Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

де показник заломлення оточуючого плiвку середовища прийнятий рiвним 1, а член ±λ0/2 зумовлений втратою половини хвилi при, вiдбиваннi свiтла вiд межi роздiлу. Якщо n > n0, то втрата пiвхвилi вiдбудеться в точцi O i вищезазначений член матиме знак мiнус; якщо ж n < n0 то втрата пiвхвилi, вiдбудеться в точцi C i λ0/2 матиме знак плюс. Згiдно з рис. 5.7, OC = CB = d/ cos r, OA = OB sin i = 2d tg r sin i. Враховуючи для даного випадку закон заломлення sin i = n sin r, одержимо

pp

= 2dn cos r = 2dn 1 − sin2 r = 2d n2 − sin2 i.

З урахуванням втрати пiвхвилi для оптичної рiзницi ходу одержимо:

p

= 2d n2 − sin2 i ± λ0/2. (5.12)

Для випадку, зображеного на рис. 5.7 (n > n0),

p

=2d n2 − sin2 i + λ0/2.

Уточцi буде iнтерференцiйний максимум, якщо (див. (5.6))

2dp		n2 − sin2 i		+ λ0/2 = mλ0	(m = 0, 1, 2..),		(5.13)
i мiнiмум, якщо (див. (5.7))
					λ
2dpn2 − sin2 i + λ0/2 = (2m + 1)
					0	(m = 0, 1, 2..).	(5.14)
					2

Iнтерференцiя, як вiдомо, спостерiгається, тiльки якщо подвоєна товщина пластинки менша довжини когерентностi падаючої хвилi.

1. Смуги рiвного нахилу (iнтерференцiя вiд плоско-паралельної пластинки). З виразiв (5.13) i (5.14) виходить, що iнтерференцiйна картина в плоскопаралельних пластинках (плiвках) визначається величинами λ0, d, n та i. Для даних λ0, d, n кожному нахилу i променiв вiдповiдає своя iнтерференцiйна смуга.

Iнтерференцiйнi смуги, що виникають в результатi накладання променiв, якi падають на плоскопаралельную пластинку пiд однаковими кутами, називаються смугами рiвного нахилу.

Променi 10 i 1", якi вiдбилися вiд верхньої та нижньої граней пластинки (рис. 5.8), паралельнi один одному, оскiльки пластинка плоскопаралельна. Отже, iнтерферуючi променi 10 i 1", "перетинаються" тiльки в нескiнченностi, тому говорять, що смуги рiвного нахилу локалiзованi в нескiнченностi. Для їх спостереження використовують збираючу лiнзу i екран (E), розташований у фокальнiй площинi лiнзи. Паралельнi променi 10 i 1" зберуться у фокусi F лiнзи (на рис. 5.8) її оптична вiсь паралельна променям 10 i 1"), в цю ж точку прийдуть i iншi променi (на рис. 5.8) промiнь 2 ), паралельнi променю 1, внаслiдок чого збiльшується загальна iнтенсивнiсть. Променi 3, нахиленi пiд iншим кутом, зберуться в iншiй точцi фокальної площини лiнзи. Легко

показати, що якщо оптична вiсь лiнзи перпендикулярна по-

Рис. 5.8.

верхнi пластинки, то смуги рiвного нахилу матимуть вид концентричних кiлець з центром у фокусi лiнзи.

2. Смуги рiвної товщини (iнтерференцiя вiд пластинки змiнної товщини). Нехай на клин (кут α мiж бiчними гранями малий) падає плоска хвиля, напрям поширення якої збiгається з паралельним променями 1 i 2 (рис. 5.9).

Iз усiх променiв, на якi роздiляється падаючий промiнь 1, розглянемо променi 10 i 1", що вiдбилися вiд верхньої i нижньої поверхонь клину. При певному взаємному положеннi клину i лiнзи променi 10 i 1", перетнуться в деякiй точцi A, точки, що є зображенням B. Оскiльки променi 10 i 1" когерентнi, вони iнтерферуватимуть. Якщо джерело розташоване досить далеко вiд поверхнi клину i кут α нескiнченно малий, то оптична рiзниця ходу мiж iнтерферуючими променями 10 i 1", може бути з достатнiм ступенем точностi обчислена за формулою (5.12), де d товщина клину в мiсцi падiння на нього променя.

Рис. 5.9.

Рис. 5.10.

Променi 20 i 2", що утворилися при розподiлi променя 2, падаючого в iншу точку клину, збираються лiнзою в точцi А". Оптична рiзниця ходу вже визначається товщиною d0. Отже, на екранi виникає

система iнтерференцiйних смуг. Кожна iз смуг виникає при вiдбиваннi вiд мiсць пластинки, що мають однакову товщину (у загальному випадку товщина пластинки може змiнюватися довiльно). Iнтерференцiйнi смуги, що виникають в результатi iнтерференцiї вiд мiсць однакової товщини, називаються

смугами рiвної товщини.

