RI_OCR[4]

х3,	Х < -'-1,
3.24. {(х) = х-l,	-1 :S:;;x:S:;;3,

{-х+5, х>3.

		Х'	х< -2,
3.25. {(х) = { -;-Х +.			1, -2:S:;; x:S:;; 1,
		х -1,	х> 1.
3.26. {(х) = {		х+3,	х :S:;;O,
		-х2 +4,0<х<2,
		х-2,	x~2.
	{	О,	x:S:;; -1,
3.27. {(х) =		х2 - 1,	-1 < x:S:;; 2,
		2х,	х> 2.

-1, Х<О,

3.28.{(х) -={ cos х, O:S:;; х :S:;; 31,

l-х, х> 31.

2, х< -1,

3.29. {(х) = { l-х, -1 :S:;;x:S:;; 1,

Inx, х> 1.

-х, x:S:;;O,

3.30.{(х) = хЗ, 0< x:S:;; 2,

{х+4, х>2.

4.Исследовать данные функции на непрерывность в

указанных точках.
4.1. {(х) = 21		/(х-З)+ 1;		ХI =3, X2=4~
4.2. {(х) =	5 1	/(х-3) -	1;	ХI = 3,	Х2 = 4.
4.3. {(х) =	(х + 7)j(x -			2);, ХI =	2, Х2 = 3.
4.4. f(x)=(x-5)j(x+3); ХI = -2, Х2= -3.
4.5. {(х) =	4 1	/(З-Х) +	2;	ХI = 2,	Х2 = 3.

4.6.{(х) = gl/(2-X); ХI = О, Х2 = 2.

4.7.{(х)=21 /(х-5) + 1; ХI =4, Х2=5.

4.8.	((х) =	51	/(х-4)	- 2;	ХI =	3, Х2 =	4.
4.9.	{(х) =	61	/(х-З)	+ 3;	ХI =	3, Х2 =	4.

4.10.{(х) = 71 /(5-х)+ 1; ХI =4, Х2=5.

4.11.{(х) = (х-3)(х +4); ХI = -5, Х2= -4.

4.12.{(х) = (х + 5)j(x - 2); ХI = 3, Х2 = 2.

4.13.f(х)=52/(Х-З); ХI =3, Х2=4.

4.14.f(x)=4 2/(X-I)-3; xl=l, Х2=2.

4.15. ((х) = 25/(I-x) - 1; ХI = О, Х2 = 1.

4.16.{(х)=84/(Х-2)_1; ХI =2, Х2=3.

4.17.((х) = 54/(3-х) + 1; ХI = 2, Х2 = 3.

4.18.f(x)=3xj(x-4); ХI =4, Х2---:5.

171

4.19.f(x)=2x/(x~-I); х) = 1, Х2=2.

4.20.{(х) = 2з/(х+2) + 1; х) = - 2, Х2 = -1.

4.21.{(х) = 4з/(х-2) + 2; х) = 2, Х2 = 3.

4.22.{(х) = з2/(Х+) - 2; х) = -1, Х2 = о.

4.23.((х)=53/(Х+4)+ 1; х) = -5, Х2= -4.

4.24.((х)=(х-4)/(х+2); х) = -2, Х2= -1.

4.25.{(х)=(х-4)/(х+3); х) = -3, Х2= -2.

4.26.{(х) = (х + 5)/(х - 3); х) = 3, Х2 = 4.

4.27.((х) = з4/()-х) + 1; х) = 1, Х2 = 2.

4.28.((х) = 4х/(х + 5); х) = -5, Х2 = -4.

4.29.((х) = 62/(4-Х); х) = 3, Х2 = 4.

4.30.{(х) = (х + I)/(x - 2); х) = 2, Х2 = 3.

