Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

υ + k

dυ

:

d

2π

= υ + k

−

λ2

dυ

,

dλ

dλ

λ

2π

dλ

або

dυ

u = υ − λ

(2.13)

.

dλ

З формули (2.13) виходить, що u може бути як менше, так i бiльше υ залежно вiд знаку dυ/dλ. У недиспергуючому середовищi dυ/dλ=0 i групова швидкiсть збiгається з фазовою.

Поняття групової швидкостi дуже важливе, оскiльки саме воно фiгурує при вимiрюваннi дальностi в радiолокацiї, в системах управлiння космiчними об’єктами i т. iн. В теорiї вiдносностi доведено, що

групова швидкiсть u ≤ c, тодi як для фазової швидкостi обмежень не iснує.

2.4.Iнтерференцiя хвиль

Злагоджений перебiг у часi i в просторi декiлькох коливальних або хвильових процесiв пов’язують з поняттям когерентностi. Хвилi називаються когерентними, якщо рiзниця їх фаз залишається постiйною в часi. Очевидно, що когерентними можуть бути лише хвилi, що мають однакову частоту. При накладаннi в просторi двох (або декiлькох) когерентних хвиль в рiзних його точках виходить посилення або ослаблення результуючої хвилi залежно вiд спiввiдношення мiж фазами цих хвиль. Це явище називається iнтерференцiєю хвиль.

Розглянемо накладання двох когерентних сферичних хвиль, що збуджуються точковими джерелами S1 i S2 (рис. 2.2) ), якi коливаються з однаковими амплiтудою A0 i частотою ω i постiйною рiзницею

фаз. Згiдно з формулою (2.8),
ξ1(r, t) =	A0	cos(ωt − kr1 + ϕ1),	ξ2(r, t) =	A0	cos(ωt − kr2 + ϕ2)
	r1			r2

де r1 i r2 вiдстанi вiд джерел хвиль до даної точки B, k хвильове число, ϕ1 i ϕ2 початковi фази обох сферичних хвиль. Амплiтуда результуючої хвилi в точцi B згiдно (1.33) дорiвнює

A2 = A02	r12	+ r22	+ r1r2	cos [k(r1 − r2) − (ϕ1 − ϕ2)] .
	1	1	2

Оскiльки для когерентних джерел рiзниця початкових фаз (ϕ1 − ϕ2 = const, то результат накладання двох хвиль у рiзних точках залежить вiд величини = r1 − r2, що називається рiзницею ходу хвиль.

У точках, де

	k(r1 − r2) − (ϕ1 − ϕ2) = ±2mπ	(m=0, 1, 2,...),	(2.14)
	спостерiгається iнтерференцiйний максимум: амплiтуда результу-
	ючого коливання A = A0/r1 + A0/r2. У точках, де
Рис. 2.2.	k(r1 − r2) − (ϕ1 − ϕ2) = (2m + 1)π	(m = 0, 1, 2, ...),	(2.15)
спостерiгається iнтерференцiйний мiнiмум: амплiтуда результуючого коливання A = |A0/r1 − A0/r2|; m
0, 1, 2, .., називається	вiдповiдно порядком максимуму або мiнiмуму.
Умови (2.14) та (2.15) зводяться до того, що
	r1 − r2 = const.		(2.16)

Вираз (2.16) є рiвнянням гiперболи з фокусами в точках S1 i S2. Отже, геометричне мiсце точок, в яких спостерiгається посилення або ослаблення результуючого коливання, є сiмейством гiпербол (рис. 2.2), що вiдповiдають умовi ϕ1 −ϕ2=0. Мiж двома iнтерференцiйними максимумами (на рис. 2.2 суцiльнi лiнiї) знаходяться iнтерференцiйнi мiнiмуми (на рис. 2.2 штриховi лiнiї).

2.5.Стоячi хвилi

Особливим випадком iнтерференцiї є стоячi хвилi це хвилi, що утворюються при накладаннi двох бiжучих хвиль, якi поширюються назустрiч одна однiй з однаковими частотами i амплiтудами, а у разi поперечних хвиль i однаковою поляризацiєю.