Оскiльки верхня i нижня гранi клину не паралельнi мiж собою, то променi 10 и 1" (2 0 i 2") перетинатимуться поблизу пластинки, в зображеному на рис. 5.9 випадку над нею (при iншiй конфiгурацiї клину вони можуть перетинатися i пiд пластинкою). Отже, смуги рiвної товщини локалiзованi поблизу поверхнi клину. Якщо свiтло падає на пластинку нормально, то смуги рiвної товщини локалiзуються на верхнiй поверхнi клину.

3. Кiльця Ньютона. Кiльця Ньютона, що є класичним прикладом смуг рiвної товщини, спостерiгаються при вiдбиваннi свiтла вiд повiтряного зазору, утвореного плоскопаралельною пластинкою i дотичною до неї плосковипуклою лiнзою з великим радiусом кривизни (рис. 5.10). Паралельний пучок свiтла падає нормально на плоску поверхню лiнзи i частково вiдбивається вiд верхньої i нижньої поверхонь повiтряного зазору мiж лiнзою i пластинкою. При накладаннi вiдбитих променiв виникають смуги рiвної товщини, при нормальному падiннi свiтла вони мають вид концентричних кiл.

У вiдбитому свiтлi оптична рiзниця ходу (з врахуванням втрати половини хвилi при вiдбиваннi), згiдно (5.12), за умови, що показник заломлення повiтря n = 1, а i = 0,

= 2d + λ0/2,

де d ширина зазору. З рис. 5.10 виходить, що R2 = (R − d)2 + r2, де R радiус кривизни лiнзи, r радiус кривизни кола, всiм точкам якого вiдповiдає однаковий зазор d. Враховуючи, що d мале, одержимо d = r2/(2R). Отже,

= r2/R + λ0/2.

(5.15)

Прирiвнявши (5.15) до умов максимуму (5.6) i мiнiмуму (5.7), одержимо вирази для радiусiв m-го свiтлого кiльця i m-го темного кiльця вiдповiдно:

p

rm = (m − 1/2)λ0R (m = 1, 2, 3),

p

rm = mλ0R (m = 1, 2, 3, ).

Вимiрюючи радiуси вiдповiдних кiлець, можна (знаючи радiус кривизни лiнзи R) визначити λ0 i, навпаки, за вiдомою λ0 знайти радiус кривизни R лiнзи.

Як для смуг рiвного нахилу, так i для смуг рiвної товщини положення максимумiв залежить вiд довжини хвилi λ0 (див. (5.13)). Тому система свiтлих i темних смуг виходить тiльки при освiтленнi монохроматичним свiтлом. При спостереженнi в бiлому свiтлi виходить сукупнiсть змiщених одна вiдносно одної смуг, утворених променями рiзних довжин хвиль, i iнтерференцiйна картина набуває веселкового забарвлення. Всi мiркування були проведенi для вiдбитого свiтла. Iнтерференцiю можна спостерiгати i в прохiдному свiтлi, причому в даному випадку не спостерiгається втрати пiвхвилi. Отже, оптична рiзниця ходу для прохiдного i вiдбитого свiтла вiдрiзняється на λ0/2, тобто максимумам iнтерференцiї у вiдбитому свiтлi вiдповiдають мiнiмуми в прохiдному, i навпаки.

5.6.Застосування iнтерференцiї свiтла

Явище iнтерференцiї зумовлене хвильовою природою свiтла; його кiлькiснi закономiрностi залежать вiд довжини хвилi λ0. Тому це явище використовується для пiдтвердження хвильової природи свiтла i для вимiрювання довжин хвиль (iнтерференцiйна спектроскопiя).

Явище iнтерференцiї застосовується також для полiпшення якостi оптичних приладiв (прояснення оптики) i отримання покриттiв з високим вiдбиттям. Проходження свiтла через кожну заломлюючу поверхню лiнзи, примiром через межу скло повiтря, супроводжується вiдбиванням ≈ 4%падаючого потоку (при показнику заломлення скла ≈ 1, 5). Оскiльки сучаснi об’єктиви мiстять велику кiлькiсть

лiнз, то число вiдбивань в них велике, а тому великi втрати свiтлового потоку. Отже, iнтенсивнiсть свiтла, що проходить, ослабляється i свiтлосила оптичного приладу зменшується. Крiм того, вiдбивання вiд поверхонь лiнз приводять до виникнення вiдблискiв, що часто (примiром, у вiйськовiй технiцi) демаскує положення приладу.