Решение типового варианта

1.	Доказать,		что	функции		{(х) = cos 2х -	COS 3 2х
И ср(х) = зх2 -		5х3 при х-о являются бесконечно малыми
одного порядка малости.
~ Находим
	lim 1fl.. = lim				cos 2х -	cos 3 2х
	X~O q>(x)			X~O	ЗхZ -	5~
=	1im cos 2x(l -		cos z 2х) =		lim (2. cos 2х . sin Z 2х )		_
	нО	r(З -	5х)		X~O	?(З - 5х)	-
	=	1im 8 cos 2х . sin 2х· sin 2х = 8/3.
		X~O		2х2х(З - 5х)

Так как предел отношения функции ((х) и ср(х) равен

отличной от нуля постоянной, то в соответствии с опреде­

лением (см. формулу (5.1»				данные функции -		бесконеч­
но малые одного порядка малости. ....
2. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно
малые функции.
~ Имеем: lim		arcsin 8х		= lim ~ =	2 .....
X~O		Iп (1 +4х)		X~O 4х
3. Исследовать данную				функцию	на непреРЫВНОС1Ъ
и построить ее график:
		х2 ,	-	00 < х ~ о,
{(х)=	(X_I)2,			0<x~2,
	{	5 - х,		2 < х < + 00.
~ Функция {(х) определена и непрерывна						на интер­
Вdлах ( - 00; о), (о; 2)и (2;			+ 00), гд~ она задана непрерыв-

172

ными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках ХI = О И Х2 = 2. Для точки ХI =

=0 имеем:

lim {(х) =	lim х2 = О,	lim {(х) =	lim (х - l? = 1,
x~o-o	x~o-o	X~O+O	X~O+O

{(О) = х2 lх=о = О,

т. е. функция {(х) в точке ХI = О имеет разрыв первого

рода.

Для точки Х2 = 2 находим:

lim f (х) =	lim	(х -	'? = 1,
x~2-0	x~2-0
lim {(х) =	lim	(5 -	х) = 3,
x~2+0	x~2+0

{(2) = (х - 1?lx=2 = 1,

т. е. в точке Х2 = 2 функция также имеет разрыв перво­

го рода.

График данной функции изображен на рис. 5.1. ....

у

х

4. Исследовать функцию {(х) = 81 /(Х-3) + 1 на непре­

рывность в точках ХI = 3, Х2 = 4.

~ Для точки ХI = 3 имеем:
lim	{(х)=	lim	(81	/(Х-З)+ 1)=8-00 +	1 =	1,
х~З-О ;		х~З-О
lim	{(х)=	lim	(81	/(Х-З)+ 1)=800 +	1 =	00,
x~3+0		х.....з+О

т. е. в точке ХI = 3 функция {(х) терпит бесконечный разрыв (ХI = 3 - точка разрыва второго рода).

Для точки Х2 = 4 имеем:

lim {(х) =	lim (81 /(Х-З) + 1) = 9,
x~4-0	х.....4-0

173

lim

((х)=

lim

(81 /(Х-3) + 1)=9,

Х.....4+0

Х.....4+0

f(4)=81 /(4-З)+ 1 =9.

Следовательно, в точке Х2 =

4

функция {(х) непрерывна.....

5.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К гл. 5

Найти указанные пределы.

1.

lim

(2 +n)IOO _ n 100 _

200n 99

(Ответ:

19800.)

n ..... оо

n 98 -

IOn 2 + 1

2.

lim

Ig (n 2 + 2n cos n + 1).

(Ответ:

2.)

n ..... оо

1 + Ig(n+ 1)

.

3.

·

In(n2-n+l)

(о

1

)

11т

10

+ n

•

твет. -5 .

n..... оо

Iп (n

+ 1)

lal> 1,)

4.

lim

а"- а-n

(а=1= О). (ответ:{

б'

lal= 1,

n-+ОО

а" +а-n

_1,,

lal< 1.

5.

lim

12+22 +32+ ... +n

2

(

.

1

)

n

з

.

Ответ.

-3 .

n ..... оо

6.

•

X IOI -

IOlx + 100

• (Ответ: 5050.)

11т

2

Х..... !

х -2х+ 1

.

У2х2 + IОх+ 1 -

(о

7.

1·

!,j2r + IОх+ 1

.

4

)

1т

твет.

-7 .

х-о

Х

(Ответ:

n t 1 .)

9. lim(~-x)t/x. (Ответ:

I

.)

х.....о

~

10.

liт

~in \ .

(Ответ: -21 .)

Х-+Л

Л -

Х

зt

11.

liт

(ах + 1)"

, где n Е Z, n =1= О;

а,

Ь - постоянные.

