Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

або
mA2		ω2
Π =		0	[1 + cos 2(ω0t + ϕ)].	(1.14)
2
Склавши вирази (1.11) та (1.13), одержимо формулу для повної енергiї:
E = T + Π = mA2ω02/2.				(1.15)

Повна енергiя залишається сталою, оскiльки пружна сила консервативна, i при гармонiчних коливаннях справедливий закон збереження механiчної енергiї.

З формул виходить, що T i Π змiнюються з частотою 2ω0, тобто з частотою, яка в два рази перевищує частоту гармонiчних коливань. На рис. 1.3 поданi графiки залежностi x, T , i Π вiд часу. Оскiльки < sin2α >=< cos2α >= 1/2, то з формул (1.11),(1.13) i (1.15) виходить, що < T >=< Π >= 1/2E.

1.3.Гармонiчний осцилятор. Пружинний, фiзичний i математичний маятники

Гармонiчним осцилятором називається система, що здiйснює коливання, якi описуються рiвнянням вигляду (1.6):

	d2x		+ ω0x = 0.	(1.16)
	dt2

Коливання гармонiчного осцилятора є важливим прикладом перiодичного руху i служать точною або наближеною моделлю в багатьох задачах класичної i квантової фiзики. Прикладами гармонiчного осцилятора є пружинний, фiзичний i математичний маятники, коливальний контур (для струмiв i напруг таких малих, що елементи контуру можна б було вважати лiнiйними) див.1.7.

1. Пружинний маятник це вантаж масою m, пiдвiшений на абсолютно пружнiй пружинi, яка здiйснює гармонiчнi коливання пiд дiєю пружної сили F = −kx, де k жорсткiсть пружини.

Рiвняння руху маятника
	d2x				d2x			k
m			= −kx,	або m			+		x = 0.
	dx2				dx2			m

З виразiв (1.16) та (1.1) виходить, що пружинний маятник виконує гармонiчнi коливання за законом s = A cos(ω0t + ϕ) з циклiчною частотою

та перiодом	ω0 = p	k/m,			(1.17)
	T = 2πp				(1.18)
			m/k.

Формула (1.18) справедлива для пружних коливань у межах, в яких виконується закон Гука (див. ч.1, рiвн.(21.3)), тобто коли маса пружини мала порiвняно з масою тiла.

Потенцiальна енергiя пружинного маятника, згiдно з (1.13) i (1.17) дорiвнює

Π= kx2/2.

2.Фiзичний маятник це тверде тiло, що виконує коливання пiд дiєю сили тяжiння навколо нерухомої горизонтальної осi, що проходить через точку O, яка не збiгається з центром мас C тiла (рис. 1.4).

Якщо маятник вiдхиляється з положення рiвноваги на деякий кут α, то вiдповiдно до рiвняння динамiки обертального руху твердого тiла (ч.1, рiвн.(18.3)), момент повертаючої сили M можна записати

увиглядi

d2α	= Fτ l = mgl sin α ≈ −mglα,
M = Jε = J dt2		(1.19)

де J момент iнерцiї маятника вiдносно осi, що проходить через точку пiдвiсу O; l вiдстань мiж нею i центром мас маятника; Fτ = −mgsinα ≈ −mgα сила, що повертає маятник у положення

рiвноваги, (знак мiнус зумовлений тим, що напрями Fτ i α завжди протилежнi; sinα ≈ α вiдповiдає малим коливанням маятника, тобто малим вiдхиленням маятника з положення рiвноваги).

Рiвняння (1.19) можна записати у виглядi

d2

α

+ mglα = 0 або

d2α

+

mglα

J

= 0.

dt2

dt2

J

Вважаючи

ω0 = p

(1.20)

mgl/J,

одержимо рiвняння

d2α

+ ω2

α = 0,

dt2

0

iдентичне виразу (1.16), розв’язок якого (1.1) вiдомий;

α = α0 cos(ω0t + ϕ),

(1.21)

Звиразу (1.21) виходить, що при малих коливаннях фiзичний маятник виконує гармонiчнi коливання

зциклiчною частотою ω0 (див. (1.20)) i перiодом

p			p
T = 2π/ω0 = 2π J/(mgl) = 2π				L/g,		(1.22)

де L = J/(mgl) приведена довжина фiзичного маятника.