Для усунення вказаних недолiкiв здiйснюють так зване просвiтлення оптики. Для цього на вiльнi поверхнi лiнз наносять тонкi плiвки з показником заломлення меншим, нiж у матерiалу лiнзи. При вiдбиваннi свiтла вiд меж роздiлу повiтря плiвка i плiвка скло виникає iнтерференцiя когерентних променiв 10 i 2 (рис. 5.11). Товщину плiвки d i показники заломлення скла nc i плiвки n можна пiдiбрати так, щоб хвилi, вiдбитi вiд обох поверхонь плiвки, гасили одна одну. Для цього їх амплiтуди мають бути рiвнi, а оптична

рiзниця ходу дорiвнює (2m + 1) λ20 (див. (5.7). Розрахунок

показує, що амплiтуди вiдбитих променiв рiвнi, якщо

√

n = nc.	(5.16)
Оскiльки nc, n i показник заломлення повiтря n0 задо-		Рис. 5.11.

вольняють умовам nc > n > n0, то втрата пiвхвилi вiдбувається на обох поверхнях; отже, умова мiнiмуму (припускаємо, що свiтло падає нормально, тобто i=0)

2nd = (2m + 1) λ20 ,

де nd оптична товщина плiвки. Звичайно приймають m=0, тодi

nd = λ0/4.

Отже, якщо виконується умова (5.16) i оптична товщина плiвки дорiвнює λ0/4, то в результатi iнтерференцiї спостерiгається гасiння вiдбитих променiв. Оскiльки добитися одночасного гасiння для всiх довжин хвиль неможливо, то це зазвичай робиться для найсприйнятливiшої оком довжини хвилi λ0 ≈0,55 мкм. Тому об’єктиви з просвiтленою оптикою мають синювато-червоний вiдтiнок.

Створення високовiдбиваючих покриттiв стало можливим лише на основi багатопроменевої iнтерференцiї. На вiдмiну вiд двопроменевої iнтерференцiї, яку ми розглядали, багатопроменева iнтерференцiя виникає при накладаннi великого числа когерентних свiтлових пучкiв. Розподiл iнтенсивностi в iнтерференцiйнiй картинi iстотно вiдрiзняється; iнтерференцiйнi максимуми значно вужчi i яскравiшi, нiж при накладаннi двох когерентних свiтлових пучкiв.

Так, результуюча амплiтуда свiтлових коливань однакової амплiтуди в максимумах iнтенсивностi, де додавання вiдбувається в однаковiй фазi, в N разiв бiльше, а iнтенсивнiсть в N2 разiв бiльше, нiж вiд одного пучка (N число пучкiв, що iнтерферують). Вiдзначимо, що для знаходження результуючої амплiтуди зручно користуватися графiчним методом, використовуючи метод вектора амплiтуди, що обертається (див.ч.2, § 140). Багатопроменева iнтерференцiя здiйснюється в дифракцiйних гратках (див.??).

Багатопроменеву iнтерференцiю можна здiйснити в багатошаровiй системi плiвок, з рiзними показниками заломлення (але однаковою оптичною товщиною, рiвною λ0/4), нанесених на вiдбиваючу поверхню (рис. 5.12).

Можна показати, що на межi роздiлу плiвок (мiж двома шарами ZnS з великим показником заломлення n1 знаходиться плiвка крiолiту з меншим показником заломлення n2) виникає велике число вiдбитих променiв, якi при оптичнiй товщинi iнтерферуючих плiвок λ0/4 взаємно пiдсилюватимуться, тобто коефiцiєнт вiдбивання зростає. Характерною особливiстю такої високовiдбиваючої системи є те, що вона дiє в дуже вузькiй спектральнiй областi, причому що бiльший коефiцiєнт вiдбивання, то вужча ця область. Примiром, система з семи плiвок для областi 0,5 мкм дає коефiцiєнт вiдбивання ρ ≈96% (при коефiцiєнтi пропускання ≈ 3,5% i коефiцiєнтi поглинання <0,5%). Подiбнi вiдбивачi застосовуються в лазернiй технiцi, а також використовуються для створення iнтерференцiйних свiтофiльтрiв

Рис. 5.12.

Рис. 5.13.

(вузькополосних оптичних фiльтрiв).

