Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

•Що таке автоколивання? У чому їх вiдмiннiсть вiд вимушених та вiльних незагасаючих коливань? Де їх використовують?

•Що таке вимушенi коливання? Запишiть диференцiальне рiвняння вимушених коливань i розв’яжiть його. Зробiть їх аналiз для механiчних та електромагнiтних коливань.

•Вiд чого залежить амплiтуда вимушених коливань? Запишiть вираз для амплiтуди та фази при резонансi.

•Чому добротнiсть є найважливiшою характеристикою резонансних властивостей системи?

•Чому дорiвнює зсув фаз мiж змiщенням i змушуючою силою при резонансi?

•Що називається резонансом? Яка його роль?

•Вiд чого залежить iндуктивний опiр? ємнiсний опiр?

•Що називається реактивним опором?

•Як зсунутi за фазою коливання змiнної напруги та змiнного струму, що протiкають через конденсатор? котушку iндуктивностi? опiр? Вiдповiдь обгрунтуйте за допомогою векторних дiаграм?

•Намалюйте та пояснiть векторну дiаграму для кола змiнного струму з послiдовно включеними опором, котушкою iндуктивностi та конденсатором.

•Назвiть характернi ознаки резонансу напруг, резонансу струмiв. Намалюйте графiки резонансу струмiв та напруг.

•Як обчислити потужнiсть, що видiляється в колi змiнного струму? Що називається коефiцiєнтом потужностi?

1.15.Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки

18.1. Матерiальна точка, що виконує гармонiчнi коливання з частотою ν=2 Гц, у момент часу t=0 проходить положення, що визначається координатою x0 = 6 см, iз швидкiстю υ0 = 14 см/с. Визначити амплiтуду коливання. [6,1 см]

18.2.Повна енергiя точки, що гармонiчно коливається, дорiвнює 30 мкДж, а максимальна сила, що дiє на точку, дорiвнює 1,5 мН. Написати рiвняння руху цiєї точки, якщо перiод коливань дорiвнює 2 с,

апочаткова фаза π/3. [x=0,04 cos(ωt + π/3)]

18.3.При пiдвiшуваннi вантажiв масами m1=500 г та m2=400 г до вiльних пружин останнi подовжилися однаково ( l=15 см). Нехтуючи масою пружин, визначити: 1) перiоди коливань вантажiв; 2) який з вантажiв при однакових амплiтудах володiє бiльшою енергiєю i в скiльки разiв. [1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4.Фiзичний маятник є тонким однорiдним стрижнем завдовжки 25 см. Визначити, на якiй вiдстанi вiд центру мас має бути точка пiдвiсу, щоб частота коливань була максимальною. [7,2 см]

18.5. Два математичнi маятники, довжини яких вiдрiзняються на l=16 см, виконують за один i той самий час: один n1=10 коливань, iнший n2=6 коливань. Визначити довжини маятникiв l1 i l2. [l1=9 см, l2=25 см]

18.6.Коливальний контур мiстить котушку iз загальною кiлькiстю виткiв, що дорiвнює 50, iндуктивнiстю 5 мкГн i конденсатор ємнiстю 2 нФ. Максимальна напруга на обкладинках конденсатора становить 150 В. Визначити максимальний магнiтний потiк, що пронизує котушку. [0,3 мкВб]

18.7.Рiзниця фаз двох однаково направлених гармонiчних коливань однакового перiоду, що дорiвнює 8 с, i однакової амплiтуди (2 см) становить π/4. Написати рiвняння руху, яке виходить у результатi додавання цих коливань, якщо початкова фаза одного з них дорiвнює нулю. [x = 0, 037 cos(ωπt/4+π/8)]

18.8.Точка бере участь одночасно в двох гармонiчних коливаннях, що вiдбуваються у взаємно перпендикулярних напрямах i описуються рiвнянням

x = cos ωt i y = cos ωt/2. Визначити рiвняння траєкторiї точки i викреслити її з нанесенням масштабу. [2y2 − x = 1]

18.9.За час, за який система виконує 100 повних коливань, амплiтуда зменшується в три рази. Визначити добротнiсть системи. [286]

18.10.Коливальний контур мiстить котушку iндуктивнiстю 25 мГн, конденсатор ємнiстю 10 мкФ i резистор опором 1 Ом. Заряд на обкладинках конденсатора Qm=1 мКл. Визначити: 1) перiод коливань

контуру; 2) логарифмiчний декремент загасання коливань; 3) рiвняння залежностi змiни напруги на обкладках конденсатора вiд часу. [1) 3,14 мс; 2) 0.06; 3)U = 100e−20t cos 636ωt.]