Для виведення рiвняння стоячої хвилi припустимо, що двi плоскi хвилi поширюються назустрiч одна однiй вздовж осi x в середовищi без загасання, причому обидвi хвилi характеризуються однаковими амплiтудами i частотами. Крiм того, початок координат виберемо в точцi, в якiй обидвi хвилi мають однакову початкову фазу, а вiдлiк часу почнемо з моменту, коли початковi фази обох хвиль дорiвнюють нулю. Тодi вiдповiдно рiвняння хвилi, що поширюється вздовж позитивного напряму осi x, i хвилi, що поширюється їй назустрiч, матимуть вигляд:

ξ1= Acos(ωt − kx),	(2.17)
ξ2= Acos(ωt + kx).

Додамо цi рiвняння i враховуючи, що k = 2π/λ (див. (154.3)), одержимо рiвняння стоячої хвилi

ξ = ξ1 + ξ2 = 2A cos kx cos ωt = 2A cos(2πx/λ) cos ωt.

(2.18)

З рiвняння стоячої хвилi (2.18) виходить, що в кожнiй точцi цiєї хвилi вiдбуваються коливання тiєї ж частоти ω i з амплiтудою [Aст = |2A cos(2πx/λ)|, яка залежить вiд координати x даної точки.

У точках середовища, де

2π/λ = ±mπ (m = 0, 1, 2, ...),

(2.19)

амплiтуда коливань досягає максимального значення, що дорiвнює 2A. В точках середовища, де

2π/λ = ±(m + 1/2)π (m = 0, 1, 2, ...),

(2.20)

Рис. 2.3.

амплiтуда коливань обертається в нуль. Точки, в яких амплiтуда коливань максимальна (Aст = 2A), називаються пучностями стоячої хвилi, а точки, в яких амплiтуда коливань дорiвнює нулю (Aст = 0), називаються вузлами стоячої хвилi. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, коливань не здiйснюють.

Звиразiв (2.19) i (2.20) одержимо вiдповiдно координати пучностей i вузлiв:

xп = ±m	λ					(m = 0, 1, 2, ...),		(2.21)
		2
xвуз = ± m + 2					2		(m = 0, 1, 2, ...).	(2.22)
	1				λ

З формул (2.21) i (2.22) виходить, що вiдстанi мiж двома сусiднiми пучностями i двома сусiднiми вузлами однаковi i дорiвнюють λ/2. Вiдстань мiж сусiднiми пучнiстю i вузлом стоячої хвилi дорiвноє λ/4.

На вiдмiну вiд бiжучої хвилi, всi точки якої здiйснюють коливання з однаковою амплiтудою, але iз запiзненням по фазi (у рiвняннi бiжучої хвилi(2.17) фаза коливань залежить вiд координати x даної точки ), всi точки стоячої хвилi мiж двома вузлами коливаються з

рiзними амплiтудами, але з однаковими фазами (у рiвняннi стоячої хвилi (2.18) аргумент косинуса не залежить вiд x). Пiд час переходу через вузол множник 2A cos(2πx/λ) змiнює свiй знак, тому фаза ко-

ливань по рiзнi сторони вiд вузла вiдрiзняється на π, тобто точки, що лежать по рiзнi сторони вiд вузла, коливаються в протифазi.

Утворення стоячих хвиль спостерiгається при iнтерференцiї бiжучої i вiдбитої хвиль. Примiром, якщо кiнець мотузки закрiпити нерухомо, то вiдбита в мiсцi закрiплення мотузки хвиля iнтерферуватиме з бiжучою хвилею i утворить стоячу хвилю. На межi, де вiдбувається вiдбиття хвилi, в даному випадку

виникає вузол. Чи буде на межi вiдбиття вузол чи пучнiсть, залежить вiд спiввiдношення густин середовищ. Якщо середовище, вiд якого вiдбувається вiдбиття, менш щiльне, то в мiсцi вiдбивання виникає пучнiсть (рис. 2.3,a), якщо бiльш щiльне вузол (рис. 2.3, б ).