Точка O0 на продовженнi прямої ОС, вiддалена вiд точки O пiдвiсу маятника на вiдстанi приведеної довжини L, називається центром гойдання фiзичного маятника (рис. 1.4). Застосовуючи теорему

Штейнера (ч.1, рiвн. (16.1)), одержимо
L =	J	=	Jc + ml		= l +	Jc	> l,
	ml			ml		ml

тобто OO0 завжди бiльше OC. Точка пiдвiсу O маятника i центр гойдання O0 мають властивiсть взаємозамiнностi: якщо точку пiдвiсу перенести в центр гойдання, то колишня точка O пiдвiсу стане новим центром гойдання, i перiод коливань фiзичного маятника не змiниться.

3. Математичний маятник це iдеалiзована система, що складається з матерiальної точки масою m, пiдвiшеної на нерозтяжнiй невагомiй нитцi, i яка коливається пiд дiєю сили тяжiння. Прийнятним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, пiдвiшена на тонкiй довгiй нитцi.

Момент iнерцiї математичного маятника

J = ml2,

(1.23)

де l довжина маятника. Оскiльки математичний маятник можна представити як окремий випадок фiзичного маятника, припустивши, що вся його маса зосереджена в однiй точцi центрi мас, то, пiдставляючи вираз (1.23) у формулу (1.22), одержимо вираз для перiоду

малих коливань математичного маятника				Рис. 1.4.
T = 2πs			.	(1.24)
		g
		l

Порiвнюючи формули (1.22) i (1.24), бачимо, що якщо приведена довжина L фiзичного маятника дорiвнює довжинi l математичного маятника, то перiоди коливань цих маятникiв однаковi. Отже, приведена довжина фiзичного маятника це довжина такого математичного маятника, перiод коливань якого збiгається з перiодом коливань цього фiзичного маятника.

1.4.Вiльнi гармонiчнi коливання в коливальному контурi

Серед рiзних електричних явищ особливе мiсце займають електромагнiтнi коливання, при яких електричнi величини (заряди, струми) перiодично змiнюються, i якi супроводжуються взаємними перетвореннями електричного i магнiтного полiв. Для збудження i пiдтримки електромагнiтних коливань використовується коливальний контур коло, що складається з увiмкнених послiдовно котушки iндуктивнiстю L, конденсатора ємнiстю C i резистора опором R.

Розглянемо послiдовнi стадiї коливального процесу в iдеалiзованому контурi, опiр якого дуже малий (R ≈ 0). Для збудження в контурi коливань конденсатор заздалегiдь заряджають, надаючи його обкладинкам заряди ±Q. Тодi в початковий момент часу t=0 (рис. 1.5,a) мiж обкладинками конденсатора

виникне електричне поле, енергiя якого 21C Q2 (див. ч.2, вираз (95.4)). Якщо замкнути конденсатор

на котушку iндуктивностi, вiн почне розряджатися, i в контурi потече зростаючий з часом струм I. В результатi енергiя електричного поля зменшуватиметься, а енергiя магнiтного поля котушки (вона

дорiвнює L dQ 2) зростати. Оскiльки R ≈ 0, то згiдно з законом збереження енергiї повна енергiя

2 dt

W= Q2 + L dQ 2 = const, 2C 2 dt

оскiльки вона на нагрiвання не витрачається. Тому в момент t = l/4T , коли конденсатор повнiстю розрядиться, енергiя електричного поля обертається на нуль, а енергiя магнiтного поля (а отже, i струм) досягає найбiльшого значення (рис. 1.5,б ). Починаючи з цього моменту струм у контурi зменшуватиметься; отже, почне слабшати магнiтне поле котушки, i в нiй iндукується струм, який тече (згiдно з правилом Ленца) в тому ж напрямi, що i струм розрядки конденсатора.