х..... оо

х" +

ь

если n < О,

(Ответ: ап, если n > О; О, если n < О, Ь =1= О; cI',

12. }l~ (-} -

~

+... +(- 1)n - I

+). (ответ: +.)

а =1= О,

Ь

=

О; 00,

если n

< О,

а

=

Ь

=

О )

Найти точки разрыва данных функций, указать харак­

тер точек разрыва и по~троить графики этих функций.

13. У = 1/lg Iх1. (Ответ: ХI = О - устранимая точка

174

разрыва,	Х2,3 =	+ 1 -		точки разрывов второго			рода.)
14. у =	х sin (л/х).			(Ответ: х = О -		устранимая точка
разрыва.)
15. у=I/(1+31			/Х).		(Ответ: x=O-точка		разрыва
первого рода.)
16. У =	1/(1 +2IgX ).				(Ответ: х=	; (2k + 1),	k Е z-
точки разрыва первого рода)
17. у=(1 + l/х}. (Ответ: х= -1-точка							разрыва
второго	рода,	х =	О -		устранимая	точка разрыва.)
18. У = 1/(1 -		e l	-	X ).	(Ответ: х= 1 - точка		разрыва
второго рода.)

19. Круглая пластина радиусом а с закрепленными краями находится под действием силы Р, приложенной

к ее центру. Прогиб на расстоянии х от центра пластины выражается следующей формулой:

у = Рkx2 In : + Р ~ (а2 - х2),

где k - коэффициент, связанный с прочностными ха­

рактеристиками материала и формой пластины. Найти

прогиб в центре пластины. (Ответ: Pka2 /2.)

20. Шарнирно-опорная балка под действием равно­

мерно, распределенной нагрузки q и сжимающей силы N

прогибается. Прогиб в середине балки вычисляется по

формуле

f =	ql4	(1	1	и2 )	'
	Е/и'	cos (и/2) -	-	т
где и= [#; Е! -		жесткость балки; [ - длина балки.
Показать, что: а)	при и-+О (EJ-+oo)			балка не должна

прогибаться, т. е. f-+O; б) при и-+л (N ~л2ЕJ/[2) f-+ 00,

т. е. существует критическая сила, при которой балка

«разрушается», что математически соответствует ее беско­

нечному прогибу.

6.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

6.1.ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

ИФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Напомним, что приращением функции		у =	{(х) называется
разиость
tJ.y = {(х + tJ.x) - {(х),
где tJ.x - приращение аргумента х. Из рис. 6.1		видио,	что
	tJ.yjtJ.x=tgfl.		(6.1)
у

х

х,

х

Рис. 6.1

Предел отношеиия приращения функции tJ.y к приращению аргу­

мента tJ.x при произвольном стремлении tJ.x к нулю иазывается произ­ водной функции у = {(х) в точке х и обозначается одним из следующих

символов: у', {'(х), ~~. Таким образом, по определению

у' = {'(х) = .!!JL =	lim	k =	lim	[(х + tJ.x) -	[(х)	(6.2)
dx	l\x~O	tJ.x	l\x~O	tlX
Если указанный в формуле		(6.2)	предел	существует,	то	функцию

{(х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной у' - дифференцированием.

Из равенства (6.1) и определения производной (см. формулу (6.2» следует, что производная в точке х равна. тангенсу угла а наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции y=f(x) (см. рис. 6.1).

Легко показать, что с физической точки зрения производная

у' = {' (х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно

аргумента х.

176

Если С - постоянное число и и = и (х), и = и(х) - некоторые диф­ ференцируемые функции, то справедливы следующие правила диффе­

ренцирования:

1)(С)' = О;

2)(х)' = 1;

3) (и ± и)' = и' ± и';

4)(Си)' = Си';

5)(ии)' = и'и + ии';

6) (~)' =	и'и -	ии'	(и =F О);
и	и2

7)	(!:и...)'= - Сии2'	(и =F О);	е. у = ((<<р(х» - сложная функция, со­
8)	если у = ((и), и = «р(х), т.
ставленная из дифференцируемых функций, то
	,	"	dy	dy du
	ух =	у"их или тх =		dU Тх;

9)если для функции у= ((х) существует обратная дифферен­

цируемая функция х= g(y) и ~; = g' (у) =F О, то

{'(х) = Ijg'(y).

