RIII_OCR[6]

~Из данного уравнения находим. что y'(I) = 1 + 1 = 2. Дифферен-

цируем исходное уравнение:

у"=2х+2уу'. Y"(I)=6;

у"'=2+2у" +2уу". y"'(I)=22;

y'V = 4у'у" + 2у'у" + 2уу"'. y'V (1) = 116

ит. д.

Подставляя найденные значения производных в ряд (12.23). по­

лучаем

у(х) =		6(x-I)2		22	116		... =
	1 +2(x-I)+		2	+ т(х-I)З + 24(Х- 1)' +
=	1 +2(х- 1)+ 3(x-l? +			11	29
				з(х- I)З	+ т(Х- 1)' + ......
Пример 8. Найти шесть первых членов разложения в степенной
ряд решения		дифференциального		уравнения	у" - (1	+ х')у = О.	удов­
летворяющего		начальным	условиям у(О) = -		2. у' (О) =	2.

~Подставнв в уравнение начальные условия. получим

у"(О) = 1 . (-2) = -2.

Дифференцируя исходное уравнение. последовательно находим:

y"'=2XY+(I +х2 )у'. у'" (О) =		2;
y'V = 2у + 2ху' +	2ху' + (1 +	х2 )у". y'V(O) = -6;
у V= бу' + бху" +	(1 + х2)у"'.	У V(О) = 14.

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорсна.

получаем

Решснне задачи Коши У.= <р(х) для дифференциального уравнения

можно также искать в виде разложения в степенной ряд

у =	<р(х) = ао +а, (х-хо) +а2(х-хо)2 +					... +	а,,(х-хо)" + ... (12.24)
с неопределенными коэффициентами				а! (i	=	О.	1•...•	n • ... ).
При мер 9.		ИСПОJlьзовав	ряд (12.24),		запнсать четыре				первых	не­
НУJlСВЫХ	члена	разложения	решения	задачи			Коши	у' =	х + у' -	1,

y(I)=2.

~В ряде (12.24) xo=l. Поэтому. положив x=l. с учетом на­

чального условия находим, что ао = 2. Продифференцируем рид (12.24)

и подставим получеиную производную у', а также у в виде ряда (12.24) в

данное дифференциаJlьное уравнение. Тогда

	у' =	а, +2а,(х-хо) + 3aJ(X-ХU)' +... =
= х- 1 + (ао+а,(х-хо) +a2(X-ХО)'+ .. .)".
Теперь в правой и левой частях последнего равенства							при равняем
коэффициеиты	при	одинаковых			степенях разности х - 1		(т. е.	при
(х - 1)0, (х - 1)'	и (х -		1n	Получаем простые уравнения:
аl =		а6.	2а2 =	1 +	2aoal. 3аз = ат +	2аоа2.
из которых. учитывая. что ао = 2.					находим: аl = 4.	а2 = 17/2. аз =		50/3.

32

Следовательно, искомое разложение решения имеет вид

17	2	50	з	+ ......
y=2+4(x-I)+ T(x - I)		+ з(х-I)

АЗ-12.5

1. С ПОМОЩЬЮ степенных рядов вычислить приближен­

но с точностью б =		0,001 указанные величины:
}г:	}г;;;.	в) cos 100; г)	10 г;;;;:;:;	д)	'П	3/2.
а) -у е;	б) -у 10;		-у 1027;
(Ответ: а)	1,396; б)	2,154; в) 0,985;	г) 2,001;		д)	0,405.)

2.С ПОМОЩЬЮ степенных рядов вычислить с точностью

б= 0,001 следующие определенные интегралы:

1/2	1
а) ~ .уl +x3 dx;	б) ~ cos --Гxdx;

оо

4	1/4
в) ~ el/xdx;	г) ~ е-Х' dx.

оо

(Ответ: а) 0,508; б) 0,764; в) 2,835; г) 0,245.)

3. Найти неопределенный интеграл в виде степенного

ряда и указать область сходимости этого ряда:

а) (	cos Х dx;	б) ~ ; dx.
)	х

4. Записать пять первых членов разложения в сте­

пенной ряд решения дифференциального уравнения, удов­

летворяющего заданным начальным условиям:

а) 1=еУ+ху, у(О)=О;
б) 1 = 1 + х + х2 - 2у2, У(1) = 1;
в) l' = х2у - у', у(О) = 1, у'(О) = О;
г) l' = х + у2, у(О) = О, 1(0) =	1.
Самостоятельная	работа

1. 1. С помощью степенного ряда вычислить sin 1 с точностью б = 0,001. (Ответ: 0,841.)

2. Найти три первых члена разложения в степенной

ряд решения дифференциального уравнения у' = х2 - у,

если y(I)= 1.

2. 1. С помощью степенного ряда .зычислить .У7О с

точностью б=О,ООI. (Ответ: 4,125.)