Утворення вузла пов’язане з тим, що хвиля, вiдбиваючись вiд щiльнiшого середовища, змiнює фазу на протилежну i на межi вiдбувається складання коливань з протилежними фазами, внаслiдок чого утворюється вузол. Якщо ж хвиля вiдбивається вiд менш щiльного середовища, то змiни фази не вiдбувається i бiля межi коливання складаються з однаковими фазами утворюється пучнiсть.

Якщо розглядати бiжучу хвилю, то у напрямi її поширення переноситься енергiя коливального руху. У разi ж стоячої хвилi перенесення енергiї немає, оскiльки падаюча i вiдбита хвилi однакової амплiтуди несуть однакову енергiю в протилежних напрямах. Тому повна енергiя результуючої стоячої хвилi, укладеної мiж вузловими точками, залишається постiйною. Лише в межах вiдстанi, рiвної половинi довжини хвилi, вiдбуваються взаємнi перетворення кiнетичної енергiї на потенцiальну i навпаки.

2.6.Звуковi хвилi

Звуковими (або акустичними) хвилями називаються пружнi хвилi, що поширюються в середовищi i мають частоту в межах 16–20000 Гц. Хвилi цих частот, впливаючи на слуховий апарат людини, викликають вiдчуття звуку. Хвилi з ν <16 Гц (iнфразвуковi) i >20 кГц (ультразвуковi) органами слуху людини не сприймаються.

Звуковi хвилi в газах i рiдинах можуть бути тiльки поздовжнiми, оскiльки цi середовища мають пружнiсть лише по вiдношенню до деформацiй стиснення (розтягування). У твердих тiлах звуковi хвилi можуть бути як поздовжнiми, так i поперечними, оскiльки твердi тiла мають пружнiсть по вiдношенню до деформацiй стиснення (розтягування) i зсуву.

Iнтенсивнiстю звуку (або силою звуку) називається величина, яка визначається середньою за часом енергiєю, що переноситься звуковою хвилею в одиницю часу крiзь одиничної величини площину,

Рис. 2.4.

перпендикулярну напряму поширення хвилi:

I = W/(St).

Одиниця iнтенсивностi звуку в СI ват на метр у квадратi (Вт/м2).

Чутливiсть людського вуха рiзна для рiзних частот. Для того щоб викликати звукове вiдчуття, хвиля повинна мати деяку мiнiмальну iнтенсивнiсть, але якщо ця iнтенсивнiсть перевищує певну межу, то звук не чутний i викликає тiльки больове вiдчуття. Отже, для кожної частоти коливань iснують якнайменша (порiг чутностi) i найбiльша (порiг больового вiдчуття) iнтенсивностi звуку, якi здатнi викликати звукове сприйняття.

На рис. 2.4 представленi залежностi порогiв чутностi i больового вiдчуття вiд частоти звуку. Область, розташована мiж цими двома кривими, є областю чутностi.

Якщо iнтенсивнiсть звуку є величиною, що об’єктивно характе-

ризує хвильовий процес, то суб’єктивною характеристикою звуку, пов’язаною з його iнтенсивнiстю, є гучнiсть звуку, яка залежить вiд частоти. Згiдно з фiзiологiчним законом Вебера Фехнера iз зростанням iнтенсивностi звуку гучнiсть зростає за логарифмiчним законом. На цiй пiдставi вводять об’єктивну оцiнку гучностi звуку за вимiряним значенням його iнтенсивностi:

L = lg(I/I0),

де I0 iнтенсивнiсть звуку на порозi чутностi, що приймається для всiх звукiв рiвною 10−12 Вт/м2. Величина L називається дорiвнюєм iнтенсивностi звуку i виражається в белах (на честь винахiдника телефону Бела). Звичайно користуються одиницями, в 10 разiв меншими, децибелами (дБ).

Фiзiологiчною характеристикою звуку є рiвень гучностi, який виражається у фонах (фон). Гучнiсть для звуку в 1000 Гц (частота стандартного чистого тону) дорiвнює 1 фону, якщо його рiвень

iнтенсивностi дорiвнює 1 дБ. Примiром, шум у вагонi метро при великiй швидкостi вiдповiдає 90 фонам, а шепiт на вiдстанi 1 м 20 фонам.

