (1.74) з врахуванням (1.75) приводить до наступного значення падiння напруги на котушцi iндуктивностi.

UL = ωLIm cos ωt,

(1.78)

Порiвняння виразiв (1.76) та (1.78) приводить до висновку, що падiння напруги UL випереджає за фазою струм I, що протiкає через котушку, на π/2, що i показано на векторнiй дiаграмi (рис. 1.17,б ).

3. Змiнний струм, що протiкає через конденсатор ємнiстю (R → 0, L → 0) (рис. 1.18,а). Якщо змiнна напруга (1.73) прикладена до конденсатора, то вiн весь час перезаряджається, i в колi тече змiнний струм. Оскiльки вся зовнiшня напруга прикладена до конденсатора, а опором з’єднувальних дротiв можна нехтувати, то

			Q/C = Uc = Um cos ωt.
	Сила струму	dQ
	I =		= −ωCUm sin ωt = Im cos(ωt + π/2),	(1.79)
		dt

де

Im = ωCUm =	Um	.
	1/(ωC)

Величина R = 1/(ωC) називається реактивним опором ємностi (або опором ємностi). Для постiйного струму (ω = 0) RC = ∞ , тобто постiйний струм через конденсатор протiкати не може. Падiння напруги на конденсаторi

	UC =	1	Im cos ωt.	(1.80)
		ωC

Порiвняння виразiв (1.79) i (1.80) приводить до висновку, що падiння напруги UC вiдстає за фазою вiд струму I, що протiкає через конденсатор на π/2. Це показано на векторнiй дiаграмi (рис. 1.18,б ).

4. Коло змiнного струму, що мiстить послiдовно включенi резистор, котушку iндуктивностi i конденсатор. На рис. 1.19,a показана дiлянка кола, що мiстить резистор опором R, котушку iндуктивнiстю L i конденсатор ємнiстю C, до кiнцiв якого прикладена змiнна напруга (1.73).

У колi виникне змiнний струм, який зумовить на всiх елементах кола вiдповiднi падiння напруги UR, UL i Uc. На Рис. 1.19. рис. 1.19,б зображена векторна дiаграма амплiтуд падiння

напруг на резисторi (UR), котушцi (UL) i конденсаторi (Uc). Амплiтуда Um прикладеної напруги має дорiвнювати векторнiй сумi амплiтуд цих падiнь напруг. Як видно з рис. 1.19,б, кут ϕ визначає рiзницю

фаз мiж напругою та силою струму, i виходить, що (див. також формулу (1.70))

tgϕ =

ωL − 1/(ωC)

,

(1.81)

R

З прямокутного трикутника одержуємо (RI

)2

+ ωL

1

I

2

= U2

,

−

ωC

m

має значення

m

m

звiдки амплiтуда сили струму

Im =

Um

,

(1.82)

q

R2 + [ωL − 1/ (ωC)]2

яке збiгається з виразом (1.70).

Отже, якщо напруга в колi змiнюється за законом U = Um cos ωt, то в колi тече струм

I = Im cos(ωt − ϕ),

(1.83)

де ϕ i Im визначаються вiдповiдно формулами (1.81) i (1.82).

Величина

Z = s

= qR2

R2 + ωL − ωC

2

+ (RL − RC)2,

(1.84)

1

називається

повним опором кола, а величина

1

X = RL − RC = ωL − ωC

реактивним опором.

Розглянемо окремий випадок, коли в колi вiдсутнiй конденсатор. У цьому випадку падiння напруг UR i UL у сумi дорiвнюють прикладенiй напрузi U. Векторна дiаграма для даного випадку подана на

рис. 1.20, з якого виходить, що

.

p

tg ϕ = ωL/R, Im = Um R2 + (ωL)2 (1.85)

Вирази (1.81) та (1.82) збiгаються з (1.85), якщо в них 1/(ωC) = 0, тобто C = ∞. Отже, вiдсутнiсть конденсатора в колi означає C = ∞ , а не C = 0. Цей висновок можна трактувати таким чином: зближуючи обкладки конденсатора до їх повного зiткнення, одержимо коло, в якому конденсатор вiдсутнiй (вiдстань мiж обкладками прагне до нуля, а ємнiсть до нескiнченностi.

1.11.Резонанс напруг

Якщо в колi змiнного струму, що мiстить послiдовно включенi конденсатор, котушку iндуктивностi i резистор (див. рис. 1.19),

ωL = 1/ (ωC) ,

(1.86)

то кут зсуву фаз мiж струмом i напругою (1.81) обертається на нуль (ϕ =

0), тобто змiна струму i напруги вiдбуваються синфазно. Умовi (1.86) за-
довольняє частота	√
	ωрез = 1/ LC.			(1.87)

У цьому випадку повний опiр кола Z (1.84) стає мiнiмальним, i дорiвнює активному опору R кола, а струм в колi визначається цим опором, набуваючи максимальних (можливих при даному Um) значень. При цьому

падiння напруги на активному опорi дорiвнює зовнiшнiй напрузi, приклаРис. 1.20.

денiй до кола (UR = U), а падiння напруги на конденсаторi (UC) i котушцi iндуктивностi (UL), однаковi за амплiтудою i протилежнi за фазою.

