Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

6.4.Дифракцiя Фраунгофера на однiй щiлинi

Нiмецький фiзик I. Фраунгофер (1787–1826) розглянув дифракцiю плоских свiтлових хвиль, або дифракцiю в паралельних променях. Дифракцiя Фраунгофера, яка має велике практичне значення, спостерiгається у тому випадку, коли джерело свiтла i точку спостереження нескiнченно вiддалено вiд перешкоди, що зумовила дифракцiю. Щоб цей тип дифракцiї здiйснити, достатньо точкове джерело свiтла помiстити у фокусi збираючої лiнзи, а дифракцiйну картину дослiджувати у фокальнiй площинi другої збираючої лiнзи, встановленої за перешкодою.

Розглянемо дифракцiю Фраунгофера вiд нескiнченно довгої щiлини (для цього практично достатньо, щоб довжина щiлини була значно бiльше її ширини). Нехай плоска монохроматична свiтлова хвиля падає нормально до площини вузької щiлини шириною (рис. ??,а). Оптична рiзниця ходу мiж крайнiми променями MC i ND, що йдуть вiд щiлини в довiльному напрямi ϕ, (6.8)

= NF = asinϕ,

(6.8)

де F основа перпендикуляра, опущеного з точки на промiнь ND.

Розiб’ємо вiдкриту частину хвильової поверхнi в площинi щiлини MN на зони Френеля, якi мають вид смуг, паралельних ребру щiлини. Ширина кожної зони вибирається так, щоб рiзниця ходу вiд країв цих зон дорiвнювала λ/2, тобто всього на ширинi щiлини вмiщатиметься : λ/2 зон. Оскiльки свiтло на щiлину падає нормально, то площина щiлини збiгається з хвильовим фронтом; отже, всi точки хвильового фронту в площинi щiлини коливатимуться в однаковiй фазi. Амплiтуди вторинних хвиль в площинi щiлини будуть рiвними, оскiльки вибранi зони Френеля мають однаковi площi i однаково нахиленi до напряму спостереження.

З виразу (6.8) виходить, що число зон Френеля, якi укладаються на ширинi щiлини, залежить вiд кута ϕ. Вiд числа зон Френеля, в свою чергу, залежить результат накладання всiх вторинних хвиль. З наведеної побудови виходить, що, при iнтерференцiї свiтла вiд кожної пари сусiднiх зон Френеля амплiтуда результуючих коливань дорiвнює нулю, оскiльки коливання вiд кожної пари сусiднiх зон

взаємно гасять одне одного. Отже, якщо число зон Френеля парне, то
a sin ϕ = ±2m	λ	(m = 1, 2, 3 . . .)	(6.9)
	2

i в точцi спостерiгається дифракцiйний мiнiмум (повна темнота), якщо ж число зон Френеля

	непарне, то	λ
	a sin ϕ = ±(2m + 1)		(m = 1, 2, 3 . . .)	(6.10)
		2

i спостерiгається дифракцiйний максимум, який вiдповiдає дiї однiєї некомпенсованої зони Френеля. Вiдзначимо, що в напрямi ϕ=0 щiлина дiє як одна зона Френеля, i в цьому напрямi свiтло поширюється

знайбiльшою iнтенсивнiстю, тобто в точцi B спостерiгається центральний дифракцiйний максимум.

Зумов (6.9) i (6.10) можна знайти напрями на точки екрана, в яких амплiтуда (а отже, i iнтенсивнiсть) дорiвнює нулю sinϕmin = ±mλ/a або максимальна (sinϕmax = (2m + 1)λ/(2a)). Розподiл iнтенсивностi на екранi, одержаний внаслiдок дифракцiї (дифракцiйний спектр), приведений на рис. ??,б. Розрахунки показують, що iнтенсивностi в центральному i подальших максимумах вiдносяться як 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 :..., тобто основна частина свiтлової енергiї зосереджена в центральному максимумi. З дослiду i вiдповiдних розрахункiв виходить, що звуження щiлини призводить до того, що центральний максимум розпливається, а iнтенсивнiсть зменшується (це, природно, вiдноситься i до iнших максимумiв).

Навпаки, що щiлина ширша (a > λ), то картина яскравiша, але дифракцiйнi смуги вужчi, а число самих смуг бiльше. При a λ у центрi виходить рiзке зображення джерела свiтла, тобто має мiсце прямолiнiйне поширення свiтла.