Конденсатор почне перезаряджатися, виникне електричне поле, що прагне послабити струм, який врештi-решт обернеться на нуль, а заряд на обкладинках конденсатора досягне максимуму (рис. 1.5,в).

Далi тi ж процеси почнуть проходити у зворотному напрямi (рис. 1.5,г), i система до моменту часу t = T прийде в початковий стан (рис. 1.5,a).

Рис. 1.5.

Пiсля цього почнеться повторення розглянутого циклу розрядки i зарядки конденсатора. Якби втрат енергiї не було, то в контурi виконувалися б перiодичнi незгасаючi коливання, тобто перiодично змiнювалися (коливалися) б заряд Q на обкладинках конденсатора, напруга U на конденсаторi i сила струму I, який протiкає через котушку iндуктивностi. Отже, в контурi виникають електричнi коливання, при-

кiнетичнiй енергiї, сила струму в контурi

чому коливання супроводжуються перетвореннями енергiй електричного i магнiтного полiв. Електричнi коливання в коливальному контурi можна порiвняти з механiчними коливаннями ма-

ятника (рис. 1.5), що супроводжуються взаємними перетвореннями потенцiальної i кiнетичної енергiй маятника. У цьому разi енергiя електричного поля конденсатора 21C Q2 аналогiчна потенцiальнiй енер-

гiї маятника, енергiя магнiтного поля котушки L dQ 2

2 dt

швидкостi руху маятника. Iндуктивнiсть L виконує роль маси m, а опiр контуру роль сили тертя, що дiє на маятник.

Згiдно з законом Ома для контуру, що мiстить котушку iндуктивнiстю L, конденсатор ємнiстю C i

резистор опором R,

IR + UC = ξs,

де IR напруга на резисторi, Uc = Q/C напруга на конденсаторi, ξs = −L

dI

е.р.с. самоiндукцiї,

dt

що виникає в котушцi при протiканнi в нiй змiнного струму ( ξs єдина е.р.с. у контурi). Отже,

L

dI

+ IR +

Q

= 0.

(1.25)

dt

C

dQ

dI

d2Q

Роздiливши вираз (1.25) на L i пiдставивши I =

i

=

, одержимо диференцiальне рiвняння

dt

dt2

коливань заряду Q у контурi

dt

1

d2Q

R dQ

+

+

Q = 0,

(1.26)

2

dt

L dt

LC

У цьому коливальному контурi зовнiшнi е. р. с. вiдсутнi, тому такi коливання є вiльними коливаннями (див. 1.1). Якщо опiр R=0, то вiльнi електромагнiтнi коливання в контурi є гармонiчними. Тодi з

виразу (1.26) одержимо диференцiальне рiвняння вiльних гармонiчних коливань заряду в контурi

	d2Q		+	1	Q = 0.
	dt2
				LC
З виразiв (1.16) i (1.1) видно, що заряд Q виконує гармонiчнi коливання згiдно iз законом
Q = Qm cos(ωt + ϕ),						(1.27)

де Qm амплiтуда коливань заряду конденсатора з циклiчною частотою ω0, яка називається власною частотою контуру, тобто

ω0 = 1/√

(1.28)

LC,

та перiодом

T = 2π√

(1.29)

LC.

Формула (1.29) вперше була одержана У. Томсоном i називається формулою Томсона.

Сила струму в коливальному контурi (див. (1.4))

I =

dQ

= −ω0Qm sin(ω0t + ϕ) = Im cos(ω0t + ϕ + π/2),

(1.30)

dt

де Im = ω0Qm амплiтуда сили струму. Напруга на конденсаторi

Uc

=

Q

=

Qm

cos(ω0t + ϕ) = Um cos(ω0t + ϕ),

(1.31)

C

C

де Um = Qm/C амплiтуда напруги.