На основании определения производной и правил дифференци­

роваиия можно составить таблицу nроизводных основных элементар­

ных функций:

1) (ua)'=aua-1u, (aER);

2) (а")' = а" Ina'и~;

3)

(е")' = е"и';

4)

(Ioga и)' =

1

5)

(In и)' =

1

UТr1ёlи';

и и';

6)

(sin и)' =

cos и· и';

7)

(cos и)' =

-sin и· и';

8)

1

9)

(ctg и)' =

-

~и';

2

(tg и)' = -- и';

сos и

slП

и

1О)

(arcsin и)' =

1

и';

11)

(arccos и)' = -

1

и';

-J1-u2

-J1-u2

12)

1

•

13)

(arcctg и)' = -

1

и';

(arctg и)' = ---

и'·

--- 2

I+u?

'

I+u

14)

(sh и,!, =

ch и· и';

15)

(ch и)' =

sh и· и';

.

(th и)' =

1

и';

17)

(cth и)' =

1

16)

- . -

- - 2 -- и'.

ch" и

sh

и

Уравнение касательной

к кривой

у =

{(х)

в

точке

Мо(Хо,

'(хо»:

у - {(хо) = {'(хо) (х - хо).

Уравнение нормали (перпендикуляра)

к кривой у={(х) в

точке

Мо(хо, {(хо»:

у - {(хо)= -

- 1-(х-

хо)

(('(Хо) =F О).

{'(Хо)

Прн {' (хо) = О уравнение нормали

имеет вид х =

хо.

177

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угм­

между касательными к кри.вым в этой точке.

Пример 1. Найти производную функции У= 3х~ l'воеnоль­

зб'вавшись определением производной (см. формулу (6,2».

~ При любом приращении !1х имеем:

~y =

2 (х +

!1х)

2х

6X2+6x~x+2~x-6.r-6x~x-2x

-,-"--,-...:.;.;,:~.c...::;=--,,:.:.,---,,,.:.:::::;'-,-:::,,:.... = ,

3(x+~x)+1

3х+ 1

(3(х+!1х)+ 1)(3x+ 1)

2~x

(3х + 3L\x + 1)(3x +

1) .

Так как

~y/~x= (3x+3~x+2

1)(3x+ 1)'

то

у

,

=

l'

~Y"

1т

2

2

1т

- =

3!1х + 1) (3х + 1)

(3х+ I?'....

лх.....о

~x

лх.....О (3х +

Пример 2. Найти значение

производной

функции У = 'хl в точке

х=о.

~ При любом приращеиии иезависимой переменной х, равиом !1х,

приращеиие функции в точке х = О
~	у	= '!1хl =		{-~x, еслн		~x< о,
				L\x, если		~x	> о.
Из определения производиой следует, что
,		l'	~y	{	-1, если		~x<o,
у =		лl.то	~	=	1, если		~x> о.
Это означает, что в точке х = О функцня У =						'хl	не имеет производной,
хотя она и непрерывна в этой точке, поскольку
	Jl.то		~Y= 11~o		'~I =0.....

Таким образом, ие всякая функция, непрерывная внекоторой точке х, дифференцируема в Этой точке. Но легко показать, что любая функция непрерывна во всех тех точках х, в которых она дифферен,

цируема.

АЗ-б.1

1. Найти производную функции У = зхз - 2х2 + зх - 1,

воспользовавшись определением производной (см. фор­

мулу (6.2».

2. Установить, будет ли функция у=.:v-;c непрерывной

и дифференцируемой в точке х = о.

3. Найти производные следующих фу.нкциЙ:

а)	у=5х4	- зJ,{;З+7/х5 +4;
б)	y=x3 sinx;
в)	у = (х4	+ 1)/{x4 - 1);

178

г) y=(x5 +3x-I)4;

д) у=~«х3+I)/(х3-I»2.

4.

Составить уравнеиия касательной и -нормали к кри­

вой

у =

х3 + 2х -

2 в точке

с

абсциссой хо = 1.