18.11.Послiдовно з’єднанi резистор з опором 110 Ом i конденсатор пiдключено до зовнiшньої змiнної напруги з амплiтудним значенням 110 В. Виявилося, що амплiтудне значення сталого струму в колi 0,5 А. Визначити рiзницю фаз мiж струмом i зовнiшньою напругою. [60o]

18.12.У колi змiнного струму частотою 50 Гц включена котушка довжиною 50 см i площею поперечного перерiзу 10 см2, яка має 3000 виткiв. Визначити активний опiр котушки, якщо зсув фаз мiж напругою i струмом становить 60o. [4,1 Ом]

18.13.Генератор, частота якого становить 32 кГц i амплiтудне значення напруги дорiвнює 120 В, включений в резонуюче коло, ємнiсть якого 1 нФ. Визначити амплiтудне значення напруги на конденсаторi, якщо активний опiр кола 5 Ом. [119 кВ]

18.14.Коливальний контур мiстить котушку iндуктивнiстю 5 мГц i конденсатор ємнiстю 2 мкФ. Для пiдтримки в коливальному контурi незгасаючих гармонiчних коливань з амплiтудним значенням напруги на конденсаторi 1 В необхiдно пiдводити середню потужнiсть 0,1 мВт. Вважаючи загасання коливань у контурi достатньо малим, визначити добротнiсть даного контуру. [100]

2.Пружнi хвилi

2.1.Хвильовi процеси. Поздовжнi i поперечнi хвилi

Коливання, збудженi в якiй-небудь точцi середовища (твердого, рiдкого або газоподiбного), поширюються в ньому, передаючись вiд однiєї точки середовища до iншої, з кiнцевою швидкiстю, яка залежить вiд властивостей середовища. Чим далi розташована частинка середовища вiд джерела коливань,тим пiзнiше вона почне коливатися. Iншими словами, фази коливань частинок середовища i джерела тим бiльше вiдрiзняються одна вiд одної, чим бiльше ця вiдстань. При вивченнi поширення коливань не враховується дискретна (молекулярна) будова середовища i середовище розглядається як суцiльне, тобто безперервно розподiлене в просторi який має пружнi властивостi.

Процес поширення коливань у суцiльному середовищi називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширеннi хвилi частинки середовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються бiля своїх положень рiвноваги. Разом з хвилею вiд частинки до частинки середовища передаються лише стан коливального руху i його енергiя. Тому основною властивiстю всiх хвиль, незалежно вiд їх природи, є перенесення енергiї без перенесення речовини.

Серед рiзноманiтних хвиль, що зустрiчаються в природi i технiцi, видiляються такi їхнi типи: хвилi на поверхнi рiдини, пружнi i електромагнiтнi хвилi. Пружними (або механiчними) хвилями називаються механiчнi збурення, що поширюються в пружному середовищi. Пружнi хвилi бувають поздовжнi i поперечнi. У поздовжнiх хвилях частинки середовища коливаються у напрямку поширення хвилi, в поперечних в площинах, перпендикулярних напрямку поширення хвилi.

Поздовжнi хвилi можуть збуджуватися в середовищах, в яких виникають пружнi сили при деформацiї стиснення i розтягування, тобто твердих, рiдких i газоподiбних тiлах. Поперечнi хвилi можуть збуджуватися в середовищi, в якому виникають пружнi сили при деформацiї зсуву, тобто в твердих тiлах; у рiдинах i газах виникають тiльки поздовжнi хвилi, а в твердих тiлах як поздовжнi, так i поперечнi.

Рис. 2.1.

Пружна хвиля називається гармонiчною, якщо вiдповiднi їй коливання частинок середовища є гармонiчними. На рис. 2.1 показана гармонiчна поперечна хвиля, що поширюється iз швидкiстю υ вздовж осi x, тобто наведена залежнiсть мiж зсувом ξ частинок середовища, що беруть участь у хвильовому процесi, та вiдстанню x цих частинок (примiром, частинки B) вiд джерела коливань O для якогось фiксованого моменту часу t. Наведений графiк функцiї ξ (x, t) схожий на графiк гармонiчного коливання, проте вони рiзнi по сутi. Графiк хвилi дає залежнiсть зсуву всiх частинок середовища вiд вiдстанi до джерела коливань у даний момент часу, а графiк коливань залежнiсть зсуву даної частинки вiд часу.

Вiдстань мiж найближчими частинками, що коливаються в однаковiй фазi, називається довжиною хвилi λ (рис. 2.1). Довжина хвилi дорiвнює тiй вiдстанi, на яку поширюється певна фаза коливання за перiод, тобто

λ = υ,

або, враховуючи, що T = 1/ν, де ν частота коливань,

υ = λν.