Реальний звук є накладанням гармонiчних коливань з великим набором частот, тобто звук має акустичний спектр, який може бути суцiльним (у деякому iнтервалi присутнi коливання всiх частот) i лiнiйчастим (присутнi коливання вiдокремлених один вiд одного певних частот).

Звук характеризується крiм гучностi ще висотою i тембром. Висота звуку якiсть звуку, яка визначається людиною суб’єктивно на слух i залежить вiд частоти звуку. Iз зростанням частоти висота звуку збiльшується, тобто звук стає "вищим". Характер акустичного спектра i розподiлу енергiї мiж певними частотами визначає своєрiднiсть звукового вiдчуття, що називається тембром звуку. Так, рiзнi спiваки, що беруть одну i ту ж ноту, мають рiзний акустичний спектр, тобто їх голоси мають рiзний тембр.

Джерелом звуку може бути всяке тiло, що коливається в пружному середовищi iз звуковою частотою (примiром, в струнних iнструментах джерелом звуку є струна, сполучена з корпусом iнструмента).

Здiйснюючи коливання, тiло викликає коливання прилеглих до нього частинок середовища з такою ж частотою. Стан коливального руху послiдовно передається до все бiльш вiддалених вiд тiла частинок середовища, тобто в середовищi поширюється хвиля з частотою коливань, що дорiвнює частотi її джерела, i з певною швидкiстю, яка залежить вiд густини i пружних властивостей середовища. Швидкiсть

поширення звукових хвиль у газах обчислюється за формулою
υ = pγRT/M,	(2.23)

де R молярна газова стала, M молярна маса, γ = Cp/CV вiдношення молярних теплоємностей газу при постiйних тиску i об’ємi, T термодинамiчна температура. З формули (2.23) виходить, що швидкiсть звуку в газi не залежить вiд тиску p газу, але зростає з пiдвищенням температури. Чим бiльша молярна маса газу, тим менша в ньому швидкiсть звуку. Примiром, при T = 273 К швидкiсть звуку в повiтрi (M=29·10−3 кг/моль) υ=331 м/с, у воднi (M = 2 · 10−3 кг/моль) υ=1260 м/с. Вираз (2.23) вiдповiдає дослiдним даним.

При поширеннi звуку в атмосферi необхiдно враховувати цiлий ряд чинникiв: швидкiсть i напрям вiтру, вогкiсть повiтря, молекулярну структуру газового середовища, явища заломлення i вiдбивання звуку на межi двох середовищ. Крiм того, будь-яке реальне середовище має в’язкiсть, тому спостерiгається загасання звуку, тобто зменшення його амплiтуди i, отже, iнтенсивностi звукової хвилi в мiру її поширення. Загасання звуку зумовлено значною мiрою його поглинанням у середовищi, пов’язаним з незворотним переходом звукової енергiї в iншi форми енергiї (в основному в теплову).

Для акустики примiщень велике значення має реверберацiя звуку процес поступового загасання звуку в закритих примiщеннях пiсля вимкнення його джерела. Якщо примiщення порожнi, то вiдбувається повiльне загасання звуку i створюється "гулкiсть"примiщення. Якщо звуки затухають швидко (при використаннi звукопоглинаючих матерiалiв), то вони сприймаються приглушеними. Час реверберацiї це час, протягом якого iнтенсивнiсть звуку в примiщеннi ослаблюється в мiльйон разiв, а його рiвень на 60 дБ. Примiщення має хорошу акустику, якщо час реверберацiї становить 0,5 1,5 с.

2.7.Ефект Доплера в акустицi

Ефектом Доплера (3) називається змiна частоти коливань, якi сприймаються приймачем, при русi джерела цих коливань i приймача одне вiдносно одного. Примiром, з досвiду вiдомо, що тон гудка поїзда пiдвищується у мiру його наближення до платформи i знижується при вiддаленнi, тобто рух джерела коливань (гудка) вiдносно приймача (вуха) змiнює частоту коливань, що приймаються.