2. Найти четыре первых члена разложения в сте-

2-357

пенной ряд решения дифференциального уравнения у" =

=	х2	-	у, если у(О) = 1,		у'(О) = 1.
	3.	1. С		помощью	степенного ряда	вычислить
0,5
~	Si~r2X		dx с	точностью	б = 0,001. (Ответ:	0,946.)

о

··2. Найти три первые члена разложения в степенной

ряд решения дифференциального уравнения у' = х'2у +уЗ,

если у(О) = 1.

	12.5.		РЯДЫ ФУРЬЕ
Функциональный ряд вида
~)	+ L (а;,			COS IlX + ЬN sin nх),		(12.25)
	11=(
где коэффициенты аn,	ЬN (n =		О,	1,	2, ... ) определяются по формулам:
	аn =	~	~		f (х) cos nxdx,
			-"			(12.26)
			л
	ЬN =	~	~		{(х) sin nxdx,

называется рядом Фурье функции {(х). Отметим, что всегда ЬО = О. Функция {(х) называется куСОЧНО-МОНОТОННОЙ на отрезке [a~ Ь],

если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов n (а; х,), (х,; Х2), ... , (xk~'; Ь) таким образом, чтобы в каждом из них функция была

монотонна.

Теорема 1. Если функция [(х) периодическая (nериод U) = 2л). ку, сочно-монотонная и ограниченная на отрезке [-л; л], то ее ряд Фурье сходится в любой точке х Е R и его сумма

S(x)= f(X-ОJtf(Х+О).

Из теоремы следует, что S(x) = {(х) в точках непрерывности функ­

ции {(х) и сумма S(x) равна среднему арифметическому пределов слева

н справа функции f (х) в точках разрыва первого рода.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическуlO функцию

(с периодом 2л):

[(Х)={О, -л<х<О,

х, O~ х~л.

~ Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная,

то она разлагается в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:

з4

л

ао= -1

(

{(x)dx= ~ (xdx= ~~I" =

~

л

)

л)

л

2

о

2'

-л

о

а" =

1

~Л

_1 и = х, dv = cos flxdx,

1=

-

х cos flxdx -

du = dx '

1 .

л

О

v = -fl

SIП пХ

л

=

- 1 (-Х.SIП пх 1" -

~ -1 sil1 I1xdx) =

л

n

о

fl

О

1

1

1"

=

1

= -

- , COS пх

о

--о ((_1)"_ 1),

л

n

лn2

л

(Х

1"

1")

Ьn =

-1

~

Х sil1

flxdx = - 1

cos nx

+ -1,sin

=

-

-

пХ

л

Л

fl

О

n

о

о

(_1)"-1

л

=

-

--;;-:n cos flл =

fl

(n Е N).

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (12.25), получаем

{(х) =

л

L (2

2

cos ((2п

( _

sin I1Х .

-4 +

-

-

I)x) +

1)" - 1)

л(2n- 1)

n

11=1

Этот ряд сходится к заданиой периодической функции с периодом 2л
при	всех	х *'(2n -		I)л. В точках х = (2п - I)л сумма ряда				равна
(л+О)/2=л/2 (рис. 12.1) .....					:6.О я
-6к	-5rr	-4АП	.-Jп	-277А.-п		2Ап	.Jл 477 5л	6ff Х
							1;/1.
				Рис. 12.1
	Если функция У = {(х) имеет период :Ll, то ее ряд <i>ypbe							записы­
вается в виде
	{(х)= ~O + L (а"соs(fl,л х)+ь"Siп(fl,Л х)),							(12.27)
				n=1
где				1
				а" = +~	{(х)Cos ( Л,п	х)ах,

-1

(12.Щ

bn=+~ {(x)sin(7 X)dX.

-1

35

Теорема 2. Если периодическая функция с периодом 21 кусочно­ монотонная и ограниченная на отрезке [-1; Ij, то ее ряд Фурье (/2.28) сходится для любого х Е R к сумме

S(x) = ({(х - О) + {(х + 0))/2

(ср. с теоремой 1).

Пример 2. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции

с пеРИQДОМ 4;

-	1	при	- 2 < х < о,
{(х) = {	2	при	0---	х --- 2
			"""	"""

(рис. 12.2).