Положення дифракцiйних максимумiв залежить вiд довжини хвилi λ, тому розглянута вище дифракцiйна картина має мiсце лише дня монохроматичного свiтла. При освiтленнi щiлини бiлим свiтлом центральний максимум спостерiгається у виглядi бiлої смужки; вiн загальний для всiх довжин хвиль (при ϕ=0 рiзниця ходу дорiвнює нулю для всiх λ). Бiчнi максимуми забарвленi рiзнокольорово, оскiльки

умова максимуму при будь-кому m рiзна для рiзних λ. Отже, справа i злiва вiд центрального максимуму спостерiгаються максимуми першого (m = 1), другого (m = 2) i iнших порядкiв, обернутi фiолетовим краєм до центра дифракцiйної картини. Проте вони настiльки розпливчатi, що виразного роздiлення рiзних довжин хвиль за допомогою дифракцiї на однiй щiлинi одержати неможливо.

6.5.Дифракцiя Фраунгофера на дифракцiйнiй гратцi

Велике практичне значення має дифракцiя, що спостерiгається при проходженнi свiтла через одновимiрнi дифракцiйнi гратки систему паралельних щiлин рiвної ширини, що лежать в однiй площинi i роздiленi рiвними за шириною непрозорими промiжками. Розглядаючи дифракцiю Фраунгофера на щiлинi, ми бачили, що розподiл iнтенсивностi на екранi визначається напрямом дифрагування променiв.

Це означає, що паралельне перемiщення щiлини влiво або вправо не змiнить дифракцiйної картини. Отже, якщо перейти вiд однiєї щiлини до багатьох (до дифракцiйної гратки), то дифракцiйнi картини, створюванi кожною щiлиною окремо, будуть однаковими.

Дифракцiйна картина на гратцi визначається як результат взаємної iнтерференцiї хвиль, що йдуть вiд всiх щiлин, тобто в дифракцiйнiй гратцi здiйснюється багатопроменева iнтерференцiя когерентних дифрагованих пучкiв свiтла, що йдуть вiд всiх щiлин.

Розглянемо дифракцiйну гратку. На рис. ?? для наочностi показано тiльки двi сусiднi щiлини MN i CD. Якщо ширина кожної щiлини дорiвнює a, а ширина непрозорих дiлянок мiж щiлинами b, то величина d = a + b називається сталою (перiодом) дифракцiйної гратки. Нехай плоска монохроматична хвиля падає нормально до площини гратки. Оскiльки щiлини знаходяться одна вiд одної на однакових вiдстанях, то рiзницi ходу променiв, що йдуть вiд двох сусiднiх щiлин, будуть для даного напряму однаковi в межах всiєї дифракцiйної гратки:

= CF = (a + b) sin ϕ = d sin ϕ.

(6.11)

Очевидно, що в тих напрямах, в яких жодна з щiлин не поширює свiтло, воно не поширюватиметься i

при двох щiлинах, тобто колишнi (головнi) мiнiмуми iнтенсивностi спостерiгатимуться в напрямах, що визначаються умовою (6.9)

a sin ϕ = ±mλ (m = 1, 2, 3, ...).

(6.12)

Крiм того, внаслiдок взаємної iнтерференцiї свiтлових променiв, що посилаються двома щiлинами, в деяких напрямах вони гаситимуть одна одну, тобто виникнуть додатковi мiнiмуми. Очевидно, що цi додатковi мiнiмуми спостерiгатимуться в тих напрямах, яким вiдповiдає рiзниця ходу променiв λ/2, 3λ/2, ..., що йдуть, примiром вiд крайнiх лiвих точок i обох щiлин. Отже, з врахуванням (6.11)

умова додаткових мiнiмумiв

d sin ϕ = ±(2m + 1)	λ	, (m = 0, 1, 2, 3, ...)	(6.13)
	2

Навпаки, дiя однiєї щiлини пiдсилюватиме дiю iншої, якщо

d sin ϕ = ±2m	λ	= ±mλ (m = 0, 1, 2, 3, ...)	(6.14)
	2

тобто вираз (6.13) задає умову головних максимумiв.