Явище iнтерференцiї також застосовується в дуже точних вимiрювальних приладах, якi називаються iнтерферометрами. Всi iнтерферометри основанi на одному i тому самому принципi i розрiзняються лише конструктивно. На рис. 5.13 подана спрощена схема iнтерферометра Майкельсона. Монохроматичне свiтло вiд джерела S падає пiд кутом 45o на плоскопаралельную пластинку P1. Сторона пластинки, яка вiддалена вiд S, посрiблена i напiвпрозора, роздiляє промiнь на двi частини: промiнь 1 (вiдбивається вiд посрiбленого шару) i промiнь 2 (проходить крiзь нього). Промiнь 1 вiдбивається вiд

дзеркала 1 i, повертаючись назад, знов проходить через пластинку P1 (промiнь 10). Промiнь 2 йде до дзеркала M2 вiдбивається вiд нього, повертається назад i вiдбивається вiд пластинки PI (промiнь 20). Оскiльки перший з променiв проходить крiзь пластинку P1 двiчi, то для компенсацiї виникаючої рiзницi ходу на шляху другого променя ставиться пластинка P2 (точно така ж, як i P1, тiльки не покрита шаром срiбла). Променi 10 i 20 когерентнi; отже, спостерiгатиметься iнтерференцiя, результат якої залежить вiд оптичної рiзницi ходу променя 1 от точки O до дзеркала M1 i променя 2 вiд точки O до дзеркала M2. При перемiщеннi одного з дзеркал на вiдстань λ0/4 рiзниця ходу обох променiв збiльшиться на λ0/2 i вiдбудеться змiна освiтленостi зорового поля. Отже, по незначному зсуву iнтерференцiйної картини можна судити про мале перемiщення одного з дзеркал i використовувати iнтерферометр Майкельсона для точного (порядка 10−7м) вимiрювання довжин (вимiрювання довжини тiл, довжини хвилi свiтла, змiни довжини тiла при змiнi температури (iнтерференцiйний дiлатометр)).

Росiйський фiзик В. П. Линник (1889–1984) використав принцип дiї iнтерферометра Майкельсона для створення мiкроiнтерферометра (комбiнацiя iнтерферометра i мiкроскопа), що служить для контролю чистоти обробки поверхнi.

Iнтерферометри дуже чутливi оптичнi прилади, що дозволяють визначати незначнi змiни показника заломлення прозорих тiл (газiв, рiдких i твердих тiл) залежно вiд тиску, температури, домiшок i т. iн. Такi iнтерферометри одержали назву iнтерференцiйних рефрактометрiв. На шляху iнтерферуючих променiв розташовують двi однаковi кювети завдовжки l, одна з яких заповнена, примiром, газом з вiдомим (n0), а iнша з невiдомим nx показниками заломлення. Мiж iнтерферуючими променями виникає додаткова оптична рiзниця ходу = (n − n0)l. Змiна рiзницi ходу приведе до зсуву iнтерференцiйних смуг. Цей зсув можна характеризувати величиною

m0 = /λ = (nx − n0)l/λ,

де m0 показує, на яку частину ширини iнтерференцiйної смуги змiстилася iнтерференцiйна картина. Вимiрюючи величину m0 при вiдомих l, n0 i λ, можна обчислити n або змiну nx − n0. Примiром, при змiшеннi iнтерференцiйної картини на 1/5 смуги при l=10 см i λ=0,5 мкм n − n0 =10−6, тобто

iнтерференцiйнi рефрактометри дають змогу вимiрювати змiну показника заломлення з дуже високою точнiстю (до 1/1 000 000).

Використання iнтерферометрiв дуже рiзноманiтне. Окрiм перерахованого, вони застосовуються для вивчення якостi виготовлення оптичних деталей, вимiрювання кутiв, дослiдження швидкоплинних процесiв, якi вiдбуваються в повiтрi, що оточує лiтальнi апарати i т.iн. Використовуючи iнтерферометр, Майкельсон вперше провiв порiвняння мiжнародного еталона метра з довжиною стандартної свiтлової хвилi. За допомогою iнтерферометрiв дослiджувалося також поширення свiтла в рухомих тiлах, що привело до фундаментальних змiн уявлень про простiр i час.

5.7.Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки

•Якi основнi положення i висновки корпускулярної та хвильової теорiї свiтла?

•Чому виникло уявлення про подвiйну корпускулярно-хвильову природу свiтла?

•У чому суть основної iдеї теорiї Планка?

•Яку величину називають часом когерентностi? довжиною когерентностi? Який зв’язок мiж ними?

•Для чого вводяться поняття часової i просторової когерентностей?

•Що таке оптична довжина шляху? оптична рiзниця ходу?

• Два когерентнi свiтловi пучки з оптичною рiзницею ходу

= 3/2λ iнтерферують у деякiй

точцi. Максимум або мiнiмум спостерiгається в цiй точцi? Чому?

•Чому iнтерференцiю можна спостерiгати вiд двох лазерiв i не можна вiд двох електроламп?

•Як змiниться iнтерференцiйна картина в дослiдi Юнга (див. рис. 5.3), якщо цю систему помiстити у воду?

•Чи вiдрiзнятимуться iнтерференцiйнi картини вiд двох вузьких близько розташованих паралельних щiлин при освiтленнi їх монохроматичним i бiлим свiтлом? Чому?