Для розгляду ефекту Доплера припустимо, що джерело i приймач звуку рухаються вздовж з’єднуючої їх прямої; υдж i υпр, вiдповiдно швидкостi руху джерела i приймача, причому вони позитивнi, якщо джерело (приймач) наближається до приймача (джерела), i негативнi, якщо вiддаляється. Частота коливань джерела дорiвнює ν0.

3Г.Доплер(1803–1853) австрiйський фiзик, математик, астроном.

1. Джерело i приймач перебувають у спокої вiдносно середовища, тобто υдж = υпр = 0. Якщо υ швидкiсть поширення звукової хвилi в даному середовищi, то довжина хвилi λ = υT = υ/ν0. Поширюючись в середовищi, хвиля досягне приймача i спричинить коливання його звукочутливого елемента з частотою

ν = υ/λ = υ/(υT ) = ν0.

Отже, частота ν звуку, яку зареєструє приймач, дорiвнює частотi ν0, з якою звукова хвиля випромiнюється джерелом.

2.Приймач наближається до джерела, а джерело перебуває у спокої, тобто υпр>0, υдж=0.

Уцьому випадку швидкiсть поширення хвилi вiдносно приймача буде дорiвнювати υ + υпр. Оскiльки довжина хвилi при цьому не мiняється, то

	ν =	υ + υпр	=	υ + υпр	=	(υ + υпр)ν0	,
		λ		υT		υ

тобто частота коливань, що сприймаються приймачем, в (υ + υпр)/υ раз бiльша за частоту коливань джерела.

3. Джерело наближається до приймача, а приймач перебуває у спокої, тобто υдж>0,

υпр=0.

Швидкiсть поширення коливань залежить лише вiд властивостей середовища, тому за час, що дорiвнює перiоду коливань джерела, випромiнювана ним хвиля пройде у напрямi до приймача вiдстань υT (рiвну довжинi хвилi λ) незалежно вiд того, чи рухається джерело чи перебуває у спокої. За цей же час джерело пройде у напрямi хвилi вiдстань υджT (рис. 2.5), тобто довжина хвилi у напрямi руху

скоротиться i дорiвнюватиме λ0 = λ − υджT	= (υ − υдж)T , тодi
ν = υ/λ0 =	υ	=	υν0	,
	(υ − υдж)T		υ − υдж

Рис. 2.5.

тобто частота ν коливань, якi сприймаються приймачем, збiльшиться в υ/(υ − υдж) разiв. У випадках 2 i 3, якщо υдж<0 i υпр<0 знак буде зворотним.

4. Джерело i приймач рухаються вiдносно одне одного. Використовуючи результати, одержанi для випадкiв 2 i 3, можна записати вираз для частоти коливань, якi сприймаються приймачем:

ν =	(υ ± υпр)ν0	,	(2.24)
	υ ± υдж

причому верхнiй знак береться, якщо при русi джерела або приймача вiдбувається їх зближення, нижнiй знак у разi їх взаємного вiддалення. З наведених формул виходить, що ефект Доплера рiзний залежно вiд того, рухається джерело чи приймач. Якщо напрями швидкостей υдж i υпр не збiгаються з прямою, що проходить через джерело

i приймач, то замiсть цих швидкостей у формулi (2.24) треба брати їх проекцiї на напрям цiєї прямої.

2.8.Ультразвук i його використання

За своєю природою ультразвук є пружними хвилями, i в цьому вiн не вiдрiзняється вiд звуку (див. 2.6). Проте ультразвук, володiючи високими частотами (ν > 20 кГц) i, отже, малими довжинами хвиль, характеризується особливими властивостями, що дозволяє видiлити його в окремий клас явищ. Через малi довжини хвиль ультразвуковi хвилi, як i свiтло, можуть бути одержанi у виглядi строго направлених пучкiв.

Для генерацiї ультразвуку використовуються в основному два явища.

Зворотний п’єзоелектричний ефект (див. також ч.1. §91) це виникнення деформацiї у вирiзанiй певним чином кварцевiй пластинцi (останнiм часом замiсть кварцу застосовується титанат барiю) пiд дiєю електричного поля. Якщо таку пластинку помiстити у високочастотне змiнне поле, то можна