(Ответ:

Ij -

5х +4 = О; 5у

+х - 6 = о.)

5.

Найти углы, под которыми пересекаются линии, за­

данные

уравнеииями

у = к

и

х

2

у

= 3.

(Ответ:

+ 2 2

900,

900.)

Самостоятельная

работа

1.

1. Найти производные следующих функций:

а) у=3х3 +5V -4/Х3;

б)

У = х3 sin Х· In х;

в)

у=у(х3 + 1)/(x3 -

1).

2. Записать уравнения касательной и нормали к кри­

вой у =

ln (х2 _ 4х + 4) в точке хо =

1. (Ответ: 2х + у­

- 2 = О; х - 2у - 1 = о.)

2_

1.

Воспользовавшись

определеиием

производной

(см.

формулу (6.2»,

найти

производную

Ф1НКЦИИ у =

=(3x-I)/(2x+5). (Ответ: !I=17/(2x+5).)

2. Найти производные следующих функций:

а)	y=W -2/х4 +7х6 ;
б)	У =	(х9 + 1) cos 5х;
в)	у =	«х4 + 1)/(x4 - 1»3.
3. 1. Найти производные следующих функций:
а)	у=	4-";; +4/-";; +3х2;

б) У . х3 t~ х . е2х;

в) y=(sin х)/(х3+ 1).

2. Расстояние, пройденное материальной точкой за

время / с, 8 = ~ /4 - i- /3 +2/ + 1 (8 - В метрах). Найти

скорость...движения данной точки в моменты времени / = = О; 1; 2 с. (Ответ: 2 м/с; 2 м/с; 6 м/с.)

А3-6.2

Используя формулы и правила дифференцирования,

найти производные данных функций.

1. а)	у=х3 siпЗх;	б)	y=iftg4x;
в)	У = -Ух4 + sin4 х;	г)	у = х ctg2 7х;

179

д) у = 2-С05' 5х;

2. а) у = (2Х' - tg4 х)3;

В) У= sin (tg---Гx);

д) у = 2х/1пх ; 3. а) у = е-У"Х'''+-=2-Х+-:-::-2;

В) y=(2tg3X +tgзх)2;

е) у = езгсtg -ух

б) У = lп5 (х - 2-Х);

г) у = х sin2 х. 2Х';

е) y=arctg-V1+r.

б) у= shЗ r;

г) у=зtg35х.

Самостоятельная работа

Найти производные следующих функций.

1.	а)	у=хsiп3 Зх;			б)	У =	cos2 Х+ 1
			(2С05 3Х + sin Зх)3;				. slП 2х± I
	В)	У =			г)	у =·х cos2 х. еХ'.
2.	а)	у =	х3e1g 3Х ;		б)	у =	(sin3 х + cos3 2х?;
	В)	У =	lп (х4 -	sin3 х);	г)	y=xsin7x.tg2 x.
3.	а)	у =	х ctg2	5х;	б)	у =	(х3 + t.g3 2Х)\
	В)	У =	sin(x5	- tg2 x);	г)	y=x3 cos2x.e- x

6.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Логарифмичес/СОй nРОU380дной функции у = {(х) называется про­

изводная от логарифма этой функции, т. е.

(In {(х»' = ('(х)lf(х).

Последовательное применение логарифмирования и дифференци­ роваиия функций иазывают логарифмическим дифференцированием. В иекоторых случаях предварительиое логарифмирование функции

упрощает иахождение ее производиой. Например, при нахождеиии произ­

водной функции у=и", где ·и=u(х) и ·и=и(х), предварительное

логарифмироваиие приводит к формуле

у' = и" In и· и' + ии"-I • и'.

Пример 1. Найти производную функции У = (sin 2х)х'

~ Логарифмируя даиную функцию, получаем

In у = х3 In siп 2х.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х:

(ln у)' = (r)'ln siп 2х +х3 (In sin 2х)'.

Orсюда

.JL. = Зr ln sin 2х+ r	~22 cos 2х.
у	slП Х
Далее,	.'

у' = у(Зr In sin 2х + 2r ctg 2х).

Окончательно имеем:

у' = (sin 2х)х'(зх2 In sin 2х + 2хЗ ctg 2х). ....

180