у

2

-6

-4

-2

О

2

4

6

)(

-1

Рис. 12.2

~Находим коэффициенты ряда:

		2						О				2
	аО= -} ) {(x)dx= -}() (-I)dХ+) 2dX) =
		- 2					- 2					О
	= -	1 (10		+ 2х		12)		= -		1	( - 2 + 4) = 1,
		-	х			О				2
	2		- 2
	о									2			х)dx) =
аn =	-} ( )	( - 1) cos (ЛП			х)dx + ) 2 cos (							ЛП
	- 2			2						[)		2
=	..!..(_ ~siп (!!!!...х)10 + _ 4 siп (лп х)12) = О,
	2	лп		2		- 2			ЛП			2	О
	о									2
Ьn =-}() (-I)siП(ЛП					X)dX+ )2SiП(ЛП								X)dX) =
	- 2			2						о		2
				(ЛП)I							4			) =
	=---:-1" (2
							Q
	'2	- cos		-х					--(соsлп-I)
		лп		2			- 2				лп
		3			_				3
		= -(cos лп				1)= _((_1)"_1).

лп

лп

Подставив найденные коэффициенты в ряд (12.28), получим

	{(х) = J.. _ ~			\' __I_ siп			((2П -	I)л	х) ....
		2	л	L	2п -1		2		.
			n=!
	Если периодическая функция {(х) четная, то она разлагается в ряд
Фурье только [10 косинусам,					при этом
					1
			аn =	{-~ [(х) cos (			Л1П х)dX;
					о
если же		периодическая		функция		[(х)	нсчетная, то		она	разлагается
в ряд Фурье только по синусам и
					1
			Ьn =	{-~ {(х) siп ( ЛlП х)dX.
					о
	Так как для всякой периодической функции [(х) периода 21 и лю­
бого л Е R справедливо равенство
				1		л+1
				~ f(x)dx =		~	f(x)dx,
				-1		л-I
то коэффициенты ряда Фурье можно вычислять по формулам:
		21					21
	аn =	+~ f(x) cos (		Л1П	X)dX,	Ьn =	1(-	.(ЛП)
							Т) '(Х) SIП		-z-x dx,
		о					о
где	n = О,	1, 2, ...
	Пусть	функция	{(х)	кусочно-монотонна и				ограничена		на	отрезке
[а;	Ь] с (-1; [). Чтобы разложить					эту функцию		в ряд Фурье,			продол­

жим ее произвольным образом на интервал (-1; 1) так, чтобы она оставалась кусочно-монотонной и ограниченной в (-1; 1). Найденную функцию разложим в ряд Фурье, который сходится к заданной фу!1К­

ции на отрезке [а; bj. Если заданную функцию продолжить на (-1; 1)

четным образом, то получим ее разложение только по косинусам, если же продолжить ее нечетным образом, получим разложение только по

синусам.

Например, функция {(х), определенная на [а; Ь] с (-1; 1) и про­

долженная в (-1; 1) в соответствии с равенствами

Опри - z<x< -Ь,

	{	-f(Х) при	-b~x~ -а,
{(х) =		о при	-а<х<а,
		[(Х) при	a~x~ Ь,
		о при	Ь < х< 1,

37

разлагается ТО.1ЬКО 110 синуса.\1. Сумма 5(х) ряда Фурье таком ФУНI\­

цни равна		{(х) внутри отрезка la;			bJ, а		5(а) = {(а)/2,			5(Ь)= {(Ь)/2
СОГ.1асно теореме 2 (рис. 12.3).
			у
			з/ь)		/
			S(a)	--1
-'		-Ь			а			ь		х
			Рис.		12.3
	Пример	3. Разложить в ряд Фурье				ФУНКЦИЮ {(х) =				'хl (- 2'::;;
.::;; х'::;; 2).

~Так как данная функция четная, то olla разлагается в ряд

Фурье толькu	по косинусам,		т.	е.		Ь" =	о.	Далее		иаходим:
		2	2				"	.,
							х-	-
	ао	=:2 ~		xdx = Tlo = 2,
	I						2
а" =	Т2)r{(х) cos (-ЛТz-l)x dx =						)rх cos (-Л2fl)- х dx =
	u						о
=	2х . (ЛП		) 1"		+	4		(ЛIl)Х 12			=
	- sm	- 2 х		О		-1-·'cos			-2-	о
	Л!l					Л п'
		= _4_((-1)"-1)_
		2	')
		Л п-
Отсюда следует, что а" =		О при n '!стном,					а" =	-	8/ (л~п2) при n нечетном.
Искомый ряд Фурье даннuй функции
{(х)= 1 _ ~ \'					1		cos( (2n -			I)л х).
	л"	L	(2rz -			1)2			2

n==1

Его сумма равна заданной функции на отрезке 1- 2; 2}, а на всей

числовой прямой эта сумма определяет периодическую функцию с пе­ риодом ю = 4 (рис. 12.4). ...

-6

-4

-2

О

2

4-

6

х

Р н с. 12.4

38

Пример 4. Р<.13JIOЖИТЬ IJ ряд по сннусам фУ(/КЦIIЮ [(х) = 2 - х на отрезке [О; 21·

~ПРОДОДЖН~1 данную функuию Ш] отреЗ0К [-2; О] нrчrтным

06разом

(рнс.