Якщо розглянути хвильовий процес докладнiше, то ясно, що коливаються не тiльки частинки, розташованi вздовж осi x, а коливається сукупнiсть частинок, розташованих в деякому об’ємi, тобто хвиля, що

поширюється вiд джерела коливань, охоплює все новi i новi областi простору. Геометричне мiсце точок, до яких доходять коливання в моменту часу t, називається хвильовим фронтом. Геометричне мiсце точок, що коливаються в однаковiй фазi, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести незлiченну множину, а хвильовий фронт у кожний момент часу один. Хвильовий фронт також є хвильовою поверхнею. Хвильовi поверхнi можуть бути будь-якої форми, а в простому випадку вони є сукупнiстю площин, паралельних одна однiй, або сукупнiстю концентричних сфер.

Вiдповiдно хвиля називається плоскою або сферичною.

2.2.Рiвняння бiжучої хвилi. Фазова швидкiсть. Хвильове рiвняння.

Бiжучими хвилями називаються хвилi, якi переносять у просторi енергiю. Перенесення енергiї хвилями кiлькiсно характеризується вектором густини потоку енергiї. Цей вектор для пружних хвиль називається вектором Умова(на iм’я росiйського вченого Н. А. Умова (1846–1915), що розв’язав задачу про поширення енергiї в середовищi). Напрям вектора Умова збiгається з напрямом перенесення енергiї, а його модуль дорiвнює енергiї, що переноситься хвилею за одиницю часу через одиницю площi поверхнi, розташованої перпендикулярно напряму поширення хвилi.

Для виведення рiвняння бiжучої хвилi залежностi зсуву коливної частинки вiд координат i часу, розглянемо плоску хвилю, припускаючи, що коливання мають гармонiчний характер, а вiсь x збiгається з напрямом поширення хвилi (рис. 2.1). У даному випадку хвильовi поверхнi перпендикулярнi осi x, а оскiльки всi точки хвильової поверхнi коливаються однаково, то й зсув ξ залежатиме тiльки вiд x i t, тобто ξ = ξ(x, t).

На рис. 2.1 розглянемо деяку частинку B середовища, що знаходиться вiд джерела коливань O на вiдстанi x. Якщо коливання точок, що лежать в площинi x=0, описуються функцiєю ξ(0, t) = A cos ωt, то частинка B середовища коливається за тим самим законом, але її коливання вiдставатимуть за часом вiд коливань джерела на τ, оскiльки для проходження хвилею вiдстанi x потрiбен час τ = x/υ, де υ

швидкiсть поширення хвилi. Тодi рiвняння коливань частинок, що лежать в площинi x,
ξ(x, t) = A cos ω(t − x/υ),	(2.1)

звiдки виходить, що ξ(x, t) є не тiльки перiодичною функцiєю часу, але i перiодичною функцiєю координати x. Рiвняння (2.1) є рiвняння бiжучої хвилi. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному

напрямi, то

ξ(x, t) = A cos ω(t + x/υ).

(2.2)

Узагальному випадку рiвняння плоскої хвилi, що поширюється вздовж позитивного напряму осi x в середовищi, що не поглинає енергiю, має вигляд

ξ(x, t) = A cos[ω(t − x/υ) + ϕ0],

(2.3)

де A=const амплiтуда хвилi, ω циклiчна частота, ϕ0 початкова фаза хвилi, яка визначається в загальному випадку вибором початку вiдлiку x i t, [ω(t −x/υ) + ϕ0], фаза плоскої хвилi.

Для характеристики хвиль використовується хвильове число

k =	2π	=	2π	=	ω	.	(2.4)
	λ		υT
					υ

Враховуючи (2.4), рiвнянню (2.3) можна надати вигляд

xi(x, t) = A cos(ωt − kx + ϕ0).

(2.5)

Рiвняння хвилi, що поширюється вздовж негативного напряму осi x, вiдрiзняється вiд (2.5) тiльки знаком члена kx.

Грунтуючись на формулi Ейлера (1.7), рiвняння плоскої хвилi можна записати:

ξ(x, t) = Aei(ωt−kx+ϕ),

де фiзичний змiст має лише дiйсна частина (див.1.1). Припустимо, що при хвильовому процесi фаза постiйна, тобто

ω(t −	x	+ ϕ0) = const.	(2.6)
	υ

Продиференцiювавши вираз (2.6) i скоротивши на ω одержимо dt −			1	dx = 0, звiдки
			υ
	dx	= υ.	(2.7)
	dt

Отже, швидкiсть υ поширення хвилi в рiвняннi (2.7) є не що iнше, як швидкiсть перемiщення фази хвилi, i її називають фазовою швидкiстю.