Отже, повна дифракцiйна картина для двох щiлин визначається з умов:

a sin ϕ = λ, 2λ, 3λ...							головнi мiнiмуми;
d sin ϕ =	λ 3λ 5λ						додатковi мiнiмуми;
		,		,		, ...
	2		2		2
d sin ϕ = 0, λ, 2λ, 3λ, ...							головнi максимуми,

тобто мiж двома головними максимумами розташовується один додатковий мiнiмум. Аналогiчно можна показати, що мiж кожними двома головними максимумами при трьох щiлинах розташовується два додатковi мiнiмуми, при чотирьох щiлинах три i т. iн.

Рис. 6.8.

Якщо дифракцiйнi гратки складаються з N щiлин, то умовою головних мiнiмумiв є умова (6.12), умовою головних максимумiв умова (6.13), а умовою додаткових мiнiмумiв

d sin ϕ = ±	m0λ	,	(6.15)
	N

де m0 може набувати всiх цiлочисельних значеннь, окрiм 0, N, 2N, ..., тобто окрiм тих, при яких умова (6.14) переходить в (6.13). Отже, у разi N щiлин мiж двома головними максимумами розташовується N −1 додаткових мiнiмумiв, роздiлених вторинними максимумами, що створюють вельми слабкий фон.

Що бiльше щiлин N, то бiльша кiлькiсть свiтлової енергiї пройде через гратку, то бiльше мiнiмумiв утворюється мiж сусiднiми головними максимумами, то, отже, iнтенсивнiшими i гострiшими будуть максимуми. На рис. 6.8 якiсно подана дифракцiйна картина вiд восьми щiлин. Оскiльки модуль sinϕ не може бути бiльше одиницi, то з (6.13) виходить, що число головних максимумiв m d/λ тобто визначається вiдношенням перiоду гратки до довжини хвилi.

Положення головних максимумiв залежить вiд довжини хвилi λ (див. (6.13). Тому при пропусканнi через гратку бiлого свiтла всi максимуми, окрiм центрального (m=0), розкладуться в спектр, фiолетова область якого буде звернена до центра дифракцiйної картини, червона назовнi. Ця властивiсть дифракцiйної гратки використовується для дослiдження спектрального складу свiтла (визначення довжин хвиль i iнтенсивностей всiх монохроматичних компо-

нентiв), тобто дифракцiйна гратка може бути використана як спектральний прилад.

Дифракцiйнi гратки, якi використовуються в рiзних областях спектра, вiдрiзняються розмiрами,

формою, матерiалом поверхнi, профiлем штрихiв i їх частотою (вiд 6000 до 0,25 штрих/мм, що дозволяє перекривати область спектра вiд ультрафiолетової його частини до iнфрачервоної). Примiром, схiдчастий профiль гратки дозволяє концентрувати основну частину падаючої енергiї у напрямi одного певного ненульового порядку.

6.6.Просторова гратка. Розсiяння свiтла

Дифракцiя свiтла спостерiгається не тiльки на плоскiй одновимiрнiй гратцi, (штрихи нанесенi перпендикулярно деякiй прямiй лiнiї), але i на двовимiрнiй гратцi (штрихи нанесенi у взаємно перпендикулярних напрямах в однiй i тiй же площинi). Великий iнтерес являє також дифракцiя на просторових (тривимiрних) гратках просторових утвореннях, в яких елементи структури подiбнi формою, мають геометрично правильне розташування, яке перiодично повторюється, а також постiйнi (перiоди) граток, сумiрнi з довжиною хвилi електромагнiтного випромiнювання. Iншими словами, подiбнi просторовi утворення повиннi мати перiодичнiсть по трьох напрямах, якi не лежать в однiй площинi. Як просторовi дифракцiйнi гратки можуть бути використанi кристалiчнi тiла, оскiльки в них неоднорiдностi (атоми, молекули, iони) регулярно повторюються в трьох напрямах.

Дифракцiя свiтла може вiдбуватися також у так званих каламутних середовищах середовищах з явно вираженими оптичними неоднорiдностями. До каламутних середовищ належать аерозолi (хмари, дим, туман), емульсiя, колоїднi розчини i т. iн., тобто такi середовища, в яких зважено безлiч дуже дрiбних частинок чужорiдних речовин. Свiтло, проходячи через каламутне середовище, дифрагує вiд безладно розташованих мiкронеоднорiдностей, даючи рiвномiрний розподiл iнтенсивностей у всiх напрямах, не створюючи при цьому якої-небудь певної дифракцiйної картини. Вiдбувається так зване розсiяння свiтла в каламутному середовищi. Це явище можна спостерiгати, примiром, коли вузький пучок сонячних променiв, що проходить через запорошене повiтря, розсiвається на порошинках i тим самим стає видимим.