Рис. 1.21.

Це явище називається резонансом напруг (послiдовним резонансом), а частота (1.87) резонансною частотою. Векторна дiаграма для резонансу напруг наведена на рис. 1.21, а залежнiсть амплiтуди сили струму вiд ω вже була дана на рис. ??. У разi резонансу напруг

(UL)рез = (UC)рез;

пiдставивши в цю формулу значення резонансної частоти i амплiтуди напруг на котушцi iндуктивностi i в конденсаторi, одержимо

rr

(UL)рез = (UC)рез =	L	Im =		1		L	Um = QUm,
			R
	C					C

де Q добротнiсть контура, яка визначається виразом (1.54).

Оскiльки добротнiсть звичайних коливальних контурiв бiльша за одиницю, то напруга як на котушцi iндуктивностi, так i на конденсаторi перевищує напругу, прикладену до кола. Тому явище резонансу напруг використовується в технiцi для посилення коливання напруги якої-небудь певної частоти. Примiром, у разi резонансу на конденсаторi можна одержати напругу з амплiтудою QUm (Q в даному випадку добротнiсть контура, яка може бути значно бiльше Um). Це посилення напруги можливе тiльки для вузького iнтервалу частот поблизу резонансної

частоти контура, що дозволяє видiлити з багатьох сигналiв одне коливання певної частоти, тобто на радiоприймачi настроїтися на потрiбну довжину хвилi.

Явище резонансу напруг необхiдно враховувати при розрахунку iзоляцiї електричних лiнiй, що мiстять конденсатори i котушки iндуктивностi, оскiльки iнакше може спостерiгатися їх пробiй.

1.12.Резонанс струмiв

Розглянемо коло змiнного струму, що мiстить паралельно включенi конденсатор ємнiстю C i котушку iндуктивнiстю L (рис. 1.22). Для простоти допустимо, що активний опiр обох гiлок настiльки малий, що ним можна нехтувати.

Якщо прикладена напруга змiнюється за законом U = Um cos ωt (див. (1.73)), то, згiдно з формулою (1.83), в гiлцi 1C2 тече струм

I1 = Im1 cos(ωt − ϕ1),

амплiтуда якого визначається з виразу (1.82) за умови R=0 та L=0:

Im1 = Um .

1/(ωC)

Початкова фаза ϕ1 цього струму за формулою (1.81) визначається рiвнiстю

Рис. 1.22.

tgϕ1 = −∞, ϕ1 = (2n+3/2)π, де n = 1, 2, 3, .... (1.88)

Аналогiчно, сила струму в гiлцi 1L2

I2 = Im2 cos(ωt − ϕ2),

амплiтуда якого визначається з формули (1.82) за умови R=0 i C = ∞ (умова вiдсутностi ємностi в колi):

Im2 = (UωLm) .

Початкова фаза ϕ2 цього струму за формулою (див.1.81) визначається рiвнiстю

tgϕ2 = +∞, ϕ2 = (2n + 1/2)π, де n = 1, 2, 3, ....

(1.89)

З порiвняння виразiв (1.88) та (1.89) виходить, що рiзниця фаз струмiв у гiлках 1C2 та 1L2 дорiвнює ϕ1 − ϕ2 = π, тобто струми в гiлках протилежнi за фазою.

Амплiтуда сили струму в зовнiшньому (нерозгалуженому) колi

Im = |Im1 − Im2| = Um|ωC − 1/(ωL)|.

√

Якщо ω = ωрез = 1/ LC, то Im1 = Im2 а Im = 0. Явище рiзкого зменшення амплiтуди сили струму

взовнiшньому колi, що живить паралельно включенi конденсатор та катушку iндуктивностi, при наближеннi частоти прикладеної напруги до резонансної частоти ωрез називається резонансом струмiв (паралельним резонансом). У даному випадку для резонансної частоти одержали таке ж значення, як i при резонансi напруг (див. 2.7).

Амплiтуда сили струму Im виявилася рiвною нулю тому, що активним опором контура нехтували. Якщо врахувати опiр R, то рiзниця фаз ϕ1 −ϕ2 дорiвнює π, тому при резонансi струмiв амплiтуда сили струму Im буде вiдмiнна вiд нуля, але набуде якнайменшого можливого значення. Отже, при резонансi струмiв у зовнiшньому колi струми I1 i I2 компенсуються, i сила струму I в з’єднувальних дротах досягає мiнiмального значення, зумовленого тiльки струмом через резистор. При резонансi струмiв сили струмiв I1 i I2 можуть значно перевищувати силу струму I.

Розглянутий контур чинить великий опiр змiнному струму на частотi, близькiй до резонансної. Тому ця властивiсть резонансу струмiв використовується в резонансних пiдсилювачах, що дозволяють видiляти одне певне коливання з сигналу складної форми. Крiм того, резонанс струмiв використовується

вiндукцiйних печах, де нагрiвання металiв проводиться вихровими струмами (див.ч.2 § 125). У них ємнiсть конденсатора, включеного паралельно нагрiвальнiй котушцi, пiдбирається так, щоб при частотi генератора вийшов резонанс струмiв, внаслiдок чого сила струму через нагрiвальну котушку буде набагато бiльша, нiж сила струму в з’єднувальних дротах.