Повторюючи хiд мiркувань для плоскої хвилi, можна довести, що рiвняння сферичної хвилi хвилi, хвильовi поверхнi якої мають вид концентричних сфер, записується як

ξ(r, t) =	A0	cos(ωt − kr + ϕ0),	(2.8)
	r

де r вiдстань вiд центра хвилi до даної точки середовища. У разi сферичної хвилi навiть в середовищi, що не поглинає енергiю, амплiтуда коливань не залишається постiйною, а зменшується з вiдстанню за законом 1/r. Рiвняння (2.8) справедливе лише для r, яке значно перевищує розмiри джерела (тодi джерело коливань можна вважати точковим).

З виразу (2.4) виходить, що фазова швидкiсть

υ =	ω	.	(2.9)
	k

Якщо фазова швидкiсть хвиль у середовищi залежить вiд їх частоти, то це явище називають дисперсiєю хвиль, а середовище, в якому спостерiгається дисперсiя хвиль, називається диспергуючим середовищем.

Поширення хвиль в однорiдному iзотропному середовищi в загальному випадку описується хвильовим рiвнянням диференцiальним рiвнянням у частинних похiдних

d2ξ

+

d2ξ

+

d2ξ

=

1 d2ξ

,

(2.10)

2

dy

2

dz

2

υ

2

dt

2

dx

	або							1 d2ξ
							ξ =				,
										dt2
							υ2
	де υ фазова швидкiсть,	d2	+	d2	+	d2	= оператор Лапласа. Розв’язком рiвняння (2.10) є рiвнян-
		dx2		dy2		dz2

ня будь-якої хвилi. Вiдповiдною пiдстановкою можна переконатися, що рiвнянню (2.10) задовольняють, зокрема, плоска хвиля (див. (2.3)) i сферична хвиля (див. (2.8)). Для плоскої хвилi, що поширюється вздовж осi x, хвильове рiвняння має вигляд

d2ξ	=		1 d2ξ			.	(2.11)
dx2		υ2			dt2

2.3.Принцип суперпозицiї. Групова швидкiсть

Якщо середовище, в якому поширюються одночасно декiлька хвиль, лiнiйне, тобто його властивостi не змiнюються пiд дiєю збурень, якi створюються хвилею, то до них застосовний принцип суперпозицiї (накладання) хвиль: при поширеннi в лiнiйному середовищi декiлькох хвиль кожна з них поширюється так, як нiби iншi хвилi вiдсутнi, а результуючий зсув частинки середовища у будь-який момент часу дорiвнює геометричнiй сумi зсувiв, якi одержують частинки, беручи участь у кожному iз складових хвильових процесiв.

Виходячи з принципу суперпозицiї i розкладання Фур’є (див. (1.36), будь-яка хвиля може бути представлена у виглядi суми гармонiчних хвиль, тобто у виглядi хвильового пакета, або групи хвиль. Хвильовим пакетом називається суперпозицiя хвиль, що мало вiдрiзняються одна вiд одної за частотою, i якi займають в кожний момент часу обмежену область простору.

"Сконструюємо"простий хвильовий пакет з двох гармонiчних хвиль, що поширюється вздовж позитивного напряму осi x, з однаковими амплiтудами, близькими частотами i хвильовими числами, при-

чому dω ω i dk k. Тодi

tdω − xdk

ξ = A

0

cos(ωt

−

kx) + A

0

cos[(ω + dω)t

−

(k + dk)x] = 2A

0

cos(

),

2

d2ξ

=

1 d2ξ

.

dx2

υ2 dt2

Ця хвиля вiдрiзняється вiд гармонiчної тим, що її амплiтуда

A =

2A

0

2

є функцiя координати x i часу t.

За швидкiсть поширення цiєї негармонiчної хвилi (хвильового пакета) приймають швидкiсть перемiщення максимуму амплiтуди хвилi, розглядаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, що tdω − xdk = const, одержимо

	dx	=	dω	= u.	(2.12)
	dt		dk

Швидкiсть u i є групова швидкiсть. Її можна визначити як швидкiсть руху групи хвиль, що створюють у кожний момент часу локалiзований в просторi хвильовий пакет. Вираз (2.12) одержаний для хвильового пакета з двох складових, проте можна довести, що вiн справедливий у найзагальнiшому

випадку.

dω

Розглянемо зв’язок мiж груповою

= u (див. (2.12)) i фазовою υ = ω/k (див.(2.9)) швидкостями.

dt

Враховуючи, що k = 2π/λ (див. (2.4)), одержимо

dλ

: dλ

u = dk =

dk

= υ + k dk

= υ + k

=

dω

d(υk)

dυ

dυ

dk