12.5). т. с. (/ОilОЖНМ

"

Х

npll

-:2~x<O.

{(х) = { - ;

=х

при

О ~ х ~ 2.

-4

,,,,,

""

",,,

-2

х

,, ,

"

Р 11

С.

1:2.5

Тогда о.,

=

О

IIрll

fI

= О. 1.

:2 •...•

а

I

(

. (ЛII

)

:2

(.

)

. (ЛII)

(2 -

х

dx =

Ь" = Т)

I (Х

'Вl - / -

х (ix =

)

х) 'Нl 2

IJ

=

I:;u==2S~]Х("~if;1~)~:.iX:,=_~co'(~x)1=

2

Лfl:2

2(2-х) со, (;11/- 2 х)1'-

,>

~:2--со" (-Л,/1)-х lix =

."'1fl

О

Лfl

2

О

=

- 4

- --4 .SIn (Л-fl

\')l'= - 4

ял

л~п'!.

2

-

о

лtl .

Подставляя

найденные

КОЭффициенты

в ряд Фурье. получаем

{(х)

4

~ siп (!!.!!....х). ...

=

л

fI

2

11=1

Пример 5. Раздожнть в ряд Фурье функuню. графнк KO'ropoii11306р<.1·

жен на

рис.

12.5

в

виде спдошной динин.

~Продолжим данную функuию на отрезок [-2; О] четным обра­

зом и раздожим функuию [(х) =		х. л' Е [О; 2]. НО косннусам. т. е.
ОП	\'	(Л/l)	'
{(х)=т+	L O"COS	-2- Х
	t1=1

39

2

а"=

~ ~ xdx = ~21:=

2,

()

2

а"= ~ ( ХCOS (~x) dx = ~sin (~х)1"-

2

)

2

nл

2

о

u

2

соs(л2n

- л2n

~Sin(Л;1

X)(lX=

л~2

Х)\:=

u

=

-----:-т(( -

1)" -

1).

лn

у

/ /

/

/

"""

""

/

""

/

/

/

"

"

/

4

6

В

х

Рис.

12.5

Искомый РЯД Фурье имеет lJlIД

[(Х)= 1 - :1 I

(2п -

1)'

-2

I)л х).

----,..eos ((2n

11=1

На отрезке 10; 21 011 nредстаlJляет собой заданную функцию, а на всей ЧИСJIOВОЙ оси - периодическую функцию с IIСРНОДОМ (\) = 4 (см. рис. 12.5, штриховая и СIIЛОlllНая линии) .....

ПОСКОJIЬКУ ряд Фур(,(~ СХОJlИ1ТН К значению соотвеТСТВУЮlней функ·

I(ИН в точках, где ФУНКЦIIЯ HellpcpbIBH3, то РЯДЫ Фурье часто I1СГlОЛЬЭУ'

ютея ДЛЯ СУММllрования ЧИСЛ()lJЫХ РНДОlJ. Так, H<lllpIIMep, еСЛII в ряде

Фурье ФУНКIlИII, опреде:lеНIIОЙ в npHMepe 5, НОJIOЖИТЬ Х = 2, то nОJlУЧIIМ:

2 = 1 -	~ \'					.,	cos л,
	л"		L	(211-1)"
			n=l
						л
			(2n _	1)'		8
11 =- I
Пример 6. Разложить	в		ряд	Фурье		[10	косинусам кратных дуг

функцию у = х' lIа отрезке 10; лl и с помощью полученного ряда lJЫЧИСЛИТЬ

суммы ЧИСЛОВblХ рядов

~O

	и	(	_1)"-1_1_
			n2 •
n=1		n=1

~ Разложим даlJНУЮ функцию в ряд по косинусам, продолжив ее на интервал (- л; О) четным образом и на всю числовую прямую периоди­ чески, с периодом 2л. Тогда:

		л
	2 ( 2				2 х' 1л			2л2
ао	= -; )		х dx = -;:3 0=:3'
		о
	:1
а" = -2) х2		cos nxdx =			-2(х-		2	sin nх 1" -
	n				л	n			о
	о
л								л
~ 2х+sin flXdX) =		-	# - ; cos пх1: - ~						cos nх
									fl
									--- dx=
о
		4		1"	=	4(_1)"
							2
	- cos nх					n
	n'2			о
Получили ряд Фурье
{(х)= л2			+4 \' (_1)" COS,flX.
		3	L					п2
			11=1

Так как продолженная функция непрерывна, то ее ряд Фурье схо­

"",ится к заданной функции при любом ЗlJачеllИИ х. Поэтому ДJIЯ Х = О

имеем

О = Л2	+ 4 \' ( - 1)" ~,
,з		L	n
		n=!
т. е.
		1	л2
(-IГ 1 -, ~-.
		n 2	12
п;;-:с:1
При х = л
			n 2	б
11=1		11=1

41