Розсiяння свiтла (як правило, слабке) спостерiгається також i в чистих середовищах, що не мiстять

стороннiх частинок. Л. I. Мандельштам пояснив розсiяння свiтла в середовищах порушенням їх оптичної однорiдностi, при якому показник заломлення середовища не постiйний, а змiнюється вiд точки до точки. Згодом польський фiзик М. Смолуховский (1872–1917) вiдзначив, що причиною розсiяння свiтла можуть бути також флуктуацiї густини, що виникають в процесi хаотичного (теплового) руху молекул середовища. Розсiяння свiтла в чистих середовищах, зумовлене флуктуацiями густини, анiзотропiї або концентрацiї, називається молекулярним розсiянням.

Молекулярним розсiянням пояснюється, примiром, голубий колiр неба. Згiдно з законом Д. Релея, iнтенсивнiсть розсiяного свiтла обернено пропорцiйна четвертому ступеню довжини хвилi (I λ−4), тому голубi i синi променi розсiюються сильнiше, нiж жовтi i червонi, зумовлюючи тим самим голубий колiр неба. З цiєї ж причини свiтло, що пройшло через значну товщу атмосфери, виявляється збагаченим бiльш довгохвильовою частиною спектра (синьо-фiолетова частина спектра повнiстю розсiюється) i тому при заходi i сходi Сонце здається червоним. Флуктуацiї густини i iнтенсивнiсть розсiяння свiтла зростають iз збiльшенням температури. Тому в ясний лiтнiй день колiр неба є бiльш насиченим порiвняно до такого самого зимового дня.

6.7.Дифракцiя на просторовiй гратцi. Формула Вульфа Бреггов

Для спостереження дифракцiйної картини необхiдно, щоб стала гратки була того ж порядку, що i довжина хвилi падаючого випромiнювання (див. (6.13)). Кристали, будучи тривимiрними просторовими гратками (див. 6.6), мають сталу гратки порядку 10−10 м i, отже, непридатнi для спостереження дифракцiї у видимому свiтлi ( 5·10−7 м). Цi факти дозволили нiмецькому фiзику М. Лауе (1879–1960) дiйти висновку, що як природнi дифракцiйнi гратки для рентгенiвського випромiнювання можна використовувати кристали, оскiльки вiдстань мiж атомами в кристалах одного порядку з рентгенiвським випромiнюванням ( 10−12 – 10−8 м).

Простий метод розрахунку дифракцiї рентгенiвського випромiнювання вiд кристалiчної гратки запропонований незалежно один вiд одного Р. В. Вульфом (1863–1925) i англiйськими фiзиками Г i Л.

Рис. 6.9.

Бреггами (батько (1862–1942) i син (1890–1971)). Вони припустили, що дифракцiя рентгенiвського випромiнювання є результатом його вiдбивання вiд системи паралельних кристалографiчних площин (площин, в яких лежать вузли (атоми) кристалiчної гратки).

Представимо кристали у виглядi сукупностi паралельних кристалографiчних площин (рис. 6.9), вiддалених одна вiд одної на вiдстанi d. Пучок паралельних монохроматичних рентгенiвських променiв (1,2 ) падає пiд кутом ковзання (кут мiж напрямом падаючого променя i кристалографiчною площиною) i збуджує атоми кристалiчної гратки, якi стають джерелами когерентних вторинних хвиль 10 i 20, що iнтерферують мiж собою, подiбно вторинним хвилям, вiд щiлин дифракцiйної гратки. Максимуми iнтенсивностi (дифракцiйнi максимуми) спостерiгаються в тих напрямах, в яких всi вiдбитi атомними площинами хвилi знаходитимуться в однаковiй фазi.

Цi напрями задовольняють формулi Вульфа Брег-

гiв

2dsin = m (m = 1, 2, 3, ...),

(6.16)

тобто при рiзницi ходу мiж двома променями, вiдбитими вiд сусiднiх кристалографiчних площин, кратнiй цiлому числу довжин хвиль λ, спостерiгається дифракцiйний максимум.