1.13.Потужнiсть, що видiляється в колi змiнного струму

Миттєве значення потужностi змiнного струму дорiвнює добутку миттєвих значень напруги i сили струму:

P (t) = U(t)I(t),

де U(t) = Um cos ωt, I(t) = Im cos(ωt −ϕ) (див. вирази (1.73) i (1.83)). Розкривши cos(ωt −ϕ), одержимо:

P (t) = ImUm cos(ωt − ϕ) cos(ωt) = ImUm(cos2 ωt cos ϕ + sin ωt cos ωt sin ϕ).

Практичний iнтерес являє не миттєве значення потужностi, а її середнє значення за перiод коливання. Враховуючи, що < cos2ωt > = 1/2, < sinωtcosωt > = 0, одержимо

< P >= 1/2ImUm cos ϕ.

(1.90)

З векторної дiаграми (див. рис. 1.19) ) виходить, що Um cos ϕ = RIm. Тому

< P >= 1/2RIm2 .

Таку ж потужнiсть розвиває постiйний струм

√

I = Im/ 2.

Величини √ √

I = Im/ 2, U = Um/ 2

називаються вiдповiдно дiючими (або ефективними) значеннями струму i напруги. Всi амперметри i вольтметри градуюються по дiючих значеннях струму i напруги. Враховуючи дiючi значення струму i напруги, вираз середньої потужностi (1.90) можна записати у виглядi

< P >= IUcosϕ,

(1.91)

де множник cosϕ називається коефiцiєнтом потужностi. Формула (1.91) показує, що потужнiсть, яка видiляється в колi змiнного струму, в загальному випадку залежить не тiльки вiд сили струму i напруги, але i вiд зсуву фаз мiж ними. Якщо в колi реактивний опiр вiдсутнiй, то cos ϕ = 1 i P = IU. Якщо коло мiстить тiльки реактивний опiр (R = 0), то cos ϕ = 0 i середня потужнiсть дорiвнює нулю, якими б великими не були струм i напруга. Якщо cos ϕ має значення, iстотно меншi за одиницю, то для передачi заданої потужностi при данiй напрузi генератора потрiбно збiльшувати силу струму I, що приведе або до видiлення джоулевого тепла, або до необхiдностi збiльшення площi перерiзу дротiв, що пiдвищує вартiсть лiнiй електропередачi. Тому на практицi завжди прагнуть збiльшити cos ϕ, якнайменше допустиме значення якого для промислових установок становить приблизно 0,85.

1.14.Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки

•Який звязок мiж амплiтудою i фазою змiщення, швидкiстю та прискоренням при прямолiнiйних гармонiчних коливаннях?

•Що таке коливання? вiльнi коливання? гармонiчнi коливання? перiодичнi процеси?

•Дайте визначення амплiтуди, фази, перiоду, частоти, циклiчної частоти коливання.

•У чому суть методу обертального вектора амплятуди?

•Виведiть формули для швидкостi та прискорення точки, яка здiйснює гармонiчнi коливання, як функцiї часу.

•Вiд чого залежать амплiтуда та початкова фаза гармонiчних механiчних коливань?

•Виведiть та прокоментуйте формули для кiнетичної, потенцiальної та повної енергiї при гармонiчних коливаннях.

•Чому дорiвнює вiдношення повної енергiї гармонiчного коливання до максимального значення повертаючої сили, яка зумовила це коливання?

•Як можна порiвняти мiж собою маси тiла, вимiрюючи частоти коливань при пiдвiшуваннi цих мас до пружини?

•Що називається гармонiчним осцилятором? пружинним маятником? фiзичним? математичним?

•Виведiть формули для перiодiв коливань пружинного, фiзичного та математичного маятникiв.

•Що таке приведена довжина фiзичного маятника?

•Якi процеси вiдбуваються при вiльних гармонiчних коливаннях у коливальному контурi? Чим визначається їх перiод?

•Запишiть i проаналiзуйте диференцiальне рiвняння вiльних гармонiчних коливань у контурi.

•Яку має траєкторiю точка, що одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних гармонiчних коливаннях з однаковими перiодами? Коли виходить коло? пряма?

•Як за виглядом фiгур Лiссажу можна визначити вiдношення частот коливань, якi додаються?

•Що таке биття? Чому дорiвнює частота биття? перiод?

•Запишiть диференцiальне рiвняння загасаючих коливань та його розв’язок? Проаналiзуйте їх для механiчних та електромагнiтних коливань.

•Як змiнюється частота власних коливань iз збiльшенням маси коливного тiла?

•За яким законом змiнюється амплiтуда загасаючих коливань? Чи є загасаючi коливання перiодичними?

•Чому частота загасаючих коливань має бути менша за частоту власних коливань системи?

•Що таке коефiцiєнт загасання? декремент загасання? логарифмiчний декремент загасання?

•У чому полягає фiзичний змiст цих величин?

•За яких умов спостерiгається аперiодичний рух?