З виразiв (1.27) i (1.30) виходить, що коливання струму I випереджають за фазою коливання заряду Q на π/2, тобто, коли струм досягає максимального значення, заряд (а також i напруга (див. (1.31)) обертається на нуль, i навпаки.

1.5.Додавання гармонiчних коливань одного напряму та однакової частоти. Биття

Тiло, що коливається, може брати участь у декiлькох коливальних процесах, тодi необхiдно знайти результуюче коливання, iншими словами, коливання слiд додати.

Додамо гармонiчнi коливання одного напряму i однакової частоти

	x1 = A1cos(ω0t + ϕ1);
	x2 = A2cos(ω0t + ϕ2),
скориставшись методом обертального вектора амплiтуди (див. 1.1).
Побудуємо векторнi дiаграми цих коливань (рис. 1.6). Оскiльки век-
~	~
тори A1	, i A2 обертаються з однаковою кутовою швидкiстю ω0, то
рiзниця фаз (ϕ1 − ϕ2) мiж ними залишається постiйною.
Очевидно, що рiвняння результуючого коливання буде
	x = x1	+ x2 = A cos(ω0t + ϕ).	(1.32)	Рис. 1.6.
У виразi (1.32) амплiтуда		i початкова фаза вiдповiдно задаються спiввiдношеннями
	A2 = A12	+ A22 + 2A1A2 cos(ϕ1 − ϕ2); tgϕ =	A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2		.	(1.33)
			A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

Отже, тiло, яке бере участь у двох гармонiчних коливаннях одного напряму i однакової частоти, також здiйснює гармонiчне коливання в тому ж напрямi i з тiєю ж частотою, що i коливання, що додаються. Амплiтуда результуючого коливання залежить вiд рiзницi фаз ( ϕ1 − ϕ2) коливань.

Проаналiзуємо вираз (1.33) залежно вiд рiзницi фаз (ϕ2 − ϕ1):

1)(ϕ2 − ϕ1) = 2mπ (m=0, 1, 2, ...), тодi A = A1 + A2, тобто амплiтуда результуючого коливання A дорiвнює сумi амплiтуд коливань, що додаються;

2)(ϕ2 −ϕ1) = (2m+1π) (m=0, 1, 2, ...), тодi A = |A1 −A2|, тобто амплiтуда результуючого коливання дорiвнює рiзницi амплiтуд коливань, що додаються.

Для практики особливий iнтерес являє випадок, коли два гармонiчнi коливання, що додаються, мають однаковий напрям i мало вiдрiзняються за частотою. У результатi додавання цих коливань виходять коливання з амплiтудою, що перiодично змiнюється. Перiодичнi змiни амплiтуди коливання, що виникають при додаваннi двох гармонiчних коливань з близькими частотами, називають биттям.

Нехай амплiтуди коливань, що додаються, дорiвнюють A, а частоти дорiвнюють ω i ω+Δω, причому

ωω. Початок вiдлiку виберемо так, щоб початковi фази обох коливань, дорiвнювали нулю:

x1	= Acosωt,
x2	= Acos(ω +				ω)t.
Додаючи цi вирази i враховуючи, що в другому спiвмножнику ω/2 ω, знайдемо
		ω
x = (2A cos				t) cos ωt.			(1.34)
		2
Результуюче коливання (1.34) можна розглядати як гармонiчне з частотою ω, амплiтуда							якого змi-
нюється за таким перiодичним законом:
					ω
Aб = (2A cos						t),	(1.35)
					2

Частота змiни Aб в два рази бiльша за часеоеу змiни косинуса (оскiльки береться по модулю), тобто частота биття дорiвнює рiзницi частот коливань, що додаються:

ωб = ω