При довiльному напрямi падiння монохроматичного рентгенiвського випромiнювання на кристал дифракцiя не виникає. Щоб її спостерiгати, треба, повертаючи кристал, знайти кут ковзання. Дифракцiйна картина може бути одержана i при довiльному положеннi кристала, для чого потрiбно користуватися безперервним рентгенiвським спектром, що випромiнюється рентгенiвською трубкою. Тодi для та-

ких умов дослiду завжди знайдуться довжини хвиль λ, що задовольняють умовi (6.16). Формула Вульфа Бреггiв використовується при розв’язаннi двох важливих задач:

1.Спостерiгаючи дифракцiю рентгенiвських променiв вiдомої довжини хвилi на кристалiчнiй структурi невiдомої будови i вимiрюючи θ i m, можна знайти мiжплощинну вiдстань (d), тобто визначити структуру речовини. Цей метод лежить в основi рентгеноструктурного аналiзу. Формула Вульфа Брегiв залишається справедливою i при дифракцiї електронiв i нейтронiв. Методи дослiдження структури речовини, основанi на дифракцiї електронiв i нейтронiв, називаються вiдповiдно електронографiєю i нейтронографiєю.

2.Спостерiгаючи дифракцiю рентгенiвських променiв невiдомої довжини хвилi на кристалiчнiй структурi при вiдомому d i вимiрюючи λ i m можна знайти довжину хвилi падаючого рентгенiвського випромiнювання. Цей метод лежить в основi рентгенiвської спектроскопiї.

6.8.Роздiльна здатнiсть оптичних приладiв

Використовуючи навiть iдеальну оптичну систему (таку, для якої вiдсутнi дефекти i аберацiя), неможливо одержати стигматичне зображення точкового джерела, що пояснюється хвильовою природою свiтла. Зображення будь-якої свiтної точки в монохроматичному свiтлi є дифракцiйною картиною, тобто точкове джерело вiдображається у виглядi центральної свiтлої плями, оточеної темними i свiтлими кiльцями, що чергуються.

Згiдно з критерiєм Релея, зображення двох близьких однакових точкових джерел або двох близьких спектральних лiнiй з рiвними iнтенсивностями i однаковими симетричними контурами роздiлюванi (роздiленi для сприйняття), якщо центральний максимум дифракцiйної картини вiд одного джерела (лiнiї) збiгається з першим мiнiмумом дифракцiйної картини вiд iншого (рис. 6.10,а). При виконаннi критерiю Релея iнтенсивнiсть "провалу" мiж максимумами становить 80% iнтенсивностi в максимумi, що є достатнiм для роздiлення лiнiй λ1 i λ2. Якщо критерiй Релея порушений, то спостерiгається одна лiнiя (рис. 6.10, б ).

1. Роздiльна здатнiсть об’єктива. Якщо на об’єктив падає свiтло вiд двох вiддалених точкових джерел S1 i S2 (наприклад зiрок) з деякою кутовою вiдстанню δψ, то внаслiдок дифракцiї свiтлових

хвиль на краях дiафрагми, що обмежує об’єктив, в його фокальнiй площинi замiсть двох точок спостерiгаються максимуми, оточенi темними i свiтлими кiльцями, що чергуються (рис. 6.11). Можна довести, якi двi близькi зiрки, що спостерiгаються в об’єктивi в монохроматичному свiтлi, можуть бути роздiленi, якщо кутова вiдстань мiж ними

ϕ ≥ 1, 22/D,	(6.17)
де λ довжина хвилi свiтла, D дiаметр об’єктива.
Роздiльною здатнiстю (роздiльною силою) об’єктива на-
зивається величина
R = 1/δψ,
де δψ якнайменша кутова вiдстань мiж двома точками, при якiй
вони ще роздiляються оптичним приладом.
Згiдно з критерiєм Релея зображення двох однакових точок мо-
жуть бути роздiленi, коли центральний максимум дифракцiйної кар-
тини для однiєї точки збiгається з першим мiнiмумом дифракцiйної
картини для iншої (рис. 6.11). З рисунку виходить, що при виконаннi
критерiю Релея кутова вiдстань δψ мiж точками має дорiвнювати ϕ,	Рис. 6.10.
тобто з врахуванням (6.17)
δψ = ϕ = 1, 22λ/D.
Отже, роздiльна здатнiсть об’єктива
R = 1/δψ = D/(1, 22λ),	(6.18)
тобто залежить вiд його дiаметру i довжини хвилi свiтла.